【文档说明】北京市丰台区2021届高三下学期4月综合练习(二)(丰台二模)数学试题含答案.docx,共(11)页,643.064 KB,由小赞的店铺上传
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丰台区2021年高三年级第二学期综合练习(二)数学2021.04本试卷满分共150分考试时间120分钟注意事项:1.答题前,考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚,并认真核对条形码上的准考证号、姓名,在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。2.本次考试所有
答题均在答题卡上完成。选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑,如需改动,用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写,要求字体工整、字迹清楚。3.请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试卷、草稿纸上答题无效。
4.请保持答题卡卡面清洁,不要装订、不要折叠、不要破损。第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.(1)在复平面内,复数i2iz=−对应的点位于(A)第一象限(B)第
二象限(C)第三象限(D)第四象限(2)下列函数中,在区间(0,)+上单调递增的是(A)1()2xy=(B)1yx−=(C)2(1)yx=−(D)lnyx=(3)已知向量(1,2),(2,)m=−=
ab,若ab,则m=(A)4−(B)12−(C)12(D)4(4)在平面直角坐标系xOy中,角以Ox为始边,它的终边与以原点O为圆心的单位圆的交点为02(,)3Py,则sin()2+=(A)23(B)23−(C)53(D)53
−(5)已知,,是三个不同的平面,,ab是两条不同的直线,下列命题中正确的是(A)若,⊥⊥,则‖(B)若,ab⊥⊥,则ab‖(C)若,ab,则ab‖(D)若,aa,则‖(6)“1a=”是“直线10xay+−=与直线10axy−+=相互垂直”的(A
)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(7)已知双曲线2221(0)xyaa−=的渐近线与圆22430xyy+−+=相切,则a=(A)3(B)3(C)3
3(D)13(8)将函数2log(22)yx=+的图象向下平移1个单位长度,再向右平移1个单位长度,得到函数()gx的图象,则()gx=(A)2log(21)1x+−(B)2log(21)1x++(C)2log
1x−(D)2logx(9)某中学举行“十八而志,青春万岁”成人礼,现在需要从4个语言类节目和6个歌唱类节目中各选2个节目进行展演,则语言类节目A和歌唱类节目B至少有一个被选中的不同选法种数是(A)15(B)45(C)60(D
)75(10)如图,半椭圆22221(0)xyxab+=≥与半椭圆22221(0)yxxbc+=≤组成的曲线称为“果圆”,其中222,0,0abcabc=+.12,AA和12,BB分别是“果圆”与x轴,y
轴的交点.给出下列三个结论:①22cab;②若1212||||AABB=,则::5:4:3abc=;③若在“果圆”y轴右侧部分上存在点P,使得1290APA=,则15122ca−.其中,所有正确结论的序号是(A)①②(B)①③(C)②③(D)
①②③第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.(11)函数()sincosfxxx=+的值域为_____.(12)能够说明“若,,abm均为正数,则bmbama++”是假命题的一组整数,ab的值依次为_____.(13)已知点00(
,)Pxy为抛物线2:4Cxy=上的点,且点P到抛物线C焦点的距离为3,则0||x=_____.(14)赵爽是我国古代数学家,大约在公元222年,他为《周髀算经》一书作序时,介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,如图1所示
.类比“赵爽弦图”,可构造如图2所示的图形,它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.在ABC△中,若1,2AFFD==,则AB=_____.图1图2(15)函数()fx是定
义域为R的奇函数,满足()()22fxfx−=+,且当[0,)x时,2sin()xfxxx=−+,给出下列四个结论:①()0f=;②是函数()fx的周期;③函数()fx在区间(1,1)-上单调递增;④函
数()()sin1([10,10])gxfxx=−−所有零点之和为3.其中,正确结论的序号是_____.三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.(16)(本小题13分)已知数列}{na中,11a=,且满足.(Ⅰ)求数列}{na的通项公式
