【文档说明】安徽省安庆市示范高中2021届高三下学期4月高考模拟理科数学试题 含答案.docx，共(14)页，1.037 MB，由小赞的店铺上传

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安庆市省市示范高中2021年高考模拟考试数学试题（理科）本试卷共4页，23题（含选考题）.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题

卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答

题卡上的非答题区域均无效.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后，请将本试卷

和答题卡一并上交.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足()1ziii+=−，则z=（）A.10B.5C.3D.22.已知集合

220Axxx=−−，集合2cos3Bxx=，则AB=（）A.1,6−B.,16−C.1,2−D.,66−3.甲、乙两班在我校举行的“勿忘国耻，振兴中华”合唱比赛中，7位评委的评分情况如茎叶

图所示，其中甲班成绩的中位数是81，乙班成绩的平均数是86，则xy=（）A.4B.3C.2D.14.函数()sin()0,0,22fxAxA=+−的部分图象如图所示，则2f=（）A.3−B.32−C.3D.325.已知O为坐标原点，点M的坐标为()2

,1−，点N的坐标满足111xxyxy−−+，则OMON的最小值为（）A.-1B.0C.1D.-26.()6211xxx+−的展开式中，含2x的项的系数是（）A.-20B.-5C.5D.357.已知1s

incos5+=−，()0,，则tan2=（）A.12B.13C.2D.38.已知双曲线()222210,0xyabab−=的左、右焦点分别为1F，2F，过1F的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若2ABF△为边长为4的等边三角形，则12AFF△的面积为（）A.23

B.33C.43D.639.已知：01,1x−，使得20030xmxm+−，则m的最大值为（）A.-1B.14C.12D.110.函数21xxyx++=与3sin12xy=+的图象有n个交点，其坐标依次

为()11,xy，()22,xy，…，(),nnxy，则()1niiixy=+=（）A.4B.8C.12D.1611.四棱锥PABCD−中，底面ABCD为矩形，体积为163，若PA⊥平面ABCD，且2P

A=，则四棱锥PABCD−的外接球体积的最小值是（）A.256B.2053C.125D.1605312.设函数()()()211xfxexaxaa=−−+有两个零点，则实数a的取值范围是（）A.()0,1B.0.540,3e

−C.(),1−D.0.54,3e−−二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某班级举办投篮比赛，每人投篮两次，若小童每次投篮命中的概率都是0.6，则他至少投中一次的概率为_____

_____.14.已知等比数列na的前n项的乘积记为nT，若29512TT==，则8T=__________.15.如图，在三棱锥PABC−中，PAAB⊥，PCBC⊥，ABBC⊥，24ABBC==，25PC=，则PA与平面AB

C所成角的大小为___________.16.设抛物线C：()220ypxp=的焦点为F，过点F且倾斜角为45的直线交抛物线C于A，B两点，过点F作x轴垂线在x轴的上方与抛物线C交于点M，记直线MA，MB的斜率分别为1k，2k，则12kk+=_

_________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知等差数列na的前n项和为nS，且52254SS=，221nn

aa=+，*nN.（1）求数列na的通项公式；（2）若121nnb−=+，令nnncab=，求数列nc的前n项和nT.18.如图，在三棱台DEFABC−中，222ABBCDEFC====，G、H分别为AC、BC中点.（1）求证：//BD平面FGH；（

2）若FCCB⊥，且AB⊥平面FCBE，令二面角CBDA−−的平面角为，求sin.19.某研究所研制出某种抗病毒疫苗，为检测其抗病毒效果，科研人员多次将该疫苗注射到若干小白鼠体内，在独立环境下试验一段时间后，确定这些小白鼠的该项医学指标值X近似

服从正态分布()2,N.其中一组小白鼠某项医学指标直方图（如图）的均值与方差近似为和，经计算得26.920=.（1）若注射该疫苗的小白鼠该项医学指标值不低于14.770时，则认定其体内已经产生抗体，请估计某小白鼠注射疫苗后产生抗体的概率p（

结果精确到0.001）；（2）若上图是200只小白鼠某项医学指标的直方图，为了进一步对数据进行分析，从该组医学指标值在21,25的小白鼠中，采用分层抽样的方法随机抽取10只作为新样本，再从该样本中随机抽取4只小白鼠，设其医学指标在23,25内只数为Y，求Y的

