【文档说明】江苏省前黄高级中学2021届高三下学期学情检测（二）数学试题 含答案.docx，共(9)页，927.259 KB，由小赞的店铺上传

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江苏省前黄高级中学2021届高三第二学期学情检测（二）数学试卷一、单选题：本题共8小是，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1.已知直线l和平面，无论直线l与平面具有怎样的位置关系，在平面内总存在一条直线与直线l（）A.相交B.平

行C.垂直D.异面2.已知数列na的通项为()2*nannnN=+，则“12aa”是数列na递增的条件（）A.充分非必要B.必要非充分C.充要条件D.既非充分也非必要3．某自来水厂一蓄水池可以用甲､乙两个水泵注水，

单开甲泵需15小时注满，单开乙泵需18小时注满，若要求10小时注满水池，并且使两泵同时开放的时间尽可能地少，则甲、乙两水泵同时开放的时间最少需（C）A．4小时B．7小时C．6小时D．14小时4．已知函数，且，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．5．

数独起源于18世纪初瑞士数学家欧拉等人研究的一种拉丁方阵，是一种运用纸、笔进行演算的数学逻辑游戏.如图就是一个迷你数独，玩家需要根据66盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（32）内的数字均含16−，每一行、每一列以及每一个粗线宫

都没有重复的数字出现，则图中的abcd+++=（）A．11B．13C．15D．176．若()()()()23660123631111xaaxaxaxaxa=+++++++++=，则（）A．20B．20−C．15D．15−7．医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面

体分为内、中、外三层．内层为亲肤材质(普通卫生纱布或无纺布)，中层为隔离过滤层(超细聚丙烯纤维熔喷材料层)，外层为特殊材料抑菌层(无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层)．根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重

要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率()2~0.9372,0.0139xN．若()()2~,0xN，则()()220.9545,330.9973PxPx

−+=−+=.500.977250.3164．有如下命题：甲：()0.90.5Px；乙：()()0.41.5PxPx；丙：()0.97890.00135Px=；丁：假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的50只口罩中

过滤率大于2+的数量，则P(X≥1)≈0.6．其中假命题是（）A．甲B．乙C．丙D．丁8．已知椭圆C与双曲线221xy−=有相同的左焦点1F、右焦点2F，点P是两曲线的一个交点，且120PFPF=uuuruuur．过2F作倾斜角为45o的直线交C于A，

B两点(点A在x轴的上方)，且2ABAF=uuuruuur，则的值为（）A．33+B．32+C．23+D．22+二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知20,0,1ab

ab+=，则（）A．54ab+B．1ab−−C．12abD．323ab−−10．已知数列na中，12a=，当2n时，()21212nnaa−=++−，则关于数列na的说法正确的

是（）A．25a=B．数列{}na为递增数列C．221nann=+−D．数列{}na为周期数列11．如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，点P是11BCD内部(不包括边界)的动点．若BDAP⊥，则线段AP长度的可能取值为（）A．233B．65C．62D.52()(

)2log3fafa()(),28,−+()0,2()()0,28,+()8,+12．已知函数22,0()(2),0xxxfxfxx−−=−，以下结论正确的是（）A．(3)(2019)2ff−+=−B．()fx在区间

[4,6]上是增函数C．若方程()1fxkx=+恰有3个实根，则11(,)24k−−D．若函数()yfxb=−在(,4)−上有6个零点(1,2,3,4,5,6)ixi=，则616iix==三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

．13．已知ABC△的面积为1，点P满足324ABBCCAAP++=，则PBC△的面积是_____.14．《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图（如图）是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角

三角形的两锐角分别为，，且小正方形与大正方形的面积之比为1:25，则cos()−的值为___________．15．甲箱子里装有3个白球､2个黑球，乙箱子里装有1个白球､2个黑球，这些球颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，则一次游戏摸出的白球不少于2个

的概率为___________.16.设数列na的前n项和为nS，13a=，()*112nnnSanN+=+.已知1F，2F是双曲线C：2214xy−=的左右焦点，()*1,2nnnSPnnNa−

+，若12nntPFPF−对*nN恒成立，则实数t的取值范围是______.三、解答题：（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定区域内写出必要的步骤.17．如

