【文档说明】江苏省南京师范大学附属中学2022届高三下学期5月模拟数学试题 含解析 .docx，共(26)页，3.038 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-f83f99ed74d6fbcfdecb0eb9dcc8064e.html

以下为本文档部分文字说明：

南京师大附中2022届高三年级模拟考试数学2022.5一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合2430Axxx=−+Z，3,4B=，则AB

=（）A.1,2B.1,2,3,4C.3D.3,4【答案】B【解析】【分析】先解不等式求出集合A，再按照并集求解即可.【详解】由2430xx−+可得13x，则1,2,3A=，则AB=1,2,3,4.故选：B.

2.设i是虚数单位，复数z满足()2i5z−=，则复数z的共轭复数z在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算求得z,可得2iz=−，根据复数的几何意义可得答案.【详解】由题意得()2i5z−=，即55(2i)2i2i

5z+===+−，故2iz=−，其对应的点(2,1)−在第四象限，故选：D3.已知1sincos5xx+=−，则cos2x=（）A.2425−B.725C.725−D.725【答案】D【解析】【分析】将1sincos5xx+=−两边平方，可得24

2sincos25xx=−，继而求得7cossin5xx−=，再利用三角函数的二倍角余弦公式求得答案.【详解】因为1sincos5xx+=−，故21(sincos)25xx+=，所以242sincos25xx=−，故x为第二或第四象限角，则249(sincos)

25xx−=，故7sincos5xx−=，即7cossin5xx−=，所以227cos2cossin(cossin)(cossin)25xxxxxxx=−=+−=，故选：D4.在边长为2的等边ABC中，D为线段BC上的动点，DEAB⊥且交AB

于点E，DFAB∥且交AC于点F，则2BEDF+的值为（）A.1B.32C.2D.52【答案】C【解析】【分析】作DGAC∥交AB于点G，由2BGBE=，DFGA=即可求解.【详解】如图，作DGAC∥交AB于点G，则BDG为等边三角形，又DEAB⊥，则2BGBE=，又DFAB∥，则四

边形GDFA为平行四边形，则DFGA=，则22BEDFBGGABA+=+==.故选：C.5.已知点A，B是双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左､右顶点，过点B作倾斜角为3的直线l交C于点P，点M是线段AP的中点.若OMOA=，则该双曲线的离心率为（）A.2

B.3C.2D.31+【答案】A【解析】【分析】先由中位线结合OMOA=求得2PBa=，进而求出P点坐标，代入双曲线C的方程，求得22ba=，即可求出离心率.【详解】易得O是线段AB的中点，又点M是线段AP的中点，则OMPB，又OMOA=，则2ABPBa==，作PQx⊥轴于点Q，又3PB

Q=，则,3BQaPQa==，则(2,3)Paa，代入C可得2222431aaab−=，解得22ba=，故离心率为2212cbaa=+=.故选：A.6.将座位号为1，2，3，4，5的五张电影票全部分给甲､乙､丙三个人，每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为（）A.2

4B.36C.72D.120【答案】B【解析】【分析】先分两类，求出每类情况，再利用加法原理可得答案.【详解】若有1人得3张票，则3张票可能为1，2，3；2，3，4；3，4，5三种情况，此时共有333A18=种分法；若有2人各得2张，则这4张票可能是：12,34；12,4

5；23,45三种情况，此时共有333A18=种分法；共有181836+=种不同的分法.故选：B.7.某同学在课外阅读时了解到概率统计中的马尔可夫不等式，该不等式描述的是对非负的随机变量X和任意的正数a，都有()()(),PXafEXa，其中()(),fEXa是关于数学期望()EX和a的

表达式.由于记忆模糊，该同学只能确定()(),fEXa的具体形式是下列四个选项中的某一种.请你根据自己的理解，确定该形式为（）A.()aEXB.()1aEXC.()aEXD.()EXa【答案】D【解析】【分析】根据期望的计算公式,

