【文档说明】重庆市西南大学附属中学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题 含解析.docx，共(24)页，2.119 MB，由小赞的店铺上传

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西南大学附中2023—2024学年度上期期中考试高二数学试题（满分：150分，考试时间：120分钟）注意事项：1．答卷前考生务必把自己的姓名，准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷

上无效．3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷自己保管好，以备评讲）.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线310xy−+=的倾斜角为（）A.0B.30C.4

5D.60【答案】D【解析】【分析】根据直线方程求斜率，进而可得倾斜角.【详解】直线310xy−+=即31yx=+，可知直线的斜率3k=，倾斜角为60.故选：D.2.椭圆221259xy+=与椭圆()2219259xyaaa+=−−的（）A.长轴相等B.短轴相等C.焦距相等

D.离心率相等【答案】C【解析】【分析】根据两个椭圆的标准方程，求出焦距即可得到结论.【详解】因为221259xy+=中的22225916cab=−=−=，所以4c=，焦距为28c=；因为221259xyaa+=−−中的()()()()()222'''25916cabaa=−=−−−=，

所以'4c=，焦距为2'8c=；故选：C.3.已知直线12:2210,:430lxylxny+−=++=，3610lmxy+−=：，若12ll//且13ll⊥，则mn+的值为（）A.10−B.10C.2−D.2【答案】C【解析】【分析】由两直线的平行与垂直求得

,nm值后可得结论.【详解】由题意43221n=−,4n=，2120m+=，6m=−，所以2mn+=−．故选：C．4.某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是（）时间

（小时）5678人数1015205A.6.2小时B.6.4小时C.6.5小时D.7小时【答案】B【解析】【分析】根据平均数的计算公式，即可求得答案.【详解】由题意可得这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是：105156207586.450+++=（小时），故选：B5.已知点

(),ab在曲线2651yxx=−+−+上，则()222ab+−的取值范围是（）A.2,26B.2,14410+C.14410,26−D.14410,14410−+【答案】C【解析】【分析】

分析可知曲线为以()3,1C为圆心，半径2r=的上半圆，()2222+−=abPA，根据圆的性质结合图形分析求解.【详解】因为2651yxx=−+−+整理得()()()223141−+−=xyy，表示以()3,1C为圆心，半径2r=的上半圆，设()(),,0,2PabA，则()2222+−=ab

PA，如图所示：当,,PAC三点共线时，PA取到最小值102−=−ACr，当P为半圆的右端点()5,1B时，PA取到最大值26=AB，即102,26−PA，则214210,26−PA，所以()222

ab+−的取值范围是14410,26−.故选：C.6.过直线l：3410xy+−=上一点P作圆M：22(4)1xy+−=的两条切线，切点分别是A，B，则四边形MAPB的面积最小值是（）A.1B.2C.2D.2

2【答案】D【解析】【分析】由距离公式结合勾股定理得出2122APMP=−，进而由面积公式得出四边形MAPB的面积最小值.【详解】圆M：22(4)1xy+−=的圆心()0,4M到直线l：3410xy+−=的距离16135d−==，故MP的最小值是3，又因为1MA=，则2122APMP=−，故

AMP的面积的最小值是112222S==，故四边形MAPB的面积的最小值是22.故选：D.7.在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有4，5，6，7四个数字，这些小球除数字外都相同．小红、小明两人玩“猜数字”游戏，小红先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字

记为m，再由小明猜这个小球上的数字，记为n．如果m，n满足1mn−，那么就称小红、小明两人“心心相印”，则两人“心心相印”的概率是（）A.14B.38C.12D.58【答案】D【解析】【分析】先算出样本空间包含的样本点数，再求出两人“心心相印”的包含的样本点数，相比即可求出概率.【详解】样本空间

包含样本点数为4416=，m，n满足1mn−，那么就称小红、小明两人“心心相印”当4m=时4,5n=，当5m=时4,5,6n=，当6m=时5,6,7n=，当7m=时6,7n=，则小红、小明两人“心心相印”事

