【文档说明】2020年高考真题——数学（海南卷）.pdf，共(14)页，446.840 KB，由envi的店铺上传

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12020年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷）数学1.设集合{|13}Axx，{|24}Bxx，则AB（）A.{|23}xxB.{|23}xxC.{|14}xxD.{|14}xx答案：C解析：由题可知{|14}ABxx，∴选C.2.212ii（）A

.1B.1C.iD.i答案：D解析：2(2)(12)512(12)(12)5iiiiiiii.3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，

则不同的安排方法共有（）A.120种B.90种C.60种D.30种答案：C解析：126560CC.4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间，把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是

指过点A且与OA垂直的平面，在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40，则晷针与点A处的水平面所成角为（）2A.20B.40C.50D.90答案：B解析：如图所示,由题意可知直线l与AC夹角，即为所求

角，∴40DAO，故选B.5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A.62

%B.56%C.46%D.42%答案：C解析：由Venn图可知，既喜欢足球又喜欢游泳的学生所占比60%82%96%46%X，故选C.6.基本再生数0R与世代间隔T是新冠肺炎的流行学基本参数，基本再生数指一

个感染者传3染的平均人数，世代间隔指间隔相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：()rtIte描述累计感染病例数()It随时间t（单位：天）的规律，指数增长率r与0R，T近似满足01RrT，有学者基于已有数据估计出03.28R，6T，据此

，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（ln20.69）（）A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天答案：B解析：03.28R，6T，01RrT，∴3.2816r，得0.38r，∴0.38()2tIte，∴0

.38ln2t，∴0.380.69t，1.8t.7.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则APAB的取值范围是（）A.(2,6)B.(6,2)C.(2,4)D.(4,6)

答案：A解析：如图，建立平面直角坐标系Axy，由题意知(0,0)A，(2,0)B，(3,3)C，(1,3)F，设(,)Pxy，则13x，∵(,)(2,0)2APABxyx，∴226x，∴APAB的取

值范围是(2,6).8.若定义在R的奇函数()fx在(,0)单调递减，且(2)0f，则满足(1)0xfx的x的取值范围是（）A.[1,1][3,)B.[3,1][0,1]C.[1,0][1,)4D.[1,0][1,3]答案：D解析：∵()fx为R上奇函数，在

(,0)单调递减，∴(0)0f，(0,)上单调递减.由(2)0f，∴(2)0f，由(1)0xfx，得0(1)0xfx或0(1)0xfx，解得13x或10x，∴x的取值范围是[1,0][1,3]，∴

选D.9.已知曲线22:1Cmxny（）A.若0mn，则C是椭圆，其焦点在y轴上B.若0mn，则C是圆，其半径为nC.若0mn，则C是双曲线，其渐近线方程为myxnD.若0m，0n，则C是两条直线答案：A、C、D解析：由曲线22

:1Cmxny，得其标准形式为22111xymn，A中，若0mn，则11nm，表示焦点在y轴上；B中，若0mn，则221xyn，表示圆心在原点，半径为1n的圆；C中，若0mn，则m，n异号，C表示双曲线，渐近线方程为myx

n；D中，若0m，0n，则21:Cyn，表示两条直线.10.右图是函数sin()yx的部分图像，则sin()x（）5A.sin()3xB.sin(2)3xC.cos(2)6xD.5cos(2)6x答案：B、C解析：由

图易知22362T，则T，22T，由题意结合图像知，26，故23，则2sin(2)sin(2)sin(2)333yxxxsin(2)cos(2)266xx.11.已知0a，0b，且1ab，则（）A.221

2abB.122abC.22loglog2abD.2ab答案：A、B、D解析：∵0a，0b，且1ab，因为2abab，∴14ab，A：22211()2122ababab，A对，B：0a，0b，∵1ab，∴1ab，∴

122ab，B对.6C：22222loglogloglog()22ababab，C错.D：2()22ababab，∴2ab，D对.12.信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量X所有可能的取值为1,2,n，且()0(1,2,,)iPXipin

