【文档说明】安徽省蚌埠市A层高中2024-2025学年高一上学期11月期中考试 数学 Word版含解析.docx，共(22)页，1.033 MB，由小赞的店铺上传

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安徽省蚌埠市A层学校2024-2025学年高一上学期第二次联考（11月）数学试题命题单位：蚌埠第二中学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U=R，集合50,2

xAxBxxx−==，则图中阴影部分表示的集合为（）A.25xxB.25xxC.02xxD.02xx2.已知,abR，则“ab”是“ab”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.幂函数()2()22mf

xmmx=−−在(0,)+上单调递增，则()2(1)xmgxaa−=+图象过定点（）A.(1,1)−B.(1,2)−C.(3,2)D.(3,3)4.若命题:2,2px−，使得22220xxmm−−+为假命题，则实数m的取值范

围为（）A.()(),11,−+B.()(),02,−+C.()(),42,−−+D.()(),24,−−+5.若ln10,ln2ln5,ln4eabc===，则abc、、的大小关系是（）A.cabB.a

bcC.cbaD.bac6.著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数

的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数f（x）()21xxxeex−−=−的图象大致是的的AB.C.D.7.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足()()2112120xfxxfxxx−−，且12,(2)42ff==，则不等式()20f

xx−的解集为（）A(2,)+B.(0,2)C.1,2+D.10,28.若对12[1,2],[1,2]xx，使不等式2221124(3)10xxaxax−+−+

成立，则a的取值范围是（）A.)1,+B.3,2+C.)2,+D.15,4+二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数e1()e1xxfx+=

−，则下列结论正确的是（）A.函数()fx的定义域为RB.函数()fx的值域为(,1)(1,)−−+C.()()0fxfx+−=D.函数()fx为减函数..10.若0abc，且lglglg0abc+

+=，则下列各式一定成立的是（）A.224ab+B.1abC.22ac+D.22ac+11.函数()fx在[,]ab上有定义，若对任意12,[,]xxab，有()()1212122xxffxfx++，则称()fx在[,]ab上具有性质P．下列命题正确的有（）A.

函数()21fxx=+在[2,3]−上具有性质PB.若()fx在1,3上具有性质P，则()2fx在1,3上也具有性质PC.若()fx1,3上具有性质P，且()fx在2x=处取得最大值1，则()1,[1,3]fxx=D.对任意1234,,,[,]xxxxab

，若()fx在[,]ab上具有性质P，则()()()()12341234144xxxxffxfxfxfx++++++恒成立三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.lg8lg125lg2lg5lg10lg0.01+−−=_

___________．13.已知函数()34,132,1xxxfxx+=−，若mn，且()()fmfn=，则()mfn的取值范围是__________.14.已知定义在R上的函数()fx满足(

)()()2,(1)2fxyfxfyf+=++=，且当0x时，()2fx−，则不等式()2(12)8fxxfx++−的解集为____________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集

合34Axx=−，211Bxmxm=−−+.（1）若ABA=，求实数m的取值范围；（2）若ABAU，求实数m的取值范围．16.已知3()31xxafx+=+是定义在R上的奇函数．（1）求a的值；（2）若存在区间,(

)mnmn，使得函数()yfxt=+在,mn上的值域为3,3mn，求实数t的取值范围．17.杭州亚运会田径比赛10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2在小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运

史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段.现一60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为130km/hv=的匀速运动，

该阶段每千克体重消耗体力1112Qtv=（1t表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为223010vt=−的减速运动（2t表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力22222,1tvQt=+已知

该运动员初始体力为010000,QkJ=不考虑其他因素，所用时间为t（单位：h），请回答下列问题：（1）请写出该运动员剩余体力Q关于时间t的函数()Qt；（2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少?18.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修

订）》指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源出于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学

