【文档说明】【精准解析】高中数学人教A版必修2一课三测：3.3.3-4点到直线的距离两条平行直线间的距离含解析【高考】.docx，共(11)页，191.874 KB，由小赞的店铺上传

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3．3.3点到直线的距离3．3.4两条平行直线间的距离填一填点到直线的距离与两条平行线间的距离点到直线的距离两条平行线间的距离定义点到直线的垂线段的长度夹在两平行线间的公垂线段的长图示公式(或求法)d＝|Ax0＋By0

＋C|A2＋B2转化为点到直线的距离判一判1.点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为|kx0＋b|1＋k2.(×)2．直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(√)3．两条平行线x＋y－1＝0,2x＋2y＋5

＝0之间的距离是d＝|－1－5|12＋12＝32.(×)4．连接两条平行直线上两点，即得两平行线间的距离．(×)5．两平行线间的距离是两平行线上两点间距离的最小值．(√)6．点到直线的距离是直线上的点与

直线外一点连线的长度中的最小值．(√)7．分别过点A(－2,1)，B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离为5.(√)8．利用两平行线间距离公式时要注意两直线的方程为一般式，且x，y

的系数分别相同．(√)想一想1.在使用点到直线的距离公式时，对直线方程的形式有什么要求？提示：点到直线的距离公式只适用直线方程的一般式．2．两条平行直线间的距离公式写成d＝|C1－C2|A2＋B2时对两条直线应有什么要求？提示：两条平行直线的方程都是一般式，并且x

，y的系数分别对应相等．3．两条平行直线间距离有哪几种求法？提示：(1)直接利用两平行线间的距离公式．(2)在一条直线上任意选取一点利用点到直线的距离公式求解(一般要选特殊的点，如直线与坐标轴的交点、坐标为整数的点)．(3)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时

，可利用数形结合来解决．①当两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；②当两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|.4．距离公式综合应用的常见类型有哪些？提示：(1)最值问题．①利用对称转化为两点之间的

距离问题．②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值．(2)求参数问题．利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值．(3)求方程的问题．立足确定直线的

几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解．思考感悟：练一练1.点(1,2)到直线y＝2x＋1的距离为()

A.55B.255C.5D．25答案：A2．已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为()A．0或－12B.12或－6C．－12或12D．0或12答案：B3．两条平行直线5x＋12y－1＝0,5x＋12y－10＝0之间的距离为()A.9169

B.113C.913D．1答案：C4．P，Q分别为3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任一点，则|PQ|的最小值为________．答案：35．若P(0，a)到直线x＋y－1＝0的距离为2，则a＝____

____.答案：3或－1知识点一求点到直线的距离1.已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为()A．1B．－1C.2D．±2解析：由题意，得|a－1＋1|12＋(－1)2＝1，即|a|＝2，所以a＝±2.故选D.答案：D2．点P(x，y)在直线x

＋y－4＝0上，O是原点，则|OP|的最小值是()A.10B．22C.6D．2解析：由题意可知|OP|的最小值即原点(0,0)到直线x＋y－4＝0的距离d＝|－4|2＝22.答案：B知识点二两条平行直线间的距离3.已知两条平行直线

l1：3x＋4y＋5＝0，l2：6x＋by＋c＝0间的距离为3，则b＋c等于()A．－12B．48C．36D．－12或48解析：将l1：3x＋4y＋5＝0改写为6x＋8y＋10＝0，因为两条直线平行，所以b＝8.由|10－c|62＋82＝3，解得c＝－20或c＝40.所以b＋c＝－12或

48.故选D.答案：D4．已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是()A．4B.1326C.51326D.71326解析：∵3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，∴32＝6m，∴m＝4.直线6x＋4y＋1＝0可以化为

3x＋2y＋12＝0，由两条平行直线间的距离公式，得d＝12＋332＋22＝71326，选D.答案：D知识点三距离公式的综合应用5.已知正方形ABCD的中心M(－1,0)和一边CD所在的直线方程为x＋3y－5＝0，求其他三边所在的直线方程．解析：因为AB∥CD，所以可设A