，11niip，定义X的信息熵21()logniiiHXpp（）A.若1n，则()0HXB.若2n，则()HX随着1p的增大而增大C.若11(1,2,,)pinn，则()HX随着n的增大而增大D.若2nm，随机变量Y所有可能的取值为1，2，…，m，且21()(1

,2,,)jmjPYjppjm，则()()HXHY答案：A、C解析：A中：当1n时，则11p，121()log0HXpp.B中：若2n，由题知121pp，121222121121()(logl

og)[log(1)log(1)]HXpppppppp，121121(1)[(1)log(1)log]HXpppp，∴()(1)HXHX，∴B错误.C中：11(1,2,3,,)pinn，1212222()(logloglog)nnHX

pppppp，∴12222111()(logloglog)nHXpppnnn12221()loglognpppnn，∴()Hx随着n的增大而增大，∴C正确.D中：令1m，则2n，此时12(

1)1PYpp，121()()log()0jHYpYpY，此时7221212221()log(loglog)0iiiHXpppppp，∴()()HXHY，∴D错误.∴正确选项为A、C.13.斜率为3的直线过抛物线2:4Cyx的焦点，且与C交于A

，B两点，则||AB.答案：163解析：由题抛物线2:4Cyx，可知其焦点为(1,0)F，准线为:1lx，如图所示.作AAl，BBl，直线AB准线交于点H，由3ABk，∴倾斜角60，∴30AHA，由抛物线定义知：||||AA

AF，||||BBBF，又∵||2||AHAA，∴F为AH中点，∵||2MF，∴||||4HFAF，∵1||||||2BBBFHB，∴3||4BF，∴4||3BF，∴416|||

|||433ABAFBF.14.将数列{21}n与{32}n的公共项从小到大排列得到数列{}na，则{}na的前n项和为.答案：232nn解析：∵212(1)1nn，323(1)

1nn，∴数列{21}n与{32}n的公共项是6的非负整数倍加1，即61()kkN，也就是首项为1，公差为6的等差数列，∴816(1)65nann，∴{}na的前n项和为2(165)322nnnn

.15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BCDG，垂足为C，3tan5OD

C，//BHDG，12EFcm，2DEcm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为2cm.答案：542解析：过A作AMEF交DG于M，交BH于P，过O作ONDG交DG于N，设OBOAR，由已知可得5AM，7DM，∴5MG

，∴45AGM，∴OAAHR，2OHR，22MNOPRAP，∴252ONR，272DNR，2122Sr又∵3tan5ODC，∴25325272RR，解得22R.

∴扇形AOB面积21135(22)3360S，1222242AOHS，设圆孔的半径为r，则半圆孔的面积为S,则2122Sr，∴阴影部分面积为1542AOHSSSS

，∴面积为25(4)2cm.916.已知直四棱柱1111ABCDABCD的棱长均为2，60BAD，以1D为球心，5为半径的球面与侧面11BCCB的交线长为.答案：22解析：在直四棱柱1111ABCDABCD中，取11BC中点为O，1BB中点

为F，1CC中点为E，由题意易知111DOBC，又11BBDO，则1DO面11BBCC，在面11BBCC内取一点P，使1//OPBB，且2OP，∴22115DPDOOP，又15DE，15D

F，∴以1D为球心，5为半径的球面与侧面11BCCB的交线是以O为圆心，以2为半径的圆弧FPE，由题意易得2FOE，故该交线长为2222.17.在①3ac，②sin3cA，③3cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值，若问题中的三角形不存在，

说明理由.问题：是否存在ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin3sinAB，106C？答案：见解析解析：①选条件3ac，∵3ac，∴3ca，∵sin3sinAB，∴3ab，1bc，6c，又2222cosabcabC，即22222133233

2bbbbb，∴2210bb，∴1b，得3,1ac，②选条件，sin3cA，∵sin3cA，∴sin3aC，sin36a，∴6a，∵sin3sinAB，∴3ab，∴23b，又22232cos36122623122cababC

，∴23c，③选条件3cb，∵3cb，∵sin3sinAB，∴3ab，又2222cosabcabC，∴2223323cos6bbbbb，得223bb，不成立.所以三角形ABC不存在.