史上的珍闻．（1）试利用对数运算性质计算lg3lg8lg16lg4lg9lg27+的值；（2）已知,,xyz为正数，若346xyz==，求yyzx−的值；（3）定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数，例如23的位数是2，2024的位数是4．试判断20242的位数．（注

lg20.3010）19.列奥纳多达芬奇（LeonardodaVinci，1452-1519）是意大利文艺复兴三杰之一．他曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式()coshxxa

a=，其中a为悬链线系数，coshx称为双曲余弦函数，其函数表达式为eecosh2xxx−+=，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为eesinh2xxx−−=．（1）证明：22coshsinh1xx−=；（2）求不等式：sinh(21)sinh(2)

0xx−+−的解集；（3）函数()2cosh(2)2sinh()3fxmxx=−−的图象在区间[0,ln2]上与x轴有2个交点，求实数m的取值范围．安徽省蚌埠市A层学校2024-2025学年高一上学期第二次联考（11月）数学试题命题单位：蚌埠第二中学一、选择题：本

题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U=R，集合50,2xAxBxxx−==，则图中阴影部分表示的集合为（）A.25xxB.25xxC.02xxD.02x

x【答案】D【解析】【分析】确定集合A，然后根据文氏图的概念及集合的运算求解．【详解】由题意5{|0}{|05}xAxxxx−==，{|2}UBxx=ð阴影部分为{|02}UABxx=ð.故选：D．2.已知,abR，

则“ab”是“ab”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】判断条件间的推出关系，根据充分必要性的定义判断即可.【详解】当ab：若,ab异号，即0ab，显然ab成立；若0ab或0ab?，均有ab成立；所以充分性成

立；当ab：若2a=−，1b=，显然ab不成立，故必要性不成立.所以“ab”是“ab”的充分不必要条件.故选：A3.幂函数()2()22mfxmmx=−−在(0,)+上单调递增，则()2(1)xmgxaa−=+的图象过定点（）A.(1,1)−B.(

1,2)−C.(3,2)D.(3,3)【答案】D【解析】【分析】利用幂函数的概念知系数必为1，再由幂函数递增知幂指数大于0，从而解得3m=，再利用指数函数必过点来求出函数过的定点.【详解】因为幂函数()2()22mfxmmx=−−在(0,)+上单调递增，所以{𝑚2−2𝑚−2=1𝑚>

0，解得3m=，所以3()2(1)xgxaa−=+，故令30x−=得3x=，所以0(3)23(1)gaa=+=所以()2(1)xmgxaa−=+的图象过定点(3,3).故选：D.4.若命题:2,2px−，使得22220xxmm−−+为假命题，则实数m

的取值范围为（）A.()(),11,−+B.()(),02,−+C.()(),42,−−+D.()(),24,−−+【答案】D【解析】【分析】问题转化为当22x−时，22220xxmm−−+恒成立，利用二次函数的性质，求出()2222fxxxmm=−

−+在22−,上的最大值，解不等式求实数m的取值范围即可.【详解】因为p为假命题，所以22:2,2,220pxxxmm−−−+为真命题，即当22x−时，22220xxmm−−+恒成立.因为函数()222222(1)21fxxxmm

xmm=−−+=−−+−图象的对称轴为1x=，所以当22x−时，()2max()228fxfmm=−=−++，所以2280mm−++，即2280mm−−，解得2m−或4m，即实数m的取值范围为()(),24,−−+.故选：D.5.若ln10,ln2ln5,ln

4eabc===，则abc、、的大小关系是（）A.cabB.abcC.cbaD.bac【答案】D【解析】【分析】结合对数运算性质及对数函数的单调性比较,ac的大小，结合基本不等式及对数函数单调性比较,ab的大小，可得结论.详解】ln4eln10ln4eln1022ca

====，而()()22222ln2ln5ln104ln2ln5ln10244ab+====，且0,0ab．所以ab，故bac．故选：D.6.著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，

隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数f（x）()21xxxeex−−=−的图象大致是A.B.【CD.【答案】C【解析】【分析】首先根据奇偶性的判断可知f（x）()21xx

xeex−−=−为偶函数，排除A，再通过x1进行特值判断即可得解.【详解】函数的定义域为{x|x±1}，f（﹣x）()()2211xxxxxeexeexx−−−−−===−−f（x），则函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，当x1时，f（x）0恒成

