【文档说明】《精准解析》浙江省宁波市北仑中学2022-2023学年高二下学期期初返校考试数学试题（解析版）.docx，共(30)页，4.099 MB，由小赞的店铺上传

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北仑中学2022学年第二学期高二年级期初返校考试数学试卷（全年级+外高班使用）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若直线1:10lxay−+=与直线2:350lxy+−=垂直，则a的值为（）A.-3B.1C.3D.5【答

案】C【解析】【分析】根据两直线垂直列方程，化简求得a的值.【详解】由于两条直线垂直，所以()1310a+−=，解得3a=.故选：C2.已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图（图标中心点所对纵坐标代表该次数学测试成绩），则下列说法不正确的是（）A.甲成绩的极差

小于乙成绩的极差B.甲成绩的第25百分位数大于乙成绩的第75百分位数C.甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数D.甲成绩的方差小于乙成绩的方差【答案】B【解析】【分析】分析图中数据，结合方差，极差的求法和意义，结合百分位数的求解

，得到答案.【详解】从图表可以看出甲成绩的波动情况小于乙成绩的波动情况，则甲成绩的方差小于乙成绩的方差，且甲成绩的极差小于乙成绩的极差，AD正确；将甲成绩进行排序，又006251.5=，故从小到大，选择第

二个成绩作为甲成绩的第25百分位数，估计值为90分，将乙成绩进行排序，又006754.5=，故从小到大，选择第5个成绩成绩作为乙成绩的第75百分位数，估计值大于90分，从而甲成绩的第25百分位数小于乙成绩的第75百分位

数，B错误；甲成绩均集中在90分左右，而乙成绩大多数集中在60分左右，故C正确.故选：B3.已知空间向量()2,3,4a=−，()4,,bmn=−，,Rmn，若//abrr，则mn−=（）A.2B.2−C.14D.14−【答案】C【解析】【分析】利用空间向量平行的性质即可.

【详解】因为空间向量()2,3,4a=−，()4,,bmn=−，,Rmn，如果//abrr，则abrr=，所以2434mn=−−==，解得1268mn=−==−，所以6(8)14mn−=−−=，故选：C.4.在平行六面体1111ABCDABCD−中，点P在1AC

上，且1114APAC=，若1APxAAyABzAD=++，则xyz++=（）A.34B.1C.54D.74【答案】C【解析】【分析】根据空间向量的加法、减法、数乘运算即可求解.【详解】如图，11111111()44APAAAPAAACAAACA

A=+=+=+−()113131144444AAABADAAABAD=+=+++,所以311,,444xyz===，所以54xyz++=，故选:C.5.若双曲线)(22221,0xyabab−=的左焦点1F关于其渐近线的对称点恰好落在双曲线的右支上，则双曲线的渐近线方程为（）A.22y

x=B.2yx=C.3yx=D.yx=【答案】B【解析】【分析】先设出双曲线的左焦点()1,0Fc−，关于渐近线方程为byxa=的对称点为(),Pmn，根据关于渐近线对称，利用垂直平分，解得对称点的坐标，再根据

对称点恰好落在双曲线的右支上，将坐标代入双曲线的方程求解.【详解】设双曲线)(22221,0xyabab−=的左焦点为()1,0Fc−，关于渐近线方程为byxa=的对称点为(),Pmn，所以()122nbm

cabmcna=−+−=，解得222bamcabnc−==−，所以对称点222,baabPcc−−，因为对称点恰好落在双曲线的右支上，所以22222221abbaabcc−−−=，所以()2222222241

cacaac−=−，化简解得：2222225,4cabcaa==−=所以2ba=，所以双曲线的渐近线方程为2yx=.故选：B【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质以及点关于直线对称问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题.6.若函数()22

ln2xafxxx=−+存在极值，则实数a的取值范围是A.(),1−B.(,1−C.()0,1D.(0,1【答案】A【解析】【分析】由题意可知，函数()yfx=在定义域()0,+上存在极值点，令()0fx=可