图，三棱锥PABC−的底面ABC和侧面PAB都是边长为4的等边三角形，且平面PAB⊥平面ABC，点E为线段PA中点，点F为AB上的动点.（1）若平面CEF⊥平面ABC，求线段AF的长；（2）求直线CE与平面P

BC所成角的正弦值.18．ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知(3cos)cos−=AcaC.（1）求cb；（2）若cos2cAb=，且ABC的面积为9114，求a及sin23A+.19．为响应党中央“扶贫攻坚”的号召

，某单位指导一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入.紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势.下表给出了2017年种植的一批试验紫甘薯在温度升高时6组死亡的株数：温度x（单位：C）212324272932死亡数y（单位：株）611202

75777经计算：611266iixx===，611336iiyy===，61()()557iiixxyy=−−=，621()84iixx=−=，621()3930iiyy=−=，621()23.6ˆ64iiyy=−=

，8.0653167e，其中ix，iy分别为试验数据中的温度和死亡株数，1,2,3,4,5,6i=.（1）若用线性回归模型，求y关于x的回归方程^^^ybxa=+（结果精确到0.1）；（2）若用非线性回归模型求得y关于x

的回归方程0.23030.06ˆxye=，且相关指数为20.9522R=.(i)试与（1）中的回归模型相比，用2R说明哪种模型的拟合效果更好；（ii）用拟合效果好的模型预测温度为35C时该紫甘薯死亡株数（结果取整数）.附：对于一组数据11(,)

uv，22(,)uv，，(,)nnuv，其回归直线ˆˆvu=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()()()niiiniiuuvvuu==−−=−，avu=−；相关指数为：22121()1()niiiniiivvRvv==−=−−.20．已知

数列{}na的前n项和为nS，11a=，且1a为2a与2S的等差中项，当2n时，总有1123nnnSSS+−−+0=.（1）求数列{}na的通项公式；（2）记mb为数列1{}na在区间1(0,4]()Nmm−内的项数，数列2{(1)}mmb−的前

m项和为mW，求20W.21．已知A、B为椭圆＝1（a＞b＞0）和双曲线＝1的公共顶点，P，Q分别为双曲线和椭圆上不同于A，B的动点，且满足，设直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k1、k2、k3、k4．（1）求证：点P、Q、O三点共线；（2）当a＝2，b＝时，若点P、Q都在第一象限，且直线

PQ的斜率为，求△BPQ的面积S；（3）若F1、F2分别为椭圆和双曲线的右焦点，且QF1∥PF2，求k12+k22+k32+k42的值．22．已知函数()2sinxfxexx=−+，()()sincosxgxexxa=−++.（

1）求函数()fx的单调区间；（2）1x、20,2x，使得不等式()()12gxfx成立，求a的取值范围；（3）不等式()lnfxmxx−在()1,+上恒成立，求整数m的最大值.江苏省前黄高级中学2021届高三第二学期学情检测（二）数学试卷一、单选题：本

题共8小是，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1.已知直线l和平面，无论直线l与平面具有怎样的位置关系，在平面内总存在一条直线与直线l（C）A.相交B.平行C.垂直D.异面2.已知数列na的通项为()2*nannnN=+，则“12aa”是数列

na递增的条件（C）A.充分非必要B.必要非充分C.充要条件D.既非充分也非必要3．某自来水厂一蓄水池可以用甲､乙两个水泵注水，单开甲泵需15小时注满，单开乙泵需18小时注满，若要求10小时注满水池，并且使两泵同时开放的时间尽可能地少，则

甲、乙两水泵同时开放的时间最少需（C）A．4小时B．7小时C．6小时D．14小时4．已知函数，且，则实数的取值范围为（C）A．B．C．D．5．数独起源于18世纪初瑞士数学家欧拉等人研究的一种拉丁方阵，是一种运用纸、笔进行演算的数学逻辑游戏.如图就是一个迷你数独，玩家需要根据

66盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（32）内的数字均含16−，每一行、每一列以及每一个粗线宫都没有重复的数字出现，则图中的abcd+++=（D）A．11B．13C．15D．176．若()()()()236601236311

11xaaxaxaxaxa=+++++++++=，则（B）A．20B．20−C．15D．15−7．医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层．内层为亲肤材质(普通卫生纱布或无纺布)，中层为隔离过

