【文档说明】专题8.12二元一次方程组的应用（8）古数学问题（重难点培优）-2020-2021学年七年级数学下册尖子生同步培优题典（解析版）【人教版】.docx，共(11)页，42.635 KB，由管理员店铺上传

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2020-2021学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【人教版】专题8.12二元一次方程组的应用（8）古数学问题（重难点培优）姓名：__________________班级：______________得分：___________

______注意事项：本试卷试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．选择题（共12小题）1．（2020•沙坪坝区校级三模）《九章算术）中有这样一个题：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱

轻，一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有5只雀、6只燕，分别放在一起而且用称称重，5只雀总重量比6只燕的总重量要重、若交换一只雀、一只燕，它们重量相等，5只雀，6只燕重量为1斤．问每1只雀、燕各重多少斤？”设每一只雀的重量为x斤，每一只燕

的重量为y斤，则可建立方程组为（）A．{14𝑥+𝑦=15𝑦+𝑥4𝑥+5𝑦=1B．{4𝑥+𝑦=5𝑦+𝑥14𝑥+15𝑦=1C．{4𝑥+𝑦=5𝑦+𝑥5𝑥=1−6𝑦D．{14𝑥+𝑦=15𝑦+�

�5𝑥=1−6𝑦【分析】根据“交换一只雀、一只燕，它们重量相等，5只雀和6只燕重量为1斤”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解析】依题意，得：{4𝑥+𝑦=5𝑦+𝑥5𝑥+6𝑦=1，即{4𝑥+𝑦=5𝑦+𝑥5𝑥=1−6𝑦．故选：C．2．（2020•恩施州）

我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”．意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒x斛，1个小桶盛酒y斛，

下列方程组正确的是（）A．{5𝑥+𝑦=3𝑥+5𝑦=2B．{5𝑥+𝑦=2𝑥+5𝑦=3C．{5𝑥+3𝑦=1𝑥+2𝑦=5D．{3𝑥+𝑦=52𝑥+5𝑦=1【分析】根据“5个大桶加上1个小桶可

以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解析】依题意，得：{5𝑥+𝑦=3𝑥+5𝑦=2．故选：A．3．（2020春•南岸区校级月考）《九章算术》中

记载这样一个数学问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤．问玉、石重各几何？“译文“体积为1立方寸的宝玉重7两；体积为1立方寸的石料重6两．现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长为3寸，总重176两．问宝玉和石料各

重多少两？（注：寸是长度单位）．设正方体中宝玉重x两，石料重y两，则下列方程组正确的是（）A．{𝑥+𝑦=277𝑥+6𝑦=176B．{𝑥+𝑦=37𝑥+6𝑦=176C．{𝑥+𝑦=176𝑥7+𝑦6=27D．{𝑥+𝑦=176

𝑥7+𝑦6=3【分析】根据宝玉和石料的总重量以及混合物的体积，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解析】依题意，得：{𝑥+𝑦=176𝑥7+𝑦6=33，即{𝑥+𝑦=176𝑥7+𝑦6=27．故选

：C．4．（2020•武汉模拟）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一问题：“金有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄

金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（

）A．{9𝑥=11𝑦(10𝑦+𝑥)−(8𝑥+𝑦)=13B．{9𝑥=11𝑦(8𝑥+𝑦)−(10𝑦+𝑥)=13C．{10𝑦+𝑥=8𝑥+𝑦9𝑥+13=11𝑦D．{11𝑥=9

𝑦(10𝑦+𝑥)−(8𝑥+𝑦)=13【分析】直接利用“黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，以及两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两”分别得

出等式得出答案．【解析】设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得：{9𝑥=11𝑦(10𝑦+𝑥)−(8𝑥+𝑦)=13．故选：A．5．（2020•市中区二模）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五一容三斛，大器一小器五容二

斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛（）斛米．（注：斛是古代一种容量单位）A．67B．56C．1D．65【分析】设1大桶可盛x斛

米，1小桶可盛y斛米，根据“5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（x+y）中即可求出结论．【解析】设1大桶可盛x斛米，1小桶可盛y斛

米，依题意，得：{5𝑥+𝑦=3𝑥+5𝑦=2，解得：{𝑥=1324𝑦=724，∴x+y=1324+724=56．故选：B．6．（2020春•南京期末）《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉；下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上

、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子；有下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子．问上等、下等稻子每捆打多少斗谷子？设上等稻子每捆打x斗谷子，下等稻子

