【文档说明】2025届高考数学一轮复习专练18 导数与函数的极值、最值.docx，共(10)页，55.276 KB，由小赞的店铺上传

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温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。十八导数与函数的极值、最值(时间:45分钟分值:100分)【基础落实练】1.(5分)已知函数f(x)的定义域为(a,b),导函数f

'(x)在(a,b)上的图象如图所示,则函数f(x)在(a,b)上的极大值点的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由函数极值的定义和导函数的图象可知,f'(x)在(a,b)上与x轴的交点个数为4,但是在原点附近的导数值恒大于零,故x=0不是函数

f(x)的极值点.其余的3个交点都是极值点,其中有2个点满足其附近的导数值左正右负,故极大值点有2个.2.(5分)(2023·沈阳模拟)设函数f(x)=xex+1,则()A.x=1为f(x)的极大值点B.x=1为f(x)的极小

值点C.x=-1为f(x)的极大值点D.x=-1为f(x)的极小值点【解析】选D.由f(x)=xex+1,可得f'(x)=(x+1)ex,令f'(x)>0可得x>-1,即函数f(x)在(-1,+∞)上单调递增;令f'(x)<0可得x<-1,即函数f(x)在(-∞

,-1)上单调递减,所以x=-1为f(x)的极小值点.3.(5分)函数f(x)=e𝑥𝑥2-3在[2,+∞)上的最小值为()A.e36B.e2C.e34D.2e【解析】选A.依题意f'(x)=e𝑥(𝑥2-3)2(x2-2x-3)=e𝑥

(𝑥2-3)2(x-3)(x+1),故函数在(2,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,故函数在x=3处取得极小值也是最小值,且最小值为f(3)=e332-3=e36.4.(5分)已知函数f(x)=2l

nx+ax2-3x在x=2处取得极小值,则f(x)的极大值为()A.2B.-52C.3+ln2D.-2+2ln2【解析】选B.f'(x)=2𝑥+2ax-3,因为f(x)在x=2处取得极小值,所以f'(2)

=4a-2=0,解得a=12,所以f(x)=2lnx+12x2-3x,f'(x)=2𝑥+x-3=(𝑥-1)(𝑥-2)𝑥,所以f(x)在(0,1),(2,+∞)上单调递增,在(1,2)上单调递减,所以f(x)的极大值为f(1)=12-3=-52.5.(5分)(多选题)(2023

·怀化模拟)下列函数中,存在极值点的是()A.y=x-1𝑥B.y=2|x|C.y=-2x3-xD.y=xlnx【解析】选BD.由题意,对于A,函数y=x-1𝑥,则y'=1+1𝑥2>0,所以函数y=x-1𝑥

在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增,没有极值点;对于B,函数y=2|x|={2𝑥,𝑥≥0,2-𝑥,𝑥<0,则当x<0时,函数y=2|x|单调递减,当x>0时,函数y=2|x|单调递增,所以函数y=2|x|在x=0处取得极小值;对于C,函数y=-2x3-x,则y'=-6x2-1<

0,所以函数y=-2x3-x在R上单调递减,没有极值点;对于D,函数y=xlnx,y'=lnx+1,则当x∈(0,1e)时,y'<0,函数单调递减,当x∈(1e,+∞)时,y'>0,函数单调递增,当x=1e时,函数取得极小值.6.(5分)已知函数f(x)=(x+1)2+cos

(x+1)+a的最小值是4,则a=()A.3B.4C.5D.6【解析】选A.令x+1=t,则f(x)=g(t)=t2+cost+a,g'(t)=2t-sint,(2t-sint)'=2-cost>0,g'

(t)在R上单调递增,而g'(0)=0,故t∈(-∞,0)时,g'(t)<0,g(t)单调递减,t∈(0,+∞)时,g'(t)>0,g(t)单调递增,故g(t)min=g(0)=1+a=4,解得a=3.7.(5分)设函数f(

x)=e𝑥𝑥+𝑎,若f(x)的极小值为√e,则a=________.【解析】由已知得f'(x)=e𝑥(𝑥+𝑎-1)(𝑥+𝑎)2(x≠-a),令f'(x)=0,有x=1-a,则f(x)在(-∞,-a),(-a,1-a)上单调递减,在(1-a,

+∞)上单调递增,所以f(x)的极小值为f(1-a)=e1-a=√e,即1-a=12,得a=12.答案:128.(5分)(2023·苏州模拟)函数f(x)=-13x3+x在(a,10-a2)上有最大值,则实数a的取值范围是__________.【解析】由于f'(x)=-x2+

1,易知f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递减,在(-1,1)上单调递增,故若函数f(x)在(a,10-a2)上存在最大值,则{𝑎<1,10-𝑎2>1,𝑓(1)≥𝑓(𝑎),即-2≤a<1.答案:[-2,1)9.