滤层(超细聚丙烯纤维熔喷材料层)，外层为特殊材料抑菌层(无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层)．根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率()2~0.9372,0.0139

xN．若()()2~,0xN，则()()220.9545,330.9973PxPx−+=−+=.500.977250.3164．有如下命题：()2234xfxxx−=+−()()2log3fafa()(),28,−+()0,2()()0,28,+()

8,+甲：()0.90.5Px；乙：()()0.41.5PxPx；丙：()0.97890.00135Px=；丁：假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于2+的数量，则P(X≥1)≈0.6．其中假命题是（D）A．甲B．乙C．丙D．丁

8．已知椭圆C与双曲线221xy−=有相同的左焦点1F、右焦点2F，点P是两曲线的一个交点，且120PFPF=uuuruuur．过2F作倾斜角为45o的直线交C于A，B两点(点A在x轴的上方)，且2ABAF=uuuruuu

r，则的值为（A）A．33+B．32+C．23+D．22+二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知20,0,1abab+=，则（BCD

）A．54ab+B．1ab−−C．12abD．323ab−−10．已知数列na中，12a=，当2n时，()21212nnaa−=++−，则关于数列na的说法正确的是（BC）A．25a=B．数列{}na为递增数列C．2

21nann=+−D．数列{}na为周期数列11．如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，点P是11BCD内部(不包括边界)的动点．若BDAP⊥，则线段AP长度的可能取值为（ABC）A．233B．65C．62D.5212．已知函数22,0()(2),0x

xxfxfxx−−=−，以下结论正确的是（ACD）A．(3)(2019)2ff−+=−B．()fx在区间[4,6]上是增函数C．若方程()1fxkx=+恰有3个实根，则11(,)24k−−D．若函数()yfx

b=−在(,4)−上有6个零点(1,2,3,4,5,6)ixi=，则616iix==三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知ABC△的面积为1，点P满足324ABBCCAAP++=，则PBC△的面积是_

1/2_____.14．《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图（如图）是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形的两锐角分别为，，且小正方形与大正方形的面积之比为1:25，则cos(

)−的值为___24/25________．15．甲箱子里装有3个白球､2个黑球，乙箱子里装有1个白球､2个黑球，这些球颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，则一次游戏摸出的白球不少于2个的概率为_____7/10______.16.设数列na的前n项和为nS，13a

=，()*112nnnSanN+=+.已知1F，2F是双曲线C：2214xy−=的左右焦点，()*1,2nnnSPnnNa−+，若12nntPFPF−对*nN恒成立，则实数t的取值范围是__4t____.三、解答题：（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下

列各题必须在答题纸相应编号规定区域内写出必要的步骤.17．如图，三棱锥PABC−的底面ABC和侧面PAB都是边长为4的等边三角形，且平面PAB⊥平面ABC，点E为线段PA中点，点F为AB上的动点.（1）若平面CEF⊥平面ABC，求线段AF的长；

（2）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.【答案】（1）1；（2）1510.【解析】（1）方法一通过建空间直角坐标系来利用面面垂直，从而求出线段长度；方法二通过线面、面面关系的性质求得EF⊥平面ABC，进而解得长度.（2）建系后，通过直线与面的法向量的夹角来求得线面夹角.【详解】解（1）

(法一)取AB中点O，连接PO，CO.∵ABC与PAB△都是正三角形，∴POAB⊥，COAB⊥又已知平面ABC⊥平面PAB，∴PO⊥平面ABC.如图所示，以O为坐标原点，分别以OA，OC，OP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.∵PAB△，A

BC边长为4，E为AP中点，()2,0,0A，()0,23,0C，()1,0,3E，()2,0,0B−设AFt=，则()2,0,0Ft−，()2,23,0CFt=−−，()1,0,3EFt=−−.设平面CEF的法向()1111,,n

xyz=.由()()11112230130txytxz−−=−−=，令13x=，得11121tyzt=−=−，∴13,1,12tnt=−−.设平面ABC的法向量()0,0,1n=.∵平面CEF⊥平面ABC，∴10

nn=，即10t−=，解得1t=，故线段AF的长为1时，则平面CEF⊥平面ABC.(法二：同一法)取AB中点O，AO中点G，连接EG，PO.∵PAB△为正三角形，E为PA的中点，∴POAB⊥.∵//EGPO，∴EGAB⊥.又平面PAB⊥平面ABC，∴EG⊥平面ABC.在平面EFC中，作