件包含了10个样本点，两人“心心相印”的概率是105168=，故选：D8.如图，已知直线l：20xym++=与圆O：222xy+=相离，点P在直线l上运动且位于第一象限，过P作圆O的两条切线，切点分别是M

、N，直线MN与x轴、y轴分别交于R、T两点，且ORT面积的最小值为1625，则m的值为（）的A.－5B.－6C.6D.5【答案】D【解析】【分析】根据直线和圆的位置关系得到10m，设出(),2Pnmn−−，得到02mn−，

作出辅助线，得到,,,PMON四点共圆，由几何关系求出圆的方程，从而求出相交弦方程，得到ORT的面积，配方得到其最值，得到方程，得到答案.【详解】直线l：20xym++=与圆O：222xy+=相离，故

241m+，解得10m，设(),2Pnmn−−，点P在直线l上运动且位于第一象限，故02mn−，连接,OMON，则OM⊥PM，ON⊥PN，则,,,PMON四点共圆，且OP为直径，其中圆心为2,22nmn−−，半径为22222nmn−−+，故,

,,PMON所在圆的方程为222222222nmnnmnxy−−−−−+−=+，化简得()2220xynxmny+−++=，222xy+=与()2220xynxmny+−++=相减得

到直线MN的方程，即()220nxmny−++=，令0x=得22ymn−=+，令0y=得2xn=，因为02mn−，所以20mn+，故202mn−+，20n，故ORT的面积为22122222284mnnmmn−=+−+，因

为02mn−，所以当4mn=−时，ORT的面积取得最大值，最大值为216m，故2161625m=，解得5m=，经检验，均满足要求.故选：D【点睛】过圆()()222xaybr−+−=上一点()0

0,xy的切线方程为：()()()()200xaxaybybr−−+−−=，过圆()()222xaybr−+−=外一点()00,xy的切点弦方程为：()()()()200xaxaybybr−−+−−=.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给

出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.少年强则国强，少年智则国智，党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生身体素质，为了加强对学生的营养健康监测，某校在3000名学生中，抽查了100名

学生的体重数据情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（）A.样本的众数为65B.该校学生中低于65kg的学生大约为1200人C.样本的第80百分位数为72.5D.样本的平均值为66.75【答案】BCD【解析】【分析】由频率分布

直方图得众数，百分位数，平均数后判断【详解】对于A，样本的众数为67.5，故A错误，对于B，该校学生中低于65kg的学生大约为3000(0.030.05)51200+=，故B正确，对于C，体重位于[55,70)的频率为(0.030.050.06)50.7++=

，体重位于[55,75)的频率为(0.030.050.060.4)50.9+++=，故第80百分位数位于[70,75)，设其为x，则0.70.04(70)0.8x+−=，得72.5x=，故C正确，对于D，样本的

平均值为57.50.1562.50.2567.50.372.50.277.50.166.75++++=，故D正确，故选：BCD10.已知事件A、B发生的概率分别为()13PA=，()16PB=，则下列说法正确的是（）A.若A与B相互独立，则

()49PAB=B.若()19PAB=，则事件A与B相互独立C.若A与B互斥，则()49PAB=D.若B发生时A一定发生，则()13PAB=【答案】AB【解析】【分析】利用并事件的概率公式可判断A选项，利用独立事件的定义可判断B选项；；利用互斥事件的概率公式可判断C选项；分析可知

ABB=，可判断出D选项【详解】对于A，若A与B相互独立，则()()()1113618PABPAPB===，所以()()()()111436189PABPAPBPAB=+−=+−=，故A对；对于B，因为()13PA=，()16PB=，则()()12

1133PAPA=−=−=，因为()()()211369PAPBPAB===，所以事件A与B相互独立，故B对；对于C，若A与B互斥，则()()()111362PABPAPB=+=+=，故C错；对于D，若B