分布列.附参考数据与公式：6.922.63，若()2~,XN，则①()0.6827PX−+=；②()220.9545PX−+=；③()330.9973PX−+=.20.已知离心率32e=，焦点在x轴上的椭圆与直线22xy+=相交于P，Q两点，O

为坐标原点，若OPOQ⊥.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若不经过右焦点F的直线l：()0,0ykxmkm=+与椭圆C相交于A，B两点，且与圆O：221xy+=相切，试探究ABF△的周长是否为定值，若是求出定值；若

不是请说明理由.21.已知函数()lnfxxxa=+在0xx=处的切线方程为2yxe=−.（1）求实数a及0x的值；（2）若()21()()1gxfxkxx=+−有两个极值点1x，2x，求k的取值范围并证明12112xx+.（二）选考题：共10分.请考

生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以O为极点、x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin4sin0+−=，直线l过

定点()1,1P且与曲线C交于A，B两点.（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l的斜率为2，求11PAPB+的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()41fxxx=−+−.（1）解不等式()4fx；（2）若方程()10fxkx−−=解集为空集，求

k的取值范围.安庆市省市示范高中2021年高考模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题1-5：BDACD6-10：BDACA11-12：BA1.【解析】∵112iziii−=−=−−，则12zi=−+，5z=.2.【解析】∵2201

2Axxxxx=−−=−，由2cos3x可得3cos2x，解得2266kxk−+，kZ，所以22,6cos623BxxxkxkkZ−+==，当0k=时，66Bxx=−，所

以,66AB=−.3.【解析】由于甲班成绩的中位数是81，乙班成绩的平均数是86，知，1x=，76808280919396867y+++++++=，解得4y=，4xy=.4.【解析】∵2A=，52121

2T=−−=，则22T==.又∵52122+=，∵22−，则,322=−−，∴()2sin23fxx=−，∴2sin323f=−=.5.【解析】根据题意可得，2OMONxy

=−+，令2zxy=−+，做出不等式组所表示的平面区域，如图所示的ABC△阴影部分：做直线0l：20xy−+=然后把直线0l向可行域内平移，到点A时z最小，可得()1,0A，此时min2z=−.6.【解析】二项式61xx−的展开式中的通项6621661(

1)kkkkkkkTCxCxx−−+=−=−，含2x的项的系数为2233661(1)1(1)5CC−+−=−.7.【解析】由已知得3sin5=，4cos5=−，sintan321cos==+.8.【解析】∵122BFBFa−=，∴1

24BFa=+，∵24AF=，∴114242AFaBFa=−=−=，因为21422AFAFaa−=−=，所以1a=，12AF=，∴12124sin120232AFFS==△.9.【解析】∵01,1x−由不等式20030x

mxm+−，可化为01,1x−，2003xmx−成立，设2()3xfxx=−，1,1x−，则2226(6)'()(3)(3)xxxxfxxx−−−==−−，当)1,0x−时，'()0fx

，()fx单调递减；当(0,1x时，'()0fx，()fx单调递增，又由()114f−=，()112f=，所以函数()fx的最大值为()112f=，∴12m.10.【解析】2111xxyxxx++==++，3sin12xy=+两个函数对称中心均为

()0,1；画图可知共有四个交点，且关于()0,1对称，故()14niiixy=+=.11.【解析】设底面长和宽分别为x、y，116233xy=，即8xy=，四棱锥外接球的直径222222428425Rxyxy=+++=+=，当且仅当22xy==时，上式取等号，即5R，故四棱锥

PABCD−的外接球的体积最小值为3420533VR==.12.【解析】()(21)xfxexaxa=−−+有两个零点，即为()21xyex=−与直线()1yax=−有两个交点()'210xyex=+=，得1

2x=−.当1,2x−−时，()21xyex=−为减函数；当1,2x−+时，()21xyex=−为增函数，如图，设函数()21xyex=−的切点坐标为()()000,21xxex−，切线方程为()()()000002121xxy

exexxx−−=+−，由已知切线过()1,0，所以00x=或032x=（因为()1a舍去），此时斜率1a=，由函数图像可知()0,1a.二、填空题13.【答案】0.84【解析】由题意小明每次投篮不中的概率是10.60.4−