;(Ⅱ)求数列1{2}nna−+的前n项和nS.从①12()nnaan+=N;②12()nnaan+−=N;③12()nnaan++=N这三个条件中选择一个,补充在上面的问题中并作答.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解
答计分.(17)(本小题14分)某公司开发了一款手机应用软件,为了解用户对这款软件的满意度,推出该软件3个月后,从使用该软件的用户中随机抽查了1000名,将所得的满意度的分数分成7组:[30,40),[40,50),…,[90,100],整理
得到如下频率分布直方图.根据所得的满意度的分数,将用户的满意度分为两个等级:满意度的分数[30,60)[60,100]满意度的等级不满意满意(Ⅰ)从使用该软件的用户中随机抽取1人,估计其满意度的等级为“满意”的概率;(Ⅱ)用频率估计概率,从使用该软件的所有用户中随机抽取2人,以X
表示这2人中满意度的等级为“满意”的人数,求X的分布列和数学期望.(18)(本小题14分)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD和CDEF都是直角梯形,ABCD,CDEF,1ABEF==,2DADCDE===,2ADEADCEDC===,点M为棱
CF上一点,平面AEM与棱BC交于点N.(Ⅰ)求证:ED⊥平面ABCD;(Ⅱ)求证:AEMN;(Ⅲ)若平面AEM与平面CDEF所成锐二面角的余弦值为3,求FMFC的值.(19)(本小题15分)已知函数221()(2)ln22fxxaxxxax=−−+()aR.(Ⅰ)若0
a=,求()fx的最小值;(Ⅱ)求函数()fx的单调区间.(20)(本小题15分)已知椭圆22:13xCy+=,过点(1,0)−的直线l交椭圆C于点,AB.(Ⅰ)当直线l与x轴垂直时,求||AB;(Ⅱ)在x轴上是否存在定点P,使PA
PB为定值?若存在,求点P的坐标及PAPB的值;若不存在,说明理由.(21)(本小题14分)设数集S满足:①任意xS,有0x≥;②任意,xyS,有xyS+或xyS−,则称数集S具有性质P.(Ⅰ)判断数集{0,1,2,4}A=是否具有性质P,并说明理
由;(Ⅱ)若数集12{,,,}nBaaa=L且1(1,2,,1)iiaain+=−L具有性质P.(ⅰ)当2021n=时,求证:12,,,naaaL是等差数列;(ⅱ)当12,,,naaaL不是等差数列时,写出n的最大值
.(结论不需要证明)(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)丰台区2021年高三年级第二学期综合练习(二)数学答案2021.04一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分)题号12345678910答案BDAABACDCD二、填空题(共5小题,每小题
5分,共25分)11.[2,2]−12.1,2(答案不唯一)13.2214.1315.①③④三、解答题(共6小题,共85分)16.(本小题13分)解:选①(Ⅰ)因为12()nnaan+=N,所以数列{}na是以1为首项,2为公比的
等比数列.所以11122nnna−−==.所以数列{}na的通项公式为1*2()nnan−=N.(Ⅱ)1112222nnnnna−−−+=+=,所以数列1{2}nna−+是以2为首项,2为公比的等比数列.所以12(12)2(21)2
212nnnnS+−==−=−−.………………………13分选②(Ⅰ)因为12()nnaan+−=N,所以数列{}na是以1为首项,2为公差的等差数列.所以1(1)221nann=+−=−.所以数列{}na的通项公式为*21()nann=−N.(Ⅱ)112212
nnnan−−+=−+,所以1(1321)(122)nnSn−=+++−++++(121)1(12)212nnn+−−=+−221nn=+−.………………………13分选③(Ⅰ)因为12()nnaan++=N,所以12(2,)nnaann−+=N,.两式相减得110(2,)nna
ann+−−=N,,即11(2,)nnaann+−=N.又因为121aa==,所以数列{}na是常数列.所以数列{}na的通项公式为*1()nan=N.(Ⅱ)11212nnna−−+=+,所以1(12)2112nnnSnn−=
+=+−−.………………………13分17.(本小题14分)解:(Ⅰ)根据频率分布直方图可知,样本中[60,100]的频率为:(0.0300.0150.0100.005)100.6+++=,所以从使用该软件的用户中随机抽取1人,其满意度
的等级为“满意”的概率约为0.6.(Ⅱ)用频率估计概率,则“满意”的概率为35,“不满意”的概率为25.X的所有可能取值为0,1,2.0022324(0)()()5525PXC===;123212(1)()()5525PXC===;220
2329(2)()()5525PXC===所以X的分布列为X012P4251225925数学期望41296()0122525255EX=++=…………………………………………14分(18)(本小题14分)(Ⅰ)证明:因为2ADEEDC==,所以EDAD⊥,EDDC⊥.