发生时A一定发生，则BA，则()()16PABPB==，故D错.故选：AB.11.已知ABP的顶点P在圆C：()()223481xy−+−=上，顶点A、B在圆O：224xy+=上．若23AB=，则（）A.ABP的面积的最大值为153B.直线PA被圆C截得的弦长的最小值为42C.有且仅有一个点P

，使得APB为π4D.有且仅有一个点P，使得直线PA，PB都是圆O的切线【答案】AD【解析】【分析】设点P到直线AB的距离为h，由hPDPOODPCOCOD+++求得h的最大值判断A，利用直线和圆的位置关系判断B，若π4APB=，分析ABP的外接圆与圆C的交点个数，判断C，利用射影

定理可得4PO=进而判断D.【详解】由题意可知：圆C：()()223481xy−+−=的圆心()3,4C，半径为9，圆O：224xy+=的圆心()0,0O，半径为2，因为592=−OC，可知圆O在圆C内，设线段AB的中点为D，因为23AB=，则()22231OD=−=，且5OC=，对

于选项A：设点P到直线AB的距离为h，则95115hPDPOODPCOCOD+++=++=，所以当且仅当,,,PDOC四点共线时，点P到直线AB距离的最大值为15，所以ABP的面积的最大值为153，故A正确；对于选项B：点C到直线PA的距离小于等于CA，当PACA⊥时，等号成立，且CA的最

大值为7，所以点C到直线PA的距离的最大值为7，此时直线PA被圆C截得的弦长的最小值为2281782−=，故B错误；对于选项C：设ABP的外接圆的圆心为E，半径为r，若π4APB=，则2362sin222===ABrAPB，()()226

33=−=DE，可知max636=+=+PDDE，因为P在圆C上，min3PD=，当且仅当,,,PDOC四点共线时成立，且336+，可知此时圆E与圆C相交，此时有2个点P，使得π4APB=，故C错误；对于选项D，

若直线PA，PB都是圆O的切线，则PAOA⊥，由射影定理，可得4PO=，当且仅当,,POC三点共线时，min4PO=，因此有且仅有一个点P，使得直线PA，PB都是圆O的切线，故D正确；故选：AD.12.在平面直角坐标系中，定义(

)1212,max,dABxxyy=−−为两点()11,Axy、()22,Bxy的“切比雪夫距离”，又设点P及l上任意一点Q，称(),dPQ的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作(),dPl，给出下列四个命题，正

确的是（）A.对任意三点,,ABC，都有()()(),,,dCAdCBdAB+；B.已知点()2,1P和直线:220lxy−−=，则()83dPl=,；C.到定点M的距离和到M的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形.D.定点()1,0Fc−

、()2,0Fc，动点(),Pxy满足()()()12,,2220dPFdPFaca=−，则点P的轨迹与直线yk=（k为常数）有且仅有2个公共点.【答案】AD【解析】【分析】对于选项A，根据新定义，利用绝对值不等性即可判断；对于

选项B，设点Q是直线21yx=−上一点，且(,21)Qxx−，可得()1,max2,22dPQxx=−−，讨论|2|x−，1|2|2x−的大小，可得距离d，再由函数的性质，可得最小值；对于选项C，运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断；对于选项D，根据定义得max,max,2x

cyxcya+−−=，再根据对称性进行讨论，求得轨迹方程，即可判断．【详解】A选项，设()()(),,,,,AABBCCAxyBxyCxy，由题意可得：()(),,max,max,,ACACB

CBCACBCABdCAdCBxxyyxxyyxxxxxx+=−−+−−−+−−同理可得：()(),,ABdCAdCByy+−，则：()()(),,max,,ABABdCAdCBxxyydAB+−−=，则

