【文档说明】【精准解析】广东省深圳市普通高中2020届高三下学期第二次线上统一测试数学（文）试题.doc，共(26)页，2.162 MB，由小赞的店铺上传

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2020年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试文科数学本试卷共6页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合

12Axx，lg1Bxyx，则()RABð（）A.12，B.2，C.(]1,1D.1，【答案】C【解析】【分析】由10x求出集合B，然后求出其补集BRð，最后求交集.【详解】由10x得1x，即1Bxx，所以1BRxx

ð，又因为12Axx则()11RABxxð.故选：C.【点睛】本题考查了求对数型函数的定义域，集合的补集、交集运算，属于基础题.2.棣莫弗公式cossincossinnxixn

xinx（i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数6cossin55i在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】由题意666c

ossincossin5555ii，根据复数的几何意义结合6cos05、6sin05即可得解.【详解】由题意666cossincossin5555ii，该复数在复平面内所对应的点为66c

os,sin55，6cos05，6sin05，该复数在在复平面内所对应的点位于第三象限.故选：C.【点睛】本题考查了新概念在复数中的应用，考查了复数的几何意义和三角函数的符号确定，属于基础题.3.已知点3,1和4,6在直线320

xya的两侧，则实数a的取值范围是（）A.724aB.7a或24aC.7a或24aD.247a【答案】A【解析】【分析】由点与直线的位置关系，转化为不等式求解即可得解.【详解】点3,1和4,6在直线320xya的两侧，332134260aa

即7240aa，解得724a.故选：A.【点睛】本题考查了二元一次不等式表示的平面区域，关键是把点与直线的位置关系转化为不等式，属于基础题.4.已知1()3,1,2,1,xaxaxfxax是(,)上的减函数，

那么实数a的取值范围是（）A.()0,1B.10,2C.11,62D.1,16【答案】C【解析】【分析】由分段函数的单调性可转化条件得10201132aaaaa，解不等式组

即可得解.【详解】1()3,1,2,1,xaxaxfxax是(,)上的减函数，10201132aaaaa，解得1162a.故选：C.【点睛】本题考查了分段函数单调性

的问题，属于基础题.5.一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表组别(0,10](10,20](20,30](30,40](40,50](50,60](60,70]频数1213241516137则样本数据落在(10,40]上的频率为()A.0.13B.0.39C

.0.52D.0.64【答案】C【解析】由题意可知频数在10,40的有：13+24+15=52，由频率=频数总数可得0.52.故选C.6.如图，在ABC中，ADAB，3BCBD，1AD，则

ACAD（）A.23B.32C.33D.3【答案】D【解析】∵3ACABBCABBD，∴(3)3ACADABBDADABADBDAD，又∵ABAD，∴0ABADuuuruuur，∴33cos3cos33ACADBDADBDADADBBDADBAD

，故选D．7.sin163sin223sin253sin313?A.12B.12C.32D.32【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式转化，原式=sin163°•sin223°+cos163°cos223°再通过两角和公式化简，转化成

特殊角得出结果．【详解】原式=sin163°•sin223°+cos163°cos223°=cos（163°-223°）=cos（-60°）=12.故选A.【点睛】本题主要考查了诱导公式应用及两角和与差的余弦公式．要熟记公式是关键．8.已知抛物线28yx，过点2,0A作倾斜

角为的直线3，若l与抛物线交于B、C两点，弦BC的中垂线交x轴于点P，则线段AP的长为（）A.163B.83C.1633D.83【答案】A【解析】【分析】由题意可得直线3:23BCxy，联立方程组即可求得B

C中点1043,33M，进而可得直线43310:333MPyx，求出点22,03P后即可得解.【详解】由题意可得直线3:23BCxy，设11,B

xy，22,Cxy，BC中点00,Mxy，联立方程组28323yxxy，消去x得2831603yy，易得，1104323yyy，00310233xy，点1043,33M

，又MPBC，133MPBCkk，直线43310:333MPyx，令0y可得223x即点22,03P，线段2216233AP.故选：A.【点睛】本题考查了直线与抛物线的综合问题，属于中档题.9.如图，在四面体ABCD中，截面P

QMN是正方形，现有下列结论：①ACBD②AC∥截面PQMN③ACBD④异面直线PM与BD所成的角为45其中所有正确结论的编号是（）A.①③B.①②④C.③④D.②③④【答案】B【解析】【分析】由线线平行和垂直的性质可判断①

