【文档说明】【精准解析】湖北省鄂州高中2020届高三下学期3月月考数学（理）试题.doc，共(23)页，1.877 MB，由管理员店铺上传

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鄂州高中2019-2020高三下学期3月月考理数一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{0,}Mx=，{1,2}N=，若{2}

MN=，则MN的子集个数为（）A.2B.4C.6D.8【答案】D【解析】【分析】先求出集合M，再求出MN，即可得解.【详解】{2}MN=，2M即{0,2}M=，0,1,2MN=，MN子集个数为328=个.故选：D.【点睛】本

题考查了集合的运算和子集的概念，属于基础题.2.在复平面内，复数121izi−=+对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】试题分析：1213122iii−=−−+在复平面内所对应的点坐标为，位于第三象限，故选C．考点：复数的代数运算及几何

意义．3.设()fx为奇函数，当0x时，2()logfxx=，则116ff=（）A.2−B.12C.4−D.14【答案】A【解析】【分析】先计算1416f=−，再利用奇函数的性质(

)()44ff−=−即可得解.【详解】由题意()()2211log44log421616fffff==−=−=−=−.故选：A.【点睛】本题考查了复合函数函数值的求法和函数奇偶性的应用，属于基础题.4.设{an}

为等比数列，{bn}为等差数列，且Sn为数列{bn}的前n项和.若a2＝1，a10＝16且a6＝b6，则S11＝（）A.20B.30C.44D.88【答案】C【解析】【分析】设等比数列{an}的公比为q，由a2＝1，a10＝16列式求得q

2，进一步求出a6，可得b6，再由等差数列的前n项和公式求解S11.【详解】设等比数列{an}的公比为q，由a2＝1，a10＝16，得810216aqa==，得q2＝2.∴4624aaq==，即a6＝b6＝4，又Sn为等差数列{b

n}的前n项和，∴()1111161111442bbSb+===.故选：C.【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及性质，训练了等差数列前n项和的求法，是中档题.5.设α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，下列说法正确的是（）A.若α⊥β，α∩β＝

m，m⊥n，则n⊥βB.若α⊥β，n∥α，则n⊥βC.若m∥α，m∥β，则α∥βD.若m⊥α，m⊥β，n⊥α，则n⊥β【答案】D【解析】【分析】根据直线、平面平行垂直的关系进行判断．【详解】由α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，知：在A中，若α⊥β，α∩β＝m，

m⊥n，则n与β相交、平行或n⊂β，故A错误；在B中，若α⊥β，n∥α，则n与β相交、平行或n⊂β，故B错误；在C中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若m⊥α，m⊥β，则α∥β，∴若n⊥α，则n⊥β，故D正确.故选

：D.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的益关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.6.如图是数学界研究的弓月形的一种，,,ACCDDB是以AB为直径的圆的内接正六边形的三条邻边，四个半圆的直径分别是,,,ABACCDDB，在整个图形中随机取一点，则此点取

自阴影部分的概率是（）A.63633−+B.63633++C.2323+D.632633−+【答案】A【解析】【分析】由题意分别算出阴影部分的面积和总面积后即可得解.【详解】不妨设六边形的边长为1，由题意得21+231163+3=+3=22228S总，63+

363==828SSS−−−=阴影总半圆，6363863+36338SPS−−===+阴影总.故选：A.【点睛】本题考查了几何概型概率的求法，属于基础题.7.已知函数()2sin()(0,0)fxx

=+的部分图象如图所示，则()yfx=的解析式可以为（）A.72sin56yx=+B.72sin106yx=+C.752sin106yx=+D.752sin56yx=+【答案】D【解析】【分析】由图可得()()0100ff=

即可求出，图像过点5,06即可求出，即可得解.【详解】由图像可知()()0100ff=即2sin12cos0=，0，0，56=.又图像过点5,06即552sin()066+=，()5566k

kZ+=，()615kkZ=−+，当2k=时，75=.则75()2sin56fxx=+.故选：D.【点睛】本题考查了三角函数()sinyAωxφ=+解析式的确定和导数的