EFFC⊥于点F.∵平面EFC⊥平面ABC，平面EFC平面ABCFC=，∴EF⊥平面ABC.∵过平面外一点有且仅有一条直线垂直于已知平面，∴点F与G重合，即为所求点F即当1AF=时，平面CEF⊥平面ABC.（2）由

（1）图所示，则易知：()0,0,0O，()0,23,0C，()1,0,3E，()0,0,23P，()2,0,0B−，∴()1,23,3CE=−，设平面PBC的法向量()111,,mxyz=，又()2,0,

23BP=，()2,23,0BC=则111122302230xzxy+=+=，令13x=，可得()3,1,1m=−−.设直线CE与平面PBC所成的角为，则323315sincos,1045CEmCEmCEm+−====.故直线CE与平面PBC所成角的正弦值为15101

8．ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知(3cos)cos−=AcaC.（1）求cb；（2）若cos2cAb=，且ABC的面积为9114，求a及sin23A+.【答案】（1）33；

（2）33，115312+.【详解】（1）因为(3cos)cos−=AcaC，所以由正弦定理可得3sincossinsincosCACAC−=，即3sinsincossincossin()CCAACAC=+=+，而()()sinsinsinACBB+=−=

，所以3cb=，故33cb=.（2）由（1）知3cos6A=，则33sin6A=，所以22333113335sin22,cos2666666AA===−=，所以13111351153sin2cos222262

612sin23AAA+=+==++；又ABC的面积为2111911sin244SbcAc===，则3c=，33b=，由余弦定理得22232cos2792333276abcbcA=+−=+−=，解得33a=.19．

为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位指导一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入.紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势.下表给出了2017年种植的一批试验紫甘薯在温度升

高时6组死亡的株数：温度x（单位：212324272932C）死亡数y（单位：株）61120275777经计算：611266iixx===，611336iiyy===，61()()557iiixxyy=−−=

，621()84iixx=−=，621()3930iiyy=−=，621()23.6ˆ64iiyy=−=，8.0653167e，其中ix，iy分别为试验数据中的温度和死亡株数，1,2,3,4,5,6i=.（1）若用线性回归模型，求y关于x

的回归方程^^^ybxa=+（结果精确到0.1）；（2）若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程0.23030.06ˆxye=，且相关指数为20.9522R=.(i)试与（1）中的回归模型相比，用2R说明哪种模型的拟合效果更好；（ii）

用拟合效果好的模型预测温度为35C时该紫甘薯死亡株数（结果取整数）.附：对于一组数据11(,)uv，22(,)uv，，(,)nnuv，其回归直线ˆˆvu=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()()()niiiniiuuvvuu==−−=−，a

vu=−；相关指数为：22121()1()niiiniiivvRvv==−=−−.【解析】(Ⅰ)由题意得，()()()121557=6.6384ˆniiiniixxyybxx==−−=−∴ˆa=33−6.6326=−139.4，∴

y关于x的线性回归方程为：ˆy=6.6x−139.4．（注：若用ˆ6.6b计算出18.6ˆ3a=−，则酌情扣1分）(Ⅱ)（i）线性回归方程ˆy=6.6x−138.6对应的相关指数为：()()6221621236.641110.060

20.93983930ˆiiiiiiyyRyy==−=−=−−=−，因为0.9398＜0.9522，所以回归方程0.2303ˆ0.06xye=比线性回归方程ˆy=6.6x−138.6拟合效果更好．（ii）由（i）知，

当温度35xC=时，0.2303358.06050.060.060.063167190ˆyee==，即当温度为35C时该批紫甘薯死亡株数为190.20．已知数列{}na的前n项和为nS，11a=，且1a为2a与2S的等差中项，当2n时，总有1123nnnSSS+−−+

0=.（1）求数列{}na的通项公式；（2）记mb为数列1{}na在区间1(0,4]()Nmm−内的项数，数列2{(1)}mmb−的前m项和为mW，求20W.【解析】（1）因为1122()0nnnnSSSS+−−−−=，2n，Nn，所以112nnaa+=，2n，（2分）因为1