，由线面平行的判定定理和性质定理可判断②，由平行线分线段成比例可判断③，由异面直线所成角的定义可判断④.【详解】截面PQMN是正方形，PQMN,又MN平面ADC，PQ平面ADC，PQ平面ADC，PQ平面ABC，平面ABC平面ADCACPQAC，同理可得PNBD由正方

形PQMN知PQPN，则ACBD，即①正确；由PQAC，PQ平面PQMN，AC平面PQMN，得AC平面PQMN，则②正确；由PQAC，PQMN,得ACMN,所以ACADMND

N，同理可证BDADPNAN，由正方形PQMN知PNMN，但AN不一定与DN相等，则AC与BD不一定相等，即③不正确；由PNBD知MPN为异面直线PM与BD所成的角，由正方形PQMN知45MPN，则④正确.故选：B.【点睛】本题考查命题的真假

判断，主要是空间线线、线面的位置关系，考查推理能力，属于中档题.10.已知函数π()sin()(0,||)2fxx的最小正周期是π，若其图象向右平移π3个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论

正确的是（）A.函数()fx的图象关于直线2π3x对称B.函数()fx的图象关于点11π(,0)12对称C.函数()fx在区间ππ,212上单调递减D.函数()fx在π3π,42上有3个零点【答案】C

【解析】【分析】先根据题意求解析式，然后用整体代入的思想求出函数的所有对称轴、对称中心、单调递减区间及零点，逐一判断各选项，即可得出结论.【详解】最小正周期是，22T它的图象向右平移π3个单位后得到的函数为奇函数，()sin[2()]3fxx为奇函数，则2,3kkZ

，2，3，()sin(2)3fxx，由2,32xkkZ得5,122kxkZ，则()fx的图象不关于2π3x对称，故选项A错误；由2,3xkkZ得,62kxkZ

，则()fx的图象不关于11π(,0)12对称，故选项B错误；由3222232kxk，得5111212kxk，则()fx的单调递减区间为511[,],1212kkkZ取1k，得区间7[,]1212，由ππ7,[,

]2121212，知选项C正确；函数()fx的零点为,62kxkZ，则函数()fx在π3π,42上有23和76两个零点，故选项D错误.故选：C.【点睛】本题考查了三角函数sin()yAx的图象变换，单调性、

奇偶性、对称中心、对称轴等性质，属于中档题.11.已知函数()yfx是R上的奇函数，函数()ygx是R上的偶函数，且()(2)fxgx，当02x时，()2gxx，则(10.5)g的值为（）A.1.5B.8.5C.－0.5D.0.5【答案】D【解析】【

分析】由已知中函数()yfx是R上的奇函数，函数()ygx是R上的偶函数，且()(2)fxgx，可得()gx是以8为周期的周期函数，逐步转化，进而求得(10.5)g的值.【详解】函数()yfx是R上的奇函数，()()fxfx，

又函数()ygx是R上的偶函数，()()gxgx，又()(2)fxgx，(4)(2)(2)()()gxfxfxgxgx，故(8)(4)()gxgxgx，即()gx是以8

为周期的周期函数，(10.5)(2.5)(1.5)(1.52)0.5ggg.故选：D.【点睛】本题考查了函数的奇偶性、周期性，函数求值，是函数图象和性质的综合应用.12.已知双曲线2222:10,0xyCabab的左、右焦点分别为12,FFO、为

坐标原点，点P是双曲线在第一象限内的点，直线2,POPF分别交双曲线C的左、右支于另一点,MN，若122PFPF，且2120MFN，则双曲线的离心率为（）A.223B.7C.3D.2【答案】B【解析】【详解】由题意可设2,60OPOMMFP，故四边形12PFMF是平

行四边形，且21,OPOMMFPF．由双曲线的定义可得：2122,4PFaPFMFa，由余弦定理可得22222214||416224208122POaaaaaaa，即22||3POa，借助平行四边形的性质可得22222(416

)412aaca，即22222404127acaca，故双曲线的离心率7e，应选答案B．点睛：解答本题的思路是借助双曲线的对称性，将问题进行等价转化与化归为平行四边形的几何性质问题，再依据平行

四边形的四边的平方和等两条对角线的和这一性质，探寻到建立方程的依据从而使得问题获解．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知x轴为曲线34411fxxax的切线，则a的值为________.【答案】14【解析】【分析】设x轴与曲线fx的切点为0,

0x，由题意结合导数的几何意义可得3002004411012410xaxfxxa，解方程即可得解.【详解】由题意21241fxxa，设x轴与曲线fx的切点为0,0x，则300200441101

