【文档说明】【精准解析】湖南省株洲市世纪星高级中学2019-2020学年高一下学期入学考试数学试题.doc，共(19)页，1.214 MB，由小赞的店铺上传

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株洲世纪星高级中学2019-2020学年度第二学期高一入学考试数学第Ⅰ卷一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分，请将答案写到答卷上）1.若集合|3Axx=，0,2,4,6,8B=，则()RAB=ð（）A.{}0

B.0,2C.0,2,4D.4,6,8【答案】B【解析】【分析】求出集合A的补集，再进行交集运算.【详解】|3RAxx=ð()0,2RAB=ð故选：B【点睛】本题主要考查了集合间的交集和补集运算，属于基础题.2.函数1()ln

fxxx=−的零点所在的区间是（）A.1(,1)e−B.(1,2)C.(2,)eD.(,3)e【答案】B【解析】【分析】利用零点存在性定理即可判断.【详解】()110fee−=−−；(1)10f=−；11(2)ln2ln022fe=−−=1()10fee=−

；1(3)ln303f=−(1)(2)0ff故选：B【点睛】本题主要考查了求函数零点所在区间，属于基础题.3.设长方体的长、宽、高分别为2，1，1，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A.3B.6C.12D.

24【答案】B【解析】【分析】先求出长方体的对角线的长度，即得外接球的直径，再求球的表面积得解.【详解】由题得长方体外接球的直径2226622116,,4624RRS=++====.故选：B【点睛】本题主要考查长方体的外接球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理

解掌握水平，属于基础题.4.已知是第二象限的角，那么2是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第二象限角D.第一或第三象限角【答案】D【解析】【分析】写出第二象限角，再求出2的范围，讨论k的取值范围即可求解.【详解】是第二象限的角，则()222kkkZ++

，所以()422kkkZ++，当0k=时，422，属于第一象限角，当1k=时，53242，属于第三象限角，当2k=时，95422，属于第一象限角，所以2是第一或第

三象限角，故选：D【点睛】本题考查了象限角，考查了分类讨论的思想，属于基础题.5.已知过点(2,)Am−和点(,4)Bm的直线为1l，2:210lxy+−=，3:10lxny++=．若12ll//，23ll⊥，则mn+的值为（）A.10−B.2−C.0D.8【答案

】A【解析】【分析】利用直线平行垂直与斜率的关系即可得出．【详解】∵l1∥l2，∴kAB＝42mm−+＝－2，解得m＝－8．又∵l2⊥l3，∴1n−×(－2)＝－1，解得n＝－2，∴m＋n＝－10．故选A．【点睛】本题考查了直线平行垂直与斜率的关系，考查了

推理能力与计算能力，属于基础题．6.如图所示，在正方体1AC中，E，F分别是1DD，BD的中点，则直线1AD与EF所成角的余弦值是（）A.12B.32C.63D.62【答案】C【解析】【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点

E，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．【详解】如图，取AD的中点G，连接EG，GF，∠GEF为直线AD1与EF所成的角设棱长为2，则EG=2，GF=1，EF=3cos∠GEF=63，故选C．【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角，考查

空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．7.设0.3222,0.3,log0.3abc===，则,,abc的大小关系是（）A.abcB.cbaC.cabD.bca【答案】B【解析】【分析】根据指数函数、对数函数和幂函数

的性质,即可判断abc、、的范围,进而比较大小即可.【详解】因为0.3222,0.3,log0.3abc===由指数函数、对数函数和幂函数的性质可知0.321a=200.31b=2log0.30c=所以cba故选:B【点睛】本题考查了指数函数、对数函数和幂函数的性质,

比较大小,属于基础题.8.如图，两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设,MN分别是BD和AE的中点，那么①ADMN⊥；②//MN平面CDE；③//MNCE；④,MNCE异面，其中假命题的个数为（）A.4B.3C.2D

.1【答案】D【解析】∵两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，M、N分别是BD和AE的中点，取AD的中点G，连接MG，NG，易得AD⊥平面MNG，进而得到AD⊥MN，故①正确；连接AC,CE,根据三角形中位线定理,可得MN∥CE,由线

面平行的判定定理,可得②MN∥面CDE及③MN∥CE正确，④MN、CE错误；∴其中假命题的个数为：1本题选择D选项.9.已知函数()2tan23fxx=−+.下列说法中错误的是（）A.函数()fx的定义域是12,3xxkkZ+.B.函数()fx图象与直

