【文档说明】广东省番禺中学2022-2023学年高二下学期测试 数学 答案.docx，共(22)页，2.306 MB，由小赞的店铺上传

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高二数学测试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合11Axx=−，02Bxx=，则AB=（）A.)0,1B.(1,2−C.(1,2D.()0,1【答案】A【解析】【分析】根据交集的定义

计算可得；【详解】解：因为11Axx=−，02Bxx=，所以)0,1AB=；故选：A2.若复数z满足()12zii+=（i虚数单位），则z=A.1B.2C.2D.3【答案】C【解析】【详解】试题分析：因为(1)2zii+=，所以22(1)1,12iiizii−===++因此

12.zi=+=考点：复数的模3.已知两条直线()1:110lmxy++−=和21:20lxmy+−=，若12ll//，则实数m的值为（）A.2−或1B.2−C.1D.1−【答案】B【解析】【分析】根据题意得()120mm+−=，解方

程得2m=−或1m=，再检验即可得答案.【详解】解：因为直线()1:110lmxy++−=和21:20lxmy+−=，12ll//所以()120mm+−=，解得2m=−或1m=，当1m=时，直线1:210lxy+−=和2:

210lxy+−=重合，不满足；当2m=−时，直线1:10lxy−+−=和2:2210lxy−−=，满足平行.所以2m=−为故选：B4.已知函数f(x)=2sin(ωx+6)(ω>0)的最小正周期为4π，则该函数的图像A.关于点(3,0)对称B.关于点(53,0)对称C.关于直线x=3

对称D.关于直线x=53对称【答案】B【解析】【分析】先根据最小正周期的值求出w的值确定函数的解析式，然后令6xk+=求出x的值，得到原函数的对称点，然后对选项进行验证即可．【详解】解：由函数()2sin()(0)6fxx=+的最小正周期为4得12=，由126xk+=得

23xk=−，对称点为(23k−，0)()kz，当1k=时为(53π，0)，故选：B．【点睛】本题主要考查正弦函数的最小正周期的求法和对称性．5.过点()3,3M−作圆()22125Cxy−+=：的切线，则切线方程为（）A.4330xy++=B.43210

xy−+=C.0xy+=D.60xy−+=【答案】B【解析】【分析】先求MCk，由切线与MC垂直可得切线斜率，由点斜式即可得切线方程.【详解】由题可知点()3,3−在圆C上，303314MCk−==−−−，则切线的斜率为43，所以切线方程为()4333yx−=+，化简可得43210xy−

+=.故选：B6.已知()sin,1a=，()1,2cosb=，若ab⊥，则πtan4−=（）A.3−B.13−C.1−D.3【答案】D【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算求出tan，代入两角差的正

切计算可求出结果.【详解】解：因为ab⊥，所以有sin2cos0+=，即tan2=-，所以πtan13tan341tan1−−−===+−.故选：D7.已知函数21()cos4fxxx

=+的图象在点()tft（，）处的切线的斜率为k，则函数()kgt=的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求得1()sin2fxxx=−，得到函数在点()tft（，）处的切线的斜率为1()sin2kf

ttt==−，得出函数()1sin2tgtt−=，利用函数的奇偶性和特殊的函数的值，即可求解。【详解】由题意，函数21()cos4fxxx=+，则1()sin2fxxx=−，则在点()tft（，）处的切线的斜率为1()sin2kfttt==−，即()1sin2tg

tt−=，可得()()11()sin()sn)22(ittgtttgt−==−−−−−=−，所以函数()gt为奇函数，图象关于原点对称，排除B、D项，又由当2t=时，()1si10224n2gt==−−，排除C项，只有选项A项符

合题意。故选：A。【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，函数图象的识别，以及函数的性质的应用，其中解答利用导数的几何意义求得函数的解析式，结合函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。8.函数()fx在定义域R内可导，若()(2)fxfx=−

，且(1)()0xfx−，设()()3230.52,log2,log2afbfcf===，则a，b，c的大小关系为（）A.abcB.c<<baC.cbaD.b<c<a【答案】B【解析】【分析】根据已知条件求出()fx的对称轴，并判断()fx的单调性，由此比较,,abc

三者的大小关系.【详解】由()(2)fxfx=−，可知()fx关于1x=对称，由(1)()0xfx−，可知当1x时，()0fx，此时()fx单调递减；当1x时，()0fx¢>，此时()fx单调递增.而()32(222)222afff=

