【文档说明】天津市红桥区2023届高三一模数学试题 含解析.docx，共(20)页，1.721 MB，由小赞的店铺上传

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天津市红桥区2023年高三数学一模试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1已知全集U=R，集合|23Axx=−，|1B

xx=−或4x，则UAB=Ið（）A.|24xx−B.|3xx或4xC.|21xx−−≤D.|13xx−【答案】D【解析】【分析】根据交集和补集的定义即可得出答案.

【详解】解：因为|23Axx=−,|1Bxx=−或4x，所以|14UBxx=−ð，所以UAB=Ið|13xx−.故选：D．2.“|1|2x−”是“3x”的A.充分不必要条

件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】因为1213xx−−，所以{|13}{|6}xxxx−，故应选答案A．3.函数()2lnxfxx=的大致图

象是（）A.B..C.D.【答案】D【解析】【分析】根据奇偶性定义判断()fx的对称性，并由()10f=及2yx=、lnyx=增长速度关系，结合排除法确定函数图象.【详解】由22ln||ln()()()xxfxfxxx−−===−且定义域为{|0}xx，故()

fx是偶函数，又()10f=，排除B、C；当1x时，函数2yx=比lnyx=增长得更快，排除A.故选：D．4.某校有200位教职员工，他们每周用于锻炼所用时间的频率分布直方图如图所示，据图估计，每周锻炼时间在[8,12]小时内的人数为（）A.18B.46C

.54D.92【答案】D【解析】【分析】由频率分布直方图求出每周锻炼时间在[8,12]小时内的频率，由此能求出每周锻炼时间在[8,12]小时内的人数．【详解】由频率分布直方图得：每周锻炼时间在[10，12]小时内的频率为：1﹣（0.03+0.06+0.18+0.14）×2＝

0.18，∴每周锻炼时间在[8,12]小时内的频率为：0.1420.180.46+=∴每周锻炼时间在[8,12]小时内的人数为：200×0.46＝92．故选：D．5.抛物线24yx=的焦点到双曲线()222210,0xyabab−=的渐近线的距离是32，则该双曲线的离心

率为A2B.3C.2D.3【答案】C【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标以及双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离求出ba的值，再利用离心率公式可求得双曲线的离心率的值.【详解】抛物线24yx=的焦点坐标为()1,0，双曲线的渐近

线方程为byxa=，由题意得22321badba==+，解得3ba=，因此，该双曲线的离心率为222212cabbeaaa+===+=.故选：C.【点睛】本题考查抛物线和双曲线几何性质的应用，在涉及利

用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，利用公式21bea=+计算较为方便，考查计算能力，属于中等题.6.已知mn，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.mnmn

，，，B.mnmn，，C.mmnn⊥⊥P，D.nmnm⊥⊥，.【答案】D【解析】【详解】若α∥β，mα，mβ，则m，n可能平行也可能异面，故B错误；若m⊥α，m⊥n，则n∥α

或nα，故C错误；若mα，nα，m∥β，n∥β，由于m，n不一定相交，故α∥β也不一定成立，故A错误；若m∥n，n⊥α，根据线面垂直的第二判定定理，我们易得m⊥α，故D正确.7.设1a，且()()()2log1,log1,log2aaamanapa=+=−=，

则,,mnp的大小关系为A.nmpB.mpnC.mnpD.pmn【答案】B【解析】【分析】由函数单调性进行判定，继而比较出大小【详解】当a>1时,易知21a+>2a，再由以a为底对数函数在定义域上单调递增，从而可知m>p又∵(2a+1)−(a−1)=2a−a+2恒大于0(二

次项系数大于0,根的判别式小于0,函数值恒大于0),即2a+1>a−1，再由以a为底对数函数在定义域上单调递增，从而可知m>n又∵当a>1时2a显然大于a−1，同上，可知p>n.综上∴m>p>n.故选B.【点睛】本题考查了

运用对数函数的单调性比较函数值的大小，需要熟练掌握并能求解结果，本题较为基础.8.某班级有50名学生，期末考试数学成绩服从正态分布()2120,N，已(140)0.2PX=，则[100,140]X的学生人数为（）A.5B.10C.20D.30【答案】

D【解析】【分析】由正态分布的对称性求出(100140)0.6PX=，即可求出[100,140]X的学生人数.【详解】因为期末考试数学成绩服从正态分布()2120,N，所以期末考试数学成绩关于120=对称，则(140)(100)0.2PXPX==，所以(100140