对任意的三点A，B，C，都有()()(),,,dCAdCBdAB+；故A正确；B选项，设点Q是直线220xy−−=上一点，且1,12Qxx−，可得()1,max2,22dPQxx=−−，由1

222xx−−，解得0x或83x，即有(),2dPQx=−，当83x=时，取得最小值23；由1222xx−−，解得803x，即有()1,22dPQx=−，(),dPQ的范围是2,23，无最值，综上可得，P，Q

两点的“切比雪夫距离”的最小值为23，故B错误；C选项，设(),Mab，则()()22max,xaybxayb−+−=−−，若ybxa−−，则()()22xaybyb−+−=−，两边平方整理得xa=；此时所求轨迹为xa=(yb或)yb−若ybxa−−，则(

)()22xaybxa−+−=−，两边平方整理得yb=；此时所求轨迹为yb=(xa或)xa−，故没法说所求轨迹是正方形，故C错误；D选项，定点()1,0Fc−、()2,0Fc，动点(),Pxy满足()()12,,2dPFdPF

a−=（220ca），则：max,max,2xcyxcya+−−=，显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设x≥0，y≥0.(1)当xcyxcy+−时，有2xcxca+−−=，得：0xayac=

−；(2)当xcyxcy+−时，有02a=，此时无解；(3)当xcyxcy+−时，有2,xcyaax+−=；则点P的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线.结合图像可知，点P的轨迹与直线yk=（k为常数）有且仅有2个公共点，故

D正确.故选：AD.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它

们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．13.已知椭圆方程为22139xy+=，则该椭圆离心率为______．【答案】63##163【解析】【分析】利用椭圆的标准方程及几何性质

、离心率公式运算即可得解.【详解】由椭圆的标准方程及几何性质知0ab，∵22139xy+=，∴29a=，23b=，则222936=−=−=cab，∴3a=，6c=，则离心率63cea==.故答案为：6

3.14.已知焦点在y轴上的椭圆()222104xymm+=的离心率12e=，A是椭圆的右顶点，P是椭圆上任意一点，则PA的最大值是______.【答案】4【解析】【分析】根据离心率求得椭圆的方程为2214

3yx+=，设(,)Pxy，则()22133163PAx=−++，由33x−，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由焦点在y轴上的椭圆()222104xymm+=的离心率12e=，可得22224144cmea−===，解得23m=

，所以椭圆的方程为22143yx+=，则(3,0)A，设(,)Pxy，则()()()22222221133412373316333xPAxyxxxx=−+=−+−=−−+=−++，因为33x−，当3

x=−时，可得2PA取得最大值，最大值为4，所以PA的最大值为4.故答案为：4.15.五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，若把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、角、羽三音

阶不全相邻，则可排成不同的音序种数是______．【答案】84【解析】【分析】先考虑所有情况，再减去不满足的情况即可.【详解】先考虑五个音阶任意排列，有55A种情况，再减去宫、角、羽三音阶都相邻的情况，把宫、角、羽三音

阶看做一个一个整体，则一共变成3个元素，有33A种情况，而宫、角、羽三音阶又可以任意排列，有33A种情况，所以一共的音序有53353384AAA−=种，故答案为：8416.在平面直角坐标系中，已知圆1C：22(4)(2)9xy++−=和圆2C：22(5)(6)9xy−+

−=，设P为平面上的点，若满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线1l和2l，它们分别与圆1C和圆2C相交，且直线1l被圆1C截得的弦长与直线2l被圆2C截得的弦长相等，则所有满足条件的点P的坐标是______________.【答案】317,22−或51,22−.【解析】

【分析】设出过点P的直线1l和2l的方程，根据圆1C和圆2C的半径相等，及直线1l被圆1C截得的弦长与直线2l被圆2C截得的弦长相等，可得1C的圆心到直线1l的距离和圆2C的圆心到直线2l的距离相等，故可得到一个关于直线斜率k的方程，即