(10分)已知函数f(x)=(x-a)ex(a∈R).(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程;(2)求f(x)在区间[1,2]上的最小值.【解析】f'(x)=(x+1-a)ex.(1)当a=2时,f'(x)=(x-1)ex.所以f(0)=-2,f'(0)=-1,所以所求切线方程为

y+2=-x,即x+y+2=0.(2)令f'(x)=0,得x=a-1.①若a-1≤1,则a≤2.当x∈[1,2]时,f'(x)≥0,则f(x)在[1,2]上单调递增.所以f(x)min=f(1)=(1-a)e;②若a-1≥2,则a≥3.x∈[1,2]

时,f'(x)≤0,则f(x)在[1,2]上单调递减.所以f(x)min=f(2)=(2-a)e2;③若1<a-1<2,则2<a<3.f'(x),f(x)随x的变化情况如表:x[1,a-1)a-1(a-1,2]f'(x)-0+f(x)单调递极小值单

调递减增所以f(x)的单调递减区间为[1,a-1),单调递增区间为(a-1,2],所以f(x)min=f(a-1)=-ea-1.综上可知,当a≤2时,f(x)min=(1-a)e;当a≥3时,f(x)min=(2-a)e

2;当2<a<3时,f(x)min=-ea-1.【能力提升练】10.(5分)已知函数f(x)=x3+bx2+cx的图象如图所示,则𝑥12+𝑥22等于()A.23B.43C.83D.163【解析】选C.由题图象可知f(x)的图象经过点(1,0)与(2,0),x1,x2是f(x)的极值点,所以1

+b+c=0,8+4b+2c=0,解得b=-3,c=2,所以f(x)=x3-3x2+2x,所以f'(x)=3x2-6x+2,x1,x2是方程3x2-6x+2=0的两根,所以x1+x2=2,x1·x2=23,所以𝑥12+𝑥22=(x1+x2)2-2x1x2=4-2×23=83.11.

(5分)(2023·南通模拟)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)ex在x=a处取极小值,且f(x)的极大值为4,则b=()A.-1B.2C.-3D.4【解析】选B.f(x)=(x-a)(x-b)ex=(x2-ax-bx+ab)ex,所以f'(x)=(2x-a-b)ex+(x2-ax-bx

+ab)ex=ex[x2+(2-a-b)x+ab-a-b],因为函数f(x)=(x-a)(x-b)ex在x=a处取极小值,所以f'(a)=ea[a2+(2-a-b)a+ab-a-b]=ea(a-b)=0,所以a=b,所以f(x)=(x-a)2ex,f'(x)

=ex[x2+(2-2a)x+a2-2a]=ex(x-a)[x-(a-2)],令f'(x)=0,得x=a或x=a-2,当x∈(-∞,a-2)时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,a-2)上单调递增;当x∈(a-2,a)时,f'(x)<0,所以f(x)在(a-2,a)上单调递减;当x∈

(a,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(a,+∞)上单调递增,所以f(x)在x=a-2处有极大值,为f(a-2)=4ea-2=4,解得a=2,所以b=2.12.(5分)(多选题)(2023·烟台模拟)已知函数f(x)=𝑥2+𝑥-1

e𝑥,则下列结论正确的是()A.函数f(x)存在两个不同的零点B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值C.当-e<k≤0时,方程f(x)=k有且只有两个实根D.若x∈[t,+∞)时,f(x)max=5e2,则t的最小值为2【解

析】选ABC.由f(x)=0,得x2+x-1=0,所以x=-1±√52,故A正确;f'(x)=-𝑥2-𝑥-2e𝑥=-(𝑥+1)(𝑥-2)e𝑥,当x∈(-∞,-1)∪(2,+∞)时,f'(x)<0,当x∈

(-1,2)时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,-1),(2,+∞)上单调递减,在(-1,2)上单调递增,所以f(-1)是函数的极小值,f(2)是函数的极大值,故B正确;又f(-1)=-e,f(2)=5e2,且当x→-∞时,f(x)→+∞,x→+∞时,f(x)→0,所以f(x)

的图象大致如图所示,由图知C正确,D不正确.13.(5分)(2023·福州模拟)已知函数f(x)=xlnx+mex有两个极值点,则实数m的取值范围是__________.【解析】f'(x)=lnx+1+mex(x>0),令f

'(x)=0,得-m=ln𝑥+1e𝑥,设g(x)=ln𝑥+1e𝑥,则g'(x)=1𝑥-ln𝑥-1e𝑥(x>0),令h(x)=1𝑥-lnx-1,则h'(x)=-1𝑥2-1𝑥<0(x>0)

,所以h(x)在(0,+∞)上单调递减且h(1)=0,所以当x∈(0,1]时,h(x)≥0,即g'(x)≥0,g(x)在(0,1]上单调递增;当x∈(1,+∞)时,h(x)<0,即g'(x)<0,g(x)在(1,+∞)上单调递减,故g(x)max=g(1)=1e,而当x→0时,g(x)→-∞

,当x→+∞时,g(x)→0,若f(x)有两个极值点,只要y=-m和g(x)的图象在(0,+∞)上有两个交点,只需0<-m<1e,故-1e<m<0.答案:(-1e,0)14.(10分)(2023·沧州模拟)已知函数f(x)=excosx-x.(1

)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值.【解析】(1)因为f(x)=excosx-x,所以f(0)=1,f'(x)=ex(cosx-sinx