)0.6PX=，所以[100,140]X的学生人数为：0.65030=人.故选：D.9.函数2,0()ln(1),0xxxfxxx+=+，关于x的方程()(1)0fxax−+=有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A.1(,1),10

e−−B.1,(1,e)0e−−C.1(,0],1e−D.(,0](1,e)−【答案】A【解析】【分析】把函数()(1)0fxax−+=有2个不相等的实数根转化为以()

yfx=和()1yax=+的图象有两个交点，作出图象求解即可.【详解】因为函数()(1)0fxax−+=有2个不相等的实数根，所以()yfx=和()1yax=+的图象有两个交点.作出函数2,0()ln(1),0xxxfxxx+=+的图象如图所示：当1x−时，(

)2fxxx=+，()21fxx=+，()11f−=−，要使函数()yfx=和()1yax=+的图象有两个交点，则1a−，当10x−，()2fxxx=−−，()21fxx=−−，()1211f−=−=，当0x时，()()l

n1fxx=+，过点()1,0−与曲线的切点为()(),ln1mm+，()11fxx=+，可得：()ln111+1mmm+=+，所以e1m=−，所以切线斜率为1ek=，要使函数()yfx=和()1yax

=+图象有两个交点，由图可得1,1ea,当0a=时，关于x的方程()(1)0fxax−+=有2个不相等的实数根.综上：1(,1),10ea−−.的故选：A.二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．10.已知2(

i)2ia−=，其中i是虚数单位，那么实数=a_____．【答案】-1【解析】【分析】化简方程左边，利用两复数相等，得到方程组，求出a的值.【详解】22210(i)2i12i2i1.22aaaaaa−=−=−−==−−=故答案为：-111.某项选拔共

有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45，35，25，且各轮问题能否正确回答互不影响，则该选手被淘汰的概率为_________．【答案】101125【解析

】【分析】设事件(1,2,3)iAi=表示“该选手能正确回答第i轮的问题”，选手被淘汰，考虑对立事件，代入123(),(),()PAPAPA的值，可得结果；【详解】记“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件(1,2,3)iAi=，则()()()123432,,555PAPAP

A===.该选手被淘汰的概率：112123112123()()()()()()()PPAAAAAAPAPAAPAAA=++=++142433101555555125=++=故答案为：101125【点睛】求复杂互斥事件概率的两种方法：(1)直接法：将所求事件的概率

分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；(2)间接法：先求该事件的对立事件的概率，再由()1()PAPA=－求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法．12.621xx−展开式中的常数项为________

__．【答案】15.【解析】【分析】利用通项公式即可得出．【详解】通项公式Tr+16r=ð（x2）6﹣r1()rx−=（﹣1）r6rðx12﹣3r，令12﹣3r＝0，解得r＝4．∴展开式中的常数项46==ð15．故答案

为15．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.已知两圆2210xy+=和22(1)(3)20xy−+−=相交于AB，两点，则直线AB的方程是_____．【答案】30

xy+=【解析】【详解】试题分析：两圆为2210xy+=①，()()221320xy−+−=②，−②①可得30xy+=，所以公共弦AB所在直线的方程为30xy+=．考点：相交弦所在直线的方程14.已知,Rxy+，则4yxxxy++的最小

值为___________．【答案】3【解析】【分析】将不等式变为4yxxxy++41yxxxxy+=+−+，再由基本不等式即可得出答案.【详解】44441213yxyxxxyxxyxxxxyxxyxxyxxy+−+++=+=+−−=++++

,当且仅当4yxxxxy+=+，即yx=时取等.故答案为：3.15.如图所示，在ABC中，点D为BC边上一点，且2BDDC=，过点D的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（,EF交两点不重合）．若ADmABnAC=+，则mn=________，若,AEABAFAC==，

则+的最小值为__________．【答案】①.29②.3223+##2213+【解析】【分析】由向量的线性表示，利用三角形法则及已知可求解；根据（1）的结论，转化用,AEAF表示AD，根据DEF、、三点共线找出等量关系，再

由基本不等式可求+的最小值.【详解】在ABD△中，ADABBD=+，且2BDDC=，则23BDBC=，可得23ADABBDABBC=+=+2()3ABACAB=+−22123333ABABACABAC=−+=+所以29mn=；又由1233ADABAC=+，已知,A

EABAFAC==，所以11,ABAEACAF==，可得1233ADABAC=+，因为DEF、、三点共线，且点A在线外，所以12=1033+，（，），则12122222+=(+)()=121333333333+

++++=+，当且仅当233=时，即123223+=+=等号成立，所以+的最小值为2213+.故答案为：29；2213+.三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.已知ABC的内角,,AB

C所对的边长分别为,,abc，且22,5,13abc===．（1）求角C的大小；（2）求sinA的值；（3）求sin24A−的值．【答案】（1）π4C=（2）21313（3）7226【解析】【分析】（1）由余弦

