【文档说明】四川省师范大学附属中学2021届高三上学期期中考试数学（理）试题.docx，共(24)页，1.055 MB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年四川成都锦江区四川师范大学附属中学高三上学期期中理科数学试卷1．本试卷满分120分，考试时间为120分钟.2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域

内.3．请按照题号顺序在答题卡各题目的区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸上、试题纸上答案无效.4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.一、选择题：(本大题共

12小题，每小题5分，共60分)1.设集合3,2,AxxBxxkZ===，则AB=（）A．0,2B．2,2−C．2,0,2−D．2,1,0,1,2−−2.已知复数12izi=+（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．15B．1

5iC．25D．25i3.已知等比数列na中，31174aaa=，数列nb是等差数列，且77ba=，则59bb+=（）A．8B．4C．16D．24.522xx−的展开式中，含x项的

系数为（）A．60B．60−C.80−D．805.若实数,xy，满足条件202300xyxyxy+−−+−，则1zxy=++的最大值为（）A．4B．3C.2D．16.交通运输部发布了《城市轨

道交通客运组织与服务管理办法》，对乘客在地铁内一系列行为进行规范，其中就包括“使用电子设备时外放声音”，不听劝阻者将被列入“乘客行为黑名单”．该办法已于2020年4月开始施行．通常我们以分贝()dB为单位来表示声音大小的等级

，3040−分贝为安静环境，超过50分贝将对人体有影响，90分贝以上的环境会严重影响听力且会引起神经衰弱等疾病．如果强度为的声音对应的分贝数为()fvdB，那么满足：()1210lg110vfv−=，若在地铁中多人

外放电子设备加上行车噪音，车厢内的声音的分贝能达到90dB，则90dB的声音与50dB的声音强度之比为（）A．40B．100C.40000D．100007.某中学新学期的选修课即将开启选课，甲、乙、丙三人在足球、篮球、摄影、书法四门选修课中选

择，学校规定每人限选一门课，若甲不选足球，乙不选篮球，则甲、乙、丙三人选课方法总数为（）A．18B．24C.27D．368.已知1sin264+=，则cos3cos23+=−（）A．72−B．72C.732−D．7329.已知抛物线()220

,ypxpF=为抛物线的焦点，O为坐标原点()()1122,,,AxyBxy为抛物线上的两点，,AB的中点到抛物线准线的距离为5,ABO的重心为F，则p=（）A．1B．2C.3D．410.如图，已知四棱

台1111ABCDABCD−的上下底面均为正方形，11111122,2,2ABABAABBCCDD======，则下述正确的是（）A．该四棱台的高为23B．11AACC⊥C.该四棱台的表面积为26D．该四棱台外接球的表面积为1611.双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左

右焦点分别为12,FF，以2F为圆心，2OF为半径作圆2F，过1F作直线l与圆2F切于点M，若点M在双曲线的渐近线上，则双曲线的离心率为（）A．2B．3C.2D．23312.已知函数()()23,03,0xxxfxfxx−−=−，以下结论

正确的是（）A．()fx在区间4,6上是增函数B．()()220206ff−+=C.若方程()1fxkx=+恰有3个实根，则11,13k−−D．若函数()yfxb=−在(),6−上有个零点()1,2,3,4,5,6ixi=，则616iix==二、

填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知离散型随机变量13,4B−，随机变量41=+，则的数学期望()E=．14.若曲线()()ln1fxaxx=−+在点()0,0的切线方程是2yx=，则实数a=．

15.已知()fx为定义在R上的奇函数，函数()gx与函数lgyx=的图象关于直线yx=对称．若当0x时，()()fxgxm=+，则()lg0.5f=．16.设10AB=，若平面上点P满足对任意的R，恒有2

8APAB−，则其中所有正确的命题的序号是．①4PA；②8PAPB+；③9PAPB•−；④90APB三.解答题(本大题共6小题，共70分)17.已知ABC外接圆的半径为R，其内角,,ABC，的对边长分别为,,abc．若222sinbaRCac−=+．()1求角R的大小．

()2若7,2bc==，求sinA的值．18.如图四棱锥PABCD−中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面,2ABCDPAAB==，点,EF分别是棱,PBPC的中点()1求证PBAF⊥()2设1AD=，求二面角AECD−−的平面角的余弦值．19.新冠肺炎疫情期间，