B边所在的直线方程为x＋3y＋m＝0.又因为AD⊥CD，BC⊥CD，故可设AD，BC边所在的直线方程为3x－y＋n＝0.因为中心M(－1,0)到CD的距离为d＝|－1＋3×0－5|12＋32＝3105，所以点M(－1

,0)到AD，AB，BC的距离均为3105由|3×(－1)－0＋n|12＋32＝3105，得|n－3|＝6，解得n＝9或－3.由|－1＋3×0＋m|12＋32＝3105，得|m－1|＝6，解得m＝7或－5(舍去)，所以其他三边所

在的直线方程分别为x＋3y＋7＝0，3x－y＋9＝0,3x－y－3＝0.6．已知△ABC中，A(2，－1)，B(4,3)，C(3，－2)．(1)求BC边上的高所在直线方程的一般式；(2)求△ABC的面积．解析：(1)因为kBC＝3－(－2)4－3＝5，所以B

C边上的高AD所在直线斜率k＝－15.所以AD所在直线方程为y＋1＝－15(x－2)．即x＋5y＋3＝0.(2)BC的直线方程为：y＋2＝5(x－3)．即5x－y－17＝0，点A到直线BC的距离为|2

×5－(－1)－17|52＋(－1)2＝626.又因为|BC|＝(3－4)2＋(－2－3)2＝26，所以△ABC的面积S＝12×626×26＝3.综合知识点线间的距离7.已知点P(2，－1)．(1)若一条直线经过点P，且原点到直线的距离为2，求该直线的一般式方程；(2)求过点P且与原点距离最大

的直线的一般式方程，并求出最大距离是多少？解析：(1)①当l的斜率不存在时，则直线的方程为x＝2；②当直线的斜率k存在时，设直线方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.由点到直线距离公式得|－2k－

1|1＋k2＝2，解得k＝34，得直线方程为3x－4y－10＝0.故所求直线的方程为x－2＝0或3x－4y－10＝0.(2)由题意可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由kPO＝－12，得所求直线的斜率为2.由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.最

大距离为|－5|5＝5.8．已知直线l1经过点A(0,1)，直线l2经过点B(5,0)，且直线l1∥l2，l1与l2间的距离为5，求直线l1，l2的方程．解析：∵直线l1∥l2，∴当直线l1，l2垂直于x轴时，直线l1的方程为x＝0，直线l2的方程为x＝5，这时直线l1，l2之间的距离等于5，

符合题意．当直线l1，l2不垂直于x轴时，可设其斜率为k，依题意得，直线l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，直线l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0.由两条平行直线间的距离公式，得|1＋5k

|1＋k2＝5，解得k＝125.∴直线l1的方程为12x－5y＋5＝0，直线l2的方程为12x－5y－60＝0.综上，符合题意的直线l1，l2的方程有两组：l1：x＝0，l2：x＝5或l1：12x－5y＋5＝

0，l2：12x－5y－60＝0.基础达标一、选择题1．点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是()A．3B.53C．1D.22解析：点P(1，－1)到直线l的距离d＝|3×(－1)－2|02＋32＝53，选B

.答案：B2．已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m＝()A．0B.34C．3D．0或34解析：点M到直线l的距离d＝|m＋4－1|m2＋1＝|m＋3|m2＋1，所以|m＋3|m2＋1＝3，解得m＝0或m＝34，选D.

答案：D3．求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程()A．x＋2y－3＝0B．x＋2y＋3＝0C．x＋2y－2＝0D．x＋2y＋2＝0解析：解法一设对称直线方程为x＋2y＋c＝0∵|1＋1|1＋4＝|c－1|1＋4∴|c－1

|＝2，∴c＝3或－1(舍)解法二设对称直线方程为x＋2y＋c＝0取直线x＋2y－1＝0上一点A(1,0)，直线x＋2y＋1＝0上一点B(－1,0)，A关于B对称点C(－3,0)代入x＋2y＋c＝0得c＝3.答案：B4．已知点A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，则△ABC的面积