线12,3xkkZ=+没有交点C.函数()fx的单调增区间是5232,3,1kkkZ−++D.函数()fx的周期是2【答案】C【解析】【分析】根据正切函数的性质逐个判定即可.【详解】对A,()2tan23fxx=−+

的定义域满足122323xkxk+++,kZ.故A正确.对B,由A可知B正确.对C,()2tan23fxx=−+的单调递增区间即tan23x+的单调递减区间.即3,2232kxkkZ+++,

化简得1722,33kxkkZ++.故C错误.对D,()fx的周期是22=,故D正确.故选：C【点睛】本题主要考查了正切型函数的性质判定.属于基础题.10.函数f（x）21sinxx=+的图象大致为（）A.B.C.D.【

答案】A【解析】【分析】根据函数图象的特征，利用奇偶性判断，再利用特殊值取舍.【详解】因为f（-x）()()21sinxx−=−+=−f（x），所以f（x）是奇函数，排除B，C又因为2212021122sinf==++，排除

D故选：A【点睛】本题主要考查了函数的图象，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.11.已知直线xyt+=与圆()2222xytttR+=−有公共点，则()4tt−的最大值为（）A.4B.289C.329D.327【答案】C【解析】【分析】根据()2222xytttR+=

−表示圆和直线xyt+=与圆()2222xytttR+=−有公共点，得到403t，再利用二次函数的性质求解.【详解】因为()2222xytttR+=−表示圆，所以220−tt，解得02t，因为直线xyt+=与圆()2222xytttR+=−

有公共点，所以圆心到直线的距离dr，即222ttt−，解得403t，此时403t，因为()()()224424=−=−+=−−+ftttttt，在40,3递增，所以()4tt−

的最大值34329=f.故选：C【点睛】本题主要考查圆的方程，直线与圆的位置关系以及二次函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12.函数()()2lg,062,0xxfxxxx−=−+则关于x的方程()()2230fxfx+−=的根的个数是()A.5

B.6C.7D.8【答案】B【解析】【分析】作出()fx的图象，解得方程()3fx=−或()1fx=，数出根的个数即可.【详解】作函数()fx的图象，如下图：由方程()()2230fxfx+−=，即()()310fxfx+−=，解得()3fx=

−或()1fx=，由图象可知，方程的根的个数为6个.故选：B.【点睛】本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解，属于基础题.第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写到

答卷上）13.半径为1cm，圆心角为60的扇形的面积为_________2cm.【答案】6【解析】【分析】利用扇形的面积公式：212SR=，将圆心角化为弧度制代入即可求解.【详解】圆心角603=，由扇形的面积公式可得：211236S=

=.故答案为：6【点睛】本题考查了扇形的面积公式，需熟记公式，注意角为弧度制，属于基础题.14.已知函数log(1)2(0,1)ayxaa=−+的图象过定点A，且点A在幂函数()fx的图象上

，则(9)f=______【答案】3【解析】【分析】由对数函数性质求出定点A的坐标，设出幂函数解析式，由A点坐标求出幂函数解析式后可求函数值．【详解】令10x−=，则2x=，此时log122ay=+=，∴(2,2)A，设()bfxx=，则(2)22bf==，12b=，即1

2()fxx=．∴12(9)93f==．故答案为：3.【点睛】本题考查对数函数的性质，考查幂函数的解析式．掌握对数函数性质和幂函数的定义是解题关键．15.已知(,)Pxy为直线yx=上的动点，2222(

1)(2)(2)(1)mxyxy=−+−+++−，则m的最小值为________【答案】4【解析】【分析】利用m的几何意义可知其为点P到定点()1,2A,()2,1B−的距离之和的最小值,求出A关于yx=的对称点()2,1A,根据两点间线段最短求值

即可【详解】由题,2222(1)(2)(2)(1)mxyxy=−+−+++−表示点P到定点()1,2A,()2,1B−的距离之和,作A关于yx=的对称点A,可得A为()2,1,则m的最小值为()()2222114AB=−−+−=故答案为4【点睛】本题考查点关于直线对称的性质,考查两

点间距离公式,考查数形结合思想和转化思想16.已知函数()2fxx=，()gx为偶函数，且当0x时，()24gxxx=−.记,max,,aababbab=.给出下列关于函数()()()()max,FxfxgxxR=的说法：①当6x

