【文档说明】江西省宜春市上高二中2024-2025学年高二上学期12月月考试题 数学.doc，共(4)页，1.450 MB，由管理员店铺上传

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2026届高二年级第四次月考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数4ππcosisin55z=+，则在复平面内z对应的点位于

（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．直线2025π:cos7lx=的倾斜角为（）A．π2B．2025π7C．2π7D．03．已知三个向量()1,1,0a=，()1,0,2b=−，(),2,5cx=共面，则x=（）A．92−B．92C

．12−D．124．已知aR，直线1:120laxy+−=的方向向量与直线()2:34160laxy+++=的方向向量共线，则这两条直线之间的距离为（）A．4B．82C．42D．225．如图，一个底面边长为23π3cm的正四棱柱形状的容器内装有部分水，现将一个底面半径为

1cm的铁制实心圆锥放入容器，圆锥放入后完全沉入水中，并使得水面上升了1cm．若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（）A．217πcmB．24πcmC．232πcmD．223πcm6．已知1F，2F分别为双曲线(

)2222:10,0xyCabab−=的左、右焦点，A为C上的一点，且112AFFF⊥，14AF=，1243FF=，则C的渐近线方程为（）A．3yx=B．33yx=C．2yx=D．22yx=7．过抛物线(

)220ypxp=的焦点F作倾斜角为π3的直线1l交抛物线于A，B两点，过AB的中点C作另一条直线2l交x轴于点D，若DADB=，且3DADC=，则p=（）A．1B．32C．2D．528．古希腊的几何学家用一个不过顶点

的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线.在如图所示的圆锥中，AB为底面圆的直径，M为PB的中点，某同学用平行于母线PA且过点M的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线.若该圆锥的高为4PO=，APPB⊥，则该抛物线的焦点到准线的距离为（）A．2B．2C．2

2D．4二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，已知正方体1111ABCDABCD−棱长为2

，O，M分别为1BD，BD的中点，N为线段1DC上的动点，下列选项正确的是（）A.不存在N使得ODMN⊥B.存在N使//MN面1AADC.存在两个N使MN与AD成60角D.任意N满足62MN10．

已知椭圆()2222:10xyCabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，过2F的直线l与C交于P，Q两点，若221::3:5:7FQFPFQ=，则（）A．12PFPF⊥B．12QFF△的面积等于23320aC．l的斜率为3D．C的离心率为3211.已知点()

4,2Q，直线:0laxbyc++=，且2bac=+，过点()5,6P−作直线l的垂线，垂足为H，则（）A.直线l过定点B.PH的最大值为10C.QH的最小值为2D.QH的最大值为11三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知直线l与双曲线22143xy−=交于A、

B两点，且弦AB的中点为33,2M，则直线l的方程为.13．在平面直角坐标系xOy中，()1,2A，()2,1B，直线0xya−+=上存在点P满足2PAPB=，则a的取值范围为．14．如图，将两个相同的四棱锥ACDEF−与BCDEF−对称摆放组

成一个多面体，已知AD⊥平面CDEF，四边形CDEF是边长为2的正方形，若平面AEF与平面ABF的夹角为π3，则该多面体的体积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（13分）（1）求准线为2x=−的抛物线标准方程；（6分）（2

）求中心在原点，焦点在x轴上，渐近线为2yx=，且实轴长为2的双曲线标准方程.（7分）16.（15分）已知圆C经过()0,1−，()1,0，()7,0三点．（1）求C的标准方程，并说明C的圆心坐标与半径；（7分）（2）过点()1,3A−−作圆C的切线l，求直线l

的方程．（8分）17．（15分）已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=的长轴长为23，且点3(2,)3M在椭圆E上．（1）求椭圆E的方程；（6分）（2）设直线2ykx=+与椭圆E相交于不同的两点P和Q，当3PQ=时，求实数k的值．（9分）18.（1

7分）如图，四棱柱1111ABCDABCD−中，侧棱1AA⊥底面//ABCDABDCABAD⊥,,，112ADCDAAABE====,,为棱1AA的中点.（1）证明：11BC⊥平面1CCE；（4分）（2）求二面角11BCEC−−的正弦值；（6分）（3）设点M在线段1CE上，且直线AM与平面1

1ADDA所成角的正弦值为39，求线段AM的长.（7分）19．（17分）已知双曲线()2222:10,0xyEabab−=的一条渐近线方程为32yx=，左、右顶点分别为A，B，且4AB=.（1）求E的

方程；（4分）（2）若点P为直线1x=−上的一点，直线PA交E于另外一点M（不同于点B）.①记PAB，MAB△的面积分别为1S，2S，且121312SS=，求点P的坐标；（6分）②若直线PB交E于另外一点N，

点G是直线MN上的一点，且OGMN⊥，其中O为坐标原点，试判断AG是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.（7分）2026届高二年级第四次月考数学试题参考答案1.C2.A3.C4.B5．A6.C7.B8．C9.BD10.BC11.ABD12．3260xy−−=13．223,223