应用，属于中档题.8.已知向量()1,3b=，向量a在b方向上的投影为6−，若()abb+⊥，则实数的值为（）A.13B.13−C.23D.3【答案】A【解析】【分析】设(),axy=r，转化条件得362xy+=−，()34xy+=−，整体代换即可得解.【详解】设(),ax

y=r，a在b方向上的投影为6−，362abxyb+==−即312xy+=−.又()abb+⊥，()0abb+=即1330xy+++=，()34xy+=−即124−=−，解得13=.故选：A.【点睛】本题考查了向量数量积的应用，属于中档题.9.已知

双曲线2222:1(0,0)xyMabab−=的一条渐近线与y轴所形成的锐角为30，则双曲线M的离心率为（）A.233B.3C.2D.233或2【答案】C【解析】【分析】转化条件得3ba=，再利用222abea+=即可得解.【详解】

由题意可知双曲线的渐近线为byxa=，又渐近线与y轴所形成的锐角为30，tan603ba==o，双曲线离心率2222abea+==.故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的性质，属于基础题.10.设正方体1111ABCDABCD−的棱长

为1，E为1DD的中点，M为直线1BD上一点，N为平面AEC内一点，则M，N两点间距离的最小值为（）A.63B.66C.34D.36【答案】B【解析】【分析】本道题结合直线与平面平行判定，证明距离最短即为计算1BD与OE的距离，计算，即可．【详解】结合题意，绘制图形结合题意可知OE是三角形1

BDD中位线，题目计算距离最短，即求OE与1BD两平行线的距离，111,3,2DDBDBD===，所以距离d，结合三角形面积计算公式可得1111222SBDDDBDd==，解得66d=，故选B．【点睛】本道题考查了直线与平面平行的判定，难度较大．11.已知直线1:310lmxym

−−+=与直线2:310lxmym+−−=相交于点P，线段AB是圆22:(1)(1)4Cxy+++=的一条动弦，且||23AB=，则||PAPB+的最大值为（）A.32B.82C.52D.822+【答案】D【解析】【分析】由已知可得点P的轨迹为22(2)(2)2xy−+−=

，将||PAPB+转化为点P到弦AB的中点D的距离的两倍，利用图形即可得解.【详解】由题意得圆C的圆心为()1,1−−，半径2r=，易知直线1:310lmxym−−+=恒过点()3,1，直线2:310lxmym+−−=恒

过()1,3，且12ll⊥，点P的轨迹为22(2)(2)2xy−+−=，圆心为()2,2，半径为2，若点D为弦AB的中点,位置关系如图：2PAPBPD+=.连接CD，由||23AB=易知()2431CD=-=.22maxmax332142

1PDPCCD=+=+++=+，maxmax||2822PAPBPD+==+.故选：D.【点睛】本题考查了直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系以及向量的线性运算，考查了转化化归思想和数形结合的思想，属于难题.12.已知不等式3ln1lnxxmxn−++

…（,mnR，且3m−）对任意实数0x恒成立，则33nm−+的最大值为（）A.2ln2−B.ln2−C.ln21−D.ln22−【答案】B【解析】【分析】转化条件得()3ln1xmxn−+−…，求出()()3lnfxxmx=−+的最小值后即可得()()()33ln31mmm

n+−++−，可得()321ln333nmmm−−+−++，最后求出()()21ln0gxxxx=−−的最大值即可得解.【详解】由题意得()3ln1xmxn−+−…恒成立，令()()3lnfxxmx=−+，则