=，再次投篮都不中的概率是20.40.16=，∴他再次投篮至少投中一次的概率为10.160.84−=.14.【答案】4096【解析】设等比数列na的公比为q，由29TT=得：761a=，故61a=，即511aq=.又2121512aaaq==，所以91512q=，故12q=.所以33126

832424096aTTaq=====.15.【答案】45或4【解析】如图，作平行四边形ABCD，连接PD，由ABBC⊥可得平行四边形ABCD是矩形.∵BCCD⊥，BCPC⊥，PCCDC=，∴BC⊥平面PCD

，又PD平面PCD，∴BCPD⊥，同理可得ABPD⊥，又ABBCB=，∴PD⊥平面ABCD.∴PAD是PA与平面ABC所成的角.由4CDAB==，25PC=得2PD=，又2ADBC==，∴45PAD=.∴PA与平面ABC所成角的大小是45.16.【答

案】4【解析】∵焦点,02pF，∴直线AB的方程为2pxy=+，由222pxyypx=+=消去x得2220ypyp−−=，∴122yyp+=，212yyp=−，∵点M的坐标为,2pp，∴111112ypypkpyx−−==

−，同理222ypky−=，∴121212122ypypppkkyyyy−−+=+=−−()2122122224pyypyyp+=−=−=−.三、解答题17.【解析】（1）设等差数列na的公差为d，由52254SS=，221nnaa=+，*nN.可得()

11112551024(21)22(1)1adadandand+=++−=+−+，解得112ad==，因此()*21nannN=−.（2）由（1）及121nnb−=+，∴1(21)2(21)nncnn−

=−+−，∴0121123252(21)213(21)nnTnn−=++++−++++−，设0121123252(21)2nAn−=++++−，2135(21)Bnn=++++−=，2312123252(

23)2(21)2nnAnn−=++++−+−，两式相减得()1231122222(21)2nnAn−−=+++++−−，()12121(21)22(32)312nnnAnn−−−=+−−=−−−，∴2(23)3nAn=−+，所以22(23)3nnTA

Bnn=+=−++.18.【解析】（1）证明：由三棱台DEFABC−知，DEFABC△△，//DEAB，//EFBC，//DFAC，且12DEEFDFABBCAC===.因为G，H分别为AC，BC中点，所以//GH

AB，又GH平面ABD，∴//GH平面ABD，又//AGDF且AGDF=，∴四边形AGFD为平行四边形，∴//FGAD，又FG平面ABD，∴//FG平面ABD，又GHFGG=，∴平面//FGH平面ABD，又BD平面ABD，∴//BD平

面FGH.（2）∵FCCB⊥，AB⊥平面FCBE，FC平面FCBE，∴ABFC⊥，又CBABB=，∴FC⊥平面ABC，又//DGFC，∴DG⊥平面ABC.方法一：3DC=，3AD=，∴ADDC=，又ABBC=，∴ABDCBD△△，作AMBD⊥于M连

接CM，则CMBD⊥，∴AMC=，又22AC=，2BG=，1DE=，∴3BD=，∴22263AMBD==，∴263MC=，∴1cos2=−.∴3sin2=.方法二：以GB，GC，GD分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，()0,2,0A−，()2,0,0B，

()0,0,1D，()0,2,0C，()2,2,0AB=，()0,2,1AD=，设(),,mxyz=是平面ABD的一个法向量，则22020xyyz+=+=，令1x=，则1y=−，2z=，∴()1,1,2m=−，()0,2,1C

D=−，()2,2,0CB=−，设(),,nabc=是平面CBD的一个法向量，则20220bcab−+=−=，令1a=，则1b=，2c=，∴()1,1,2n=，所以21cos,222mn==.∴23s,i

n1cos2mn=−=.（其他合理解法，参照给分）19.【解析】（1）0.021220.061420.141620.181820.05202x=++++0.032220.0224217

.4000++=，17.402.6314.7700−=−=，∴1()0.68270.50.84142Px−=+=，记事件A表示注射疫苗后产生抗体，则()(14.77)()0.841PAPxPx==−=，所以一只小白鼠注射疫苗后产生抗体的概率约为0.841p=.