1a=，2a，1a，2S成等差数列，所以2212a=+，得212a=，所以2112aa=，（4分）所以数列{}na是以1为首项，12为公比的等比数列，所以112nna−=.（6分）（2）由题意知：112nna−=，令11024nm−−，所以12(1)22nm−−

，即12(1)nm+−，所以21mbm=−，（8分）当m为偶数时，2219254981121(23)(21)mWmm=−+−+−+−−−+−22(19)(2549)(81121)[(23)(21)]mm=−++−++−+++−−+−824408(1)m=

++++−，所以20(88208)824408(201)2028002W+−=++++−==．（12分）21．已知A、B为椭圆＝1（a＞b＞0）和双曲线＝1的公共顶点，P，Q分别为双曲线和椭圆上不同于A，B的动点，且满足，设直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k1、k2、k3

、k4．（1）求证：点P、Q、O三点共线；（2）当a＝2，b＝时，若点P、Q都在第一象限，且直线PQ的斜率为，求△BPQ的面积S；（3）若F1、F2分别为椭圆和双曲线的右焦点，且QF1∥PF2，求k12+k22+k32+k42的值．解：（1）证明：因为A，B为椭圆与双

曲线的公共点，P，Q分别为双曲线和椭圆上不同于A，B的动点，又因为+＝λ（+），所以2＝λ•2，即＝λ，所以点P，Q，O三点共线．（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ的方程为y＝x，联立

，解得x＝±，y＝±，所以P（，），同理，解得x＝±，y＝±，解得Q（，），则|PQ|＝3﹣，又因为a＝2，b＝，联立，解得B（±2，0），所以点B到直线PQ的距离d＝，则S＝d|PQ|＝﹣．（3）因为＝λ，所以，则，⇒，因为Q

F1∥PF2，所以|OF1|＝λ|OF2|，所以λ2＝，所以＝•＝，所以（k1+k2）2＝4••＝4，同理（k3+k4）2＝4，而k1k2＝，又x12＝a2+•y12，所以k1k2＝，同理k1k4＝﹣，所以k12+

k22+k32+k42＝8．22．已知函数()2sinxfxexx=−+，()()sincosxgxexxa=−++.（1）求函数()fx的单调区间；（2）1x、20,2x，使得不等式()()12gxfx成立，求a的取值范围；（3）不等式()lnfxmxx−在()1,

+上恒成立，求整数m的最大值.【答案】（1）()fx的减区间为(),0−，增区间为()0,+；（2）)0,+；（3）1.【详解】（1）因为函数()2sinxfxexx=−+的定义域为R，且()cos2xfxex=+−，()00f=.①当0x时，1xe，cos1x，则()cos

20xfxex=+−，()fx在(),0−上是减函数；②当0x时，设()2cosxhxex=−+，则()0sinsin0xhxexex=−−，所以，函数()cos2xfxex=+−在()0,+上为增函数，所以，当0x时，()()00fxf=，

所以，函数()fx在()0,+上为增函数.综上所述，函数()fx的减区间为(),0−，增区间为()0,+；（2）由（1）知，函数()()min01fxf==，1x、20,2x，使得不等式()()12gxfx成立，等价于不等式()sincos1xe

xxa−++在0,2x时有解，即不等式sincosxaxxe−−+在0,2x时有解，设()sincosxFxxxe−=−+，()sincosxFxxxe−=+−，当0,2x

时，3,444x+，则sincos2sin1,24xxx+=+，而1xe−，所以()0Fx恒成立，即()Fx在0,2上是增函数，则()()min00FxF==，因此，实数a

的取值范围是)0,+；（3）1x，22coslnexmxx−+−恒成立，等价于()min2coslnxmexxx−+−，令()2coslnxHxexxx=−+−，其中1x，则()sinln1xHxexx

=−−−，()1cosxHxexx=−−，1xQ，xee，cos1x，11x，()20Hxe−，()Hx在()1,+上单调递增，()()1sin11110HxHee=

−−−−，()Hx在()1,+上递增，()()12cos1HxHe=−+，2cos1me−+，()2cos11,2e−+，且mZ，因此整数m的最大值为1.