()()()30xmfxxx−+=，若30m+，()0fx，()fx单调递增，当0x+→时()fx→−，不合题意；若30m+，当()0,3xm+时，()0fx，()fx单调递减，当()3,xm++时，()0fx，()fx单调递增，所以()f

x最小值为()3fm+.()()()()333ln31fmmmmn+=+−++−，()()()()()33ln32321ln33333mmmnmmmmm+−++−−=−+−−+++，令()()21ln0gxxxx=−−，则()()221220xgxxxxx−+=

−+=，当()0,2x时，()0gx，()gx单调递减，当()2,x+时，()0gx，()gx单调递增，()()2ln2gxg=−，()21ln3ln23mm−+−−+即33nm−+的最大值为ln2−.故选：B.【点睛】本题考查了导数的应用和

恒成立问题的解决方法，考查了转化化归的思想，属于难题.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知1tan2=，则2cossin2+的结果为____.【答案】85【解析】【分析】转化条件得2sincos=，22cos

sin22cos+=，求出2cos后即可得解.【详解】1tan2=，sin1cos2=即2sincos=，22221sincoscoscos14+=+=即24cos5=，2228cossin2cos2sincos2cos5

+=+==.故答案为：85.【点睛】本题考查了同角三角函数关系的应用和二倍角公式的应用，属于基础题.14.设样本数据122019,,,xxx的方差是5，若213(1,2,,2019)iiyxi=−=

，则122019,,,yyy的方差为_______【答案】20.【解析】【分析】利用方差的性质直接求解即可.【详解】因为样本数据122019,,,xxx的方差是5，若213(1,2,,2019)iiyxi=−=，所以122019,,,yy

y的方差为25220=.故答案为：20【点睛】本题考查了方差的性质，属于基础题.15.某单位在庆祝新年的联欢晚会中，要安排一个有6个节目的节目单，要求歌曲A和舞蹈A相邻，且歌曲A要排在舞蹈A的前面；歌曲B和舞蹈B不相邻，且歌曲B和舞蹈B均不排在最后，则这6个节目的排法有____种

.【答案】36【解析】【分析】先用捆绑法把歌曲A和舞蹈A看成一个整体，再和其他两个节目全排列，最后把歌曲B和舞蹈B插空即可得解.【详解】把歌曲A排在舞蹈A前面后把两个节目看成一个整体，再和其他两个节目全排列，有33A种排法，再用歌曲B和舞蹈B插空且均不排在最后，有23A种排法.所以共有323336

AA=种排法.故答案为：36.【点睛】本题考查了排列组合的应用，属于基础题.16.在边长为23的菱形ABCD中，60A=，沿对角线BD折起，使二面角ABDC−−的大小为120，这时点,,,ABCD在同一个球面上，则该球的表面积为__

__.【答案】28【解析】【分析】取BD的中点E,连接AE、CE，可知外接球的球心在面AEC中，再作OGCE⊥，分别求出OG与CG的长度后即可得解.【详解】如图1，取BD的中点E,连接AE、CE，由已知易知面AEC⊥面BCD，则外接球的球心在面AEC中.由二面角ABDC−−的大

小为120可知120AEC=.在面AEC中，设球心为O，作OGCE⊥，连接OE，易知O在面BCD上的投影即为G，OE平分AEC，G为BCD的中心，22CGGE==，tan603OGGE=

=，227OCGCGO=+=，()2=47=28S球.故答案为：28【点睛】本题考查了立体图形外接球体积的求解，考查了空间想象能力，属于中档题.三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证

明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答）（-）必考题：共60分.17.已知向量3cos,12xm=，2sin,cos22xxn=−，设函1()2fxmn=+.在ABC中，角,,A

BC的对边分别是,,abc，1()2fA=.（1）求A的大小；（2）若3a=，2cos()cos4sinBCAC−+=，求c的大小.【答案】（1）3A=（2）3c=【解析】【分析】（1）转化条件得()sin6fxx=−，由1(

)2fA=即可得解；（2）转化条件得sin2sinBC=，利用正弦定理可得2bc=，利用余弦定理即可得解.【详解】根据题意得21131cos1()3sincoscossin22222222xxxxfxmnx+=+=−+=−+31sincossin226xxx=−=−.（1）