定理求出2cos2C=，结合()0,πC，求出π4C=；（2）结合（1），由正弦定理求出sinA的值；（3）由二倍角公式得到sin2,cos2AA，由两角差的正弦公式即可求解【小问1详解】在ABC中，22a=，5b=，13c=，由余弦定理得22282513

2cos222225abcCab+−+−===，又因为()0,πC，所以π4C=；【小问2详解】在ABC中，由（1）知π4C=，22a=，13c=，由正弦定理可得222sin2sin13aCAc===21313；【小问3详解】由ac知AC，所以角A为锐角，因为213sin13A=，所

以2cos1sinAA=−=31313，所以12sin22sincos13AAA==，25cos22cos113AA=−=，所以cπsoin224ππ12252sin2cosssin44132132AAA=−

=−=−7226.17.如图，在长方体中，、E分别是棱,上的点，2CFABCE==,1::1:2:4ABADAA=（1）求异面直线EF与1AD所成角的余弦值；（2）证明AF⊥平面1AED（3）求二面角1AEDF−−正弦值．【答案】（1）35,（2）见解析（3）53【解析】【详解】方

法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设,依题意得,,,（1）解：易得,于是所以异面直线与所成角的余弦值为（2）证明：已知,,于是·=0，·=0.因此，,,又所以平面(3)解：设平面的法向量，则,即不妨令X=1,可得．由（2）可知，为平面的一个法向量

．于是，从而的所以二面角的正弦值为方法二：（1）解：设AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=链接B1C,BC1，设B1C与BC1交于点M,易知A1D∥B1C，由1CECF1==CBCC4,可知EF

∥BC1.故BMC是异面直线EF与A1D所成的角，易知BM=CM=11BC=52,所以2223cos2?5BMCMBCBMCBMCM+−==,所以异面直线FE与A1D所成角的余弦值为（2）证明：连接AC，设AC与D

E交点N因为12CDECBCAB==，所以RtDCERtCBA，从而CDEBCA=，又由于90CDECED+=,所以90BCACED+=，故AC⊥DE,又因为CC1⊥DE且1CCACC=I，所以DE⊥平

面ACF，从而AF⊥DE.连接BF，同理可证B1C⊥平面ABF,从而AF⊥B1C,所以AF⊥A1D因为1DEADD=，所以AF⊥平面A1ED(3)解：连接A1N.FN,由（2）可知DE⊥平面ACF,又NF平面ACF,A1N平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A1N,故

1ANF为二面角A1-ED-F的平面角易知RtCNERtCBA，所以CNECBCAC=，又5AC=所以55CN=，在221305RtNCFNFCFCNRtAAN=+=中，在中22114305NAAAAN=+=连接A

1C1,A1F在2211111114RtACFAFACCF=+=中，222111112cos2?3ANFNAFRtANFANFANFN+−==在中，．所以15sin3ANF=所以二面角A1-DE-F正弦值为18.已知数列

na是公差为2的等差数列，其前8项的和为64.数列nb是公比大于0的等比数列，13b=，3218bb−=.（1）求数列na和nb的通项公式；（2）记2*(1),Nnnncan=−，求数列nc的前2n项和2nS；（3）记*211,Nnnnnnadnaab++

−=，求数列nd的前n项和nT.【答案】（1）21nan=−，3nnb=（2）228nSn=（3）1122(21)3nnTn=−+【解析】【分析】（1）设等差数列的首项为1a，利用等差数列的前n项和公式求出1a，进而求出等差数列的通项公式；设等比数列的公比为q，利用通项公式和已知

条件求出q，进而求出等比数列的通项公式；（2）先求出212168nnccn−+=−，再利用分组求和法和等差数列的求和公式进行求解；（3）先得到1111[]2(21)3(21)3nnndnn−=−−+，再利用裂项抵消法进行求和.【小问1详解】因为na是公差为2等差数列，且864

S=，所以18782642a+=，解得1=1a，所以12(1)21nann=+−=−；设等比数列nb的公比为q（0q），因为13b=，3218bb−=，的所以23318qq−=，即260qq−

−=，解得2q=−（舍去）或3q=，所以1333nnnb−==.【小问2详解】由（1）得22(1)(1)(21)nnnncan=−=−−，则21222212(1)[2(21)1](1)(41)nnnnccnn−−+=−−−+−−2222(1)(43)(

1)(41)nnnn=−−−+−−22(41)(43)168nnn=−−−=−，则21234212()()()nnnScccccc−=++++++8[135(21)]n=++++−2[1(21)]882nnn+−==【小问3详解】由（1）得2112(2