以及mxa即可求解.【详解】设非负随机变量X的所有可能取值按从小到大依次为0,ixiN,对应的概率分别为,0iipp设满足ixa的有,,,maaxkmnmNkN,()aniikPXap==,()111aainkii

iiniiikiaxpEaxpxpXa−===+==,因为mxa,所以1mxa()()()1111aaaaannniiiiiikkikikikiiiiixpxpxpxppPXaPXaEaaa

aaX−−=====++=+=故选：D8.平面直角坐标系中，点集()sin2cos,,,Rcos2sinxMxyy=−==+，则点集M所覆盖的平面图形的

面积为（）A.3πB.4πC.8πD.9π【答案】C【解析】【分析】欲求点集M所覆盖的平面图形的面积，先看点M的轨迹是什么图形，将x，y的式子平方相加后即可得出()2254sinxy+=+−,再结合三角

函数的有界性即可解决问题．【详解】sin2coscos2sinxy=−=+两式平方相加得：22144sincos4cossinxy+=+−+,即：()2254sinxy+=+−．由于1sin()1−−，()15

4sin9+−，随着−的变化，方程()2254sinxy+=+−表示圆心在(0,0)，半径为1和半径为3的两圆之间的圆环，故点集M所覆盖的平面图形的面积为：π(91)=8π−，故选：C．二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共

20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.若数列na满足：对,*ijN，若ij，则ijaa，称数列na为“鲤鱼跃龙门数列”.下列数列na是“鲤鱼跃龙门数列”的有（）A.241nann=−+B.12nnan+

=+C.sinπnan=D.ln1nnan=+【答案】BD【解析】【分析】举特例13ij==，132aa=−=可说明A不符合题意，同理可说明C不符合题意；依据“鲤鱼跃龙门数列”的定义，可说明B,D.【详解】对于A,不妨取13

ij==，但132aa=−=，不满足ijaa，故A错误；对于B,11122nnann+==−++,对,*ijN，若ij,则1122ij++，则111122ij−−++,即ijaa，故B正确；对于C，不妨取24ij==，但240aa=

=，不满足ijaa，故C错误；对于D,1lnln(1)11nnann==−++,对,*ijN，若ij,则1111ij++，则111111ij−−++，故11ln(1)ln(1)11ij−−+

+，即ijaa，故D正确；故选：BD10.如图，圆柱的底面半径和高均为1，线段AB是圆柱下底面的直径，点O是下底面的圆心.线段EF是圆柱的一条母线，且EOAB⊥.已知平面经过A，B，F三点，将平面截这个圆柱所得到的较小部分称为“马蹄体”.记平面与圆柱侧面的交线为曲线C.

则（）A.曲线C是椭圆的一部分B.曲线C是抛物线的一部分C.二面角FABE−−的大小为4D.马蹄体的体积为V满足134V【答案】ACD【解析】【分析】将相同的圆柱按如图方式拼接在一起，将两个球放入圆柱内，通过切线相等即

可判断A、B选项；由二面角的定义即可判断C选项；马蹄体的体积为V小于圆柱体的14即可判断D选项.【详解】将相同的圆柱按如图方式拼接在一起，将两个球放入圆柱内，使每一个球既与圆柱相切，又与曲线C所在平面相切，球与

曲线C的切点为,QR，取曲线C上一点P，过P点的圆柱母线与两球交于,MN两点，由于,PMPR同是下面球的切线，,PNPQ同是上面球的切线，可得PMPR=，PNPQ=，则PRPQPMPNMNQR+=+=，由椭圆定义知：曲线C是椭圆的一部分，A正确；B错误；连接OF，由EOAB

⊥，EFAB⊥，知AB⊥面EOF，故OFAB⊥，则FOE为二面角FABE−−的平面角，又1OEEF==，则4FOE=，C正确；由补成的几何体知马蹄体的体积为V小于圆柱体的14，即为4V，又111211323FAEBV−==，所以13V，所以134V，

D正确.故选：ACD.11.已知函数()()πsin0,0,02fxAxA=+.如下四个命题甲：该函数的最大值为2；乙：该函数图像的两条对称轴之间的距离的最小值为π；丙：该函数图象关于5π,03对称；丁：该函数图像可以由sin2cos2yx

x=−的图象平移得到.有且只有一个是假命题，那么下列说法正确的是（）A.函数5π6fx−是偶函数B.的值可唯一确定C.函数()fx的极小值点为()π2πZ6kk+D.函数()fx在区间ππ

,63上单调递增【答案】ABD【解析】【分析】根据题意得到命题乙和命题丁矛盾，结合三角函数的图象与性质，分类讨论，可判断假命题为丁，由此求得函数()fx的解析式，故可求出5π6fx−的表达式，判断A;求出的值，可判断B;令令ππ