因为1()sin62fAA=−=，且0A，所以3A=（2）因为2cos()cos4sinBCAC−+=.所以()2cos()cos4sinBCBCC−−+=，所以22sinsin4sinBCC=.因为sin0C，所以sin2sin

BC=.根据正弦定理得2bc=.又由余弦定理，得2222cosabcbcA=+−，即22219442ccc=+−，解得3c=.【点睛】本题考查了向量数量积的运算、三角恒等变换和解三角形的应用，属于中档题.18.如图，AB是半圆

O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4.（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当C点为半圆的中点时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）26−【解析】【分析】（1）由BC⊥AC，BC⊥CD得B

C⊥平面ACD，证明四边形DCBE是平行四边形得DE∥BC，故而DE⊥平面ACD，从而得证面面垂直；（2）建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小.【详解】（1）证明：∵AB是圆O的直径，∴AC⊥B

C，∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC，又DC∩AC＝C，∴BC⊥平面ACD，∵DC∥EB，DC＝EB，∴四边形DCBE是平行四边形，∴DE∥BC，∴DE⊥平面ACD，又DE⊂平面ADE，∴平

面ACD⊥平面ADE.（2）当C点为半圆的中点时，AC＝BC＝22，以C为原点，以CA，CB，CD为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则D（0，0，1），E（0，22，1），A（22，0，0），B（0，22，0），∴AB

=uuur（﹣22，22，0），BE=（0，0，1），DE=uuur（0，22，0），DA=（22，0，﹣1），设平面DAE的法向量为m=（x1，y1，z1），平面ABE的法向量为n=（x2，y2，z2），则00mDAmDE==，00nABnBE==

，即111220220xzy−==，222222200xyz−+==，令x1＝1得m=（1，0，22），令x2＝1得n=（1，1，0）.∴cos12632mnmnmn===<，>.∵二面角D﹣AE﹣B是钝二面角，∴二面

角D﹣AE﹣B的余弦值为26−.【点睛】本题考查了面面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题.19.2019年是中华人民共和国成立70周年．为了让人民了解建国70周年的风雨历程，某地的民调机构随机选取了该地的100

名市民进行调查，将他们的年龄分成6段：[20,30)，[30,40)，…，[70,80]，并绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）现从年龄在[20,30)，[30,40)，[40,50)内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机选取3人进行座谈，用X表示年龄在[30,40

)）内的人数，求X的分布列和数学期望；（2）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有k名市民的年龄在[30,50)的概率为()(0,1,2,,20)PXkk==．当()PXk=最大时，求k的值．【

答案】（1）分布列见解析,34EX=（2）7【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图及抽取总人数，结合各组频率值即可求得各组抽取的人数；X的可能取值为0，1，2，由离散型随机变量概率求法即可求得各概率值，即可得分布列；由数学期望公式即可求得其数学期望.（2）先求得年龄在[30,50)内

的频率，视为概率.结合二项分布的性质，表示出2520()(0.35)(10.35)kkkPXkC−==−，令()(1)PXktPXk===−，化简后可证明其单调性及取得最大值时k的值．【详解】（1）按分层抽样的方法拉取的8人中，年龄在[20,30)的人数为0.005810.0050.01

00.025=++人，年龄在[30,40)内的人数为0.010820.0050.0100.025=++人．年龄在[40,50)内的人数为0.025850.0050.0100.025=++人．所以X的可能取

值为0，1，2．所以3062385(0)14CCPXC===，12382615(1)28CCPXC===，1262383(2)28CCPXC===，所以X的分市列为X012P5141528328515330121428284=++=

EX．（2）设在抽取的20名市民中，年龄在[30,50)内的人数为X，X服从二项分布．由频率分布直方图可知，年龄在[30,50)内的频率为(0.0100.025)100.35+=，所以~(20,0,35)XB，所以2520()(0.35)(10.35)(0