立，排除B，D，故选：C.【点睛】本题考查了函数图像的判断，有如下几个方法：（1）根据奇偶性判断；（2）根据特值判断；（3）根据单调性和趋势判断.7.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足()()2112120xfxxfxxx−−，且12,(2)42ff==，则不等式()20fx

x−的解集为（）A.(2,)+B.(0,2)C.1,2+D.10,2【答案】B【解析】【分析】构造新函数()()fxgxx=，根据题意得出函数()()fxgxx=在(0,+∞)内单调递减；把不等式()20fxx−转化为()(2)gxg

，结合单调性和定义域即可求解..【详解】不妨设任意的120xx，()()fxgxx=，因为()()2112120xfxxfxxx−−，则()()21120xfxxfx−，所以()()()()()122112121212()0fx

fxxfxxfxgxgxxxxx−−=−=，所以()()fxgxx=在(0,+∞)内单调递减.不等式()20fxx−等价于()2fxx，又()()2222fg==，所以等价于()(2)gxg，因为()()fxgx

x=在(0,+∞)内单调递减，所以02x，即不等式()20fxx−的解集为(0,2).故选：B.8.若对12[1,2],[1,2]xx，使不等式2221124(3)10xxaxax−+−+成立，则a的取值范围是（）A.)1,+B.3,2+

C.)2,+D.15,4+【答案】C【解析】【分析】根据题意可得22112min143xxaxax++−，利用对勾函数的单调性可求得22min145xx+=，从而将问题

再转化为21111,2,35xxaxa+−恒成立，然后分情况求a的取值范围.【详解】()22221122211214310,1,2,43xxaxaxxxxaxax−+−+++−，即对12[1,2],[1

,2]xx，使不等式22112143xxaxax++−成立，∴22112min143xxaxax++−，∵对勾函数2214yxx=+在1,2上单调递增，22min145xx+=．21111,2,35xx

axa+−恒成立，21135yxaxa=+−−的对称轴32ax=−，∴312135aaa−+−，解得2a，或322465aaa−+−，无解，或22312299542

aaaa−−−，无解，综上2a，即a的取值范围为)2,+．故选：C．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.已知函数e1()e1xxfx+=−，则下列结论正确的是（）A.函数()fx的定义域为RB.函数()fx的值域为(,1)(1,)−−+C.()()0fxfx+−=D.函数()fx为减函数【答案】BC【解析】【分析】根据分母不为0求出函数的定义域，即可判断A；再将函数解析式变形为

2()1e1xfx=+−，即可求出函数的值域，从而判断B；根据指数幂的运算判断C，根据函数值的特征判断D.【详解】对于函数e1()e1xxfx+=−，则e10x−，解得0x，所以函数的定义域为|0xx，故A错误；因为e1e1

22()1e1e1e1xxxxxfx+−+===+−−−，又e0x，当e10x−时20e1x−，则()1fx，当1e10x−−时22e1x−−，则()1fx−，所以函数()fx的值域为(,1)(1,)−−+，

故B正确；又11e1e1e1e1e1e()()01e1e1e11ee11exxxxxxxxxxxxfxfx−−++++++−+=+=+=+=−−−−−−，故C正确；当0x时()0fx，当0x时()0fx，所以()fx不是减函数，故D错误.故选：BC10.若0abc，且lglglg0

abc++=，则下列各式一定成立的是（）A.224ab+B.1abC.22ac+D.22ac+【答案】BC【解析】【分析】先由题意得到1abc=，进而分析得1ab与22ac+，从而判断BC，再举反例排除AD，从而得解.【详解】因为lglglg0abc++

=，所以lg0abc=，则1abc=，又由于0abc，所以01a，1c，1abc=，则1ab，故B正确；因为1cb，所以22222cacacb+=，故C正确；当12a=，1b=，2c=时，可2242

2ab++=，故A错误；当13=a，23b=，32c=时，213232ac+=+，故D错误故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，举反例排除AD，从而得解.11.函数()fx在[,]ab上有定义，若对任