可求出所有满足条件的点P的坐标.【详解】圆1C：22(4)(2)9xy++−=的圆心为1(4,2)C−，半径为3，圆2C：22(5)(6)9xy−+−=的圆心为2(5,6)C，半径为3，设点(,)Pab

满足条件，因为过点P的无穷多对互相垂直的直线1l和2l，所以不妨设直线1l的方程为()(0)ybkxak−=−，则直线2l的方程为1()ybxak−=−−，因为圆1C和圆2C的半径相等，及直线1l被圆1C截得的弦长与直线2l被圆2C截得的弦长相等，所以1C的圆心到直线

1l的距离和圆2C的圆心到直线2l的距离相等，所以22425611kbkakkbakk−−+−+−−=++，所以4256kbkakkba−−+−=+−−，所以4256kbkakkba−−+−=+−−或42560kbkakkba−−+−++−−=，所以(10)(7)0kabab

+−+−−=或(2)(3)0kabab−−+−+=，因为k的取值有无穷多个，所以10070abab+−=−−=或2030abab−−=−+=，解得32172ab=−=或5212ab==−，所以所有满足条件的点P的坐标为317,22−

或51,22−，故答案为：317,22−或51,22−.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知椭圆C：()222210xyabab+=的两个焦

点分别为()11,0F−，()21,0F，且过点62,2A−．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若该椭圆左顶点为B，则椭圆上是否存在一点P，使得2PBF的面积为332．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22143xy+=（2）存在这样的

点P为()()0,3,0,3−【解析】【分析】（1）通过焦点()11,0F−可得221ab−=，椭圆过点62,2A−，可得223221ab+=，解方程组即可求得椭圆方程；（2）假设存在点(),Pmn，使得2PBF的面积为332，可构建方程关于n的方

程，再代入椭圆，求得m，则可判定是否存在这样的P点.【小问1详解】因为两个焦点分别为()11,0F−，()21,0F所以1c=，即221ab−=，因椭圆过点62,2A−，所以223221ab+=，又221ab−=，解得

224,3ab==（负值舍去），所以椭圆C的标准方程22143xy+=【小问2详解】假设存在点(),Pmn，使得2PBF的面积为332，为则22133,22PBFSBFn==又2213BFac=+=+=，所以1333,22n=解得3n=，代入椭圆可得23143

x+=，解得0m=,此时点P的坐标为()()0,3,0,3−所以存在点P为()()0,3,0,3−时，使得2PBF的面积为332.18.已知()3,0A，()1,2B−，过A，B两点作圆，且圆心M在直线l：240xy+−=上．（1）求圆M的标准方程；（2）

过()5,3N作圆M的切线，求切线所在的直线方程．【答案】（1）()()22324xy−++=（2）5x=或2120450xy−−=.【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可得解；（2）分类讨论切线斜率存在与否，再利用直线与圆相切时，圆心到直线的

距离等于半径即可得解.【小问1详解】依题意，设圆M的标准方程为()()()2220xaybrr−+−=，则()()()()2222223012240abrabrab−+−=−+−−=+−=

，解得322abr==−=，所以圆M的标准方程为()()22324xy−++=.【小问2详解】由（1）知()3,2M−，2r=，若所求直线的斜率不存在，则由直线过点()5,3N，得直线方程为5x=，此时圆心()3,2M−到直线5x=的距离2dr==，满足题意；若所求直线的斜率存在

，设斜率为k，则直线方程为3(5)ykx−=−，即530kxyk−−+=，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离2325321kkdk+−+==+，解得2120k=，所以切线方程为213(5)20yx−=−，即2120450xy−−=.综上，切线方程为5x=或2120450xy−

−=.19.已知直线l：10xaya++−=，点()2,1P−．（1）若点P到直线l距离为d，求d的最大值及此时l的直线方程；（2）当2a=时，过点P的一条入射光线经过直线l反射，其反射光线经过原点，求反射光线的直线方程．【答案】（1）13，3250xy