时，()24Fxxx=−；②函数()Fx为奇函数；③函数()Fx在22−,上为增函数；④函数()Fx的最小值为0，无最大值.其中正确的是______.【答案】①③【解析】【分析】g（x）224040xx

xxxx+=−，＜，，F（x）＝max{f（x），g（x）}（x∈R）224222646xxxxxxxx+−=−−，，＜＜，．画出图象，数形结合即可得出．【详解】由()gx为偶函数，且当0x时，()24gxxx=−，∴令0x，则0x−，则()()2()4gxxxgx−

=−+=，即当0x时，()24gxxx=+，∴g（x）224040xxxxxx+=−，＜，，F（x）＝max{f（x），g（x）}（x∈R）224222646xxxxxxxx+−=−−，，

＜＜，．画出图象，由图象可得：①当x≥6时，∵x2﹣4x≥2x，∴F（x）＝x2﹣4x，因此正确．②由图象可得：函数F（x）不为奇函数，因此不正确．③﹣2≤x≤6时，2x＞x2﹣4x，可得函数F（x）＝2x，因此函数F（x）在[﹣2，6]上为增函数，所以函数F（x）在[﹣2，2]上为增函数是正

确的．④x≤﹣2时，g（x）＝x2+4x≥2x，可得F（x）＝x2+4x≥﹣4，综合可得函数F（x）的最小值为﹣4，无最大值，④不正确．其中正确的是①③．故答案为①③．【点睛】本题考查了函数的图象与性质、不等式的解法，考查了数形

结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（共6小题，10分+12分+12分+12分+12分+12分=70分）17.计算：（1）1301276(π1)48−−−；（2）231lg25lg2lg0.1log9log22+−−.【答案】（1）0（2）12−.

【解析】【分析】（1）根据根式、指数运算化简所求表达式.（2）根据对数运算化简所求表达式.【详解】（1）原式=132527148−−531022=−−=；（2）原式1122223lg25lg2lg10log3log2−=+−−1132233log3lg25210

2log2log2=−3231lg102222=−=−=−.【点睛】本小题主要考查根式、指数和对数运算，考查运算求解能力，属于基础题.18.(1)解不等式：311()22x−；(2)已知a－5x＞ax＋7(a＞0，且a≠1)，求x的取值范围．【答案】（1）{x|

x≥0}．（2）当a＞1时，x＜－76；当0＜a＜1时，x＞－76.【解析】【分析】(1)根据指数函数的单调性可将原不等式化为311x−−，从而可得结果；(2)分两种情况讨论，分别利用指数函数的单调性，化简原不等式求解即可.【详解】(1)因为1122−=

，所以原不等式可以转化为3111122x−−因为y＝12x在R上是减函数，所以3x－1≥－1，所以x≥0.故原不等式的解集是{x|x≥0}．(2)当a＞1时，因为a－5x＞

ax＋7，所以－5x＞x＋7，解得x＜－；当0＜a＜1时，因为a－5x＞ax＋7，所以－5x＜x＋7，解得x＞－.综上所述，x的取值范围是：当a＞1时，x＜－；当0＜a＜1时，x＞－.【点睛】本题主要考查指数函数的单调性，以及分类讨论思想的

应用，属于中档题.当01a时，()xfxa=递减；当1a时，()xfxa=递增.19.如图，已知四棱锥PABCD−的底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，点F为PC的中点.（1）求证：PA∥平面BDF；（2）求证：PCBD⊥.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．【解析

】试题分析：(1)设BD与AC交于点O,利用三角形的中位线性质可得//OFPA,从而证明//PA平面BDF;(2)由PA⊥平面ABCD,得PABD⊥,根据菱形的性质可得BDAC⊥,从而证得BD⊥平面PAC,进而PCBD⊥.试题解

析：（1）连结AC交BD于E，连结EF，点E，F分别为,ACPC的中点，所以EF为CPA的中位数，PAEF，又PA面BDF，EF面BDF，所以PA面BDF.（2）在菱形ABCD中，ACBD⊥，又因为PA⊥面ABCD，BD面ABCD

，所以PABD⊥，又PAACA=，PAAC，面PAC，所以BD⊥面PAC，又PC面PAC，所以BDPC⊥.20.函数()()sinfxAx=+（A、、常数，0A，0，2）的部分图象如图所示.（Ⅰ）求

函数()fx的解析式；（Ⅱ）将函数()fx的图象向左平移6单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数()gx的图象，求函数()gx的单调递减区间.【答案】（Ⅰ）()2sin23fxx=+；（Ⅱ）()5,1212kkkZ−+

.【解析】【分析】（Ⅰ）先计算出()()maxmin2fxfxA−=，由函数图象得出()yfx=的最小正周期T，再由公式2T=求出的值，然后将点7,212−代入函数解析式并结合的取值范围求出的值，由此可得出函数()yfx=的解析式；（Ⅱ）利用图象变换得出函