2π,Z32xkk+=−，则()5π2πZ6xkk=−，判断C;当ππ,63x时，求出ππ2π[,]323x+，根据函数2sinyx=的单调性，判断D.【详解】由命题甲：该函数的最大值为2，可得2A=；由命题乙：该函数图象的相邻两

条对称轴之间的距离为π，可得1=；由命题丁：由πsin2cos22sin(2)4yxxx=−=−，可知2A=，2=；所以命题乙和命题丁矛盾；若假命题是乙，则()2sin(2)fxx=+，由命题丙：：该函数图象的一个对称中心为5π(3，0)，可得5π10π4π(

)2sin()2sin()0333f=+=+=，故4ππ3k=−，Zk，不满足条件π02；若假命题是丁，则()2sin()fxx=+，由命题丙：该函数图象的一个对称中心为5π(3，0)，可得5π5π()2sin()033f=+=，可得5π

π3k=−，Zk，π02，可得π3=，所以假命题是丁，故()π2sin3fxx=+，则5π5ππ66π2sin2sin2co2s3fxxxx+==−−=−−，为偶函数，A正确；

由以上分析可知π3=，故B正确；令ππ2π,Z32xkk+=−，则()5π2πZ6xkk=−，因此函数极小值点为()5π2πZ6xkk=−，故C错误；当ππ,63x时，ππ2π[,]323x+，此时函数2sinyx=单调递减，故()π2sin3fxx=+ππ,

63x时单调，故D正确；故选：ABD．12.已知点P是坐标平面xOy内一点，若在圆22:1Oxy+=上存在A，B两点，使得PAkAB=uuruuur（其中k为常数，且0k），则称点P为圆O的“k倍分点”.则（）在A.点()2,0Q不是圆O的“3倍分点”B.在直线:2

lyx=−上，圆O的“12倍分点”的轨迹长度为22C.在圆()22:61Dxy−+=上，恰有1个点是圆O的“2倍分点”D.若m：点P是圆O的“1倍分点”，n：点P是圆O的“2倍分点”，则m是n的充分不必要条件【答

案】BCD【解析】【分析】对“k倍分点”这个概念理解以后，根据k的不同取值，对题干进行讨论与验证，结合同角这一条件，运用余弦定理找到变量之间的关系即可进行判断.【详解】若满足3QAAB=uuruuur，设ABt=uuur，02t，则有3QAt=uur，4QBt=，2OQ=，2ABt=.如下图

：OQB△中，由余弦定理得：2222222(4)1316cos222416OQQBOBttOQBOQQBtt+−+−+===，在OQA中，由余弦定理得：2222222(3)113cos22234OQQAOAttOQAOQQAtt+−+−+

===，2231613164tttt++=，解得12t=，点()2,0Q是圆O的“3倍分点”，故A错误；过O作弦AB的垂线垂足为D，当P在直线:2lyx=−上时，如下图：在若P是圆O的“12倍分点”即12PAAB=，设PAt=uur，OPa

=，则有2ABt=uuur，3PBt=uur.在OPA中，由余弦定理得：222221cos22OPAPOAatOPAOPAPat+−+−==，在OPB△中，由余弦定理得：2222222(3)191cos2236OPBPOBatatOPBOPBPata

t+−+−+−===，222219126atatatat+−+−=，解得2213at−=.又22ABt=，1t，即22113at−=，解得12a，又:2lyx=−与坐标轴得交点为(2,0)M与(0,2)N−，则在直线:2lyx=−上，圆O的“12倍分点”

的轨迹长度为22MN=，故B正确；在圆()22:61Dxy−+=上取一点P，若点P是圆O的“2倍分点”，则有2PAAB=，设ABt=uuur，0<2t，OPa=，57a，则有2PAt=uur，3PBt=，如下图：在OPB△中，由余弦定理得：2222222(3

)191cos2236OPPBOBatatOPBOPPBatat+−+−+−===，在OPA中，由余弦定理得：2222222(2)141cos2224OPPAOAatatOPAOPPAatat+−+−+−===，2222914