=−=，()0.5log2(1)cff==−，因为222(1)322380−−−=−=−，所以12220−−，因为30log21，所以31222log21−−，所以()()()31222log2fff−−.即cab.故选：B.二

、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.已知数列na的前n项和()29nSnnn=−+N，则下列结论正确的是（）A.na是等差数

列B.460aa+=C.910aaD.nS有最大值814【答案】AB【解析】【分析】由na与nS的关系求出数列na的通项，从而可判断AB，根据数列性质可判断C，根据前n项和nS的函数性质可判断D.【详解】当1n=时，118aS==，当2n

时，2219[(1)9(1)]102nnnaSSnnnnn−=−=−+−−−+−=−，符合18a=，故102,(N)nann=−，所以1102(1)82nann+=−+=−，12nnaa+−=−，所以数列na是等差数列，首项为18a=，公差2d=−，A正确；46520aaa+==

，B正确；因为公差20d=−，所以数列na是递减数列，所以910aa，C错误；229819()24nSnnn=−+=−−+，易知当4n=或5时，nS有最大值4520SS==，D错误.故选：AB10.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，E是1DD的中点，

则（）A.直线1//BC平面1ABDB.11BCBD⊥C.三棱锥11CBCE−的体积为13D.三棱锥11CBCE−的外接球的表面积为41π16【答案】ABD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断AB，根据等体积法判断C，由向量

法求球心及半径判断D.【详解】如图建立空间直角坐标系，()0,0,0A，()1,0,0B，()1,1,0C，()0,1,0D，()10,0,1A，()11,0,1B，()11,1,1C，()10,1,1D

，10,1,2E，则()10,1,1BC=−，()11,1,1BD=−，()1,1,0BD=−，()11,0,1BA=−设平面1ABD的法向量为(),,nxyz=，则1·0·0nBAnBD=

=，即00xyxz−+=−+=，令1x=，可得()1,1,1n=，则()10111110nBC=++−=，即1CnB⊥，又直线1BC平面1ABD，所以直线1//BC平面1ABD，故A正确；因为()111011110BCBD=−++−=，

即11BCBD⊥，所以11BCBD⊥，故B正确；111111111111113326CBCEBCCECCEVVBCS−−====，故C错误；设球心坐标为(,,)Oxyz，则11||||=||||OCO

COEOBR===，由1||||OCOC=可得()()222222(1)1(1)1(1)xyzxyz−+−+=−+−+−，解得12z=，由11||||OBOC=可得()222222(1)(1)(1)1(1)xyzxyz−++−=−

+−+−，解得12y=，再由1||||OBOE=可得22111(1)444xx−++=+，解得58x=，所以251141||18448ROC==−++=，所以241π4π16SR==，故D正确.故选：ABD11.已知抛物线C：214yx=的焦点为

F，P为C上一点，下列说法正确的是（）A.C的准线方程为116y=−B.直线1yx=−与C相切C.若()0,4M，则PM的最小值为23D.若()3,5M，则PMF△的周长的最小值为11【答案】BCD【解析】【分析】将抛物线方程化为标准式，

即可求出焦点坐标与准线方程，从而判断A，联立直线与抛物线方程，消元，由Δ0=判断B，设点(),Pxy，表示出2PM，根据二次函数的性质判断C，根据抛物线的定义转化求出PMF△的周长的最小值，即可判断D.【详解】解：抛物

线C：214yx=，即24xy=，所以焦点坐标为()0,1F，准线方程为1y=−，故A错误；由2141yxyx==−，即2440xx−+=，解得()24440=−−=，所以直线1yx=−与C相切，故B正确；设点(),Pxy，所以()()22222441621212xPyyyyM

=+−=−+=−+，所以min23PM=，故C正确；如图过点P作PN^准线，交于点N，NPPF=，()223515MF=+−=，所以5611PFMCMFMPPFMFMPPNMFMN=++=+++=+=，当且仅当M、P、N三点共线时取等号，故D正确；故选：BCD12.法国数学家加

斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆2222Γ:1(0)xyabab+=的蒙日圆为2223:2Cxya+=，过圆C上的动点M作椭圆Γ的两条切线，分别与圆C交

于P，Q两点，直线PQ交椭圆Γ于A，B两点，则下列结论中正确的是（）A.椭圆Γ的离心率为22B.MPQ面积的最大值为234aC.M到Γ的左焦点的距离的最小值为(62)2a−D.若动点D在Γ上，将直线,DADB的斜率分别记为12,kk，则1212kk=−【答案】A