.1.2,.20)−==−=kkkPXkCk．设2020112120()(0.35)(10.35)7(21)(0.1.2,,20)(1)(0.35)(10.35)13−−−−=−−=====−−kkkkkkPXkCktkPXkCk，若1t，则7.35k，(1)()PXkPXk=−=；若1

t，则7.35k，(1)()PXkPXk=−=．所以当7k=时，()PXk=最大，即当()PXk=最大时，7k=．【点睛】本题考差了离散型随机变量分布列及数学期望的求法，二项分布的综合应用，属于中档题.20.已知椭圆G：22162

xy+=的右焦点为F，过F的直线l交椭圆于A、B两点，直线与l不与坐标轴平行，若AB的中点为N，O为坐标原点，直线ON交直线x＝3于点M.（1）求证：MF⊥l；（2）求ABMF的最大值，【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分

析】（1）由题意的方程可得右焦点F的坐标，由题意设直线l的方程与椭圆联立可得两根之和，求出AB的中点N的坐标，进而可得直线ON的斜率，求出直线ON的方程，令x＝3可得M的纵坐标，即求出M的坐标，求出直线MF的斜率可证得与直线l的斜率互为负倒数，所以可证得MF

垂直直线l；（2）由（1）MF，AB的值，求出两者之比，由均值不等式可得ABMF的最大值.【详解】（1）由椭圆的方程开发右焦点F的坐标（2，0），有题意设直线AB的方程为x＝my+2，设A（x1，y2），B（x2，y2），222360xmyxy=++

−=整理可得（3+m2）y2+4my﹣2＝0，y1+y2243mm=−+，y1y2223m−=+，所以AB的中点N的纵坐标yN223mm−=+，代入直线AB的方程可得N的横坐标xN2223mm−=++2263m=+，即N（263m+，223mm−+

），所以kON2223633mmmm−−+==+，所以直线ON的方程为：y3m=−x，令x＝3，所以y＝﹣m，即M（3，﹣m），所以kMF32m−==−−m，而lk1m=，所以kMF•lk＝﹣1，所以MF⊥l；（2）由（1）可得|MF|222(32)1mm

=−+=+，|AB|21m=+|y1﹣y2|()22222221212222222611682611()411(3)333mmmmyyyymmmmmm++=++−=++=+=++++，所以()2222222222611261261262632331222111mABmmMF

mmmmmm+++=====++++++++，当且仅当22211mm+=+，即m＝±1时取等号.所以ABMF的最大值为3.【点睛】本题考查线段的中点的求法，即两条直线的交点的求法和直线垂直的求法，即直线与椭圆的综合，解题中使用了设而

不求的思想方法，这是直线与圆锥曲线相交问题中常用方法，本题属于中档题.21.已知函数()2()4xfxxxe−=+−.（1）若不等式()fxm„在区间[1,3]上有解，求实数m的取值范围；（2）已知函数()()Fxfxax=−，aR，若0x是()Fx的极大值点，求()0Fx的取值范围.【答案

】（1）2,e−+（2）4444,e−【解析】【分析】（1）转化条件得min()fxm„，利用导数求出()fx在区间[1,3]上的最小值即可；（2）求导得()2()5xFxxxea−=

−++−，由极大值可得可知014x−且()02005xaxxe−=−++，则()(0300044)xFxxxe−=−−，利用导数求出()3()44xhxxxe−=−−在014x−的值域即可得解.【详解】（1）若不等式()fxm„在[1,3]x上有解，则min()

fxm„.因为()2()4xfxxxe−=+−，所以()2()5xfxxxe−=−++.令22121()524gxxxx=−++=−−+，[1,3]x，则易知()gx在[1,3]x上单调递减，