−−=（2）120xy+=【解析】【分析】（1）求出直线所过定点，当||dPM=时最大，且PMl⊥，据此求直线方程；（2）求P关于直线l的对称点P，根据P在反射直线上求解即可.【小问1详解】因为直线l：10xaya++−=可得(1)10xay++−=，

所以由1010xy−=+=解得11xy==−，即直线l过定点(1,1)M−，所以()2,1P−到直线l的距离22max||(21)(11)13dPM==−−++=，的此时1lPMkk=−，即11(2)3112lP

Mkk−−=−=−=−−，所以直线l的方程为31(1)2yx+=−，即3250xy−−=.【小问2详解】2a=时，直线l：210xy++=，设P关于直线l：210xy++=的对称点00(,)Pxy，则00002121022122xyyx−+++=−=+，解得0125x=−，0

15y=，即121,55P−，又P在反射直线上且反射直线过原点，所以反射直线的斜率为1015121205k−==−−−，故反射直线的方程为112yx=−，即120xy+=.20.为了考察学生对高中数学知识的掌握程度，

准备了甲、乙两个不透明纸箱．其中，甲箱有2道概念叙述题，2道计算题；乙纸箱中有2道概念叙述题，3道计算题（所有题目均不相同）．现有A，B两个同学来抽题回答；每个同学在甲或乙两个纸箱中逐个随机抽取两道题作答．每个同学先抽取1道题作答，答完题目后不放回，再抽取一道题作答（不

在题目上作答）．两道题答题结束后，再将这两道题目放回原纸箱．（1）如果A同学从甲箱中抽取两道题，则第二题抽到的是概念叙述题的概率；（2）如果A同学从甲箱中抽取两道题，解答完后，误把题目放到了乙箱中．B同学接着抽取题目回答，若他从乙箱中抽取两道题目，求第一个题目抽取概念叙述题的概率．【答案】

（1）12（2）37【解析】【分析】（1）设iA表示“第i次从甲箱中抽到概念叙述题”，分别求出概率，根据全概率公式计算即可；（2）先设事件，然后求出相关概率，再根据全概率公式计算即可.【小问1详解】设iA表示“第i次从甲箱中抽到概念叙述题”，1,

2i=则()()121121,|3PAPAA==，()2123|PAA=，所以第二题抽到的是概念叙述题的概率()()()()()212112111121||23232PAPAPAAPAPAA=+=+=【小问2详

解】设事件1B表示同学甲从甲箱中取出的两道题都是概念叙述题，事件2B表示同学甲从甲箱中取出的两道题都是计算题，事件3B表示同学甲从甲箱中取出1个概念叙述题1个计算题，事件C表示B同学从乙箱中抽取两道题目，第一个题目抽

取概念叙述题，()()2124222224C16,CC6C1PBPB====，()1122324C23C4C6PB===，()()21121124342522217742|7,CCACCAA7A|PCBPCB+====+，()112

3433273|7CCAAPCB==+，()()()()()()()112233|||PCPBPCBPBPCBPBPCB=++14124336767677=++=21.某研究小组发现某药物X对神经冲动的产生有明显的抑制作用，称为“麻醉”.该研究小组进行大量实验，刺激突

触前神经元时，记录未加药物X和加药物X后突触前神经元的动作电位（单位：mV），在大量实验后，得到如下频率分布直方图.利用动作电位的指标定一个判断标准，需要确定一个临界值c.当动作电位小于c时判定为“麻醉”，大于

或等于c时判定为“未麻醉”.该检测漏判率是将添加药物X的被判定为“未麻醉”的概率，记为()pc；误判率是将未添加药物X的被判定为“麻醉”的概率，记为()qc.（1）当漏判率为()4%pc=时，求临界值c；（2）令函数()()()fcpcqc=+，当60