得221axx=−，换元10tx=，可得220tta−+=，则实数a的取值范围为函数22ytt=-在()0,+上的值域且满足0，由此可求得实数a的取值范围.【详解】函数()22ln2xafxxx=−+的定义域为()0,+，且()12f

xaxx=−+.由题意可知，函数()yfx=在定义域()0,+上存在极值点，由()0fx=可得221axx=−，令10tx=，则22att=−，则实数a的取值范围为函数22ytt=-在()0,+上的值域且满足0，对于二次函数()22211yttt=−=−−+，当0t时，()

222111yttt=−=−−+，对于二次方程22att=−，即220tta−+=，440=−a，解得1a因此，实数a的取值范围是(),1−.故选：A.【点睛】本题考查利用函数的极值点求参数，一般转化为导函数的零点，但要注意导函数

的图象与x轴不能相切，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.7.设1F，2F分别为双曲线C：()222210,0xyabab−=的左､右焦点，A为双曲线的左顶点，以12FF为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M，N两点，

且135MAN=，（如图），则该双曲线的离心率为（）A.2B.3C.2D.5【答案】D【解析】【分析】联立222xyc+=与byxa=求出(),Mab，进而MAO的正切可求，得出ab与的关系，从而进一步解出答案.【详解】依题意得,以线段12FF为直径的圆的方程为222xy

c+=,.双曲线C的一条渐近线的方程为byxa=.由222,,byxaxyc=+=以及222,abc+=解得,xayb==或,.xayb=−=−不妨取(),Mab,则(),Nab−−.因为(),0,

135AaMAN−=,所以45MAO=,又tan2bMAOa=,所以12ba=,所以2ba=,所以该双曲线的离心率2215bea=+=.故选：D.8.已知1x，2x，3x是函数()32fxxaxb

=++（a，bR）的零点，且1230xxx，若123xxx+=，则当a，b变化时，3+ab的最小值是（）A.42−B.22−C.42D.22【答案】A【解析】【分析】由1230xxx和函数()fx的单调性可知0a，0b，再根据()()()()32123fxxa

xbxxxxxx=++=−−−可求得322236(0)abxxx+=−+，构造函数()36gxxx=−（0x），利用导数即可求得最小值.【详解】由题知：()232fxxax=+，易知()2320fxxax=+=的两根为0和23a

−，()0fx=的三个零点，1x，2x，3x满足：1230xxx，即函数()32fxxaxb=++在极值点=0x右侧有两个零点，203a−，即0a，且()00fb=，又()()()()32123fxxaxbxxxxxx=++=−−−()()32321

23123123213xaxbxxxxxxxxxxxxxxx++=+−−−+++−123123123122313=,=,+=,++=0axxxxxxbxxxxxxxxx−−−−−解得232

=2=axbx−，（20x），32236abxx+=−+，设()36gxxx=−（0x），()236gxx=−，()0,2x时，()0gx，()2,x+时，()0gx，()gx在()0,2上单调递减，在()2,+单调递增，0x时，()()m

in242gxg==−，()min342ab+=−.故选：A.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知

单调性，求参数．(2)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(3)考查数形结合思想的应用．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5

分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种

参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图．则以下说法正确的是（）A.54周岁以上的参保人数最少B.1829～周岁人群参保的总费用最少C.丁险种更受参保人青睐D.30周岁及以上的参保人数占总参保人数的20%【答案】AC【解析】【分析】根据统计图表逐个选项进行验证即可.【详解】由参保

人数比例图可知，54周岁以上参保人数最少，30周岁以上人群约占参保人群的80%，故A正确，D错误;由参保险种比例图可知，丁险种更受参保人青睐，故C正确;由不同年龄段人均参保费用图可知，1829周岁人群人均参保费用最少，但是这类人所占比例为20%，所以总费用不一定最少，故B错误．故选：AC．

10.在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，E、F、G分别为BC、1CC、1BB的中点，则下列选项正确的是（）的A.若点M在平面AEF内，则必存在实数x，y使得MAxMEyMF=+B.直线1AG与

EF所成角的余弦值为1010C.点1A到直线EF的距离为342D.存在实数、使得1=+AGAFAE【答案】BCD【解析】【分析】根据空间向量共面定理，异面直线夹角和点到直线距离的求解方法，以及线面平行的判定定理，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】