意12,[,]xxab，有()()1212122xxffxfx++，则称()fx在[,]ab上具有性质P．下列命题正确的有（）A.函数()21fxx=+在[2,3]−上具有性质PB.若()fx在1,3上具有性质P，则()2fx在1,3

上也具有性质PC.若()fx在1,3上具有性质P，且()fx在2x=处取得最大值1，则()1,[1,3]fxx=D.对任意1234,,,[,]xxxxab，若()fx在[,]ab上具有性质P，则()()()()12341234144xxxxffxfxfxfx+++

+++恒成立【答案】ACD【解析】【分析】由性质P的定义判断A选项；举反例判断B选项；C选项，由1(2)[()(4)]2ffxfx+−可证得()1,[1,3]fxx=；D选项，由性质P的定义证明.【详解】对A，

()21fxx=+，对任意12,[2,3]xx−时，()()()121212121121212102222xxxxffxfxxx++−+=+−+++=，满足()()1212122x

xffxfx=++，A选项正确；对B，函数()fxx=−在1,3上满足性质P，证明方法同A选项，对于函数()22fxx=−，()()()220.10.30.010.090.1ff+=−+−=−

，220.10.30.00250.052f+=−−，不满足()()1212122xxffxfx++，()22fxx=−在1,3上不满足性质P，故B选项不成立；对C：在1,3上，()fx在2x=处取得最大值1，由41(2)[

()(4)]22xxfffxfx+−=+−，.()()()()()()()()maxmax4221421fxfxfxfxffxfxf+−==−==，故()()41fxfx=−

=，所以对任意的12,[1,3],()1xxfx=，故C选项成立；对D，对任意1234,,,[,]xxxxab，有()()12341234112242xxxxxxxxff++++++=3412

1222xxxxff+++()()()()()()1234111222fxfxfxfx+++()()()()123414fxfxfxfx=+++，()()()()12341234144

xxxxffxfxfxfx++++++，故D选项成立．故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.lg8lg125lg2lg5lg10lg0.01+−−=________

____．【答案】-2【解析】【分析】根据对数运算法则化简即可求得结果.【详解】1228125lglg8lg125lg2lg5lg100225211lg10lg0.01(2)lg10lg102−+−−====−−−．故答案为：-2

.13.已知函数()34,132,1xxxfxx+=−，若mn，且()()fmfn=，则()mfn的取值范围是__________.【答案】4,73−【解析】【分析】画出函数图象，分析出11,12mn−，3432nm+=−，故()224333mfnm=+−

，11m−，结合函数单调性得到值域，求出取值范围.【详解】画出()34,132,1xxxfxx+=−的图象，当1x时，()34fxx=+单调递增，且()7fx，当1x时，()32xfx=−单调递增，且()1fx，令341x+=，解得1x=−，令327x−

=，则2x=，若mn，且()()fmfn=，则11,12mn−，3432nm+=−，所以()()()2243234333nmfnmmmm=−=+=+−，11m−，当23m=−时，()2

24333mfnm=+−取得最小值，最小值为43−，又1m=−时，()1mfn=−，1m=时，()7mfn=，故()22443,7333mfnm=+−−.故答案为：4,73−1

4.已知定义在R上的函数()fx满足()()()2,(1)2fxyfxfyf+=++=，且当0x时，()2fx−，则不等式()2(12)8fxxfx++−的解集为____________．【答案】{1xx−∣或2}x【解析】【分析】赋值求出(3)10f=，令212,==−xxyx

x，且12xx，根据0x时，()2fx−，得到()()12fxfx，然后根据函数单调性解不等式即可.【详解】因为()()()2,(1)2fxyfxfyf+=++=，令1xy==，则(2)(1)

(1)26fff=++=，令2,1xy==，则(3)(2)(1)210fff=++=，令212,==−xxyxx，且12xx，则()()()12122=+−+fxfxfxx，整理得()()()12122−=−+fxfxfxx，因为12xx，

则120xx−，可得()122fxx−−，所以()()()121220fxfxfxx−=−+，即()()12fxfx，可知()fx在定义域在R上单调递增，又因为()2(12)8fxxfx++−，即()2(12)2