等于()A．3B．4C．5D．6解析：设AB边上的高为h，则S△ABC＝12|AB|·h.|AB|＝(3－1)2＋(1－3)2＝22，AB边上的高h就是点C到直线AB的距离．AB边所在的直线方程为y－31－3＝x－13－1，即x

＋y－4＝0.点C到直线x＋y－4＝0的距离为|－1＋0－4|2＝52，因此，S△ABC＝12×22×52＝5.答案：C5．直线l垂直于直线y＝x＋1，原点O到l的距离为1，且l与y轴正半轴有交点．则直线l的方程是(

)A．x＋y－2＝0B．x＋y＋1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋2＝0解析：因为直线l与直线y＝x＋1垂直，所以设直线l的方程为y＝－x＋b.又l与y轴正半轴有交点，知b>0，即x＋y－b＝0(b>0)，原点O(0,0)到直线x＋y－b＝0(b>0)的距离为|0＋0－b|12＋12＝1，

解得b＝2(b＝－2舍去)，所以所求直线l的方程为x＋y－2＝0.答案：A6．过点P(1,2)作直线l，使点A(2,3)，B(0，－5)到直线l的距离相等，则直线l的方程是()A．4x－y－2＝0B．x－4y＋7＝0C．x＝1或4

x－y－2＝0D．x－4y＋7＝0或4x－y－2＝0解析：方法一当直线l的斜率不存在，即x＝1时，符合题意；当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则其方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0.由点A(2,3)，B(0，－5)到直线l的距离相等，得|2k－3－k＋2

|1＋k2＝|5－k＋2|1＋k2，解得k＝4，此时所求直线的方程为4x－y－2＝0.故所求直线的方程为x＝1或4x－y－2＝0.方法二由平面几何知识知l∥AB或l过线段AB的中点．∵直线AB的斜率kAB＝4，若l∥AB，则直线l的方程为4x－y－2＝0；若直线l过线段AB的中点(1

，－1)，则直线方程为x＝1.故所求直线的方程为x＝1或4x－y－2＝0.答案：C7．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为()A．32B．2C.2D．4解

析：由题意，知点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为x＋y＋c＝0，则|c＋7|2＝|c＋5|2，即c＝－6，∴点M在直线x＋y－6＝0上，∴点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x＋y－6＝0的距离，即|－6|2＝32.答案：A二、填空题8．两直线3x＋y－

3＝0与6x＋my＋n＝0平行且距离为10，则m＋n＝________.解析：因为两直线平行，所以m＝2，由两平行线的距离公式知－3－n232＋12＝10，解得n＝14或n＝－26.所以m＋n＝16或m＋n＝－24.

答案：16或－249．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________．解析：∵|5×2－12k＋6|52＋122＝4，∴|16－12k|＝52，∴k＝－3，或k＝173.答案：－3或17310．已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：

2x－y－1＝0间的距离相等，则直线l的方程是________．解析：方法一由题意可设直线l的方程为2x－y＋c＝0，于是有|c－3|22＋(－1)2＝|c＋1|22＋(－1)2，即|c－3|＝|c＋1|.∴c＝1，∴直线l的方程为2x－y＋1＝

0.方法二由题意直线l介于直线l1与l2中间，设直线l的方程为2x－y＋c＝0，则c＝3＋(－1)2＝1.∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.答案：2x－y＋1＝011．已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)

等距离，则直线l的方程为________________________________________________________________________．解析：显然直线l的斜率不存在时，

不满足题意；设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，由已知，得|－2k－2＋4－3k|1＋k2＝|4k＋2＋4－3k|1＋k2，所以k＝2或k＝－23.所以所求直线l的方程为2x－y－2

＝0或2x＋3y－18＝0.答案：2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝012．已知实数x，y满足2x＋y＋5＝0，那么x2＋y2的最小值为________．解析：求x2＋y2的最小值，就是求2x＋y＋5＝0上的点到原点的距离的最小值，转化为坐标原点到直线2x＋y＋5＝0的距离d