对A：若,,MEF三点共线，则不存在实数x，y使得MAxMEyMF=+，故A错误；对B：取11BC的中点为H，连接11,,AHGHBC，如下所示：在三角形1CBC中，,EF分别为1,BCCC的中点，故可

得EF//1BC，在三角形11BBC中，,GH分别为111,BBBC的中点，故可得GH//1BC，则EF//GH，故直线1,EFAG所成的角即为1AGH或其补角；在三角形1AGH中，2211111415AGABBGAH=+=+==，22112HGBHBG=+=，由余弦定理可得：22

2111110cos210AGGHAHAGHAGGH+−==，即直线1AG与EF所成角的余弦值为1010，故B正确；对C：连接1111,,AFAEAC如下图所示：在三角形1AEF中，2211453AEAAAE=+=+=，221111813AFACCF=+=+=，2

EF=，故点1A到直线EF的距离即为三角形1AEF中EF边上的高，设其为h，则2211922EFhAE=−=−=342.故C正确；对D：记11BC的中点为H，连接1,AHGH，如下所示：由B选项所证，GH//EF，又EF面,AEFG

H面AEF，故GH//面AEF；易知1AH//AE，又AE面1,AEFAH面AEF，故1AH//面AEF，又1,GHAH面11,AHGGHAHH=，故平面1AHG//面AEF，又1AG面1AGH，故可得1AG//面AEF，故存在实数、使得1=+AGAFAE，

D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中四点共面、线面平行、线线角，以及点到直线距离的求解，处理问题的关键是准确把握本题中向量的表达形式，属综合基础题.11.已知点P为双曲线22:162xyC−=右支上一点，1l，2l为双曲线C的两条渐近线，点A，M在1l上，点B，N在

2l上，且1PAl⊥，2PBl⊥，2//PMl，1//PNl，O为坐标原点，记PAB，PMN的面积分别为1S，2S，则下列结论正确的是（）A.32PAPB=B.OPABC.1232SS=D.2MN【答案】ABD【解析】【分析】根据1PAl⊥，2PBl⊥，则,,,OPA

B四点在以OP为直径的圆上，从而有OPAB；根据双曲线方程写出渐近线方程，求得倾斜角，用PA，PB表示出PM，PN，从而求得面积关系；设00(,)Pxy，由点到直线距离求得PA，PB，从而验证PAPB的值；从而求得PMPN的值，在三角形PMN中，由余弦定

理表示出MN，从而求得范围.【详解】由1PAl⊥，2PBl⊥，,,,OPAB四点在以OP为直径的圆上，则OPAB，故B正确；由双曲线方程设13:3lyx=，23:3lyx=−，则60AOB=，由2//PMl，1//PNl，则60PNB

PMAAOB===则sin60PAPM=，sin60PBPN=，则113sin12024PAPBPAPBS==，213sin6023PMPPAPBSN==，则1243SS=，故C错误；设00(,)Pxy，满足2200162xy−=，

则220036xy−=，则由点到直线距离知00003332113xyxyPA−−==+，同理有0032xyPB+=，则22003342xyPAPB−==，故A正确；故22sin60PAPBPMPN==，在三角形PMN中，由余弦定理知，2220222cos602222MNPMPNPMP

NPMPNPMPN=+−=+−−=，故2MN，当且仅当2PMPN==时，等号成立，故D正确；故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据条件写出渐近线方程，本题属于特殊角相关计算，可以表示出具体的线段和三角形面积，验证是否

满足选项答案即可.在求解范围问题时，首先需要求得线段的表达式，然后借助函数或基本不等式求得范围或最值.12.【多选题】已知a为常数，函数()(ln)fxxxax=−有两个极值点()1212,xxxx，则（）A.()10

fxB.()212fx−C.12112xx+D.12112xx+【答案】BD【解析】【分析】对于A、B：利用二次求导判断出以12112xxa，得到()fx在()10,x上单调递减，在的()12,xx上单调递增，在()2,x+上单调递

减，得到()()1210,2−−−fxafxa，即可判断A、B；对于C、D：由()()120hxhx==得到1122ln21,ln21=−=−xaxxax，利用对数平均不等式得到121xxa+，21214axx，即可证明出12122+xxxx，得到12112xx+，即可判断