2410xaxfxxa，解得01214xa.故答案为：14.【点睛】本题考查了导数几何意义的应用，考查了运算能力，属于基础题.14.已知nS为数列na的前n项和，若22nnSa，则54–SS________.【答案】32【解析】【分

析】由11,1,2nnnSnaSSn结合题意可得2nna，再利用545–SSa即可得解.【详解】当1n时，11122aSa解得12a；当2n时，112222nnnnnaSSaa，整理

得12nnaa，所以数列na是首项为1，公比为2的等比数列，1222nnna，所以54553–22SSa.故答案为：32.【点睛】本题考查了na与nS关系的应用，考查了等比数列的判定和通项公式的应用，属于基础题

.15.在ABC中，若1cos3A，则2sincos22BCA的值为____________.【答案】19【解析】【分析】利用诱导公式，二倍角公式将所求的式子转化成关于cosA的代数式，代入求解即可.【详解】BCA

，1cos3A22sincos2sincos222BCAAA2coscos22AA21cos2cos12AA211132()12319.故答案为：19.【点睛】本题考查了三角形内角和性质，

诱导公式，以及二倍角的余弦公式的综合运用.16.已知球O的半径为r，则它的外切圆锥体积的最小值为__________.【答案】383r【解析】【分析】设出圆锥的高为h，底面半径为R，在截面中，由球O与圆锥

相切可设出底面和母线SB的切点分别为C和D，接着由三角形的相似求得h、R、r三者间的关系，然后将圆锥的体积表示成关于h的函数，利用导函数求最值.【详解】设圆锥的高为h，底面半径为R，在截面图中，SCh，OCODr，BCR，根据圆锥与球相切可知，D、C均为球O与外

切圆锥的切点，则2SCBSDO又OSDBSC，SODSBC，BCSCODSD，即22()Rhrhrr，222()2hrhrRhrrhhr，圆锥体积为2221()33(

2)rhVhRhhr，22(4)()3(2)rhhrVhhr，令()0Vh可得4hr，则04hr时，()0Vh；4hr时，()0Vh，()Vh在(0,4)r单调递

减，在(4,)r单调递增，则3min8()(4)3VhVrr.故答案为：383r.【点睛】本题考查了球的外切问题，圆锥的体积公式，导函数的实际应用问题，难度较大.三、解答题：共70分.解答应写出文

字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.17.已知数列{}na的首项123a，112nnnnaaaa*(0,)nanN.（1）证明：数列1{1}na

是等比数列；（2）数列{}nna的前n项和nS.【答案】（1）证明见详解；（2）12222nnnnnS【解析】【分析】（1）利用数列递推式，整理后两边取倒数，再两边减去1，即可证得数列1{1}na是等比数列；（2）利用第（1）题的结论，求出1112nna，进而得到2nnnn

na，用分组求和法，错位相减法，求出nS.【详解】解：（1）*1120,nnnnnaaaaanNQ，111111222nnnnaaaa，1111112nnaa，又123a，11112a，数列11n

a是以12首项，12为公比的等比数列.（2）由（1）知111111222nnna，即1112nna，2nnnnna.设231232222nnnT=++++，①则231112122222

nnnnnTL，②由①②得21111122222nnnnTL111111221122212nnnnnn，11222nnnnT.又11232nnn.数列nna的

前n项和12222nnnnnS.【点睛】本题考查了倒数法求数列的通项公式，分组求和法，错位相减法求数列的前n项和，属于中档题.18.随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台.已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨

该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元.根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示.已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品.现以x（单位：吨，100150x）表

示下一个销售季度的市场需求量，T（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润.（1）将T表示为x的函数，求出该函数表达式；（2）根据直方图估计利润T不少于57万元的概率；（3）根据频率分布直方图，估计一个销售

季度内市场需求量x的平均数与中位数的大小（保留到小数点后一位）.【答案】（1）0.839,10013065,130150xxTx；（2）0.7；（3）平均数为126.5（吨），估计中位数应为126.7（吨）【解析】【分析】（1）分别计算100,130

x和130,150x时T的值，用分段函数表示T的解析式；（2）计算利润T不少于57万元时x的取值范围，求出对应的频率值即可；（3）利用每一小组底边的中点乘以对应的矩形的面积（即频率）求和得出平均数，根据中位数两边频率相等（即矩形面积和相等）求出中位数的大小.【详解】解：（

1）当100,130x时，0.50.31300.839Txxx；当130,150x时，0.513065T，所以，0.839,10013065,130150xxTx；（2）根据频率分布直方图及（1）知，当100,130x时，由0.83