18.已知公比大于1的等比数列{}na满足2420aa，38a.（1）求{}na的通项公式;（2）记mb为{}na在区间*(0,]()mmN中的项的个数，求数列{}mb的前100项和100S.答案：见解析解析：（1）设公比为q，∴3320aaqq，38a，解得2q或12q

（舍），∴332nnnaaq.（2）由（1）可得2nna，∴12a，24a，…，664a，7128a，∴当2m时，0mb；当42m时，1mb；11当84m时，2mb；当168m时，3mb；当3216m

时，4mb；当6432m时，5mb；当10064m时，6mb.∴100121000214283164325376480Sbbb.19..为加强环境保护，治理空气污染，环境检测部门对某市空气质量

进行调研，随机抽查了100天空气中的2.5PM和2SO浓度（单位：3/gm），得下表：（1）估计事件“该市一天空气中2.5PM浓度不超过75，且2SO浓度不超过150”的概率.（2）根据所给数据，完成下面的22列联表：（3）根据（2）中的列联表，

判断是否有99%的把握认为该市一天空气中2.5PM浓度与2SO浓度有关？附：22()()()()()nadbcKabcdacbd，答案：见解析解析：（1）由表格可得2.5PM浓度不超过75且2SO浓度不超过150的天数有32618864

天.12∴概率为640.64100.（2）（3）222()100(64101610)7.4846.635()()()()80207426nadbcKabcdacbd.∴有99%的把握认为2.5PM的浓度与2S

O浓度有关.20.如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，PD底面ABCD，，设平面PAD与平面PBC的交线为l.（1）证明：l平面PDC.（2）已知1PDAD，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.答案：见解析解析：（1）平面PAD平面PBCl，//

BC平面APD，∴//BCl，∵PD平面ABCD，∴PDBC，∵正方形ABCD，∴BCDC，又PDDCD，∴BC平面PDC，∴l平面PDC.（2）以O为原点DA，DC，DP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)D，(0,1,0)C，(0,0,

1)D，(1,1,0)B，设平面QDC的法向量为(,,)nxyz，点Q坐标为(,0,1)t，∴00DCnDQn，即00ytxz，令1x，得zt，∴(1,0,)nt，∵(1,1,1)PB

，∴22|||1||1|sin|cos,|||||1333nPBttnPBnPBtt，13得2212sin33ttt，令221233ttyt，得2(31)2(31)0ytty

，有244(31)0y，得203y，∴sin的最大值为63，∴PB与平面QCD所成角的正弦最大值为63.21.已知椭圆2222:1(0)xyCabab过点(2,3)M，点A为其左顶点，

且AM的斜率为12.（1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求AMN的面积的最大值.答案：见解析解答：（1）根据题意，把点(2,3)M代入椭圆得到22491ab①，设(,0)Aa，又3122AM

ka，∴4a，代入①式，求得212b，∴椭圆C的方程为2211612xy.（2）由题意，可知AM的直线方程为240xy，设直线20xym与椭圆相切于点N，222011612mxxyy，联立方程组得2216123480ymym，2214

464(348)0mm，得8m，由题意可知8m时，AMN面积最大，直线240xy与直线280xy距离22|4(8)|12551(2)d，||35AM，∴1125351825AMNS.22.已知函数1()lnlnx

fxaexa.（1）当ae时，求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积.14（2）若()1fx，求a的取值范围.答案：见解析解析：（1）当ae时，()ln1x

fxex，∵1()xfxex，∴(1)1fe，又(1)1fe，则()fx在点(1,(1))f处的切线方程为(1)(1)(1)yeex，即(1)2yex，令0x，

则2y，令0y，则21xe，故该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为1222211See.（2）∵()1fx，即1lnln1(0,0)xaexaax，∴11lnxxaea，∴lnxeexeaa，∴lnxexexxeaa，故lnlnexx

aaxxeee，令()xgxxe，则上式转化为()(ln)exgxga(*)，又()(1)xgxex，∴()gx在(0,)单调递增，由(*)可知总有lnexxa，则xexae，令()xexhxe，则(1)()xxeexexhx

ee，∴当(0,1)x时，()0hx，此时()hx单调递增，当(1,)x时，()0hx，此时()hx单调递减，∴max()(1)1hxh，∴1a.