每捆打y斗谷子，根据题意可列方程组为（）A．{3𝑦+6=10𝑥，5𝑥+1=2𝑦B．{3𝑥−6=10𝑦，5𝑦−1=2𝑥C．{3𝑥+6=10𝑦，5𝑦+1=2𝑥D．{3𝑦−6=10𝑥，5𝑥−1=2𝑦【分

析】设上等稻子每捆打x斗谷子，下等稻子每捆打y斗谷子，分别利用已知“今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子；有下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子”分别得出等量关系求出答案．【解析】设上等稻子每捆打x斗谷子，下等稻子每捆打y斗谷

子，根据题意可列方程组为：{3𝑥+6=10𝑦5𝑦+1=2𝑥．故选：C．7．（2020•宁德二模）《九章算术》中有一道“盈不足术”问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同购买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则

还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共同购买该物品的有x人，该物品的价格是y元，则根据题意，列出的方程组为（）A．{8𝑥−𝑦=−37𝑥−𝑦=4B．{8𝑦−𝑥=37𝑦−𝑥=4C．{8𝑦−𝑥=−37𝑦−𝑥=−4D

．{8𝑥−𝑦=37𝑥−𝑦=−4【分析】根据“每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解析】依题意，得：{8𝑥−3=𝑦7𝑥−𝑦=−

4．故选：D．8．（2020•随州）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”．设鸡有x只，兔有y只，则根据题意，下列方程组中正确的是（）A．{𝑥+𝑦=352𝑥+4𝑦=

94B．{𝑥+𝑦=354𝑥+2𝑦=94C．{2𝑥+𝑦=35𝑥+4𝑦=94D．{𝑥+4𝑦=352𝑥+𝑦=94【分析】根据“鸡的数量+兔的数量＝35，鸡的脚的数量+兔子的脚的数量＝94”可列方程组．【解析】设鸡有x只，兔有y只，根据题意，可列方程组为{𝑥+𝑦=3

52𝑥+4𝑦=94，故选：A．9．（2020秋•章丘区期末）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”这一章里，二元一次方程组是由算筹（算筹是中国古代用来记数、列式和进行演算的一种工具）来记录的．在算筹记数法中，以“立”“

卧”两种排列方式来表示单位数目，表示两位数时，个位用立式，十位用卧式．如图（1），从左到右列出的算筹数分别表示x、y的系数与相应的常数项，根据图（1）可列出方程组{3𝑥+𝑦=177𝑥+4𝑦=23，则根据图（2）列

出的方程组是（）A．{𝑥+5𝑦=32𝑥+2𝑦=14B．{𝑥+5𝑦=112𝑥+4𝑦=9C．{𝑥+5𝑦=212𝑥+2𝑦=9D．{𝑥+5𝑦=12𝑥+2𝑦=9【分析】根据题意观察图2，列出关于x、y的二元一次方程组即可得出结论．【解析】第一个方程x的

系数为1，y的系数为5，相加的结果为21；第二个方程x的系数为2，y的系数为2，相加的结果为9，故可列方程为：{𝑥+5𝑦=212𝑥+2𝑦=9．故选：C．10．（2020秋•即墨区期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，奠定了中国

传统数学的基本框架，书中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大小器各容几何？”译文：“今有大容器5个、小容器1个，总容量为3斛；大容器1个、小容器5个，总容量为2斛．问大小容器的容积各是多少斛？”设1个大容器的容积为x斛，1个小容器的容积y斛

，则根据题意可列方程组（）A．{5𝑥+𝑦=3𝑥+5𝑦=2B．{𝑥+3𝑦=55𝑥+𝑦=2C．{5𝑥+𝑦=3𝑥=2+5𝑦D．{5𝑥+𝑦=2𝑥=3+5𝑦【分析】设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，根据“大容器5个

，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组．【解析】设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，根据题意得：{5𝑥+𝑦=3𝑥+5𝑦=2，故选

：A．11．（2020•渝北区自主招生）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十；今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何？”意思是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现用30钱

，买得2斗酒，问分别能买到多少醇酒与行酒？设用30钱能买得的2斗酒里，买到醇酒x斗，买到行酒y斗，根据题意可列方程组为（）A．{50𝑥+10𝑦=30𝑥+𝑦=2B．{50𝑦+10𝑥=30𝑥

+𝑦=2C．{50𝑥+10𝑦=2𝑥+𝑦=30D．{50𝑦+10𝑥=2𝑥+𝑦=30【分析】根据“现用30钱，买得2斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解析】依题意，得：