各地均响应“停课不停学，停课不停教”的号召开展网课学习．为检验网课学习效果，某机构对2000名学生进行了网上调查，发现有些学生上网课时有家长在旁督促，而有些没有网课结束后进行考试，根据考试结果将这2000名学生分成“成绩上升”和“成绩没有上升”两类，对应的人数如下表所示：成

绩上升成绩没有上升合计有家长督促的学生500800没有家长督促的学生500没有家长督促的学生2000()1完成以上列联表，并通过计算（结果精确到()0.001）说明，是否有90%的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联()2从有家长督促的800名学生中按成绩是否上升，采

用分层抽样的方法抽出8人，再从8人中随机抽取人做进一步调查，记抽到3名成绩上升的学生得1分，抽到1名成绩没有上升的学生得1−分，抽到3名生的总得分用X表示，求X的分布列和数学期望．附：()()()()()22,nadbcKnabcdabcdac

bd−==+++++++()20PKk0.1000.0500.0100.0010k2.7063.8416.83510.82820.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的离心率为12，其左，右焦点分别是12,FF，椭圆上的4个点,,,ABMN满足：直

线AB过左焦点1F，直线AM过坐标原点O，直线AN的斜率为32−，且2ABF的周长为8()1求椭圆C的方程．()2求AMN面积的最大值21.已知函数()()cossincos,xfxxxxgxx=+=()1判断函数()fx在区间50,2上零点的个数．()2设函数()gx

在区间()0,+上的极值点从小到大分别为1234,,,,?··nxxxxx①证明：()()120gxgx+②对一切()()()()*123,?·0nnNgxgxgxgx++++成立22.在平面直角坐标系中，已知点，曲线的参数方程为（参数），以坐标原点为极点，轴正

半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．()1化曲线的参数方程为极坐标方程．()2设曲线分别交曲线，于点，求的面积23.已知函数，．()1若的最小值为，求实数的值．()2若关于的

不等式的解集包含，求实数的取值范围2020-2021学年四川成都锦江区四川师范大学附属中学高三上学期期中理科数学试卷(详解)一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.【答案】C【解析】集合333Axxxx==−集合2,BxxkkZ

==2,0,2AB=−故C正确．2.【答案】A【解析】因为()()()12221121212555iiiiiiii−+===+++−所以复数的虚部为：15故选A3.【答案】A【解析】等比数列na中，31174aaa=可得2774aa=解得74a=，

且77ba=74b=数列nb是等差数列，则59728bbb+==故选A4.【答案】C【解析】二项式522xx−的展开式的通项公式为()103152rrrrTCx−+=−•令1031r−=，得3r=522xx−的展开式中，含x项的系数为()3352

80C•−=−故选：C5.【答案】B【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示数形结合可知1xy++，取得最大值的一个最优解为()1,1则1xy++的最大值为3故选B6.【答案】D【解析】由题意知当声音强度的等级为90dB时，有1210lg90

110v−=即12lg9110v−=则9-12=10110v此时对应的强度9123101010v−−==当声音强度的等级为50dB时，有1210lg50110v−=即12lg5110v−=则551271210,10

1010110vv−−−===90dB的声音与50dB的声音强度之比为34710101000010−−==故选：D7.【答案】D【解析】由于甲不选足球，共有13C种选法，乙不选篮球，共有13C种选

法，丙共有14C种选法，故共有11133436CCC••=种选法.故选D8.【答案】B【解析】由题知：cos23−cos262=+−1sin264=+=cos3+21

2sin26=−+2171248=−•=则原式778124==9.【答案】D【解析】12522xxp++=12032xxp++=3102pp−=4p=故选D10.【答案】D【解析】将四棱台1111ABCDABCD−的侧棱延长，相交于点P，形成

四棱锥PABCD−设正方形ABCD和1111ABCD的中心分别为1,OO如图所示：A选项：由于1122,2ABAB==，则11,AB分别为,PAPB中点，124PAAA==22224223POPAAO=−=−=1132OOPO==即四棱台1111ANCDABCD−的高为3，故A错误；B选项：

连接,ACAPC（或其补角）、即直线1AA与1CC所成的夹角，4,4,4PAPCAC===PAC是等边三角形，60APC=，即1AA与1CC所成的夹角为60，故B错误；C选项：()2228ABCDS==正方形()111422237222ABBS+•==梯形A则该四棱台

