【文档说明】北京市丰台区2021届高三下学期4月综合练习（二）（丰台二模）数学试题含答案.docx，共(11)页，643.064 KB，由管理员店铺上传

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丰台区2021年高三年级第二学期综合练习（二）数学2021.04本试卷满分共150分考试时间120分钟注意事项：1.答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴

区”贴好条形码。2.本次考试所有答题均在答题卡上完成。选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚

。3.请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。4.请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）在复平面内，

复数i2iz=−对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（2）下列函数中，在区间(0,)+上单调递增的是（A）1()2xy=（B）1yx−=（C）2(1)yx=−（D）lnyx=（3）已知向量(1,2),(2,)m=−=ab，若ab，则m=

（A）4−（B）12−（C）12（D）4（4）在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，它的终边与以原点O为圆心的单位圆的交点为02(,)3Py，则sin()2+=（A）23（B）23−（C）53（D）53−（5）已知,,是三个不同的平面，,ab是两条不同的直线

，下列命题中正确的是（A）若,⊥⊥，则‖（B）若,ab⊥⊥，则ab‖（C）若,ab，则ab‖（D）若,aa，则‖（6）“1a=”是“直线10xay+−=与直线10axy−+=相

互垂直”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）已知双曲线2221(0)xyaa−=的渐近线与圆22430xyy+−+=相切，则a=（A）3（B）3（C）33（D）13（8）将函数2log(22)yx=+的图象向下平移1

个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数()gx的图象，则()gx=（A）2log(21)1x+−（B）2log(21)1x++（C）2log1x−（D）2logx（9）某中学举行“十八而志,青春万岁”成人礼，现在需要从4个语言类节目和

6个歌唱类节目中各选2个节目进行展演，则语言类节目A和歌唱类节目B至少有一个被选中的不同选法种数是（A）15（B）45（C）60（D）75（10）如图，半椭圆22221(0)xyxab+=≥与半椭圆22221(0)yxxbc

+=≤组成的曲线称为“果圆”，其中222,0,0abcabc=+．12,AA和12,BB分别是“果圆”与x轴，y轴的交点．给出下列三个结论：①22cab；②若1212||||AABB=，则::5:4:3abc=；③若

在“果圆”y轴右侧部分上存在点P，使得1290APA=，则15122ca−.其中，所有正确结论的序号是（A）①②（B）①③（C）②③（D）①②③第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.（11）函数()s

incosfxxx=+的值域为_____．（12）能够说明“若,,abm均为正数，则bmbama++”是假命题的一组整数,ab的值依次为_____．（13）已知点00(,)Pxy为抛物线2:4Cxy=上的点，且点P

到抛物线C焦点的距离为3，则0||x=_____．（14）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图1所示．类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一

个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．在ABC△中，若1,2AFFD==，则AB=_____．图1图2（15）函数()fx是定义域为R的奇函数，满足()()22fxfx−=+，且当[0,)x时，2sin()x

fxxx=−+，给出下列四个结论：①()0f=；②是函数()fx的周期；③函数()fx在区间(1,1)-上单调递增；④函数()()sin1([10,10])gxfxx=−−所有零点之和为3．其中，正确结

论的序号是_____．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（16）（本小题13分）已知数列}{na中，11a=，且满足.（Ⅰ）求数列}{na的通项公式；（Ⅱ）求数列1{

2}nna−+的前n项和nS.从①12()nnaan+=N；②12()nnaan+−=N；③12()nnaan++=N这三个条件中选择一个，补充在上面的问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.（17）（本小题14分）某公司开发了一款手机应用软件，

为了解用户对这款软件的满意度，推出该软件3个月后，从使用该软件的用户中随机抽查了1000名，将所得的满意度的分数分成7组：[30,40)，[40,50)，…，[90,100]，整理得到如下频率分布直方图．根

据所得的满意度的分数，将用户的满意度分为两个等级：满意度的分数[30,60)[60,100]满意度的等级不满意满意（Ⅰ）从使用该软件的用户中随机抽取1人，估计其满意度的等级为“满意”的概率；（Ⅱ）用频率估计概率，从使用该软件的所有用户中随机抽取2人，以X表示这2人中

满意度的等级为“满意”的人数，求X的分布列和数学期望．（18）（本小题14分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD和CDEF都是直角梯形，ABCD，CDEF，1ABEF==，2DADCDE===，2ADEADCEDC===，点M为棱CF上一点，平面AE

M与棱BC交于点N．（Ⅰ）求证：ED⊥平面ABCD；（Ⅱ）求证：AEMN；（Ⅲ）若平面AEM与平面CDEF所成锐二面角的余弦值为3，求FMFC的值．（19）（本小题15分）已知函数221()(2)ln22fxxaxxxax=−−+()aR．