因为ADDCD=,ADDC,平面ABCD,所以ED⊥平面ABCD.…………………4分(Ⅱ)证明:因为ABCD,CDEF,所以ABEF.因为ABEF=,所以四边形ABFE是平行四边形.所以AEBF.因为AE平面BCF,BF平面BCF,所以AE平面BCF.因为AE平面A
EM,平面AEM平面BCFMN=,所以AEMN.…………………8分(Ⅲ)解:因为EDAD⊥,EDDC⊥,ADDC⊥,所以如图建立空间直角坐标系Dxyz−,由1,2ABEFDADCDE=====,可知(0,0,0)D,(2,0,0)A,(2,1,0)B,(
0,2,0)C,(0,0,2)E,(0,1,2)F,(2,0,2)AE=−,(0,1,2)FC=−,设(01)FMFC=≤≤,则EMEFFMEFFC=+=+(0,1,0)(0,1,2)(0,1,2)=+−=+−,
设(,,)xyz=m是平面AEM的法向量,则00AEEM==mm,即0,(1)20,xzyz−+=+−=所以(1+,2,1+)=m.因为(1,0,0)=n是平面CDEF的法向量,所以22212cos,3(1+)(2)(1+)+
===++mnmnmn.因为01,解得13=.所以平面AEM与平面CDEF所成锐二面角的余弦值为3时,13FMFC=.…………………14分(19)(本小题15分)解:(Ⅰ)函数()fx的定义域为(0,)+.若0a=,则221()
ln2fxxxx=−,()2lnf'xxx=,令()0f'x=,得1x=,随x的变化,()f'x,()fx的变化情况如下表所示x(0,1)1(1,)+()f'x-0+()fx单调递减极小值(1)f单调递增所以0a=时,()fx的最小值为1(
1)2f=−.…………………6分(Ⅱ)因为()2()ln(0)f'xxaxx=−,当0a时,0xa−,令()0f'x,得ln0x,所以1x,()fx在区间(1,)+上单调递增,令()0f'x
,得ln0x,所以01x,()fx在区间(0,1)上单调递减.xzyNFBEDACM当01a时,令()0f'x=,得1x=或xa=,随x的变化,()f'x,()fx的变化情况如下表所示x(0,)aa(
,1)a1(1,)+()f'x+0-0+()fx单调递增()fa单调递减(1)f单调递增所以()fx在区间(0,)a上单调递增,在区间(,1)a上单调递减,在区间(1,)+上单调递增.当1a=时,因为()2(1)ln0f'xxx=−,当且仅当1x=时,
()0f'x=,所以()fx在区间(0,)+上单调递增.当1a时,令()0f'x=,得1x=或xa=,随x的变化,()f'x,()fx的变化情况如下表所示x(0,1)1(1,)aa(,)a+()f'x+0-0+()fx单调递增(1)
f单调递减()fa单调递增所以()fx在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,)a上单调递减,在区间(,)a+上单调递增.综上所述,当0a时,()fx的单调递增区间为(1,)+,单调递减区间为(0,1);当01a时,()fx的单调递增区间
为(0,)a,(1,)+,单调递减区间为(,1)a;当1a=时,()fx的单调递增区间为(0,)+,无单调递减区间;当1a时,()fx的单调递增区间为(0,1),(,)a+,单调递减区间为(1,)a.……………………………………15分20.(本小题15分)解:
(Ⅰ)当直线l斜率不存在时,其方程为1x=−.由221,31xyx+==−得1,63xy=−=或1,6.3xy=−=−所以26||3AB=.(Ⅱ)假设存在(,0)Pm,使PAPB为定值.①
当直线l斜率存在时,设直线l的方程为:(1)ykx=+,1122(,),(,),AxyBxy由2233,(1)xyykx+==+得2222(13)6330kxkxk+++−=.则22121222633,1313kkxxxxkk−+=−=++.所以1122
(,)(,)PAPBxmyxmy=−−12122212121222221212121222221212()()()(1)(1)()()()()(1)xmxmyyxxmxxmkxxxxmxxmkxxkxxkkmxxkxxkm=−−+=−+++++=−++++++=
−+++++22222222222222()(6)(1)(33)()(13)131313(361)3.13kmkkkkmkkkkmmkmk−−+−++=++++++++−=+若PAPB为常数,只需22361331mmm++−=,解得53m=−,
此时29PAPB=−.所以存在点5(,0)3P−,使PAPB为定值29−.②当直线l与x轴垂直时,不妨设66(1,),(1,),33AB−−−当点P坐标为5(,0)3P−时,5656462(1,)(1,)3333999PAPB=−+−+−=−=−.综上,存在点5(,0)
3P−,使PAPB为定值29−.……………………………15分21.(本小题14分)解:(Ⅰ)因为41,41AA+−,所以数集A不具有性质P;…………………………3分(Ⅱ)(i)因为20212021202120212aaaa+=,所以202120
21aa+B.所以202120210aaB−=,则10a=.因为1(1,2,,2020)iiaai+=L,所以2021202020212019202122021aaaaaaa+++L.所以2021(2,3,,2020)iaaBi+=L.所以20
21(2,3,,2020)iaaBi−=L.因为20212020202120192021220210aaaaaaa−−−L,所以20212022(2,3,,2020)iiaaai−−==L.①所以202120202aaa
=+,202120193aaa=+.因为202020192020201820203202022021aaaaaaaaa++++=L,所以2020(3,4,,2019)iaaBi+=L.所以2020(3,4
,,2019)iaaBi−=L.因为20202019202020182020320200aaaaaaa−−−L,所以202020192202032018,aaaaaa−=−=.否则20202019(3)kaaak−=,得2020320192021aaaa+=矛盾.202
03(2019)laaal−=,得2020320192021aaaa+=矛盾.所以20202021(3,,2019)iiaaai−−==L.②①−②得20222021202120202(3,,2019)iiaaaaai−−−=−==L,即3243201920182aaaaaaa−=−==−
=L.所以12(1,2,,1)iiaaain+−==−L.所以12,,naaa,L是等差数列.…………………………………12分(ii)n的最大值是4.…………………………………14分