164atatatat+−+−=，解得226125at=+，即05a，综上，5a=，所以在圆()22:61Dxy−+=上，恰有1个点是圆O的“2倍分点”，故C正确；设ABt=uuur，0<2t，OPa=.如下图：若点P是圆O的“1倍分点”则

有PAt=uur，2PBt=，在OPB△中，由余弦定理得：2222222(2)141cos2224OPPBOBatatOPBOPPBatat+−+−+−===，在OPA中，由余弦定理得：222221cos22OP

PAOAatOPAOPPAat+−+−==，222214124atatatat+−+−=，解得2221at=+，(20,9a，由上面的结论可知，若点P是圆O的“2倍分点”，解得2261at=

+，(20,25a，若m：点P是圆O的“1倍分点”，n：点P是圆O的“2倍分点”，则m是n的充分不必要条件，故D正确.故选：BCD.【点睛】本题以圆为背景，考查了平面向量与解三角形知识，并且运用不等式对答

案进行判断.三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.命题“1x，21x”的否定是___________.【答案】“1x，21x”【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】解：因为命题“1x，21x

”是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即“1x，21x”，故答案为：“1x，21x”14.若多项式()()()()29108100129102222xxaaxaxaxax−=+++++++++L，则8a=___________.【答案】179−【解析】【分

析】先由()()8108102222xxxx−=+−−+−求出展开式中含有()82x+的项，即可求得()82x+的系数，即可求解.【详解】()()()()()()810291081001291022222222xxxxaaxaxaxax−=+−−+−

=+++++++++L，8a为()82x+的系数，含有()82x+的项为()()()()()8082802810C22C221792xxx+−−+−=−+，故8179a=−.故答案为：179−.15.法国的拿破仑提出过一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三

个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰好是一个等边三角形的三个顶点”.在ABC中，60A=，以AB，BC，AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O，2O，3O，则13OAO=___________；若123OOO的面积为3，

则三角形中ABAC+的最大值为___________.【答案】①120②.4【解析】【分析】第一空，根据正三角形的外接圆圆心也即正三角形的中心，即可求得答案，.第二空，根据等边123OOO的面积求出边长13||OO，利用正弦、余弦定理求出1OA、3OA和213

OO，求出2212bcbc++=，结合基本不等式，求得答案.【详解】第一空，由于13,OO是正,ABCABC外接圆圆心，故也是它们的中心，所以在1OAB△中，130OAB=，同理330OAC=,由60BAC=，所以13120OAO

=;第二空：由题意知123OOO为等边三角形，设边长为m，则1232213sin60324OOOmmS===°△，解得31||2OOm==；设BCa=，ACb=，ABc=，在等腰1BOA△中，111

30,120OABOBAAOB===，则1sin120sin30OAAB=，解得13cOA=，同理得33bOA=，在13OAO中，由余弦定理得2221313132cos120OOOAOAOAOA=+−，即22142()3332cbbc=

+−−，即2212bcbc++=，即2()12bcbc+−=，故22()12()2bcbcbc++−=，解得4bc+，当且仅当2bc==时取等号，故三角形中ABAC+的最大值为4，故答案为：120;416.已知()202

3fxx=.设实数0m，若对任意的正实数x，不等式()lnemxxffm恒成立，则m的最小值为___________.【答案】1e##1e−【解析】【分析】利用函数()2023fxx=的单调性，可得

0m，lne,(0)mxxxm恒成立，即lnelnelnmxxmxxxx=恒成立，构造函数()exgxx=，不等式lnemxxm恒成立等价于()(ln)gmxgx恒成立，即lnmxx恒成立，然后设ln()xGxx=，求出()Gx的最大值，从而确定m的最小值．【详解】因为()2

02220230fxx=仅在0x=时取等号，故()2023fxx=为R上的单调递增函数，故由设实数0m，对任意的正实数x，不等式()lnemxxffm恒成立，可得0m，lne,(0)mxxxm恒成立，elnmxmx，即lnelnelnmxxmxxxx=

恒成立，当01x时，0m，lnelnelnmxxmxxxx=恒成立，当1x时，构造函数()exgxx=，()ee(1)e0xxxgxxx=+=+恒成立，当1x时，()gx递增，则不等式lnemxxm恒成立等价于()(ln)gmxgx恒成立，即ln

mxx恒成立，故需maxln()xmx，设ln()xGxx=，21ln()xGxx−=，()Gx在[1，e)上递增，在[e，)+递减，max1()(e)eGxG==，故m的最小值为1e，故答案为：1e【点睛】本题综合考查了函数的单调性的应用以及利用导数解决不等式恒成