（Ⅰ）若0a=，求()fx的最小值；（Ⅱ）求函数()fx的单调区间．（20）（本小题15分）已知椭圆22:13xCy+=，过点(1,0)−的直线l交椭圆C于点,AB．（Ⅰ）当直线l与x轴垂直时，求||AB；（Ⅱ）在x轴上是否存在定点P，使P

APB为定值？若存在，求点P的坐标及PAPB的值；若不存在，说明理由．（21）（本小题14分）设数集S满足：①任意xS,有0x≥；②任意,xyS,有xyS+或xyS−，则称数集S具有性质P.（Ⅰ）判断数集{0,1,2,4

}A=是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）若数集12{,,,}nBaaa=L且1(1,2,,1)iiaain+=−L具有性质P.(ⅰ)当2021n=时，求证：12,,,naaaL是等差数列；(ⅱ)当12,

,,naaaL不是等差数列时，写出n的最大值.（结论不需要证明）（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2021年高三年级第二学期综合练习（二）数学答案2021.04一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）题号12345678

910答案BDAABACDCD二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．[2,2]−12．1,2（答案不唯一）13．2214．1315．①③④三、解答题（共6小题，共85分）16.（本小题13分）解：选①（Ⅰ）因为12()nn

aan+=N,所以数列{}na是以1为首项，2为公比的等比数列.所以11122nnna−−==.所以数列{}na的通项公式为1*2()nnan−=N.（Ⅱ）1112222nnnnna−−−+=+=,所以数列1{2}nna−+是以2为首项，2为公比的等比数列.所以12(1

2)2(21)2212nnnnS+−==−=−−.………………………13分选②（Ⅰ）因为12()nnaan+−=N,所以数列{}na是以1为首项，2为公差的等差数列.所以1(1)221nann=+−=−

.所以数列{}na的通项公式为*21()nann=−N.（Ⅱ）112212nnnan−−+=−+,所以1(1321)(122)nnSn−=+++−++++(121)1(12)212nnn+−−=+−221nn=+−.………………………13

分选③（Ⅰ）因为12()nnaan++=N,所以12(2,)nnaann−+=N，.两式相减得110(2,)nnaann+−−=N，,即11(2,)nnaann+−=N.又因为121aa==，

所以数列{}na是常数列.所以数列{}na的通项公式为*1()nan=N.（Ⅱ）11212nnna−−+=+,所以1(12)2112nnnSnn−=+=+−−.………………………13分17.（本小题14

分）解：（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，样本中[60,100]的频率为：(0.0300.0150.0100.005)100.6+++=，所以从使用该软件的用户中随机抽取1人，其满意度的等级为“满意”的概率约为0.6.（Ⅱ）用频率估计概率，则“满意”的概率为35，“不满

意”的概率为25.X的所有可能取值为0,1,2.0022324(0)()()5525PXC===；123212(1)()()5525PXC===；2202329(2)()()5525PXC===所以X的分布列为X012P4251225925数学期望41296()0122525255EX=++

=…………………………………………14分（18）（本小题14分）（Ⅰ）证明：因为2ADEEDC==，所以EDAD⊥，EDDC⊥.因为ADDCD=，ADDC,平面ABCD，所以ED⊥平面ABCD．…………………4分（Ⅱ）

证明：因为ABCD，CDEF，所以ABEF.因为ABEF=，所以四边形ABFE是平行四边形.所以AEBF.因为AE平面BCF，BF平面BCF，所以AE平面BCF.因为AE平面AEM，平面AEM平面BCFMN=，所以AEMN．…………

………8分（Ⅲ）解：因为EDAD⊥，EDDC⊥，ADDC⊥，所以如图建立空间直角坐标系Dxyz−，由1,2ABEFDADCDE=====,可知(0,0,0)D，(2,0,0)A，(2,1,0)B，(0,2,0)C，(0,0,2)E，(0,1,2)F，(2,0,2)AE=−，(0

,1,2)FC=−,设(01)FMFC=≤≤，则EMEFFMEFFC=+=+(0,1,0)(0,1,2)(0,1,2)=+−=+−，设(,,)xyz=m是平面AEM的法向量，则00AEEM==mm，即0,(1)20,xzyz−+=+−

=所以(1+,2,1+)=m.因为(1,0,0)=n是平面CDEF的法向量，所以22212cos,3(1+)(2)(1+)+===++mnmnmn.因为01，解得13=.所以平面AEM与平面CD

EF所成锐二面角的余弦值为3时，13FMFC=．…………………14分（19）（本小题15分）解：（Ⅰ）函数()fx的定义域为(0,)+.若0a=，则221()ln2fxxxx=−，()2lnf'xxx=，令()0f'x=，得1x=，随x的变化，()f'x，(