CD【解析】【分析】对于A，取椭圆左顶点与上顶点处的切线，建立齐次方程，可得答案；对于B，根据圆的性质，结合三角形的面积公式，可得答案；对于C，设出点的坐标，由两点距离公式，利用函数的思想，可得答案；对于D，设出点的坐标，代入椭圆的标准方程，利用点差法，结合两点之间斜率公式，可得答

案.【详解】依题意，过椭圆的上顶点作y轴的垂线，过椭圆的右顶点作x轴的垂线，则这两条垂线的交点在圆C上，所以22232aba+=，得222ab=，所以椭圆的离心率22212cbeaa==−=，故A正确；因为点M，P，Q都在圆C上，且90PMQ=，所以PQ为圆C的直径，所以

23262PQaa==，所以MPQ面积的最大值为2221363322222aPQaaa==，故B不正确；设()00,Mxy，的左焦点为(),0Fc−，连接MF，因为222212caba=−=，所以()22222222200000003212222222MFxcyxyx

ccaxaaaax=++=+++=++=+，又06622axa−，所以()2223MFa−，所以()622MFa−则M到的左焦点的距离的最小值为()622a−，故C正确；由直线PQ经过坐标原点，易得点A，B关于原点对称，设()11,Axy，()22,Dxy

，则()11,Bxy−−，12112yykxx−=−，12212yykxx+=+，又2211222222221212xybbxybb+=+=，所以222212122202xxyybb−−+=，所以221212122212121212yyyyyyxxxxxx−−+==−−−+，所以

1212kk=−，故D正确故选：ACD..【点睛】关键点睛：解题关键是对椭圆的蒙日圆及椭圆性质应用，PMQM⊥及点差法得出斜率积等的应用.三、填空题：本题共4小题，每小题5分．共20分．13.函数()lnfxxx=的单调递减区间为

______．【答案】10,e##(10,e−【解析】【分析】利用导数求得()fx的单调递减区间.【详解】函数的定义域为()0,+，∵()ln1fxx=+，令ln10x+得10ex，∴函数()lnfxxx=的单调递

减区间是10,e．故答案为：10,e14.若数列{}na的前n项和为nS，且21nnSa=+，则na=______.【答案】12n−−【解析】【分析】由21nnSa=+得12nnaa−=，所以数列{}na是等比数列

，首项为1−，公比为2，即得na.【详解】21nnSa=+，当1n=时，1121aa=+，解得11a=﹣.当2n时，()112121nnnnnaSSaa−−=+−−=+，即12nnaa−=，数列{}na是等比数列，首项为1−，公比为2.12nna−=−.故答案为：﹣2n﹣1.【点睛】本

题考查了递推关系与等比数列的通项公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15.二面角l−−为60，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面,内，ACl⊥，BDl⊥，且2ABAC==，4BD=，则CD的长_______________.【答案】4【解析】【分析】

根据给定条件，利用空间向量数量积的性质及运算律计算作答.【详解】依题意，,ACABBDAB⊥⊥，且有,60ACBD=，而CDCAABBD=++，所以222||||2CDCAABBDCAABBDACBD=++=++−222224224cos604=++−=.故答案为：416

.已知1F，2F分别为双曲线()222210,0xyabab−=左、右焦点，以12FF为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M，N，设四边形12FNFM的周长为p，面积为S，且满足232Sp=，则该双曲线的离心率为______.【答案】62【

解析】【分析】本题首先可根据题意绘出图像并设出M点坐标为()11,Mxy，然后通过圆与双曲线的的对称性得出1212FFMFFNSSDD=，再根据“点()11,Mxy即在圆上，也在双曲线上”联立方程组得出21byc=，然后

根据图像以及232Sp=可得22Sb=和8pb=，接下来利用双曲线定义得出12MFba=+以及22MFba=-，最后根据2221212MFMFFF+=并通过化简求值即可得出结果．【详解】如图所示，根据题意绘出双曲线与圆的图像，设()11,Mxy，由圆与双曲线的对称性可知，点M

与点N关于原点对称，所以1212FFMFFNSSDD=，因为圆是以12FF为直径，所以圆的半径为c，因为点()11,Mxy在圆上，也在双曲线上，所以有221122222111xyabxyc−=+=，联立化简可得

()222222211bcyayab--=，整理得2222222211bcabbyay-=+，4221bcy=，21byc=，所以1221222FFMSScybD==?，因为232Sp=，所以2264pb=，8pb=，因为()1212122pMF

