【文档说明】宁夏贺兰县景博中学2021届高三上学期统练（四）数学（文）试题 含解析【精准解析】.doc，共(19)页，1.788 MB，由小赞的店铺上传

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景博高中2020-2021学年高三统练四数学（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合1,0,1,2A=−，2|1Bxx=，则AB=（）A.

1,0,1−B.0,1C.1,1−D.0,1,2【答案】A【解析】【分析】解不等式确定集合B，然后由交集定义计算．【详解】2{|1}{|11}Bxxxx==−，所以{1,0,1}AB=−．故选：A．【点睛

】本题考查集合的交集运算，掌握交集定义是解题关键．2.已知(,)abiabR+是11ii−+的共轭复数，则ab+=（）A.1−B.12−C.12D.1【答案】D【解析】【分析】首先计算11ii−+，然后利用

共轭复数的特征计算,ab的值.【详解】21(1)21(1)(1)2iiiiiii−−−===−++−，()abiii+=−−=，0,1,1abab==+=.故选:D.【点睛】本题考查复数的计算，属于基础题型.3

.等差数列na的前n项和为nS，且39S=，30a=，则公差d=（）A.-3B.3C.-2D.2【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【详解】39S=，30a=，1

32392ad+=，120ad+=，则解得公差3d=−．故选：A．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.过两点(,4)Am，(0,3)B的直线的倾斜角为60，则实数

m的值为（）A.233B.33C.3D.2【答案】B【解析】【分析】利用斜率与倾斜角的关系，列方程可求出m的值【详解】解：因为两点(,4)Am，(0,3)B的直线的倾斜角为60，所以43tan600m−=−，解得

33m=，故答案为：B5.1943年，我国病毒学家黄祯祥在美国发表了对病毒学研究有重大影响的论文“西方马脑炎病毒在组织培养上滴定和中和作用的进一步研究”，这一研究成果，使病毒在试管内繁殖成为现实，从此摆脱了人工繁殖病毒靠动物、鸡胚培养的原始落后的方法.若试管内某种病毒

细胞的总数y和天数t的函数关系为：12ty−=，且该种病毒细胞的个数超过810时会发生变异，则该种病毒细胞实验最多进行的天数为（）天（lg20.3010）A.25B.26C.27D.28【答案】C【解析】【分析】计算18120ty−==，得到27.6t，得到答案.

【详解】取18120ty−==，故8221log108log10t−==，即218log1018127.6lg2t=+=+，故该种病毒细胞实验最多进行的天数为27.故选：C.【点睛】本题考

查了指数函数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.6.已知23sinsin20−=，则tan=（）A.0或23B.0或32C.23D.32【答案】A【解析】【分析】先用二倍角公式整理化简，再对sin是否等于0讨

论，求出tan【详解】∵23sinsin20−=，∴23sin2sincos0−=，即()sin3sin2cos0−=当sin0=时，tan0=；当sin0时，2tan3=.所以：tan0=或2tan3=.故选：A7.若,xy满足约束条件124010xxyxy

+−−−，则3zxy=+的最大值是（）A.3B.92C.7D.172【答案】C【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线3zyx=+过点C时，z最大值即可．【详解】解：解：作出可行域如图，由3zyx=+知，3yxz

=−+，所以动直线3yxz=−+的纵截距取得最大值时，目标函数取得最大值．结合可行域可知当动直线经过点C时，由1024xyxy−−=+=，解得21xy==，即()2,1C目标函数取得最大值3217z=

+=．故选：C．8.已知直线1l：10xy−−=与2l：220xay−+=平行，则实数a的值是（）A.12B.12−C.1D.1−【答案】A【解析】【分析】根据直线平行可直接构造方程求得结果.【详解】12//llQ，()()()()()1211012210aa−−−=−−−−

，解得：12a=.故选：A.【点睛】本题考查根据两直线平行求解参数值的问题，解题关键是明确若直线1110AxByC++=与直线2220AxByC++=平行，则12210ABAB−=且12210BCBC−.9.函数()22sin1xfxx−=的部分图象是（）A.B.C.D.【答案】A【

解析】【分析】首先判断出()fx为偶函数，然后结合06x时，()fx为负数，确定正确选项.【详解】因为()()()222sin12sin1xxfxfxxx−−−−===−，所以()fx是偶函数，则()fx的图象关于y轴对称，排除C，D；当06x时，()0fx，排除B.