立问题，综合性强，要注意将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，解答的关键是要对不等式进行恰当的变式，进而构造函数，利用其导数判断单调性，从而求得最值.四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17

.已知正项数列na的前n项和nnSAqB=+，其中A，B，q为常数.（1）若0AB+=，证明：数列na是等比数列；（2）若11a=，24nnaa+=，求数列nna的前n项和nT.【答案】（1）证明见解析

；（2）1(1)2nn+−【解析】【分析】（1）由退位相减法求得数列na的通项公式，再由等比数列的定义进行判断即可；（2）先由24nnaa+=求得2q=，再由314aa=求得1A=，即得数列na的通项公式，再由错位相减求和即

可.【小问1详解】当2n时，11nnSAqB−−=+，则()()1111nnnnnnaSSAqBAqBAqq−−−−=+−−=+=，又正项数列na，则0q且1q，当1n=时，11aSAqB==+，又0AB+=，则()11aAq=−，也符合

()11nnaAqq−=−，则()11nnaAqq−=−，()11nnAqqa+=−，则1nnaqa+=，故数列na是以()1Aq−为首项，q为公比的等比数列；【小问2详解】由（1）知：当2n时，()11nnaAqq−=−，则()121nn

Aqqa++−=，由24nnaa+=可得24q=，又正项数列na可得0q，则2q=，12(2)nnaAn−=，则34aA=，又11a=，314aa=可得1A=，则12(2)nnan−=，1n=时也符合，则12nna−

=，则01211222322nnTn−=++++，12321222322nnTn=++++L，两式相减得()0123112222222212112nnnnnnTnnn−−−=+++++−

=−=−−−，则()112nnTn=+−.18.自1980年以来我国逢整十年进行一次人口普查，总人口等指标与年份如下表所示：指标19801990200020102020年份数x12345总人口y（亿）9.811.312.613

.414.1（1）建立总人口y关于年份数x的回归直线方程.（2）某市某街道青年人（15-35岁）､中年人（36-64岁）与老年人（65岁及以上）比例约为3:2:1，为了比较中青年人与老年人购物方式，街道工作人员按比例随机调查了120位居民，购物方式统计如下表.实体店购物网

上购物电视购物其它青年人15354中年人1582老年人221将实体店购物视作传统购物方式，网上购物､电视购物和其它方式视作新兴购物方式.根据所给数据，补充上表并完成下面的22列联表：传统购物方式新兴购物方式总计中青年人（15-64岁）老年人（65岁及以上）总计并请判断

是否有99.9%的把握认为该街道居民购物方式与其是否为老年人有关？参考公式：()()()1122211nniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnx====−−−==−−，aybx=−$$.()()()()()22nadbckabcda

cbd−=++++，其中nabcd=+++.参考数据：12.24y=，51194.3iiixy==()20Pkk0.100.050.010.0050.0010k2.7063.8416.6357.87910.82

8【答案】（1）1.079.03yx=+（2）列联表见解析；有99.9%的把握认为该街道居民购物方式与其是否为老年人有关【解析】【分析】（1）求得3,12.24xy==，再求出1.07b=以及a，可得答案；（2）根据购物方式统计表可得到列联表，计算2k，结合临界值表，可作出判断.【小问1详解】

由题意得：123453,12.245xy++++===，故515221194.35312.241.075559iiiiixynxybxnx==−−===−−，则12.241.0739.03aybx=−=−=$$，故总人口y关于年份数x的回归直线方程为1.079.03yx=+；【小

问2详解】由题意可得列联表如下：传统购物方式新兴购物方式总计中青年人（15-64岁）3070100老年人（65岁及以上）15520总计4575120故()()()()()222120(3051570)14.410.828457510020nadbckabcdacb

d−−===++++，结合临界值表可知有99.9%的把握认为该街道居民购物方式与其是否为老年人有关.19.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是边长为2的菱形，60ADC=，PAD为等边三角形，O为线段AD的中点，且平面PAD⊥平面ABCD，M是线