{50𝑥+10𝑦=30𝑥+𝑦=2．故选：A．12．（2020•海宁市一模）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有这样一题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物

品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价格是多少？设共有x个人，该物品价格是y元，则下列方程组正确的是（）A．{8𝑥+3=𝑦7𝑥−4=𝑦B．{8𝑦+3=𝑥7𝑦−4=𝑥C．{8𝑥−3=

𝑦7𝑥+4=𝑦D．{8𝑦−3=𝑥7𝑦+4=𝑥【分析】根据“8×人数﹣3＝物品价值、物品价值＝7×人数+4”可得方程组．【解析】若设有x人，物品价值y元，根据题意，可列方程组为{8𝑥−3=𝑦7𝑥+4=�

�，故选：C．二．填空题（共6小题）13．（2020春•福州期末）《九章算术》是我国东汉年间编订的一部数学经典著作，其中有一个问题是：“今有三人公车，二车空；二人公车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干

人要坐车，若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为{3(𝑦−2)=𝑥2𝑦+9=𝑥．【分析】根据“若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行

”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解析】依题意，得：{3(𝑦−2)=𝑥2𝑦+9=𝑥．故答案为：{3(𝑦−2)=𝑥2𝑦+9=𝑥．14．（2020春•新乡期末）我国古代数学著作《九章算术》中有一问题：“今有牛五，羊二，值金十两．牛二，

羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：今有牛5头，羊2只，共值金10两；牛2头，羊5只，共值金8两．问一头牛，一只羊各值金多少？设每头牛，每只羊分别值金x两，y两，依题意可列出方程组为{5𝑥+2𝑦=102𝑥+5𝑦=8．【分析】设牛，羊每头分别值金x两，y两，根据“牛五，羊二，值

金十两．牛二，羊五，值金八两”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解．【解析】因为每头牛值金x两，每头羊值金y两，根据题意得：{5𝑥+2𝑦=102𝑥+5𝑦=8，故答案为：{5𝑥+2𝑦=102𝑥+5𝑦=8．15．（2020春•西岗区期末）

《九章算术》是中国传统数学名著，其中记载：“今有牛六、羊三，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有6头牛，3只羊，值金10两；2头牛，5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”若设每头牛、每只羊分别值金x两、y两，则可列方程组为{6𝑥+

3𝑦=102𝑥+5𝑦=8．【分析】根据“有6头牛，3只羊，值金10两；2头牛，5只羊，值金8两”，得到等量关系，即可列出方程组．【解析】根据题意得：{6𝑥+3𝑦=102𝑥+5𝑦=8，故答案为：{6𝑥+3𝑦=102𝑥+5𝑦=8．16．（

2020•泰安一模）我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买物品，如果每人出8钱，则剩余3钱；如果每人出7钱，则差4钱，问有多少人，物品的价格是多少？设有x人，物品的价格为y元，可列

方程组为{8𝑥−3=𝑦7𝑥+4=𝑦．【分析】设有x人，物品的价格为y元，根据所花总钱数不变列出方程即可．【解析】设有x人，物品的价格为y元，根据题意，可列方程：{8𝑥−3=𝑦7𝑥+4=𝑦，故答案为：{8𝑥−3=𝑦7𝑥+4=𝑦．17．（2020春•南关区月考）《九章算术》是

中国传统数学最重要的著作．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．第八卷记载：“今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问：牛羊各值金几何？”设每头牛值金x两，每头羊值金y两，可列方程组为{5𝑥+2𝑦=102𝑥+5𝑦=8．【分析

】直接利用今有牛5头，羊2头，共值金10两．牛2头，羊5头，共值金8两，分别得出等式组成方程组即可．【解析】设每头牛值金x两，每头羊值金y两．则依据题意可列方程：{5𝑥+2𝑦=102𝑥+5𝑦=8．故答案是：{5𝑥+2𝑦=102𝑥+5𝑦=8．18．（2020秋•蜀山区期末）把1

﹣9这九个数填入3x3方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛書”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则x﹣y的值为﹣8．【分析】由题意列出

方程组，解方程组得{𝑥=1𝑦=9，即可得出答案．【解析】{𝑥+𝑦+5=8+2+5𝑥+8=2+7，解得：{𝑥=1𝑦=9，∴x﹣y＝1﹣9＝﹣8，故答案为：﹣8．三．解答题（共6小题）19．（2019春•连云港期末）《希腊文选》中有这样一题：“驴和骡驮箱货物并排走在路上，驴子不