故选：A【点睛】本题考查函数图象，考查推理论证能力.10.已知等比数列na的前n项和为nS，且满足12a=，425SS=，则3a=（）A.8−B.8C.8−或2−D.8或2【答案】D【解析】【分析】根据等比数列求和公式可构造方程求得公比q，由等比数列通项公式可求得结果.【

详解】若等比数列na公比1q=，则4148Sa==，2124Sa==，不满足425SS=，1q，()()421115111aqaqqq−−=−−，整理可得：()()22140qq−−=，当210q−=，即1q=−时，2312aa

q==；当240q−=，即2q=时，2318aaq==；综上所述：38a=或2.故选：D.11.如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥底面ABCD，2PA=，底面ABCD为边长为2的正方形，E为BC的中点，则异面直线BD与PE所

成的角的余弦值为（）A.26B.36C.23D.33【答案】A【解析】【分析】以A为原点，,,ABADAP分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角可求得结果.【详解】因为PA⊥底面ABC

D，所以,PAABPAAD⊥⊥，又ABAD⊥，所以以A为原点，,,ABADAP分别为,,xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系：则(0,0,2)P，(2,0,0)B，(2,1,0)E，(0,2,0)D，(2,1,2)PE=−，(2,2,0)

BD=−，设异面直线BD与PE所成的角为，(0,]2，则||cos||||PEBDPEBD=|420|414440−+−=++++26=.所以异面直线BD与PE所成的角的余弦值为26.故选：A【点睛】本题考查了直

线与平面垂直的性质，考查了利用空间向量求异面直线所成的角，属于基础题.12.设函数()fx是函数()()fxxR的导函数，已知()()fxfx，且()()4fxfx=−，()40f=，()21f=，则使得

()20xfxe−成立的x的取值范围是（）A.()2,−+B.()0,+C.()1,+D.()4,+【答案】B【解析】【分析】构造函数()()xfxgxe=，可证得()gx在R上单调递减；由()fx的对称性确定()fx的对称性，由此确定()02f=，得到()()0gxg，利用(

)gx单调性可求得结果.【详解】设()()xfxgxe=，则()()()()()2xxxxefxefxfxfxgxee−−==，()()fxfx，0xe，()0gx，则()gx在R上单调递减；(

)()4fxfx=−，()fx关于直线2x=对称，又()21f=，()fx关于点()2,1中心对称，()40f=，()4,0关于()2,1的对称点()0,2也在()yfx=上，即()02f=，由()20xfxe−得：()()2xfx

gxe=，()()0002fge==，且()gx在R上单调递减，当0x时，()2gx，即所求的x的取值范围为()0,+.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数的单调性求解函数不等式的问题，解题关键是能够将所求的不等式转化为同一函数的函数值之间的

大小关系问题，进而通过函数的单调性确定自变量的大小关系.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量(3,0)a=−，(1,)bm=，若(2)()abab+⊥−，则m=________．【答案】25【解析】【分析】先求出ab−和2ab+的坐标表示，利用垂直数

量积为0求m.【详解】因为(3,0)a=−，(1,)bm=，所以()()25,,4,abmabm+=−−=−−因为(2)()abab+⊥−，所以(2)()0abab+−=，即()()()()540mm−−+−−=

，解得：25m=.故答案为：25【点睛】若()()1122,,,axybxy==，则有：（1）1221abxyxy=∥（2）1212+0abxxyy=⊥14.正方体的全面积是，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是_________．