数()ygx=的解析式为()22sin213gxx=++，然后解不等式()23222232kxkkZ+++，可得出函数()ygx=的单调递减区间.【详解】（Ⅰ）由图可知，()()()maxmi

n22222fxfxA−−−===，设函数()yfx=的最小正周期为T，则741234T=−=，T=，则22T==，()()2sin2fxx=+，由图象可知7772sin22sin212126f=+=+

=−，7sin16+=−，22−，275363+，7362+=，3=，因此，()2sin23fxx=+；（Ⅱ）由题意可得()22sin212sin21633gxxx=+++=

++，由()23222232kxkkZ+++，得()51212kxkkZ−+.因此，函数()ygx=的单调递减区间为()5,1212kkkZ−+

.【点睛】本题考查利用图象求三角函数的解析式，同时也考查了三角函数图象变换以及正弦型三角函数单调区间的求解，解题时要将角视为一个整体，利用正弦函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.21.已知圆22:2410Cxyxy++−+=，O为坐标原点，动点P在圆外，过点P作圆C的切

线，设切点为M.（1）若点P运动到()13，处，求此时切线l的方程；（2）求满足PMPO=的点P的轨迹方程.【答案】（1）1x=或34150xy+−=；（2）2410xy−+=.【解析】【详解】解:把圆C的方程化为标准方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝4，∴

圆心为C（－1,2），半径r＝2.（1）当l的斜率不存在时，此时l的方程为x＝1，C到l的距离d＝2＝r，满足条件．当l的斜率存在时，设斜率为k，得l的方程为y－3＝k（x－1），即kx－y＋3－k＝0，则2

|23|1kkk−−+−+＝2，解得k＝34−.∴l的方程为y－3＝34−（x－1），即3x＋4y－15＝0.综上，满足条件的切线l的方程为1x=或34150xy+−=.（2）设P（x，y），则|PM|2＝|PC|2－|MC|2＝（x＋1）2＋（y－2）2－4，|

PO|2＝x2＋y2，∵|PM|＝|PO|.∴（x＋1）2＋（y－2）2－4＝x2＋y2，整理，得2x－4y＋1＝0，∴点P的轨迹方程为2410xy−+=.考点：直线与圆的位置关系；圆的切线方程；点的轨迹方程.22.已知函数2()(2)fxxmx

m=+−−，()()fxgxx=，且函数(2)yfx=−是偶函数.（1）求()gx的解析式；.（2）若不等式(ln)ln0gxnx−…在21,1e上恒成立，求n的取值范围；（3）若函数()()()22222log

49log4ygxkx=++−+恰好有三个零点，求k的值及该函数的零点.【答案】（1）6()4(0)gxxxx=−+；（2）52n−…；（3）6k=，该函数的零点为0，2−，2.【解析】【分析】(1)根据(2)yfx=−是偶函数求得表达式算出m的值,进而求得()gx的解析式即可.

(2)换元令lnxt=,再求解(ln)lngxnx−的最小值,化简利用二次不等式进行范围运算即可.(3)换元令()22log4xp+=,结合复合函数的零点问题,分析即可.【详解】(1)∵2()(2)fxxmxm=+−−,∴22(2)(2)(2)(2)(6)83fxxmxmxmxm−=−+−

−−=+−+−.∵(2)yfx=−是偶函数,∴60m−=,∴6m=.∴2()46fxxx=+−,∴6()4(0)gxxxx=−+.(2)令lnxt=,∵21,1xe,∴[2,0)t−,不等式(ln)ln0gxnx−…在21,1e上恒成立,等价于()0gtnt−

…在[2,0)t−上恒成立,∴2264646411ttnttttt−+=−+=−++….令2641ztt=−++,1st=,则12s−„,256412zss=−++−„,∴52n−….(3)令()22log4xp+=,则2p…,方程()()()22222log490log4g

xkx++−=+可化为2()90gpkp+−=,即62490kppp−++−=,也即25(26)0ppkp−+−=.又∵方程()()()22222log490log4gxkx++−=+有三个实数根,∴25(26)0pp

kp−+−=有一个根为2,∴6k=.∴2560pp−+=,解得2p=或3p=.由()22log42x+=,得0x=,由()22log43x+=,得2x=,∴该函数的零点为0,-2,2.【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求解方法

以及换元法求复合函数的应用,包括二次函数的范围问题等与函数零点的问题.属于难题.