【文档说明】新人教版高中数学教材例题课后习题 必修一 2．1 等式性质与不等式性质 Word版含解析.docx，共(11)页，345.400 KB，由小赞的店铺上传

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第二章一元二次函数､方程和不等式2.1等式性质与不等式性质例1比较()()23xx++和()()14xx++的大小.分析：通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系.解：因为()()()

()2314xxxx++++−()()225654xxxx=++−++20=.所以()()()()2314xxxx++++.例2已知0ab，0c，求证ccab分析：要证明ccab，因为0c.所以可以先证明11ab.利用已知0ab和性质3，即可证明11ab.证明：因为0a

b.所以0ab，10ab.于是1ababab，即11ba由0c，得ccab.练习1.用不等式或不等式组表示下面的不等关系:(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位:m)从

地面算起不能超过4m;(2)a与b的和是非负实数;(3)如图,在一个面积小于2350m的矩形地基的中心位置上建造一个仓库,仓库的四周建成绿地,仓库的长L(单位m)大于宽W(单位:m)的4倍...【答案】(1)04h;(2)

0ab+…;(3)40(10)(10)350.LWLW++，【解析】【分析】由题意转化为不等关系即可【详解】（1）04h；（2）0ab+；（3）由题,则矩形地基的长为()10L+m,宽为()10W+m,则40(10)(10)350LWLW

++【点睛】本题考查不等关系在实际中的应用,属于基础题2.比较()()37xx++和()()46xx++的大小.【答案】()()()()3746xxxx++++.【解析】【分析】将两式作差即可比较大小.【详解】解：()()x3x7++-()()x4x6

++=()22x10x21x10x24.++−++=-3<0所以()()()()x3x7x4x6++++【点睛】本题考查了作差法比较大小，考查了基本运算求解能力，属于基础题.3.已知ab,证明2abab+.【答案】证明见解析

【解析】【分析】由ab,通过分别考查a与2ab+的差、2ab+与b的差与0的大小关系,即可证明【详解】证明:因为ab,所以0ab−,0ba−,所以2()0222abaababa+−+−−==,所以2aba+,因为()20222abab

babb++−−−==,所以2abb+,综上,ab时,2abab+.【点睛】本题考查利用作差法证明不等式,属于基础题练习4.证明不等式性质1,3,4,6.【答案】证明见解析【解析】【分析】作差后利用差与0的关系及“同号得正，异号得负”即可

判断两式大小,进而证明即可【详解】证明:①证明不等式性质1:(1)ab,0ab−,()0ab−−,0ba−,ba；(2)ba,0ba−,()0ba−−,0ab−,ab.

②证明不等式性质3:ab,0ab−,()()0acbcacbcab+−+=+−−=−,acbc++③证明不等式性质4:(1)ab,0ab−,0cQ,()0acbcabc−=−,acbc；(2

)ab,0ab−,0c,()0acbcabc−=−,acbc④证明不等式性质6:0ab,0ab−,0cQ,()0acbcabc−=−,acbc；0cd,0cd−,0b,()0bcbdbcd−=−,bcbd；acbcb

d,即acbd【点睛】本题考查作差法证明不等式性质,考查“同号得正,异号得负”的应用5.用不等号“>”或“<”填空:(1)如果ab,cd,那么ac−______bd−;(2)如果0ab,0cd,那么ac____bd;(3)如果0ab,那么21a_

___21b;(4)如果0abc,那么ca____cb.【答案】①.>②.<③.<④.<【解析】【分析】根据不等式的性质依次填写即可【详解】解析:(1)cd,cd−−.ab,acbd−

−.(2)0cdQ,0cd−−.0ab,acbcbd−−−,acbd.(3)0ab,0ab,10ab,110ababab,110ba,2211ba,即2211ab.(4)0ab,所以0ab,10

ab.于是1ababab,即11ba,即11ab.0cQ,ccab.故答案为:(1)>；(2)<；(3)<；(4)<【点睛】本题考查利用不等式性质判断不等关系,熟练掌握不等式性质是解题关键习题2.1复习巩

固6.举出几个现实生活中与不等式有关的例子【答案】见解析【解析】【分析】举生活中的儿童乘车票价和桥洞通道限高，答案不唯一.【详解】解：（1）身高1.2~1.5m的儿童随同成年人乘坐火车，享受半价优惠，则享受半价优惠儿童的身高()hm的范围.（2）限高5m的桥洞通

道.【点睛】本题主要考查了生活中的不等关系，属于基础题.7.某市环保局为增加城市的绿地面积，提出两个投资方案：方案A为一次性投资500万元；方案B为第一年投资100万元，以后每年投资10万元，列出不等式表示“经过n年之后，方案B的投入不少于方案

A的投入”.【答案】41n…【解析】【分析】根据题意得出经过n年之后，方案B的总投入的表达式，解不等式10010(1)500n+−…，即可得出结论.【详解】方案A：一次性投资500万元；方案B：第一年投资100万元两年后总投资为(10010)+万元三年后

总投资为(100102)+万元……n年后总投资为[10010(1)]n+−万元由于n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入，所以10010(1)500n+−…，即41n….【点睛】本题主要考查了利用不等式表示不等关系，属于

基础题.8.比较下列各组中两个代数式的大小：（1）256xx++与2259xx++；（2）2(3)x−与(2)(4)xx−−；（3）当1x时，2x与21xx−+；（4）221xy++与2(1)xy+−.【答案】（1）2256259xxxx++++.（2）2(3)(2)(4)xxx−−−.（