MFNFNFMFMF=+++=+，所以124MFMFb+=，因为122MFMFa-=，联立121242MFMFbMFMFa+=−=可得12MFba=+，22MFba=-，因为12FF为圆的直径，所以2221212MFMF

FF+=,即()()222224babac++-=，222824bac+=，22242bac+=，2222442caac-+=，2223ca=，2232ca=，所以离心率62cea==．【点睛】本题考查圆锥曲线的相关性质，主要考查双曲线与圆的相关性质，考查对双曲线以及圆的定义

的灵活应用，考查化归与转化思想以及方程思想，考查了学生的计算能力，体现了综合性，是难题．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.2022年“中国航天日”线上启动仪式在4月24日上午举行，为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现

从参加该竞赛的学生中随机抽取50名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中a的值，并估计这50名同学的平均成绩；（2）先用分层抽样的方法从评分在

)40,60和80,100的同学中抽取5名同学，再从抽取的这5名同学中抽取2名，求这2名同学的分数在同一区间的概率.【答案】（1）0.006a=，76.2x=（2）35【解析】【分析】（1）由频率之和为1求出a，再由频率分布直方图计算平均数；（

2）由分层抽样抽取5名同学，再由列举法得出所求概率.【小问1详解】由已知0.04100.220.280.220.181a+++++=，∴0.006a=，记平均成绩为x，0.04450.06550.22650.28750.22850.189576.2x=+++++=.【小问2详解】先用

分层抽样的方法从分数在)40,60和80,100的同学中抽取5名同学，则应从)40,60中抽取1人，记为A，80,100中抽取4人，记为a，b，c，d.从这5名同学中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别是：(),

Aa，(),Ab，(),Ac，(),Ad，(),ab，(),ac，(),ad，(),bc，(),bd，(),cd，又因为抽取的2人分数都在同一区间的结果有：(),ab，(),ac，(),ad，(),bc，(),bd，(),cd共6种.故所求概率63105P==.18.已知公

差不为零的等差数列na满足23a=，且137,,aaa成等比数列．（1）求数列na的通项公式；（2）设数列nb满足21,nnnnbbaa+=的前n项和为nS，求证:512nS．【答案】（1）1nan=+（2）证

明见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等比数列的定义求解即可；（2）利用裂项相消求和即可.【小问1详解】设na的首项为1a，公差为d，根据1a，3a，7a成等比数列，可得2317aaa=，又23a=，可得方程组()()21111263adaadad+=

++=，即21123dadad=+=，又0d，解得112da==，故1nan=+．【小问2详解】1111(1)(3)213nbnnnn==−++++，所以12nnSbbb

=+++1111111111111224354657213nnnn=−+−+−+−++−+−+++1111122323nn=+−−++因为*Nn，所以1111111152232322

312nn+−−+=++．所以512nS．19.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3sincosaCcAc−=．（1）求A；（2）若2bc=，点D为边BC的中点，且7AD=，求ABC的面积．【答案

】（1）π3（2）23【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，再由三角恒等变换化简求出A；（2）因为AD为ABC的中线，所以2ADABAC=+，两边平方后利用向量的数量积公式进行求解，再代入2bc=可解得2,4cb==，再代入面积公式求解即可.【小问1详解】由正弦定理

，原式可化为3sinsinsincossin−=ACCAC，因为0πC，所以sin0C，化简得3sincos1AA−=，即π2sin()16A−=，π1sin()62A−=又∵()0,πA，ππ5π666A−−∴π3A=．【小问2详解】由点D为边BC的中点可知，

()12ADABAC=+，∴()222124ADABACABAC=++，即()22172cos4cbbcA=++．由题及（1）知，2bc=，π3A=，解得4b=，2c=．∴ABC的面积113sin2423222SABACA===．20.如图，直三棱柱111ABCABC-的底面

为正三角形，12ABAA==，点,DE分别在1,ABBB上，且,ADDB=，113BEEB=.（1）证明：平面1ADC⊥平面EDC；（2）求平面1AEC与平面DEC夹角余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）1

510【解析】【分析】（1）取BC，11BC中点设为1,OO，连接1,OAOO，以O为原点，1,,OAOBOO为,,xyz轴建立坐标系，设平面1ADC的法向量为n，平面EDC的法向量为m，利用0nm=即可证明平面1ADC⊥平面E

DC；（2）设平面1AEC的法向量u，平面1AEC与平面DEC夹角为，利用cosumum=求解即可.【小问1详解】取BC，11BC中点设为1,OO，连接1,OAOO，因为直三棱柱111ABCABC-，所以平面ABC⊥平面11BCCB，1OOBC⊥，又ABC为正三角形