)fx的变化情况如下表所示x(0,1)1(1,)+()f'x-0+()fx单调递减极小值(1)f单调递增所以0a=时，()fx的最小值为1(1)2f=−．…………………6分（Ⅱ）因为()2()ln(0)f'xxaxx=−

，当0a时，0xa−，令()0f'x，得ln0x，所以1x，()fx在区间(1,)+上单调递增，令()0f'x，得ln0x，所以01x，()fx在区间(0,1)上单调递减．xzyNFBEDACM当01a时，令()0f'x=，得1

x=或xa=，随x的变化，()f'x，()fx的变化情况如下表所示x(0,)aa(,1)a1(1,)+()f'x+0-0+()fx单调递增()fa单调递减(1)f单调递增所以()fx在区间(0,)a上单调递增，在区间

(,1)a上单调递减，在区间(1,)+上单调递增．当1a=时，因为()2(1)ln0f'xxx=−，当且仅当1x=时，()0f'x=，所以()fx在区间(0,)+上单调递增．当1a时，令()0f'x=，得1x=或xa=，随x的变化，(

)f'x，()fx的变化情况如下表所示x(0,1)1(1,)aa(,)a+()f'x+0-0+()fx单调递增(1)f单调递减()fa单调递增所以()fx在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)a上

单调递减，在区间(,)a+上单调递增．综上所述，当0a时，()fx的单调递增区间为(1,)+，单调递减区间为(0,1)；当01a时，()fx的单调递增区间为(0,)a，(1,)+，单调递减区间

为(,1)a；当1a=时，()fx的单调递增区间为(0,)+，无单调递减区间；当1a时，()fx的单调递增区间为(0,1)，(,)a+，单调递减区间为(1,)a．……………………………………15分20.（本小题15分）解：（Ⅰ）当直线l斜率不存在时，其方程为1x=−.由221,3

1xyx+==−得1,63xy=−=或1,6.3xy=−=−所以26||3AB=.（Ⅱ）假设存在(,0)Pm，使PAPB为定值.①当直线l斜率存在时，设直线l的方程为：(1)ykx=+，1122(,),(,),A

xyBxy由2233,(1)xyykx+==+得2222(13)6330kxkxk+++−=.则22121222633,1313kkxxxxkk−+=−=++.所以1122(,)(,)PAPBxmyxmy=−−1212221212122222121212122222121

2()()()(1)(1)()()()()(1)xmxmyyxxmxxmkxxxxmxxmkxxkxxkkmxxkxxkm=−−+=−+++++=−++++++=−+++++22222222222222()(6)(1)(33)()(

13)131313(361)3.13kmkkkkmkkkkmmkmk−−+−++=++++++++−=+若PAPB为常数，只需22361331mmm++−=，解得53m=−，此时29PAPB=−.所以存在点5(,0)3P−，使PA

PB为定值29−.②当直线l与x轴垂直时，不妨设66(1,),(1,),33AB−−−当点P坐标为5(,0)3P−时，5656462(1,)(1,)3333999PAPB=−+−+−=−=−.综上，存在点5(,0)3P−，

使PAPB为定值29−.……………………………15分21.（本小题14分）解：（Ⅰ）因为41,41AA+−，所以数集A不具有性质P；…………………………3分（Ⅱ）（i）因为20212021202120212aaaa+=，所以20212021aa+B.所以2021

20210aaB−=，则10a=.因为1(1,2,,2020)iiaai+=L，所以2021202020212019202122021aaaaaaa+++L.所以2021(2,3,,2020)iaaBi+=L.所以2021(2,3,

,2020)iaaBi−=L.因为20212020202120192021220210aaaaaaa−−−L，所以20212022(2,3,,2020)iiaaai−−==L.①所以202120202aaa=+，202120193aaa=+.因为20202019202020

1820203202022021aaaaaaaaa++++=L，所以2020(3,4,,2019)iaaBi+=L.所以2020(3,4,,2019)iaaBi−=L.因为20202019202020182020320200aaaaaaa−−

−L，所以202020192202032018,aaaaaa−=−=.否则20202019(3)kaaak−=，得2020320192021aaaa+=矛盾.20203(2019)laaal−=，得20

20320192021aaaa+=矛盾.所以20202021(3,,2019)iiaaai−−==L.②①−②得20222021202120202(3,,2019)iiaaaaai−−−=−==L，即3243201920182aaaaaaa−

=−==−=L.所以12(1,2,,1)iiaaain+−==−L.所以12,,naaa，L是等差数列.…………………………………12分（ii）n的最大值是4.…………………………………14分