957Tx，得120130x，当130,150x时，由6557T所以，利润T不少于57万元当且仅当120150x，于是由频率分布直方图可知市场需求量120,150x的频率为

0.0300.0250.015100.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57万元的概率的估计值为0.7；（3）估计一个销售季度内市场需求量x的平均数为1050.11150.21250.3x

1350.251450.15126.5（吨）由频率分布直方图易知，由于100,120x时，对应的频率为0.010.02100.30.5，而100,130x时，对应的

频率为0.010.020.03100.60.5，因此一个销售季度内市场需求量x的中位数应属于区间120130,，于是估计中位数应为1200.50.10.20.03126.7（吨）.【点睛】本题考查

了分段函数以及频率、平均数和中位数的计算问题，是中档题.19.如图所示，四棱锥SABCD中，SA平面ABCD，90ABCBAD，1ABADSA，2BC，M为SB的中点.（1）求证：//AM平面SCD；（2）求点B到平面SCD的距离.【答

案】（1）证明见详解；（2）233【解析】【分析】（1）取SC的中点N，连结MN和DN，可证明得到四边形AMND为平行四边形，进而证得//AM平面SCD；（2）先证明AM平面SBC，进而得到平面SCD平面SBC，作BESC交SC于E，则BE平面SCD，在直角三角形中利用等面积法即

可求出距离.【详解】证明：（1）取SC的中点N，连结MN和DN，M为SB的中点，//MNBC且12MNBC，90ABCBADQ，1AD，2BC，//ADBC且12ADBC，//ADMN且ADMN，四边形AMND为平行四边形，//AMDN

，AM平面SCD，DN平面SCD，//AM平面SCD；（2）1ABSAQ，M为SB的中点，AMSB，SA平面ABCD，BC平面ABCD，SABC，90ABCBADQ，BCAB，又

SAABA，BC平面SAB，BCAM∴，AM平面SBC，由（1）可知//AMDN，DN∴平面SBC，DN平面SCD，平面SCD平面SBC，作BESC交SC于E，则BE平面SCD，在直角三角形SBC中，有1122SBBCSCBE，

222336SBBCBESC，即点B到平面SCD距离为233.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查求点到平面距离，转化思想，等面积法，属于中档题.20.已知椭圆22:14xCy，1F、2F分别是椭圆C的左、右焦点，M为椭圆上的动点.（1）求12FMF的最大值，并证明你的结论；（2

）若A、B分别是椭圆C长轴的左、右端点，设直线AM的斜率为k，且11(,)23k，求直线BM的斜率的取值范围.【答案】（1）12FMF的最大值为23，证明见详解；（2）13(,)24【解析】【分析】（1）由椭圆的定义可知124MFMF，在12FMF中，利用余弦定理可得：12122c

os1FMFMFMF，再利用基本不等式得到121cos2FMF，当且仅当12MFMF时等号成立，再结合120FMF，以及余弦函数的图象，即可得到12FMF的最大值；（2）设直线BM的斜率为k，00,M

xy，则14kk，再根据k的范围即可得到k的范围.【详解】解：（1）由椭圆的定义可知124MFMF，1223FF在12FMF中，由余弦定理，可得22212121212cos2MFMFFFMFFMMFF221212121222

MFMFFFMFMFMFMF121212221MFMFMFMFMFMF2122112()2MFMF，120FMFQ，12FMF的最大值为23，此时12MFMF，即点M为椭圆C的上、下顶点时，12FMF取最大值，其最大值为23

；（2）设直线BM的斜率为k，00,Mxy，则002ykx，002ykx，20204ykkx，又220014xy，220044xy，14kk，11(,)23k

Q，1324k，故直线BM的斜率的取值范围为13(,)24.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，余弦定理和基本不等式的应用，过两点的直线的斜率公式，是中档题.21.已知函数()(1)exafxx（e为自然对数的底数），其中0a.（1

）在区间(,]2a上，()fx是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.（2）若函数()fx的两个极值点为1212,xxxx，证明：2121ln()ln()212fxfxxxa.【答案】（1）存在，最小值为2ae；

（2）证明见详解【解析】【分析】（1）对函数()fx求导，令()0fx，得两根1212,0xxxx，从而得出()fx的单调区间.由用作差法比较1x与a的大小，结合()(1)exafxx，可知102axa，则()fx在区间(,]2a

单调递减，则其取得最小值22aafe；（2）由()0fx的韦达定理，得1212xxxxa，则可消去a，得112()(1)xfxxe，2211xfxxe.通过两边取对数，得212ln()ln1fxxx和121ln