C，D.【详解】由题意得()ln21fxxax=−+，且定义域为(0,)+，令()()hxfx=，则1()2hxax=−，因为()fx两个极值点，即()hx在(0,)+有两根，由此可知0a，且()hx在10,

2a单调递增，在1,2a+单调递减，max1()ln22==−hxhaa，因为()hx在(0,)+有两根，所以max()0hx，即ln20−a，解得102a，因为()hx在(0,)+有两根为12,xx，所以1212xxa，又(1)12

0ha=−，所以12112xxa，从()hx的正负可知()fx在()10,x上单调递减，在()12,xx上单调递增，在()2,x+上单调递减，所以()()12(1)fxffx，因为(1)f

a=−，所以()()1210,2−−−fxafxa，所以A错误，B正确；因为()()120hxhx==，所以1122ln21ln210−+=−+=xaxxax，即1122ln21,ln21=−=−xaxxax，根据对数平均不等式121212

12lnln2−+−xxxxxxxx得1212122+xxxxa，12121122++xxxxaa，212121142xxaaxx，根据同向同正可乘性得12124+xxaxx，因为102a，所以042a，因为12124+xxax

x恒成立，所以12122+xxxx，即12112xx+，所以C错误，D正确；故选：BD．【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导

数求参数的取值范围.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知事件A，B相互独立，且()13PA=，()14PAB=，则()PB=______．【答案】34##0.75【解析】【分析】利用独立事件乘法公式有()()()PABPAP

B=，根据已知即可求()PB.【详解】由题设()11()()()34PABPAPBPB===，则()34PB=.故答案为：3414.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左，右焦点分别为12,FF，离心率

为25，点P为C上一点，若12FPF△的面积为7，且12FPF△内切圆的半径为1，则C的标准方程为__________．【答案】2212521xy+=【解析】【分析】结合椭圆的定义、离心率以及12FPF△的面积求得,ac，进而求得b，从而求得椭圆C的标准方程.【详解】根据椭圆的定义有1

22PFPFa+=，12FPF△的周长为22ac+，由于12FPF△的面积为7，且12FPF△内切圆的半径为1，所以()12217,72acac+=+=，而椭圆的离心率25ca=，所以5,2ac==，所以2221bac=−=，所以椭圆C的标准方程为2212521xy+=.故答案为

：2212521xy+=15.如图，在四棱台ABCDABCD−中，4AA=，60BADBAADAA===，则()(),RDBxAByADxy−+的最小值为_________.【答案】463【解析】【分析】先判断出()(),ACxAByADxyR−+

的最小值为四棱台的高，添加如图所示的辅助线后可求四棱台的高，从而可得所求的最小值.【详解】如图，设xAByADAE+=，则E平面ABCD，故()ACxAByADACAEEC−+=−=，EC的最小值即为四棱台的高.如下图，过A作AGAD⊥，垂足为G，过A作AHAB⊥，

垂足为H，过A作AO⊥平面ABCD，垂足为O，连接,OGOH，则43'sin60232AGAHAA====，'cos602AGAHAA===，因为90GOAHOA==，AOAO=，故AGOAHO，故OGOH=，而AOAO=，故AOGAOH

，所以30GAOHAO==，因为AH平面ABCD，故AOAH⊥，而AOAHA=，故AB⊥平面AHO，因OH平面AHO，故ABOH⊥，故243332AO==，故221646'1633AOAAAO=−=−=，即EC的最小值为463，故答案为：463.16.已知函数()

fx的定义域为(0,)+，其导函数为()fx，且3()2()xfxxxfx=−+，3(e)3eef=−，则()fx在区间(0,)+上的极大值为____________．【答案】1【解析】【分析】由题意可得2()(

)12xfxfxxxx−=−，构造函数()()fxgxx=，可得2()()()xfxfxgxx−==12xx−，可得()gx解析式，结合(e)f的值，可得()fx解析式，求导，令()()hxfx=，利用导数可得()hx的单

调性和最值，根据特殊值()36e3e0h−−=−和(1)0h=，分析可得()fx的单调性和极值，即可得答案.【详解】由题意得2()()12xfxfxxxx−=−，令()()fxgxx=，所以2()()()xfxfxgxx−==