【答案】12π．【解析】【详解】试题分析：设球的半径为R，则正方体的对角线长为2R，依题意知4R2=3a2=12,即R2=3，∴S球=4πR2=4π•3=12π（cm2）．故答案为12π．考点：球内接多面体；球的体积和表面积．15.“

干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．地支又与十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、

羊、猴、鸡、狗、猪”依次对应，“天干”以“甲”字开始“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅⋯⋯⋯⋯癸酉；甲戌、乙亥、丙子⋯⋯⋯⋯癸未；甲申、乙酉、丙戌⋯⋯⋯⋯癸巳；⋯⋯⋯⋯，共得到60

个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽.2020年是“干支纪年法”中的庚子年，那么2086年出生的孩子属相为________．【答案】马【解析】【分析】根据周期为60确定2080年为庚子年，进而确定2086对应的地支和属相.【详解】六十甲子，周

而复始，60年为一个周期；2080年为庚子年，则2086年对应的地支为：午，午对应十二生肖中的“马”，2086年出生的孩子属相为：马.故答案为：马.16.函数()23s34fxinxcosx=+−（0,2x）的最大值是__

________．【答案】1【解析】【详解】化简三角函数的解析式，可得()22311cos3coscos3cos44fxxxxx=−+−=−++=23(cos)12x−−+，由[0,]2x，可得cos[0,1]x，当3cos2x=时，函数()fx取得最大值1．三、解答题：共70分，解

答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为菱形，PBD△为正三角形．（1）求证：平面PAC⊥平面PBD；（2）在①2AB=，②6PA=，这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上（填序号），并求解：若PA=PC，60BAD=，_______

_；求该四棱锥的体积．（注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．）【答案】（1）证明见解析；（2）选择见解析；体积为2．【解析】【分析】（1）先证明BD⊥平面PAC，再利用判定定理，证明平面PAC⊥平面PBD．（2）连结OP，证明OP为四棱锥的高；若选①，直接求出底面

ABCD的面积和高OP，求出四棱锥的体积；若选②，设ABa=，在PBD△中先求出a=2,求出底面ABCD的面积，棱锥的高3PO=,求出四棱锥的体积.【详解】（1）证明：设ACBDO=，连结OP.∵底面ABCD

为菱形，∴ACBD⊥，且O为BD中点；∵PBD△为正三角形，∴POBD⊥，又POACO=，∴BD⊥平面PAC，又BD平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD．（2）解：若选①，则∵底面ABCD为菱形，60BAD=，2AB=，∴底面ABCD面积11322sin=222=232322

ABDSSABAD==△，∵PAPC=，O为AC中点，∴POAC⊥，又POBD⊥，且ACBDO=，∴PO⊥平面ABCD；∵PBD△为正三角形，∴33POBO==；∴四棱锥PABCD−的体积为1

23VSPO==．即四棱锥PABCD−的体积为2．若选②，则∵PAPC=，O为AC中点，∴POAC⊥，又POBD⊥，且ACBDO=∴PO⊥平面ABCD；设ABa=，60BAD=，PBD△为正三角形，∴32AO

POa==∵2226AOOPPA+==，∴2a=，∴底面ABCD面积11322sin=222=232322ABDSSABAD==△，棱锥的高3=32POa=∴四棱锥PABCD−的体积为11233=233VSPO==

．即四棱锥PABCD−的体积为2．【点睛】立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何位置关系的证明，用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离）.如果求体积（或求距离）

，常用的方法有：(1)直接法；(2)等体积法；(3)补形法；(4)向量法.18.已知等差数列{}na的公差0d，若611a=，且2a，5a，14a成等比数列.（1）求数列{}na的通项公式；（2）设11nnnbaa+=，求数列{}nb的前n项和nS.【答案】（1

）21nan=−；（2）21nnSn=+.【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式以及等比中项列方程组可求解.（2）利用裂项求和法即可求解.【详解】（1）611=aQ，1511ad+=，①2aQ，5a，14a成等比数列，2111(4)()(13)adadad+=+