,65c时，求()fc的最小值.【答案】（1）59c=（2）0.075【解析】【分析】（1）根据题意由第二个频率分布直方图的频率可求出c；（2）根据题意得出()fc的解析式，再根据一次函数的单调性即可求解.【小问1详解】依题可知，漏判

率为()4%pc=，右边第二个频率分布直方图图形中后两个小矩形的面积分别为50.0050.025,50.0150.075==，因为0.0254%，所以5560c，所以()600.0150.040.0250.015c−=−=，解得59c

=；【小问2详解】当60,65c时，()()()()(65)0.0050.05600.020.0150.825fcpcqcccc=+=−++−=−，因为函数()fc在60,65上单调递增，所以()0.015600.8250.075fc−=，所以()fc在区间6

0,65的最小值为0.075.22.已知在平面直角坐标系xOy中，()1,0A−，()7,0B−，平面内动点P满足2PBPA=．（1）求点P的轨迹方程；（2）点P轨迹记为曲线C，若曲线C与x轴的交点为M，N两点，Q为直线l：17x=上的动

点，直线MQ，NQ与曲线C的另一个交点分别为E，F，直线EF与x轴交点为K，求EKFK+的最小值．【答案】（1）()22316xy−+=（2）215【解析】【分析】（1）设(),Pxy，根据2PBPA=列式，再化简即可；（2）设EF的直线方程，与圆联立方程，列出根与系数关系，再列

出直线EM，FN的方程，求得Q点纵坐标构建方程，代入韦达定理，求得参数，算出直线必过点，再用几何法求得最短弦即可.【小问1详解】设动点坐标(),Pxy，因为动点P满足2PBPA=，且()1,0A−，()7,0B−，所以()

()2222721xyxy++=++，化简可得，222150xyx+−−=，即()22116xy−+=，所以点P的轨迹方程为()22116xy−+=.【小问2详解】曲线C：()22116xy−+=中，令0y=，可得()2116x−=，解得3x=−或5x=，可知(

)()3,0,5,0MN−,当直线EF为斜率为0时，EKFK+即为直径，长度为8，当直线EF斜率不为0时，设EF的直线方程为xnyt=+，()()1122,,,ExyFxy联立()22116xnytxy=+−+=消去x可得：()22116nyty+−+=，化简可得；()()()()

22+121350nytnytt+−++−=由韦达定理可得()()()122122211351tnyynttyyn−+=++−=+，因为()()1122,,,ExyFxy，()()3,0,5,0MN−所以EM，FN的斜率为113EMykx=+，225FNyk

x=−为又点()11,Exy在曲线C上，所以()2211116xy−+=,可得()()()22111116135yxxx=−−=+−，所以111153EMyxkxy−==+，所以EM，FN的方程为()1153xyxy−=+，()2255yyxx=−−，令17x=可得

()1212205125Qxyyyx−==−，化简可得；()()121235550yyxx+−−=，又()()1122,,,ExyFxy在直线xnyt=+上，可得11xnyt=+，22xnyt=+，所以

()()121235550yynytnyt++−+−=，化简可得；()()()()2212125355550nyyntyyt++−++−=，又()()()122122211351tnyynttyyn−+=++−=

+，代入可得()()()()()()22223521535555011tttnnnttnn+−−++−+−=++，化简可得()()()()()()()2222533510515510nttntttn++−+−−+−+=，()()2222225

3951510105525250ttntnnntnttn−++++−++−−=，()()58160tt−−=，所以2t=或5t=，当5t=时EF为5xny=+，必过()5,0，不合题意，当2t=时EF为2xny=+，必过()

2,0，又EKFKEF+=即为圆的弦长，所以当EF⊥直径MN时弦长EF最小，此时半径4,r=圆心到直线EF的距离为211−=222222412158EFrd=−=−=综上，EKFK+的最小值215.

点睛】方法点睛：求必过点可用联立方程，设而不求，算出参数关系.【获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com