12xx−，则2()lngxxxc=−+，且c为常数，所以3()()lnfxxgxxxxcx==−+，所以33(e)eee3eefc=−=+−，解得2c=，所以3()ln2fxxxxx=−+，则2()ln33fxxx=−+．令2()()ln33hxfxxx==−+，则1

(16)(16)()6xxhxxxx−+=−=．当60,6x时，()0,()hxhx单调递增；当6,6x+时，()0,()hxhx单调递减，所以()hx在66x=处取得

最大值61(5ln6)062h=−．又()36e3e0h−−=−，所以306e,6x−，使()00hx=．又(1)0h=，所以当()00,xx时，()0,()0hxfx，()fx单调递减；当()0,1xx时，(

)0,()0,()hxfxfx单调递增，当(1,)x+时，()0hx，()0,()fxfx单调递减，所以当1x=时，()fx取得极大值(1)1f=．【点睛】关键点点睛：合理变形得2()()1

2xfxfxxxx−=−，并适当构造函数，根据题中数据，求得()fx解析式，并利用导数求得()fx的单调性和极值，难点在于求导得2()ln33fxxx=−+，无法判断其正负时，需再次求导，根据其导函数值的正负，可得()fx的

正负，可得()fx的单调性和极值，属中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量数据得到频率分布直方图如图所示．（1）补全频率分布直方

图；（2）若同一组数据用该组区间的中点值作为代表，据此估计这种产品质量指标值的平均数x及方差2s；（3）当一件产品的质量指标值位于()80,122.5时，认为该产品为合格品，求样本中的产品为合格品的频率．【答案】（1）作图见解析（2）100x=，2104s=（3）

0.95【解析】【分析】（1）由频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1求出)95,105对应的频率，即可补全频率分布直方图；（2）根据平均数、方差公式计算可得；（3）根据频率分布直方图求出产品的质量

指标值位于()80,122.5的频率，即可得解.小问1详解】解：由频率分布直方图得)95,105对应的频率为()10.0060.0260.0220.008100.38−+++=，由此补全频率分布直方图如图：【【小问2详解】解：由频率分布直方图

可得平均数800.06900.261000.381100.221200.08100x=++++=，方差()()222222200.06100.2600.38100.22200.08104s=−+−+++=．【小问3详解】解：质量指标值位于()

80,122.5的频率为()8580122.51150.006100.0260.0380.022100.008100.951010−−++++=．故样本中的产品为合格品的频率为0.95．18.在下列所给的三个条件中任

选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．①与直线4350xy−+=垂直；②过点(5,5)−；③与直线3420xy++=平行．问题：已知直线l过点(1,2)P−，且__________．（1）求直线l的一般式方程；（2）已知(3,16)M−，O为坐标原点，在直线l上求点N坐标，使

得||||MNON−最大．【答案】（1）3450xy++=；（2）5,03N−.【解析】【分析】（1）选择不同的条件，根据直线垂直，平行时，斜率之间的关系，以及直线方程的求解，即可求得结果；（2）求得点O

关于l的对称点Q的坐标，数形结合，求两直线的交点坐标，即可求得结果.【小问1详解】选择①与直线4350xy−+=垂直，则直线l的斜率413k=−，解得34k=−，又其过点(1,2)P−，则直线l的方程为：()3214yx+=−−，整理

得：3450xy++=；选择②过点(5,5)−，又直线l过点(1,2)P−则直线l的斜率523514k−+==−−，则直线l的方程为：()3214yx+=−−，整理得：3450xy++=；选择③与直线3420xy++=平行，则直线l的斜率34k=−，又

其过点(1,2)P−，则直线l方程为：()3214yx+=−−，整理得：3450xy++=；综上所述，不论选择哪个条件，直线l的方程均为：3450xy++=.【小问2详解】根据（1）中所求，可得直线l的方程为：3450xy++=，又(3,16)M−，设点O关于直线l的对称点为(),Qxy，则31

4yx−=−，且345022xy++=，解得68,55xy=−=−，即68Q,55−−；根据题意，作图如下：显然||||MNON−MNQNQM=−，但且仅当,,QNM三点共线时取得等号；的