停地埋怨驮的货物太重，压得受不了．骡子对它说：‘你发什么牢骚啊！我驮的比你驮的更重．倘若你的货物给我一袋，我驮的货比你驮的货多1倍；而我若给你一口袋，咱俩才刚好一样多．’驴和骡各驮几口袋货物？”（请用方程组解答）【分析】设驴驮x口袋货物，骡子驮y口袋货物，根据“若你的货物给我一袋，我驮的

货比你驮的货多1倍；而我若给你一口袋，咱俩才刚好一样多”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解析】设驴驮x口袋货物，骡子驮y口袋货物，依题意，得：{𝑦+1=2(𝑥−1)𝑦−1=𝑥+1，解得：{𝑥=5𝑦=7．答：驴驮5口袋货物，骡子驮

7口袋货物．20．（2019•安徽模拟）《九章算术》里有一道著名算题：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉．下禾五秉，益实一斗，当上禾二乘、问上、下禾实一乘各几何？”大意是：3捆上等谷子结出的粮食，再加．上六斗，相当于10捆下等谷子结出的粮食.5捆下等谷子结出的粮食，

再加上一斗，相当于2捆上等谷子结出的粮食．问：上等谷子和下等谷子每捆能结出多少斗粮食？请解答上述问题．【分析】设上等谷子每捆能结出x斗粮食，下等谷子每捆能结出y斗粮食，根据“3捆上等谷子结出的粮食，再加上六斗，相当于1

0捆下等谷子结出的粮食；5捆下等谷子结出的粮食，再加上一斗，相当于2捆上等谷子结出的粮食”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解析】设上等谷子每捆能结出x斗粮食，下等谷子每捆能结出y斗粮食，依题意，得：{3𝑥+6=10𝑦5𝑦+1=2𝑥，解得：

{𝑥=8𝑦=3．答：上等谷子每捆能结出8斗粮食，下等谷子每捆能结出3斗粮食．21．（2020•安徽模拟）《算法统宗》中有一首“以碗知僧”的趣味诗，原文如下：巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹．请问先生

明算者，算来寺内几多僧？译文为：寺内有三百六十四只碗，如果三个和尚共吃一碗饭，四个和尚共吃一碗羹，恰好把碗用完，请问寺内共有多少个和尚？请解答上述问题．【分析】设盛饭用了x只碗，盛羹用了y只碗，根据“共有364只碗，三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹”，即可得出关于x，y

的二元一次方程组，解之即可得出x的值，再将其代入3x中即可求出结论．【解析】设盛饭用了x只碗，盛羹用了y只碗，依题意，得：{𝑥+𝑦=3643𝑥=4𝑦，解得：{𝑥=208𝑦=156，∴3x＝624．答：寺

内共有624个和尚．22．（2020春•海州区期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十二两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重

量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了12两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？（请用方程组解答）【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量＝11枚白银的重量；②（1

0枚白银的重量+1枚黄金的重量）﹣（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）＝12两，根据等量关系列出方程即可．【解析】设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：{9𝑥=11𝑦(10𝑦+𝑥)−(8𝑥+𝑦)=12，解得{𝑥=33𝑦=27．

答：每枚黄金重33两，每枚白银重27两．23．（2019•蚌埠一模）被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．

问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕每1只各重多少斤？”请列方程组解答上面的问题．【分析】设雀、燕每1只各重x

斤、y斤，根据等量关系：今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤，列出方程组求解即可．【解析】设雀、燕每1只各重x斤、

y斤．根据题意，得{4𝑥+𝑦=5𝑦+𝑥5𝑥+6𝑦=1整理，得{3𝑥−4𝑦=05𝑥+6𝑦=1解得{𝑥=219𝑦=338答：雀、燕每1只各重219斤、338斤．24．（2019春•南昌期末）我国古代数学著作《

九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．如图1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组的形式表述出来，就是{𝑥+4𝑦=106𝑥+11𝑦=34请你根据图2所示的算筹图，列出方程

组，并求解．【分析】观察图2，列出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解析】依题意，得{2𝑥+𝑦=7①𝑥+3𝑦=11②由①，得y＝7﹣2x．③把③代入②，得x+3（7﹣2x）＝11解这个方程，得x＝2．把x＝2代入①，得y＝3．∴这个方程组的解是{𝑥=2𝑦

=3．