)-1,所以f'(0)=0,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.(2)f'(x)=ex(cosx-sinx)-1,令g(x)=f'(x),则g'(x)=-2exsinx≤0在[0,π2]上恒成立,且仅在x

=0处等号成立,所以g(x)在[0,π2]上单调递减,所以g(x)≤g(0)=0,所以f'(x)≤0且仅在x=0处等号成立,所以f(x)在[0,π2]上单调递减,所以f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f(π2)=-π2.15.(10分)(2023·聊城模拟)设函数f(x)=xe-

x+12ax2-ax(a∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)f'(x)为f(x)的导函数,记g(x)=f'(x),证明:当-e-3<a<0时,函数g(x)有两个极值点.【解析】(1)因为f(x)=xe-x+12ax2-ax(

a∈R),所以f'(x)=1-𝑥e𝑥+ax-a=(1-x)(1e𝑥-a),①当a≤0时,1e𝑥-a>0,当x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减.

②当a>0时,令1e𝑥-a=0,解得x=-lna,当0<a<1e时,-lna>1,当x∈(-∞,1)∪(-lna,+∞)时,f'(x)>0,当x∈(1,-lna)时,f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,

1),(-lna,+∞)上单调递增,在(1,-lna)上单调递减;当a=1e时,f'(x)≥0,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;当a>1e时,-lna<1,同理可得,f(x)在(-∞,-lna),(1,+∞)上单调递增,在(-lna,1)上单调递减.综上所述,当a≤0时,f(x)在(-∞,1

)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减;当0<a<1e时,f(x)在(-∞,1),(-lna,+∞)上单调递增,在(1,-lna)上单调递减;当a=1e时,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;当a>1e时,f(x)在(-∞,-lna),(1,+∞)上单调递增,在(-lna,1)上单调递减.(2)因

为g(x)=f'(x)=1-𝑥e𝑥+ax-a,所以g'(x)=𝑥-2e𝑥+a,令g'(x)=0,得-a=𝑥-2e𝑥,令h(x)=𝑥-2e𝑥,要证函数g(x)有两个极值点,即证直线y=-a与h(x)的图象有两个交点,因为

h'(x)=3-𝑥e𝑥,当x∈(-∞,3)时,h'(x)>0,当x∈(3,+∞)时,h'(x)<0,所以h(x)在(-∞,3)上单调递增,在(3,+∞)上单调递减,所以h(x)max=h(3)=1e3;又x→-

∞时,h(x)→-∞;x→+∞时,h(x)→0,当-e-3<a<0时,直线y=-a与h(x)的图象有两个交点,所以当-e-3<a<0时,函数g(x)有两个极值点.【素养创新练】16.(5分)已知桌面上灯光的强度可以用y=ksin𝜑𝑟2表示,其中r是灯

与桌面上被照点的距离,φ是光线与桌面的夹角,在半径为1m的圆桌中心正上方安装一个吊灯,为使桌边最亮,吊灯应离桌面的高度为()A.12mB.1mC.√22mD.√33m【解析】选C.设吊灯离桌面的高度为hm,则sinφ=ℎ𝑟,h=√𝑟2-1

(r>1),所以y=kℎ𝑟3=k√𝑟2-1𝑟6=k√1𝑟4-1𝑟6,令f(r)=1𝑟4-1𝑟6=r-4-r-6,则f'(r)=-4r-5+6r-7=r-7(6-4r2),令f'(r)<0,得r>√62,令f'(r)>0,得1<r<√62,所以f(r)在(1,√62)上单调递

增,在(√62,+∞)上单调递减,所以当r=√62时,f(r)取得最大值,此时y也取得最大值,所以为使桌边最亮,吊灯应离桌面的高度为√32-1=√22m.17.(5分)在空间直角坐标系O-xyz中,三元二次方程所

对应的曲面统称为二次曲面.比如方程x2+y2+z2=1表示球面,这就是一种常见的二次曲面.二次曲面在工业、农业、建筑等众多领域应用广泛.已知点P(x,y,z)是二次曲面4x2-xy+y2-z=0上的任意一点,且x>0,y>0,z>0,则当𝑧𝑥𝑦取得最小值时,1𝑥(1𝑦-1𝑧)

的最大值为__________.【解析】易知z=4x2-xy+y2,故𝑧𝑥𝑦=4𝑥𝑦+𝑦𝑥-1≥2√4𝑥𝑦·𝑦𝑥-1=3,当且仅当y=2x时等号成立,则当𝑧𝑥𝑦取最小值时,1𝑥(1𝑦-1𝑧)=1𝑥𝑦-1𝑥

𝑧=12𝑥2-16𝑥3.令t=1𝑥(x>0),f(t)=𝑡22-𝑡36,则f'(t)=𝑡(2-𝑡)2(t>0),所以当0<t<2时,f'(t)>0,当t>2时,f'(t)<0,故f(t)在(0,2)上

单调递增,在(2,+∞)上单调递减,故f(t)≤f(2)=23.故1𝑥(1𝑦-1𝑧)的最大值为23.答案:23