+，化简得212dad=，②又因为0d且由①②可得，11a=，2d=.数列的通项公式是21nan=−（2）由（1）得111111()(21)(21)22121nnnbaannnn+===−−+−+，12111111(1)23352121nnSbbbnn=+++=−+−

++−−+11(1)221n=−+21nn=+所以21nnSn=+.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、裂项求和法，考查了基本运算求解能力，属于基础题.19.如图，在一条海防警戒线上的点ABC、、处各有一个水声监测点，BC、两点到A的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B收到发自静止目标P

的一个声波信号，8秒后AC、同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1．5千米/秒．（1）设A到P的距离为x千米，用x表示BC、到P的距离，并求x的值；（2）求P到海防警戒线AC的距离．【答案】（1）31x=

；（2）421.【解析】【详解】试题分析：（1）依题意，有PAPC==x，1.5812PBxx=−=−，根据余弦定理，列出方程，即可求解x的值；（2）作PDAC⊥于D，在ADP中，由cosPAD，得sinPAD，即可求解点P到海防警戒线AC的距

离．试题解析：（1）依题意，有PAPC==x，1.5812PBxx=−=−．在PAB△中，20AB=，22222220(12)332cos22205PAABPBxxxPABPAABxx+−+−−+

===，同理在PAC中，50AC=，2222225025cos2250PAACPCxxPACPAACxx+−+−===．∵coscosPABPAC=，∴332255xxx+=，解得：31x=．（

2）作PDAC⊥于D，在ADP中，由25cos31PAD=，得2421sin1cos31PADPAD=−=，∴421sin3142131PDPAPAD===千米．故静止目标P到海防警戒线AC的距离为421千米．考点：解三角形的实际应用．【方法点晴】本题主

要考查了解三角形的实际应用问题，其中解答中涉及到解三角形的正弦定理于余弦定理的应用以及三角形的高线的应用等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，属于基础题，此类问题的解答中关键在于灵活运用

正弦定理和余弦定理找到解决问题的途径．20.如图，在三棱锥PABC−中，侧面PBC是边长为2的等边三角形，M，N分别为AB，AP的中点，过MN的平面与侧面PBC交于EF．（1）求证：MN∥EF；（2）若平面PBC⊥平面ABC，AB=AC=3，求点M到平面PAC的距离．【答案】（1）证明见解析；

（2）221035．【解析】【分析】（1）证明//MN平面PBC，再根据线面平行的性质即可得出//MNEF；（2）取BC中点O，连接PO，AO．可得PO⊥平面ABC．设点M到平面PAC的距离为d．利用MPACPAMC

VV−−=求出点到面的距离，【详解】解：（1）证明：因为M，N分别为AB，AP的中点，所以//MNPB．又MN平面PBC，PB平面PBC，所以//MN平面PBC．因为平面MNFE平面PBCEF=，MN平面MNFE．所以//MNEF．2（）解：取BC中点O，连接PO，AO．因为PBC是等边

三角形，所以POBC⊥．因为平面PBC⊥平面ABC，所以PO⊥平面ABC．因为3ABAC==，所以AOBC⊥．又2BC=，M为AB中点，易得3PO=，22AO=，11PA=．在PAC△中，2221cos26PCACPAPCAPCAC+−==，所以35sin

6PCA=，所以135sin22PACSPCACPCA==，1112222AMCABCSSBCAO===，所162333PAMCV−==．设点M到平面PAC的距离为d．因为MPACPAMCVV−−=，所以1356323d=，解得221035d=，所以

点M到平面PAC的距离为221035．【点睛】本题考查了立体几何中的线线平行的判定和点面距离的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，利用等体积法求出点面距

.21.(附加题)已知函数()2lnfxxxmx=+．（I）当1m=时,求曲线()yfx=在点()1,(1)f处的切线方程;（II）当0m时,设()()fxgxx=,求()gx在区间[1,2]上的最大值．【答案】（I）3