的表面积3782410672S=++=+，故C错误D选项：设该四棱台外接球的球心M到上底面1111ABCD的距离为x则2211AMRx==+()2223AMRx==+−所以()2222123xx+=+−解得3x=则外接球半径()22132R=+=故该四棱台外接球的表面积2416

SR==故D正确故选D11.【答案】A【解析】由已知21MFMF⊥21212MFFFc==1230MFF=即133FMk=不妨设M在第一象限，设(),Mxy12223,3FMykxycx==+=32yc=，又12xc=又M在byxa=渐近线上3ba=2e=

12.【答案】C【解析】数形结合，考查函数的单调性，周期性，对称性和交点问题．:A当0x，若30x−，即03x()()()223333fxxxxx=−−−−=−+当()0,xfx为周期为3的函数，作出()fx在区间(,6−的函数，可知()fx在

区间4,6上先增后减，故A错误；():0,Bxfx为周期为3的函数20203373=···1()()()20201,2462fff=−=−+=，()1132f=−+=()()220204ff−+=

故B错误；:C直线1ykx=+恒过定点()0,1，函数()fx的图象和函数1ykx=+的图象有三个交点，当0k，设y与()fx相切于点()00,xy，则020002313kxkxxx=−++=−+解

得011kx==当0k，根据对称性可知，当()fx与y相切时，1k=−则1310kk−+即113k−−综上，当函数()fx的图象和函数1ykx=+的图象有三个交点时，11,13k−−

故C正确．:D当()6fx=，作出()fx与直线6y=的图象，根据对称性可知，619iix==，故D错误故选C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.【答案】4【解析】离散型随机变量13,4B−()13344E==()()()341414144EE

E=+=+=+=14.【答案】3【解析】()ln1yaxx=−+1'1yax=−+()ln1yaxx=−+在()0,0处的切线方程为2yx=1201a−=+解得3a=15.【答案】1−【解析】()gx与lgyx=的图象关于yx=对称，()10xgx=，0x时，()()10xf

gmmxx==+＋,又()fx为奇函数，当0x=时，()0100fxm=+=，解得1m=−()101xfx=−又0.50lg，()()()()lg20.510.5101211flgfg=−=−−=−−=−16.【答案】①②③【解析】由题可以A为坐标原点，以AB为x轴建立平面直角

坐标系，()()0,0,10,0AB设()(),,5,0PxyC()()()10,0,,,10,02ABAPxyABAC===()(),,10,PAxyPBxy=−−=−−222APABAPAC−=−28CP=4CP

Cl,且l为直线0y=又(),PDxy，(),xyR点P到x轴距离大于等于4，即4y对于①来说：224PAxyy=+，①正确；对于②来说：()2210428PAPBxyy+=−+，②正确；对于③来说：()2222210525259PAPBxyxyx

y•=+−=+−−−−，③正确；对于④来说：当()5,4P时，5tan14=即422，即90APB，④错误．故答案为①②③．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.【答案】()213B=()21214【解析】()222

12sin,RCcbaacc=−=+2221cos22acbBac+−==−0B23B=()2由()1知：3sin2B=7,2bc==，由正弦定理得sin21sin7cBCb==由bc，故C为锐

角，27cos7C=()32712121sinsincoscossin272714BCBCBC+=+=−=18.【答案】()1证明见解析．()263【解析】()1PA⊥底面,ABCDBC平面ABCDPABC⊥，而,BCABPAABA⊥=BC⊥平面PAB又PB平面PABBCPB

⊥，连接,EF,EF点分别是棱,PBPC的中点，EF为PBC的中位线，//EFBCEFPB⊥又PAB等腰直角三角形，E为斜边的中点，AEPB⊥而EF平面,AEFAE,AEFEFAEE=PB⊥平面AEF又AF平面AEFPBAF⊥()2如图，以A为坐标原点，以,,

ABADAP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系则()()()()220,1,0,2,1,0,2,0,0,0,0,2,,,0,22DCBPE()()222,1,0,,0,,2,0,022ACAEDC===22,1,22DE=−

则平面ACE的一个法向量为()1,2,1m=−−平面DCE的一个法向量为()0,1,2n=6cos,3mnmnmn•==−•且易知二面角AECD−−为锐二面角，二面角AECD−−的平面角的余弦值为6319.【答案】()1成绩上升成绩没有上升合计有家长督促的学生5003008