()ln1fxxx，将其代入需证不等式.再得122211211axx，采用换元法，反证法，将所求不等式转化为lnln2mnmnmn.再用换元法，令mtn构造函数

2,11ln1tthttt，利用导函数求其最值，则可证明不等式.【详解】.解：（1）由条件可函数fx在,0上有意义，22xxaxafxex，令0fx，得2142aaax，2242aaax

，因为0a，所以10x，20x.所以当1,xx时，0fx，当1,0xx上0fx，所以fx在1,x上是增函数，在1,0x是减函数.由1xxaxafxeexx可知，当xa时，

0fx，当xa时，0fx，当0ax时，0fx，因为2142aaaaxa2402aaa，所以10xa，又函数在1,0x上是减函数，且102axa，所以函数在区间,2a上的有最小值，其最小值为22aafe

.（2）由（1）可知，当0a时函数fx存在两个极值点12,xx，且12,xx是方程20xaxa的两根，所以1212xxxxa，且121xx，11121(1)(1)xxafxexex，2211xfxxe，所以221lnln1

xfxxe12ln1xx，112lnln1xfxxe21ln1xx，所以2112212121lnlnln1ln1fxfxxxxxxxxx1212ln1ln111

1xxxx，又21221122axx122111xx，由（1）可知12110xx，设11mx，21nx，则0mn，故要证2121lnln212fxf

xxxa成立，只要证lnln2mnmnmn成立，下面证明不等式lnln2mnmnmn成立，构造函数21ln1thttt，1t则22101thttt，所以ht在1,t上单调递增，10hth，即

21ln1ttt成立，令mtn，即得不等式lnln2mnmnmn，从而2121lnln212fxfxxxa成立.【点睛】本题考查了利用导函数求函数的最值，证明不等式，其中换元法、反证法的应用是本题的关键，考查了转化的思想，属于综合性

较强的难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy中，直线1l：cos,sinxtyt（t为参数，π02），曲线

1C：2cos4+2sinxy,（为参数），1l与1C相切于点A，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C的极坐标方程及点A的极坐标；（2）已知直线2l：()6R与圆2C：243cos20

交于B，C两点，记AOB的面积为1S，2COC的面积为2S，求1221SSSS的值.【答案】（1）28sin120；点A的极坐标为23,3（2）16【解析】【分析】（1）消去参数得1C的直角坐标方程，利用直角坐标方程和极坐标方程的转化公式即可得1C的极坐

标方程；由题意得1l的极坐标方程为R，代入1C的极坐标方程后利用0即可得解；（2）由题意可得223,0C，设1,6B，2,6C，将6代入2C后即可得126，122，再利用三角形面积公式可得1132S，2232

S，化简即可得解.【详解】（1）消去参数可得1C的直角坐标方程为2244xy，将cossinxy代入得1C的极坐标方程为28sin120，又1l的参数方程为cos,sinxtyt（t为参数，02），可得1l的极坐标方

程为R，将代入1C得28sin120，则28sin4120，3sin2，又02，所以3sin2，3，此时23，所以点A的极坐标为23,3.（2）由2C的极坐标

方程为243cos20，可得2C的直角坐标方程为222310xy，所以圆心223,0C，设1,6B，2,6C，将6代入243cos20，得2620，2

80，所以126，122，所以10，20，又因为11113sin2362AS，222213sin262SOC，所以12122121SSSS221212122622162

.【点睛】本题考查了参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转化，考查了利用极坐标求三角形面积的应用，属于中档题.23.已知2fxxa.（1）当1a时，解不等式21fxx；（2）若存在实数(1,)a，使得关于x的不等式21fxxma有实数解，求

实数m的取值范围.【答案】（1）1,3（2）6,m【解析】【分析】（1）由题意得221xx，分2x、2x两种情况讨论即可得解；（2）由绝对值三角不等式结合题意得22222111fxxaaaaa

，利用基本不等式求出221aa的最小值即可得解.【详解】（1）当1a时，即解不等式221xx，①当2x时，原不等式等价于221xx，所以3x，所以不等式21fxx的解集为空集，②

当2x时，原不等式等价于221xx，解得13x，综上所述，不等式21fxx的解集为1,3.（2）因为221fxxxaa22211xaaa，显然等号可取.又1,a

，故原问题等价于关于a的不等式221ama在1,上有解，又因为22221211aaaa2221261aa，当且仅当2a时取等号，所以6m，即6,m.【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解，考查了绝对值三角不等式的应用和有

解问题的求解，属于中档题.