)2(21)(21)3nnnnnnandaabnn++−+−==−+()()()()122111212132213213nnnnnnnn−+==−−+−+，则123nnddddT++++=0112231111111111[()()()()]21333335

35373(21)3(21)3nnnn−=−+−+−++−−+0111()213(21)3nn=−+1122(21)3nn=−+，【点睛】方法点睛：本题中考察了数列求和的两种采用方法，第二问考察了并项求和法，第三问考察了裂项抵消法，技巧性较强.19

.设椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点分别为12FF、，离心率12e=，长轴为4，且过椭圆右焦点2F的直线l与椭圆C交于MN、两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若2OMON=−，其中O为坐标原点，求直线l的斜率；（3）若AB是椭圆C经过原点O的弦，且//MNAB，

判断2||||ABMN是否为定值？若是定值，请求出，若不是定值，请说明理由．【答案】（1）22143xy+=（2）2（3）是定值，定值为4【解析】【分析】（1）由离心率和长轴，求出a和c，再由222bac=−求得2b，即可求出椭圆标准方程；（2）设直线l的方程为：(1)ykx=−，直线l与椭圆C

交于两点11(,)Mxy，22(,)Nxy，直线方程与椭圆方程联立，分别表示出12xx和12yy，由2OMON=−列出方程，即可求出斜率值；（3）由弦长公式表示出MN，再由AB是椭圆C经过原点O的弦，且//MNAB，表示出

2AB，即可得出答案．【小问1详解】解：由离心率12e=，长轴为4，得2a=，1c=，所以2223bac=−=，故椭圆C的标准方程为：22143xy+=．【小问2详解】由（1）得椭圆的右焦点2F的坐标为(1,0)，设直线l的方程为：(1)ykx=−，直线l与椭圆C交于两点11(,)Mxy

，22(,)Nxy，由22143(1)xyykx+==−得，2222(34)84120kxkxk+−+−=，则2122834kxxk+=+，212241234kxxk−=+，所以2212121229

[()1]34kyykxxxxk−=−++=+，因为2OMON=−，所以12122xxyy+=−，即2222412923434kkkk−−=−++，解得2k=，故直线l的斜率为2．【小问3详解】2||

||ABMN是定值，理由如下，由（2）得：直线l的方程为：(1)ykx=−，直线l与椭圆C交于两点11(,)Mxy，22(,)Nxy，2122834kxxk+=+，212241234kxxk−=+，则221212(1)[()4]MNkxxxx=+

+−2222228412(1)[()4]3434kkkkk−=+−++2222144(1)(1)(34)kkk+=++2212(1)34kk+=+，由AB是椭圆C经过原点O的弦，设(,)Amn，(,

)Bmn−−，直线AB的斜率为ABk，则22244ABmn=+，由//MNAB得，22ABnnkkmm===，且22143mn+=，得22248(1)34kABk+=+，所以2222248(1)341

2(1)|||44|3kkAkkBMN++++==，为定值．20.已知函数ln()xfxkx=−.（1）当0k=时，求曲线()yfx=在点(e,(e))f处的切线方程；（2）若()0fx恒成立，求实数k的取值范围；（3）证明：()1111111lnlnln1,N2

3e23nnnn++++++．【答案】（1）1ey=（2）1ek≥（3）证明见解析【解析】【分析】（1）对()fx求导，得到函数在ex=处的导数，利用直线方程得点斜式即可得出答案；（2）若()0fx恒成立，则maxlnxkx，设()()ln,0,xgxxx=+

，对()gx求导，得到()gx的单调性，可求出()gx最大值；（3）令1ek=，则1lnexx，分别取1111,,,234xn=，，再由累加法即可证明.【小问1详解】当0k=时，ln()xfxx=，()fx的定义域为()0,+，21ln()xf

xx−=，曲线()yfx=在点(e,(e))f处的切线方程的斜率为()e0kf==，又()1eef=则切线方程为1ey=.【小问2详解】若()0fx恒成立，则maxlnxkx，设()()ln,0,xgxxx=+，21ln(

)xgxx−=，由()0gx，得0ex，由()0gx，得ex，所以函数()gx在()0,e上单调递增，在()e,+上单调递减，()()max1eegxg==，所以1ek≥.【小问3详解】令1ek=，则()0fx，即ln1exx，则1lnex

x，因为111ln2e2，111ln3e3，……，111lnenn，所以()1111111lnlnln1,N23e23nnnn++++++.【点睛】本题考察导数的综合应用，第一问求切线方程；第二问是恒成立问题，可以分类讨论也可分离参数转化为函数最值问题

；第三问不等式的证明关键是放缩，需要多积累经验，属于压轴题.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com