10fxxfx++−+，可得()212(3)fxxxf++−，即()21(3)fxxf−+，由()fx在定义域在R上单调递增，可得213xx−+，解得1x−或2x，所以不等式()2(12)8fxxfx++−的解集为{1

xx−∣或2}x．故答案为：{1xx−∣或2}x四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合34Axx=−，211Bxmxm=−−+.（1）若ABA=，求实数m的取值范围；（2）若ABAU，求实数m的取值

范围．【答案】（1）3mm（2）1mm【解析】【分析】（1）分析可知，AB，可得出关于实数m的不等式组，由此可解得实数m的取值范围；（2）先考虑当ABA=时，求出实数m的取值范围，分B=、B两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数m的不等式（组），综合可得出

实数m的取值范围，再利用补集思想可得出当ABAU时实数m的取值范围.【小问1详解】由ABA=可知AB，所以，21313mm−−−+，解得3m，因此，实数m取值范围是3mm．【小问2详解】考虑当ABA=时，实数m的取值范围，则BA，若B=，满足BA，则

121mm+−−，解得23m−；若B，因为BA，所以12114213mmmm+−−+−−−，解得213m−≤≤，所以ABA=时，m的取值范围是1mm，所以ABAU时，m的取值范围是{𝑚|𝑚>1}.16.已知3()31x

xafx+=+是定义在R上的奇函数．（1）求a的值；（2）若存在区间,()mnmn，使得函数()yfxt=+在,mn上的值域为3,3mn，求实数t的取值范围．【答案】（1）1a=−；（2

）(222,1)−．【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质求出并验证即可.（2）探讨函数()yfxt=+的单调性，结合函数在区间上的值域，构造方程210xtxt−−+=有两个不相等的正实根，再利用一元二次方程实根分布求出范围.【小问1详解】因为3()31x

xafx+=+是定义在R上的奇函数，有()1002af+==，得1a=−，则有31()31xxfx−=+，函数定义域为R，的有()()31311331031311331xxxxxxxxfxfx−−−−−−−+=

+=+=++++，即()fx是奇函数，所以1a=−；【小问2详解】由（1）得312()13131xxxyfxttt−=+=+=+−++，令2()131xhxt=+−+，因为31xy=+在R上递增，所以23

1xy=+在R上递减，所以2()131xhxt=+−+在R上递增，因为函数()yfxt=+在,mn上的值域为3,3mn，所以()()2133121331mmnnhmthnt=+−=+=+−=

+，所以()()2233103310mmnntttt−−+=−−+=，因为033mn，所以关于x的方程210xtxt−−+=有两个不相等的正实根，所以2Δ4(1)0010tttt=−−−，解得2221t−

，即t的取值范围为(222,1)−17.杭州亚运会田径比赛10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶

段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段.现一60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为130km/hv=的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力1112Qtv=（1t表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为223010vt=−的减速运动（2

t表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力22222,1tvQt=+已知该运动员初始体力为010000,QkJ=不考虑其他因素，所用时间为t（单位：h），请回答下列问题：（1）请写出该运动员剩余体力Q关于时间t的函数()Qt；（2）

该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少?【答案】（1）()100003600,0148004001200,14ttQtttt−=++（2）2t=时有最小值，最小值为5200k

J.【解析】【分析】（1）先写出速度v关于时间t的函数，进而求出剩余体力Q关于时间t的函数；（2）分01t和14t两种情况，结合函数单调性，结合基本不等式，求出最值.【小问1详解】由题可先写出速度v关于时间t的函数

()()30,0130101,14tvttt=−−，代入1ΔQ与2ΔQ公式可得()()()1000060230,016012301016400,1411ttQttttt−=−−−−−+

解得()100003600,0148004001200,14ttQtttt−=++；【小问2详解】①稳定阶段中()Qt单调递减，此过程中()Qt最小值()()min16400kJQtQ==；②

疲劳阶段()48004001200(14)Qtttt=++，则有()480040012004002120048005200kJQttt=+++=，当且仅当48001200tt=，即2t=时，“=”成立，所以疲劳阶段