（2）由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10只中，医学指标值在23,25的有四只，在)21,23中有6只，所以Y的可能的取值为0，1，2，3，4.所以464101(0)14CPYC===，31644108(1)21CCPYC===，22644103(

2)7CCPYC===，13644104(3)35CCPYC===，444101(4)210CPYC===.所以X的分布列为：X01234P11482137435121020.【解析】∵32e=，设椭圆C的标准方程为22

221(0)4xybbb+=，设()11,Pxy，()22,Qxy，联立22221422xybbxy+==−，化简得222210yyb−+−=，∴121yy+=，21212byy−=，OPOQ⊥，∴()()121

2121222220OxxyyyyyPOQy=+=−−=+，即：()212121445441502byyyy−−++=−+=，∴1b=，故椭圆方程为：2214xy+=.（2）是定值，理由如下：因为直线l：()0,0ykxmkm=+与圆221xy+=相切，所以211mk=+，即221mk=

+，设()11,Axy，()22,Bxy，联立2214ykxmxy=++=，消去y整理得()222418440kxkmxm+++−=，所以()2221641480kmk=−+=，12284

1kmxxk+=−+，21224441mxxk−=+，所以()()()22221212121214xxyykxAxBxx=−+−=++−222222222844114441414141kmmkkkmkkk−+=+−=−++++，又221mk=+，所以24341kAmBk−=+.

由于0k，0m，所以102x，202x，因为()()2222111113331242AxFxxyx=−+=−+−=−，同理2322BFx=−，所以()122233843444224141kmkmAFBkFxxk=−+=+=++++，所以224

343444141kmkmkAFBFkAB++=+−=++，故ABF△的周长为定值4.21.【解析】（1）'()ln1fxx=+，由已知得()0'2fx=，故0ln12x+=，所以0xe=，()002fxxe=−，000ln2xxaxe+=−，解得0a

=.（2）由（1）可知()lnfxxx=，所以1()ln(0)gxxkxxx=+−，22211'()1kxxkgxkxxx++=++=，当0k时，'()0gx，()gx在()0,+上为增函数，()gx没有极值.当0k时，

令2()(0)hxkxxkx=++，其对称轴方程为12xk=−，214k=−.①若12k−时，2140k=−，此时2()'()0hxgxx=，()gx在()0,+上为减函数，()gx没有极值点.

②若102k−时，2140k=−，由'()0gx=，即()0hx=.则()0hx=的两根为1x，2x，不妨设12xx，由()00hk=，()1120hk=+，112xk=−，故1201xx.x()

10,x1x()12,xx2x()2,x+()hx-0+0-'()gx-0+0-()gx极小值极大值综上可知：求k的取值范围是1,02−.此时121xxk+=−，121xx=，所以121212111xxx

xxxk++==−.由1,02k−，得12k−，故12112xx+.22.【解析】（1）由2sin4sin0+−=得222sin4sin0+−=.于是24sin(cos)

=，∴24xy=，所以曲线C的直角坐标方程为24xy=.（2）设直线l的倾斜角为，则tan2=，于是25sin5=，5cos5=，所以直线l的参数方程为5152515xtyt=+=+（t为参数）.将5152515xt

yt=+=+，代入24xy=得265150tt−−=，所以1265tt+=，1215tt=−，所以11PAPBPAPBPAPB++=()21212121212441515ttttttttt

t+−−===−−.23.【解析】521()41314254xxfxxxxxx−=−+−=−，()1fx，即144xx−+−，所以1524xx−或1434x或4254xx−，解得112x或1

4x或942x，解集为1922xx.（2）等价于114kxxx+=−+−没有解，即函数1ykx=+和函数14yxx=−+−的图像没有交点，52114314254xxyxxxxx−=−+−=−，画出14yxx=−

+−的图像，直线1ykx=+恒过点()0,1P，即直线1ykx=+绕点P旋转时，与函数图象14yxx=−+−无交点时斜率的范围.如图，所以k的取值范围为12,2−.