又直线QM的斜率247k=−，故其方程为：8246575yx+=−+，即244077yx=−−，联立3450xy++=，可得5,03xy=−=，即点N的坐标为5,03−时，使得||||MNON−最大.19.已知函数()()1ln

R1xfxxmmx−=−+．（1）当1m=时，判断函数()fx的单调性；（2）当1x时，()0fx恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）()fx在()0,+上是单调递增的（2）2m【解析】【分析】（1）对()fx求导，从而确实()fx为正及()fx的单调性；（2）令

()()()1(m)ln1Rxxxmxg=+−−，然后分2m和m>2两种情况讨论()gx的单调性及最值，即可得答案.【小问1详解】当1m=时，()1ln1xfxxx−=−+，定义域为()0,+()()()()()22222

12111121xxxfxxxxxxx+−+=−==+++，所以()0fx¢>，所以()fx在()0,+上是单调递增的.【小问2详解】当1x时，()()1lnR1xfxxmmx−=−+，()0fx等价于()()()()1ln1gmxxxmxR=+−−，则()0gx，1g

()ln1xxmx=++−，令()1ln1mhxxx=++−，则22111()xhxxxx−=−=，当1x时，()0hx，则()gx在()1,+上是单调递增的，则()(1)2gxgm=−①当2m时，()0gx，()gx在()1,+上是

单调递增的，所以()(1)0gxg=，满足题意．②当m>2时，(1)20gm=−，(e)e1e10mmmgmm−−=++−=+，所以0(1,e)mx，使00()gx=，因为()gx在()1,+上是单调递增的所以当0(1,)xx时，

()0gx，所以()gx在0(1,)x上是单调递减的，又(1)0g=，即得当0(1,)xx时，()(1)0gxg=，不满足题意．综上①②可知：实数m的取值范围2m.20.如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面,ABCDD

E⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，点F在棱PD上，且P与E位于平面ABCD的两侧．（1）证明：CE平面PAB．（2）若5,2,3PAADABDE====，且AF在AD上的投影向量为35AD，求平面AC

F与平面ACE夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）33838−【解析】【分析】(1)先证明面面平行，进而可证明线面平行；(2)利用空间向量的坐标运算求解面面夹角的余弦值.【小问1详解】因为PA⊥平面,ABCDDE⊥平面ABCD，所以//PADE，PA平面CDE,DE平

面CDE,所以//PA平面CDE,又因为底面ABCD为矩形，所以//ABCD,AB平面CDE,CD平面CDE,所以//AB平面CDE,且,,PAABAPAAB=平面PAB,所以平面//PAB平面CDE,又因为CE平面CDE,所以CE平面

PAB.【小问2详解】因为PA⊥平面,ABCD,ABAD平面,ABCD所以,,PAABPAAD⊥⊥且ABAD⊥,所以以,,ABADAP为,,xyz轴建系如图，则(0,0,0),(2,5,0),(0,5,0),(0,0,5),(0,

5,3)ACDPE−,设()()()0,0,50,5,50,5,55AFAPPD=+=+−=−,(0,5,0)AD=因为AF在AD上的投影向量为35AD，与AD的同向单位向量为5ADADAD=，所以为AF在AD上的投影为3，即25cos,35AFAD

AFAFADAD===解得35=，所以()0,3,2AF=，且(2,5,0)AC=,(0,5,3)AE=−设平面ACF的法向量为(,,)mxyz=，所以320250AFmyzACmxy=+==+=令5,2,3xyz==−=，

所以(5,2,3)m=−，设平面ACE的法向量为(,,)nabc=，所以530250AEnbcACnab=−==+=令15,6,10abz==−=−，所以(15,6,10)n=−−，57338cos,383836

1mnmnmn===，因为平面ACF与平面ACE夹角为钝角，所以平面ACF与平面ACE夹角的余弦值为33838−.21.已知等轴双曲线22221()00axyabb−=，的右焦点为(40)F，，过右焦点F作斜率为正的直线l，直线l交双曲线的右支于P，Q两点，分

别交两条渐近线于M，N两点，点M，P在第一象限，O是原点.（1）求直线l斜率的取值范围；（2）设OMPONPOPQ，，的面积分别为123SSS，，，求312SSS的取值范围.【答案】（1）()1+，（2）2142