段PC上的点.（1）求证：OMBC⊥；（2）若直线AM与平面PAB的夹角的正弦值为1010，求四棱锥MABCD−的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）43【解析】【分析】（1）先证明POBC⊥，再证明COBC⊥，得出BC⊥平面POC，从而证明OMBC⊥；（2）建立坐标系，利用线面角确定M的位置

，然后利用体积公式可求结果.【小问1详解】因为PAD为等边三角形，O为线段AD的中点，所以POAD⊥；因为平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD；又BC平面ABCD，所以POBC⊥；在OCD中，1,2,60ODCDADC===，由余弦定理可得3OC=，因为222OCODCD

+=，所以COAD⊥；因为//ADBC，所以COBC⊥，所以BC⊥平面POC；因为OM平面POC，所以OMBC⊥.【小问2详解】由（1）得,,OPOCOD两两垂直，以O为坐标原点，建系如图，则()()()()0,1,0,0

,0,3,3,2,0,3,0,0APBC−−；()()()3,1,0,3,0,3,0,1,3ABPCAP=−=−=；设PMPC=，则()3,1,33AMAPPM=+=−；设平面PAB的一个法向量为(),,nxyz=，则00nABnAP

==，3030xyyz−=+=，令3y=，则()1,3,1n=−.因为直线AM与平面PAB的夹角的正弦值为1010，所以1010nAMnAM=，即22310105664=−+，解得13=或23=−（舍）

，即有13PMPC=，M是靠近P三等分点，所以四棱锥MABCD−的高等于OP的23.四棱锥MABCD−的体积为11234222sin603233V==.20.在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足2tan1tancAbB=+.（

1）求角A；（2）角A的内角平分线交BC于点M，若47a=，33AM=，求sinAMC.【答案】（1）3；（2）277【解析】的【分析】（1）先由正弦定理及切化弦得1cos2A=，结合角A的范围，即可求解；（2）先由=+ABCABMACMSSS结合面积公式求得3()bcb

c=+，再由余弦定理求得,bc的值，再由正弦定理求出sinAMC即可.小问1详解】由正弦定理及切化弦可得sin2sinsincossincossincossin()cos11sinsinsincossincossincoscosACABBAABABABBBA

BABAB++=+=+==，又sin()sin()sin,sin0,sin0ABCCBC+=−=，则2sinsinsinsincosCCBBA=，即1cos2A=，又()0,A，则3A=；【小问2详解】13sin24ABCSbcAbc==△，又6BAMCAM==，(

)113333sin33sin224ABCABMACMSSScBAMbCAMbc=+=+=+，可得3()bcbc=+，又由余弦定理得()()()()22222211261121cos2262bcbcbcbcbcaAbcbcbc+−−+−+−+−====+，解得16bc

+=（负值舍去），则48bc=，可得412bc==或124bc==，又sinsinAMCAMB=，显然当4b=或12时，sinAMC的值相同，不妨设12b=，则4c=，由正弦定理得sinsincaCBAC=，

可得23sin47C=，又sinsinAMbCAMC=，可得【27sin7AMC=.21.如图，已知离心率为32的椭圆()2222:10xyMabab+=的左右顶点分别为A､B，P是椭圆M上异

于A､B的一点，直线AP､BP分别交直线:4lx=于C､D两点.直线l与x轴交于点H，且36AHAC=uuuruuur.（1）求椭圆M的方程；（2）若线段CD的中点为E，问在x轴上是否存在定点N，使得当直线NP､NE的斜率NPk､NEk存在时

，NPNEkk为定值？若存在，求出点N的坐标及NPNEkk的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2214xy+=（2）(1,0)N，13NPNEkk=−【解析】【分析】（1）先由36AHAC=uuuruuur求出A点坐标，再结合离心

率为32，即可求出椭圆M的方程；（2）设出,PN坐标，表示出直线AP､BP的方程求得C､D两点坐标，进而求得E坐标，表示出NPNEkk，由P是椭圆M上的一点化简得()()()0014NPNExnnkxk=−−−−，即可求解.【小问1详解】由题意知：2cos36

AHACAHACCAHAH===uuuruuuruuuruuur，则6AH=，又(4,0)H，则(2,0)A−，故2a=−，又离心率为32ca=，则3c=，2221bac=−=，故椭圆M的方程为2214xy+=；【小问2详解】易得(2,0),(2,0