−−−14.16315.（1）28yx=；（2）2214yx−=【详解】（1）准线为2x=−的抛物线标准方程为28yx=；（2）设双曲线标准方程为22221(0,0)xyabab−=，由实轴长为2得，即，由渐近线得，即，故抛物线标准方程为.16.（1）()()22

4425xy−++=，圆心为()4,4C−，半径5r=（2）12530xy−−=【详解】（1）由题意可设圆C的一般方程为()2222040xyDxEyFDEF++++=+−，代入三点坐标可得10,10,4970,EFDFDF−+=++=++=解得

8,8,7,DEF=−==所以圆C的一般方程为228870xyxy+−++=，则圆C的标准方程为()()224425xy−++=．易得圆心为()4,4C−，半径5r=．（2）当斜率不存在时，1x=−，满足题意，设切线l的方程为()31ykx+=+，即30

kxyk−+−=，则圆心C到切线l的距离25151kdk+==+，解得125k=，故l的方程为12530xy−−=或1x=−．17.（1）2213xy+=；（2）1【分析】（1）根据题意可得关于a，b的方程，求解即可；（2）联立方程，根据0求

出k的范围，再利用韦达定理和弦长公式列出关于k的方程，求解即可.【详解】（1）由题意得：223a=，所以23a=，点3(2,)3M在椭圆上，所以212313b+=，解得21b=，所以椭圆E的方程为：2213xy+=．（2）直线PQ的方程为：2ykx=+联立22233

ykxxy=++=，消去y后，得关于x的一元二次方程223(2)3xkx++=，化简得22(13)6230kxkx+++=，由题意知()222Δ6243(13)36120kkk=−+=−，解得33k−或33k，

由韦达定理可得1226213kxxk+=−+，122313xxk=+，所以222122227212113(13)13kPQkxxkkk=+−=+−=++，所以2223612(1)313kkk−+=+，化简得4296150kk+−=，解得21k=，即1k=，经检验1k=符合题意.18

.（1）证明见解析；（2）217；（3）334【详解】（1）如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，则，故.，则，所以，又平面，所以平面.（2）由（1）得即为平面的一个法向量，设平面的法向量为，则有，令，则，所以，则，

所以二面角的正弦值为.（3）设，则，因为轴垂直平面，则可取平面的法向量为，则，解得，所以.19．(1)22143xy−=(2)①()1,2−或()1,2−−；②是，2【分析】（1）根据条件，直接求出,ab，即可求解；（2）①设()1,Pm−，直线PA：()2ymx=+，联立直线与双曲线方程，消y得

到()2222341616120mxmxm−−−−=，进而可得21234Mmym=−，再结合条件，即可求解；②设直线PB：()23myx=−−，联立双曲线方程，求得22854274Nmxm−−=−，236274Nmym=−，结合①中结果，可求直线MN的方程，进而判断直线MN恒过定点

()4,0H−，即可求解.【详解】（1）由题意知24,3,2aba==解得2a=，3b=，所以E的方程为22143xy−=.（2）由题意可知，，()2,0B，设()1,Pm−，因为直线PA交E于另外一点

M（不同于点B），所以0m，又双曲线的渐近线为32yx=，故03122m−−+，解得32m，所以直线02:012yxPAm−+=−−+，即()2ymx=+，由()221432xyymx−==+，消y得()2222341616120mxmxm−−−−

=，所以221612234Mmxm−−−=−，解得228634Mmxm+=−，所以222861223434Mmmymmm+=+=−−.①因为11422Smm==，22211224423434mmSmm==−−，又121312SS=，所以2132

421234mmm=−，解得2m=或2m=−，即点P的坐标为()1,2−或()1,2−−.②直线02:012yxPBm−−=−−−，即()23myx=−−，由()2214323xymyx−==−−，消y得()222227416161080

mxmxm−+−−=，22740m−，即332m，所以22161082274Nmxm−−=−，解得22854274Nmxm−−=−，所以2228543623274274Nmmmymm−−=−−=−−，所以直线MN的斜率22222223612627434854869427434

mmmmmkmmmmm−−−==−−+−−−−，所以直线MN的方程为222212686349434mmmyxmmm+−=−−−−，令0y=，得222212686349434mmmxmmm+−=−−

−−，解得()2222222948616124343434mmmxmmm−+−=−==−−−−，所以直线MN恒过定点()4,0H−，又OGMN⊥，即OGGH⊥，又点A是HO的中点，所以122AGHO=

=，所以AG是定值，且定值为2.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问中的②小问，设(1,)Pm−，直线,PAPB的方程分别为()2ymx=+，()23myx=−−，通过联直线,PAPB与双曲线方程，求得,MN两点坐标，进

而求出直线MN的方程，再判断出直线MN过定点，即可求解.