3）221xxx−+.（4）2212(1)xyxy+++−.【解析】【分析】利用作差法比较大小即可.【详解】解：（1）因为()()2225625930xxxxx++−++=−−，所以2256259xxxx++++.（2）因为()

()222(3)(2)(4)696810xxxxxxx−−−−=−+−−+=，所以2(3)(2)(4)xxx−−−.（3）因为()22110xxxx−−+=−，所以当1x时，221xxx−+.（4）因为222222

12(1)1222(1)(1)10xyxyxyxyxy++−+−=++−−+=−+−+，所以2212(1)xyxy+++−.【点睛】本题主要考查了利用作差法比较大小，属于基础题.9.一个大于50小于60的两位数，其个位数字比十位数字大2，试用不等

式表示上述关系，并求出这个两位数（用a和b分别表示这个两位数的十位数字和个位数字）.【答案】57【解析】【分析】根据不等关系得出不等式组，求解即可得出结论.【详解】解：由题意知50106020909abbaab+−=„剟，解得43451111

a.又*,5aNa=7b=，∴所求的两位数为57.【点睛】本题主要考查了利用不等式表示不等关系，属于基础题.10.已知23a，21b−−，求2ab+的范围.【答案】225ab+【解析】【分析】根据不等式的性质可得出答案.【详解】解

：23a，426a，又21b−−，225ab+.11.证明：cb，baca.【答案】证明见解析【解析】【分析】根据同向不等式的可加性证明即可.【详解】证明：0()()000cbcbcbbacacababa−−+−−

−.故得证.综合运用12.已知0ab，0cd，0e，求证：eeacbd−−．【答案】>eeacbd−−【解析】【分析】通过0cd可知0cd−−，从而0acbd−−，求倒数可知110acbd−−，两边同时乘以

负数即得结论．【详解】0cdQ，0cd−−，又0ab，0acbd−−，110acbd−−，又0e，eeacbd−−．【点睛】本题考查不等式的证明，利用不等式的性质是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．13.下列不等式中成立的是（）A.

若0ab，则22acbcB.若0ab，则22abC.若0ab，则22aabbD.若0ab，则11ab【答案】B【解析】【分析】A，如0c=时，22acbc=，所以该选项错误；BCD，利用作差法比较大小分析得解.【详

解】A.若0ab，则22acbc错误，如0c=时，22acbc=，所以该选项错误；B.若0ab，则2222()()0,abababab−=+−，所以该选项正确；C.若0ab，则22()0,aabaabaab−=−，所以该选项错误；D.若0ab，

则11110,baababab−−=，所以该选项错误.故选：B14.证明：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积，并据此说明，人们通常把自来水管的横截面制成圆形，而不是正方形的原因.【答案】见解析【解析】【分析】设圆的周长与正方形的周长均为x，由圆的面积以及正方形的

面积公式求出圆和正方形的面积，利用作差法证明圆的面积大于正方形的面积，即可得出相同周长的圆和正方形的截面，圆的截面面积大.【详解】证明，设圆的周长与正方形的周长均为x，则圆的面积22124xxS==，正方形的面积，22222212(4)04

1641616xxxxxSSS==−=−=−，12SS.∴相同材料制成的自来水管，截面为圆的截面面积大，因而出水快.【点睛】本题主要考查了利用作差法比较大小，属于中档题.15.已知b克糖水中含有a克糖(0)ba，再添加m克糖(0)m（假设全部溶解），糖

水变甜了，请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立.【答案】aambbm++，证明见解析【解析】【分析】根据添加后的浓度大于之前的浓度，得出aambbm++，利用作差法证明不等式aambbm++成立即可.【详解】解：0,0bam

时，aambbm++.证明如下：()()(),()()()aamabmbamabambabmmabbbmbbmbbmbbm++−++−−−−===++++0,0,0,0,0baabbmbm−+，()0,()mabaa

mbbmbbm−+++.【点睛】本题主要考查了利用不等式表示不等关系以及作差法证明不等式，属于中档题.拓广探索16.已知0ab，求证ab.【答案】见解析【解析】【分析】利用作差法证明不等式即可.【详

解】证明：0,0,0ababab−+，()()0,ababababababab−+−−==++.【点睛】本题主要考查了利用作差法证明不等式，属于基础题.17.火车站有某公司待运的甲种货物1530t，乙种货物1150t，现计划用A，B两种型号的货厢

共50节运送这批货物，已知35t甲种货物和15t乙种货物可装满一节A型货厢，25t甲种货物和35t乙种货物可装满一节B型货厢，据此安排A，B两种货厢的节数，共有几种方案？若每节A型货厢的运费是0.5万元，每节B型货用

的运费是0.8万元，哪种方案的运费较少？【答案】见解析【解析】【分析】根据不等关系列出相应不等式以及方程，解出,AB型货厢的节数，可分为三种方案，根据相应货厢的运费，得出方案三运费较少.【详解】解：设安排

A型货厢x节，B型货厢y节，总运费为z所以352515301535115050xyxyxy+++=……，所以2830x剟又因为*xN，所以2822xy==或2921xy==或3020xy==.所以共有三种方案，方案一安排A型货厢28节，B型货厢2

2节；方案二安排A型货厢29节，B型货厢21节；方案三安排A型货厢30节，B型货厢20节.当3020xy==时，总运费0.5300.82031z=+=（万元）此时运费较少.