＝522＋1＝5.答案：5三、解答题13．已知直线l过点(0，－1)，且点(1，－3)到l的距离为322，求直线l的方程，并求出坐标原点到直线l的距离．解析：若直线l的斜率不存在，此时l的方程为x＝0.点(1，－3)到l的距离为1，不满足题意，从而可知直线l的斜率一定存在，

设为k，则其方程为y＝kx－1.由点到直线的距离公式得，322＝|k＋3－1|1＋k2，解得k＝1，或k＝17，所以直线l的方程为y＝x－1，或y＝17x－1，即x－y－1＝0，或x－7y－7＝0.根据点到直线的距离公式可得，坐标原点到直线x－y－1＝0的距离为22，到直线x－7y

－7＝0的距离为7210.14．已知△ABC中，A(2，－1)，B(4,3)，C(3，－2)．(1)求BC边上的高所在直线的一般式方程；(2)求△ABC的面积．解析：(1)由斜率公式，得kBC＝5，所以BC边上的高所在直线方程为y＋1＝－15(x－2

)，即x＋5y＋3＝0.(2)由两点间的距离公式，得|BC|＝26，BC边所在的直线方程为y＋2＝5(x－3)，即5x－y－17＝0，所以点A到直线BC的距离d＝|5×2＋1－17|52＋(－1)2＝626，故S△ABC＝12×626×26＝3.能力提升15.已知直线l1：x＋3y－3m2＝0和直

线l2：2x＋y－m2－5m＝0相交于点P(m∈R)．(1)用m表示直线l1与l2的交点P的坐标；(2)当m为何值时，点P到直线x＋y＋3＝0的距离最短？并求出最短距离．解析：(1)解方程组x＋3y－3m2＝0，2

x＋y－m2－5m＝0，得x＝3m，y＝m2－m，∴直线l1与l2的交点P的坐标为(3m，m2－m)．(2)设点P到直线x＋y＋3＝0的距离为d，d＝|3m＋m2－m＋3|2＝|m2＋2m＋3|2＝|(m＋1)2＋2|2＝(m＋1)2＋22，

∴当m＝－1时，即P点坐标为(－3,2)时，点P到直线x＋y＋3＝0的距离最短，最短距离为2.16．已知三条直线l1：mx－y＋m＝0，l2：x＋my－m(m＋1)＝0，l3：(m＋1)x－y＋(m＋1)＝0，它们围成

△ABC.(1)求证：不论m取何值时，△ABC中总有一个顶点为定点；(2)当m取何值时，△ABC的面积取最值？并求出最值．解析：(1)证明：设直线l1与直线l3的交点为A.由mx－y＋m＝0，(m＋1)x－y＋(m＋1)＝0，解得x＝－

1，y＝0，∴点A的坐标为(－1,0)，∴不论m取何值，△ABC中总有一个顶点A(－1,0)为定点．(2)由x＋my－m(m＋1)＝0，(m＋1)x－y＋(m＋1)＝0，解得x＝0，y＝m＋1，即l2与l3交点为B(0，m＋1)．

再由mx－y＋m＝0，x＋my－m(m＋1)＝0，解得x＝mm2＋1，y＝m3＋m2＋mm2＋1，即l1与l2交点为Cmm2＋1，m3＋m2＋mm2＋1.设边AB上的高为h，∴S△ABC

＝12|AB|·h＝12·1＋(m＋1)2·m(m＋1)m2＋1－m3＋m2＋mm2＋1＋m＋1(m＋1)2＋1＝12·|m2＋m＋1|m2＋1＝12·m2＋m＋1m2＋1＝121＋mm2＋1.当m＝0时

，S＝12；当m≠0时，S＝121＋1m＋1m.∵函数f(x)＝x＋1x的值域为[2，＋∞)∪(－∞，－2]．∴－12≤1m＋1m<0或0<1m＋1m≤12，∴14≤S<12或12<S≤34.当m＝1时，△ABC的面积的最大值为34，当m＝－1时，△ABC的面积的最小值为14.获得更

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