00没有家长督促的学生7005001200没有家长督促的学生12008002000()2X的分布如下：X-3-118P15615561528528【解析】()1成绩上升成绩没有上升合计有家长督促的学生500300800没有家长督促的学生7005001200没有家长督促的学

生12008002000()2220005005003007001253.4722.7068001200120080036K−==有90%的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关

联．()2从有家长督促的800名学生中按成绩是否上升，采用分层抽样的方法抽出8人，其中成绩上升的有5人，成绩没有上升的有3人，再从8人中随机抽取3人，随机变量X所有可能的取值为3,1,1,3−−()03

53381356CCPXC•=−==()12533815156CCPXC•=−==()21533815128CCPXC•===()3053385328CCPXC•===X的分布列如下：X-3-118P15615561528528()11

5301033113565656564EX=−−++=20.【答案】()221143xy+=()223【解析】()1由椭圆的定义知48,2aa==12ca=1c=，从而2223bac=−=所以椭圆C的方程为22143xy+=故答案为：22143xy+=()2设直线3:2

ANyxt=−+代入椭圆方程223412xy+=化简得：223330xtxt−+−=设()()1122,,,AxyNxy由()23120t=−得212t且()23129143tAN−=+•而点O到直线A

N的距离914td=+且直线AM过坐标原点()231292143914AMNAONttSS−==+••+()()2222121222333tttt+−−==当且仅当2212tt=−，即26t=时取等号，AMN面积的最大值为23．故答案

为：2321.【答案】()()1fx在50,2有两个零点()2①证明见解析②证明见解析【解析】()()1'sincossincosfxxxxxxx=+−=当0,2x时，cos0x()()()'0,01fxfxf=()fx无

零点当3,22x时cos0x()'0fx，而330,02222ff==−()fx有唯一零点；当35,22x时cos0()'0fx而55022f=

()fx有唯一零点；综上，()fx在50,2有两个零点．()2①()()22sincos'fxxxxgxxx+=−=−由()1知()gx在0,2无极指点在3,22x有极小值点，即为1x，在35,

22有极大值点即为2x而()0,1022ff==−()330,21022ff=−=可知123,,,222xx同理在5,32有极小值点3x···在()2

1,2nn−有极值点nx由sincos0nnnxxx+=得0cos1sin,tannnnnxxxxx=−=−12xx()1121211,tantantanxxxxx−−+=而1233,2,,222xx+

故有12xx+()()121212coscosxxgxgxxx+=+12sinsinxx=−−()12sinsinxx=+−sinyx=在3,22是增函数()12sinsin0xx

+−即()()120gxgx+②同理，()5143,212kkxk−−−241,22kkxk−2124122kkkxx−−+由sinyx=在41,22k−

递增得()()()212212sinsin0kkkkgxgxxx−−+=+−当n为偶数时，不妨设2nk=从()1gx开始相邻两项配对，每组和均为负值，即()()()()()()1234212····+0kkgxgxgxgxgxgx−+++++

结论成立；当n为奇数时，设21nk=+()2141,212kkxk+++()2121sin0kkgxx++=−从()1fx开始相邻两项配对，每组和均为负值，还多出最后一项也是负值，即()()()

()()()1234212····+0kkgxgxgxgxgxgx−+++++结论也成立．综上，对一切()()()()123,?··0nnNgxgxgxgx+++++成立22.【答案】()14cos=()332

24APQS=−【解析】()1由22cos2sinxtyt=+=（t为参数）消去参数x得()2224xy−+=即得1C的普通方程为()2224xy−+=又sin,cosxy==1C的极坐标方程为24cos0

−=即4cos=()2设点,PQ的极坐标方程为12,,,66将6=代入4cos=，得123=将6=代入2sin=得21=所以点()0,1A−到曲线()06=的距离3sin32dOA==所以133224APQSPQd

=•=−23.【答案】()113aa=−=−或()2实数a的取值范围：3,12−−【解析】()1函数()()2,1fxxagxx=+=−()()2221fxgxxax+=++−()222222xaxxax=++−+−−21a=+=解得13aa=−=−或()12,12x

时，不等式()()1fxgx+即211xax++−可得211xax++−2xax+3axa−−不等式()()fxgx+1的解集包含1,12即1132aa−−且312a−−实数a的取值范围：3,12

−−