，AOBC⊥，平面ABC平面11BCCBBC=，AO面ABC，所以AO⊥平面11BCCB，因为1,BCOO平面11BCCB，所以1,,OAOBOO两两垂直，以O为原点，1,,OAOBOO为,,xyz轴建立如图所示坐

标系，的则由题意可得()10,2,3A，13,0,22D，()1,0,0C−，11,,02E，所以113,2,22AD=−−，33,0,22DC=−−，12,,02CE=，设平面1ADC的法向量为()111,,x

nyz=，则11111113202233022nADxyznDCxz=−−==−−=，取()1,1,3n=−，设平面EDC的法向量为()222,,mxyz=，则222212023302

2mCExymDCxz=+==−−=，取()1,4,3m=−−，因为1430nm=−+=，所以平面1ADC⊥平面EDC.【小问2详解】由（1）得131,,32AE=−−

，设平面1AEC的法向量()333,,uxyz=r，则13333333021202AEuxyzCEuxy=−−==+=，取()3,12,73u=−，设平面1AEC与平面DEC夹角为，则3015cos1020300umum===.21.已

知函数2()(2)lnfxaxaxx=−++．（1）当2a=时，求曲线()yfx=在()()1,1f处的切线方程；（2）求函数()fx单调区间．【答案】（1）30xy−−=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义即可求解.（2）求出导函数

，分情况求解不等式()0fx和()0fx即可得解.【小问1详解】当2a=时，2()24lnfxxxx=−+，0x，()144fxxx=−+，所以()11f=，又()1242f=−=−，所以曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程为21yx+=

−，即30xy−−=.【小问2详解】()2221(1)(21)()(0)axaxaxxfxxxx−++−−==，当0a，令()0fx=得12x=，由()0fx得102x，由()0fx得12x，所以()fx的单调递增区间为1(0

,)2，单调递减区间为1,2+当0a，令()0fx=得1211,2xxa==，当02a时，由()0fx得102x或1xa，由()0fx得112xa，所以()fx的单调递增区间为1(

0,)2和1,a+，单调递减区间为11,2a；当2a=时，()221()0xfxx−=，所以()fx的单调增区间为(0,)+，无单调减区间；当2a时，由()0fx得10xa或

12x，由()0fx得112xa，的所以()fx的单调增区间为10,a和1(,)2+，单调递减区间为11,2a.22.已知点T是圆22:(1)80Axy−+−=上动点，点(1,0)B−，线段BT

的垂直平分线交线段AT于点S，记点S的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过()1,0B−作曲线C的两条不与坐标轴垂直的弦DE和MN，这两条弦的中点分别为P，Q，若0DEMN=，求BPQV面积的最大值．【答案】（1）

2212xy+=（2）19【解析】【分析】（1）根据给定条件可得SBST=，进而得出||||22SBSA+=，由此确定轨迹形状即可求解作答.（2）设出直线DE，MN方程，再与曲线C的方程联立求出P，Q的

坐标，列出面积的函数关系求出最大值作答.【小问1详解】圆()22:18Axy−+=的圆心(1,0)A，半径22r=，(1,0)B−，依题意，||||SBST=，||||||||||222||SBSASTSAATAB+=+===

，即点S的轨迹是以B，A为左右焦点，长轴长为22的椭圆，短半轴长22(2)11b=−=，所以曲线C的方程为2212xy+=.【小问2详解】由0DEMN=知，DEMN⊥，直线,DEMN不垂直坐标轴，否则点P，Q之一与点B重合，不能构成三角形，即直线

DE的斜率存在且不为0，设直线DE方程为：(1)ykx=+，由22(1)22ykxxy=++=消去y并整理得：2222(21)4220kxkxk+++−=，设1122(,),(,)DxyExy，DE中点(,)PPPxy，的则有2122421kxxk+=−+，22221Pkxk

=−+，221Pkyk=+，因此，222222221||(1)()212121kkkBPkkk+=−+=+++，直线MN的斜率为1k−，同理可得22||1||2kkBQk+=+，BPQV面积222221||111||1||||||122

2124(||)2||BPQkkkkkSBPBQkkkk+++===++++，令1||2||tkk=+，当且仅当||1k=时取“=”，则212424BPQtSttt==++，由函数24ytt=+在[2,)+上单调递增，即当2t=时，min249tt+=，所以当2t=，

即1k=时，max1()9BPQS=，所以BPQV面积的最大值是19.【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习，做到胸有成竹.获得更多资源

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