且(1)50g=，(3)10g=−.故存在1(1,3)x，使得()fx在区间)1[1,x上单调递增，在区间1(,3]x上单调递减.所以，当[1,3]x时，min2()min{(1),(3)}fxf

fe==−，故实数m的取值范围为2,e−+.（2）由题意知()2()()4xFxfxaxxxeax−=−=+−−，所以，()2()5xFxxxea−=−++−.记()2()5xGxxxe−=−++，则()(1)(4)xGxxxe−=+−，所以，()Gx仅在在区间(1,4)−

上单调递减.若0x是()Fx的极大值点，则014x−，且()02005xaxxe−=−++，所以，()()()0023000000444xxFxxxeaxxxe−−−−−=+−=记()3()44xhxx

xe−=−−，则()(1)(4)xhxxexx−=−+−.所以，()hx在区间(1,0)−上单调递减，在区间(0,4)上单调递增，易知(0)4h=−，(1)he−=−，444(4)he=，所以，当(1,4)x−时，4444()hxe−„，所以，

()04444Fxe−，即()0Fx的取值范围为4444,e−.【点睛】本题考查了导数的应用和存在问题的解决方法，考查了转化划归思想和计算能力，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy中，

设倾斜角为的直线2cos:3sinxtlyt=+=+（t为参数）与曲线2cos:sinxCy==（为参数）相交于不同的两点,AB.（1）若3=，求线段AB中点M的坐标；（2）若2PAPBOP=，其中()23P,，求直线l的斜率.【答

案】（1）123,1313−；（2）54.【解析】试题分析：（1）将曲线C的参数方程化为普通方程，当3=时，设点对应参数为0t．直线l方程为122{332xtyt=+=+代入曲线

C的普通方程2214xy+=，得21356480++=tt，由韦达定理和中点坐标公式求得12028213ttt+==−，代入直线的参数方程可得点的坐标；（2）把直线的参数方程代入椭圆的普通方程可得关于参数t的一元二次方程，由已知条件和韦达定理可得22127cos4sin=+，求得tan

的值即得斜率.试题解析：设直线l上的点，对应参数分别为1t，2t．将曲线C的参数方程化为普通方程2214xy+=．（1）当3=时，设点对应参数为0t．直线l方程为122{332xtyt=+=+（t为参数）．代

入曲线C的普通方程2214xy+=，得21356480++=tt，则12028213ttt+==−，所以，点的坐标为123,1313−．（2）将2cos{3sinxtyt=+=+代入2214xy+=，

得()()222cos4sin83sin4cos120tt++++=，因为122212cos4sintt==+，27=，所以22127cos4sin=+．得25tan16=．由于()

32cos23sincos0=−，故5tan4=．所以直线l的斜率为54．考点：直线的参数方程与椭圆参数方程及其在研究直线与椭圆位置关系中的应用.23.已知函数()|2||1|()fxxmxmR=+−−.（1）若2m=−，解不等式

()5fx…；（2）若()|5|fxmx+„，求m的最小值.【答案】（1）5(,1],3−−+（2）12【解析】【分析】（1）转化条件得3,1()4,213,2xxfxxxxx=−−−−，分类讨论即可得解；（2）转化条件得|2||5||1|xmxx+

++−…恒成立，令|2|()|5||1|xgxxx+=++−，分类讨论求出()gx最大值即可得解【详解】（1）当2m=−时，3,1()4,213,2xxfxxxxx=−−−−，()5fx…可转化为135xx或2145xx−

−或235xx−−，所以不等式的解集为5(,1],3−−+.（2）根据题意，xR，|2||1||5|xmxmx+−−+„，即xR，|2||5||1|xmxx+++−….记不等式右边函数为()gx

，根据题意()())1,(,5][1,)21()2,(5,2)612,2,16xgxxxxx−−+=−+−−+−于是()gx的值域为10,2，因此实数m的最小值为12.【点睛】本题考查了绝对

值不等式的解法和恒成立问题的解决，考查了转化划归思想和分类讨论思想，属于中档题.