中体力最低值为5200kJ，由于52006400，因此，在2ht=时，运动员体力有最小值5200kJ.18.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运

算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源出于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻．（1）试利用对数运算性质计算lg3lg8lg16lg4lg9lg27+的值；（2）已知,,x

yz为正数，若346xyz==，求yyzx−的值；（3）定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数，例如23的位数是2，2024的位数是4．试判断20242的位数．（注lg20.3010）【答案】（1）1712（2）12（3）610【解析

】【分析】（1）利用对数的运算性质计算即可；（2）令346xyza===，则0a，根据对数与指数的互化可得346log,log,logxayaza===，利用对数的换底公式化简原式即可；（3）利用对数

的运算性质可得2024609.224210=，结合位数的定义即可得出结果.【小问1详解】原式lg33lg24lg2lg317lg2172lg22lg33lg32lg26lg312=+==；【小问2详解】由题意知，令346xyza===，则0a，所以346log,log,logx

ayaza===，所以4463logloglnln6lnln3ln6ln3ln21loglogln4lnln4lnln4ln42ln22aayyaazxaaaa−=−=−=−==；【小问3详解】设20242t=，则

lg2024lg2t=，又lg20.3010，所以lg20240.3010609.224t=，所以609.22410t，则()60961010,10t，所以20242的位数为610．19.列奥纳多达芬奇（LeonardodaVinci，1452-1

519）是意大利文艺复兴三杰之一．他曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式()coshxxaa=，其中a为悬链线系数，cos

hx称为双曲余弦函数，其函数表达式为eecosh2xxx−+=，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为eesinh2xxx−−=．（1）证明：22coshsinh1xx−=；（2）求不等式：sinh(21)sinh(2)0xx−+−的解集；（3）函数()2cosh(2)2sinh()3fxm

xx=−−的图象在区间[0,ln2]上与x轴有2个交点，求实数m的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）（,1)−（3）3113,24+【解析】【分析】（1）结合双曲余弦函数和双曲正弦函数代入计

算即可；（2）求出sinhyx=的单调性和奇偶性，得到sinh(21)sinh(2)sinh(2)xxx−−−=−，212xx−−，求出解集；（3）参变分离得到()22ee3eexxxxm−−−+=+在[0,ln2]x有2个实数根，换元得到21611116tttmtt−+==+−，由对勾

函数单调性得到11()6gttt=+−的值域，与1ym=有两个交点，故需满足311324m+，即3113,24+.【小问1详解】2222eeeecoshsinh22xxxxxx−−

+−−=−2222eeee12244xxxx−−++=−−=+．【小问2详解】因为eesinh()sinh,2xxxxx−−−==−R恒成立，故sinhyx=奇函数．又因为exy=在𝑅上严格递增，exy−=在𝑅上严格递减

，故eesinh2xxyx−−==是𝑅上的严格增函数，所以sinh(21)sinh(2)0xx−+−，即sinh(21)sinh(2)sinh(2)xxx−−−=−，所以212xx−−，解得1x，即所求不等式的解集为(,1)−；【小问3详解】因为()2cosh(2)2sinh()

3fxmxx=−−的图象在区间[0,ln2]上与x轴有2个交点，所以()()22eeee30xxxxm−−+−−−=，即()()22eeee30xxxxm−−+−−−=在[0,ln2]x有2个实数根，所以()22ee3eexxxxm

−−−+=+在[0,ln2]x有2个实数根，令()ee3xxt−−+=，易知()ee3xxt−=−+在[0,ln2]x上单调递增，所以93,2t，则()222ee31611116eexxxxttmtmtt−−−+−+===+−+，令11()6g

ttt=+−，93,2t，由对勾函数性质可知，()gt在[3,11)上单调递减，在911,2上单调递增，又2917(3),(11)2116,3218ggg==−=，作函数草图如图，是当1

221163m−时，函数11()6gttt=+−与1ym=有两个交点，即函数()fx的图象在区间[0,ln2]上与x轴有2个交点，所以311324m+，即3113,24+.【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举

例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（

4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.