，【解析】【分析】（1）已知等轴和焦点坐标，可求出双曲线方程，设出直线方程，联立双曲线方程由韦达定理即可解得直线l斜率的取值范围.（2）由直线与渐近线方程联立可求出M，N两点的坐标，再求出P到两条渐近线的距离12,dd，整体代入求出122321

tSS=−，分割OPQ△利用韦达定理结合三角形面积公式，可求得228211tSOPQt+=−，进而得到312SSS关于t的函数关系式，即可得到答案.【小问1详解】已知双曲线等轴，可设双曲线方程为22221xyaa−=，因为右焦点为(4

0)F，，故4c=，由222caa=+得28a=，所以双曲线方程的方程为22188xy−=，设直线l的方程为4xty=+，联立双曲线方程得，()22222212121081880Δ01400txytytytxtyyyxx−−=−++==+

，解得01t即直线l斜率1kt=的取值范围为()1+，.【小问2详解】设()11,Pxy，渐近线方程为yx=，则P到两条渐近线的距离12,dd满足，22111111124222xyxyxydd−−+===，而41441MMxyxtxtyyt==−=+=−，224

21MMOMxyt=+=−，同理22421NNONxyt=+=+，所以121222111142142322221211OMdONdddttStS===−+−，由()2222818804xytytyxty−=−++==+，()2

23218212421PQPQPQtOFyyyyySyt+=−=+−=−，所以2312224StSS+=，01t，3122142SSS，22.已知函数()2ln1fxxax=−+（1）若()fx存在零点，求实数a的取值范围；（2）若0x是()fx的零点，求证：0

0220032e1.xxaxx−−【答案】（1）2e,e−（2）证明见解析【解析】【分析】（1）令()2ln10(0)fxxaxx=−+=，变形得2ln1xax+=，令2ln1()(0)xgxxx+=，求出函数()gx的值域

，即可求得实数a的范围；（2）由题意可得，()0002ln10fxxax=−+=，得002ln1xax+=，要证00220032e1xxaxx−−，即证0000032e12ln1xxxxx−−+，先证000322ln1xxx−+，只需证0

01ln1xx+，令()1()ln0txxxx=+，求出函数的最小值即可得证；再证000e12ln1xxx−+，令()2ln1hxxx=+−，证明()()hxkx即可得证.【小问1详解】令()2ln10(0)fxxaxx=−+=，变形得2ln1xax+=，令2ln1()(0)xgxxx

+=，问题转化成ya=与()gx有交点，令212ln()0xgxx−==，解得ex=，则()gx在(0,e)x上单调递增，在(e,)x+上单调递减，故maxe22()(ee)egxg===，又当0x→时，()gx→−，e2ea，故实数a的取值范围为2e,

e−.【小问2详解】由题意可得，()0002ln10fxxax=−+=，得002ln1xax+=，要证00220032e1xxaxx−−，即证000022000322ln1e1(0)xxxxxxx−+−，即证0000032e12ln1xxxx

x−−+，先证000322ln1xxx−+，只需证001ln1xx+，令()1()ln0txxxx=+，则21()xtxx−=，()tx在(0,1)x上单调递减，在(1,)x+上单调递增，故min()(1)1txt==，()1tx，左

边证毕，再证000e12ln1xxx−+，令()2ln1hxxx=+−，2()xhxx−=，()hx在(0,2)x上单调递增，在(2,)x+上单调递减，故max()(2)2ln21hxh==−；令e1()xkxxx

−=−，22ee1(1)(1e)()1xxxxxxkxxx−+−−+−=−=，对于函数1exyx=+−，0x，则1e0xy=−，原函数单调递减，故1e0xyx=+−令()0kx=，解得1x=，()kx在(0,1)x

上单调递减，在(1,)x+上单调递增，故min()(1)e2kxk==−e22ln21−−，()()hxkx，即e12ln1xxxxx−+−−，故000e12ln1xxx−+，右边证毕，则0022003

2e1xxaxx−−得证.【点睛】本题考查了函数的零点问题、单调性及最值，考查了计算能力及逻辑推理能力，需要构造新的函数来解决所求问题，属于难题.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com