2yx=−；（II）2ln2m+.【解析】【详解】试题分析：(I)当1m=时,求出切点和斜率,根据点斜式写出切线方程.(II)先对函数求导,并求得函数得极值点,通过对m分类讨论函数的单调区间,由此求得函数在给定区间上的最大

值.试题解析：（1）当1m=时()2lnfxxxx=+所以()ln21fxxx+=+．所以()11f=,切点为()1,1．()13f=,所以曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程为()131yx−=−即32yx=−．（2）因为()11mxgxmxx

+=+=,1,2x,令10mxx+=,则1xm=−,当1m−时,101m−,()0gx,()gx为减函数,所以()gx的最大值为()1gm=,当112m−−时,112m−时,x

11,m−1m−1,2m−()gx+0-()gx↗极大↘所以()gx的最大值为()11lngmm=−−−,当102m−时,12m−时,()0gx恒成立,()gx为增函数,所以()gx的最大值为()22ln2gm=+.【点

睛】本小题主要考查利用函数的导数求切线方程,考查利用函数的导数求含有参数的函数的最值问题.对于利用函数的导数求切线方程,首先要判断给定点是否在函数的图象上,如果在函数的图象上,则利用导数求得斜率,结合切

点可以求得切线方程,若点不在函数图象上,则需要先设出切点坐标,利用导数写出切线方程,代入给定点的坐标来求得切点的坐标,从而求得切线方程.选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所

做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．选修4-4：极坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为32cos22sinxy=+=−+（为参数）.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，

已知射线L的极坐标方程为7(0)4=.（1）求曲线C的极坐标方程与射线L的直角坐标方程；（2）若射线L与曲线C交于,AB两点，求22||||||||OAOBOBOA+.【答案】（1）26cos4sin90

−++=，(0)yxx=−；（2）452.【解析】【分析】（1）消参即可容易求得曲线C的普通方程，结合公式即可由极坐标方程求得直角坐标方程；（2）联立74=与26cos4sin90−++=，即可求得12

，l2+，则问题得解.【详解】（1）由32cos22sinxy=+=−+得22(3)(2)4xy−++=，即226490xyxy+−++=，故曲线C的极坐标方程为26cos4sin90−++=.射线L的直角坐标方程为(0)yxx

=−.（2）将74=代入26cos4sin90−++=，得222649022−−+=，即25290−+=，12,分别为点,AB的极径，则1252+=，129=，

所以22||||||||||||(||||)OAOBOBOAOAOBOAOB+=+()1212452=+=.【点睛】本题考查极坐标方程，参数方程和直角坐标方程之间的相互转化，的几何意

义，根与系数的关系，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23.已知0a，函数()1fxax=−，()2gxax=+.（1）若()()fxgx，求x的取值范围；（2）若()()2107afxgx+−对xR恒成立，求a的最大值与最小值之和.【答案】（1）当0a时，

不等式解集为1,2a−+；当0a时，不等式解集为1,2a−−；（2）1.【解析】【分析】（1）两边平方求解绝对值不等式，对参数a进行分类讨论，则问题得解；（2）利用绝对值三

角不等式，即可容易求得()()fxgx+的最小值，再求解绝对值不等式，即可求得a的最大值和最小值，利用对数运算，求解即可.【详解】（1）因为()()fxgx，所以12axax−+，两边同时平方得22222144axaxaxax−+++

，即63ax−，当0a时，12xa−；当0a时，12xa−.故当0a时，不等式解集为1,2a−+；当0a时，不等式解集为1,2a−−（2）因为()()()()12123fxgxaxaxaxax+=−++−−+=，当且仅当

()()120axax−+时取得等号.所以()()fxgx+的最小值为3，所以21073a−，则321073a−−，解得lg2lg5a，故a的最大值与最小值之和为lg2lg5lg101+==.【点睛】本题考查绝对值不等

式的求解，涉及绝对值三角不等式，对数运算，属综合中档题.