)AB−，设00(,)Pxy，(,0)Nn，由直线NP､NE的斜率NPk､NEk存在知0,4nxn，又直线AP､BP斜率必存在，则直线00:(2)2yAPyxx=++，令4x=，得0062yyx=+，则006(4,)2yCx+，直线00:(2)2yBPyxx=−−，令4x=，得00

22yyx=−，则002(4,)2yDx−，又00000002062224424yyxxxyyx++−−=−，则00020444,4xyyEx−−，则()()()200000200002014444444NPNEknnxyxyyxxknxy

xn−−−==−−−−−，又P是椭圆M上的一点，则220014xy+=，即220044yx=−，故()()()0014NPNExnnkxk=−−−−，故当1n=时，NPNEkk为定值13−，此时(1,

0)N.22.已知()()()ln1fxxaxa=+−R，()singxx=−.（1）讨论()fx的单调性；（2）若函数()fx与()gx的图象恰有一个交点，求a的取值范围.【答案】（1）当0a时，()fx

在()1,−+单调递增；当0a时，()fx在11,aa−−单调递增，在1,aa−+单调递减；（2）0a或2a=【解析】【分析】（1）直接求导，讨论0a和0a，求出对应单

调区间即可；（2）将题设转化为()()()hxfxgx=−有一个零点，由(0)0h=知函数()hx除0之外无其他零点，分0a，02a，2a=和2a依次讨论函数的零点情况，即可求解.【小问1详解】易得1x−，()11

11axafxaxx−+−=−=++，当0a时，101ax−+恒成立，()fx在()1,−+单调递增；当0a时，令()101axafxx−+−=+，解得1axa−，令()101axafxx−+−=+，解得1axa−，则()fx在11,aa−−单调递增，在1,a

a−+单调递减；综上：当0a时，()fx在()1,−+单调递增；当0a时，()fx在11,aa−−单调递增，在1,aa−+单调递减；【小问2详解】函数()fx与()gx的图象恰有一个交点，等价于()()()h

xfxgx=−有一个零点，())ln1sin()()(hxaxfxgxxx+−+=−=，显然(0)0h=，即函数()hx除0之外无其他零点，os(c)11axxhx=−++，令1(s)1coaxxmx=−++，()21s

in1()xxmx=−−+，当10x−时，()2111x−−+，则()21sin0()1xxmx=−−+，即()hx在()1,0−单调递减，当0a时，当10x−时，ln(1)0,sin0xx+，则()ln1)in(s0

hxxaxx−=++，当0πx时，ln(1)0,sin0xx+，则()ln1)in(s0hxxaxx−=++，当x时，ln(1)1,ln(1)sin0xxx+++，则()ln1)in(s0hxxaxx−=++，即()hx除0之外无其他零点，符合题意；

当02a时，当0πx时，()21sin0()1xxmx=−−+，即()hx在()0,上单调递减，又1(0)20,()101haha=−=−−+，则存在()00,x使0()0hx=，

即()hx在()00,x单增，()0,x单减，又(0)0h=，x→+时，()hx→−，故()hx在()0,+至少存在1个零点，不合题意；当2a=时，当10x−时，由上知()hx在()1,0−单调递减，()(0)20hxha=−=，则()hx在

()1,0−单调递增，即()(0)0hxh=，当0x时，令()ln(1)nxxx=+−，则1()1011xnxxx−=−=++，即()nx单调递减，()(0)0nxn=，即ln(1)xx+，令()sintxxx=−，则()cos10txx=−，即()tx单调递减，(

)(0)0txt=，即sinxx，则()ln1)in(2s0hxxxx−=++，即()hx除0之外无其他零点，符合题意；当2a时，当10x−时，由上知()hx在()1,0−单调递减，又1110−−a

，1cos101(1)haa=−−，(0)20ha=−，则存在111,0xa−使1()0hx=，即()hx在()11,x−单增，()1,0x单减，又(0)0h=，1x→−时，()hx→−，故()hx

在()1,0−存在1个零点，不合题意；综上：0a或2a=.【点睛】本题的关键点在于将题设转化为()()()hxfxgx=−有一个零点，由(0)0h=知函数()hx除0之外无其他零点，然后借助分类讨论分0a，02a，2a=和2a依次分析函数的

零点情况即可求解.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com