【文档说明】安徽省合肥市第一中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试卷 含解析【精准解析】.doc，共(19)页，1.146 MB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年安徽省合肥一中高一（下）期中数学试卷一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分．）1．已知＝2+i，则复数z＝（）A．﹣1+3iB．﹣1﹣3iC．1﹣3iD．1+3i2．下列说法正确的是（）A．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间

的部分组成的几何体叫棱台B．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等C．通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线D．球面上四个不同的点一定不在同一个平面内3．已知平面向量，满足||＝2，||＝1，⊥（+4），则向量，的夹角

为（）A．B．C．D．4．梯形A1B1C1D1（如图）是一水平放置的平面图形ABCD的直观图（斜二测），若A1D1∥y′轴，A1B1∥x′轴，A1B1＝C1D1＝4，A1D1＝2，则平面图形ABCD的面积是（）A．20B．10C．D．5

．在△ABC中，a＝20，b＝10，B＝32°，则此三角形的解的情况是（）A．有两解B．有一解C．有无数个解D．无解6．设是两个非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（）A．且B．C．D．7．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱A1

D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为（）A．B．C．D．8．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，其中bc＝2且满足，则△ABC面积为（）A．B．C．D．9．如图，在直三棱

柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝4，AB⊥AC，M为BB1的中点，点N在棱CC1上，CN＝3NC1，则异面直线A1N与CM所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．一个空心球玩具里面设计一个棱长为4的内接正四面体，过正四面体上某一个顶点所在的三条棱的中点作球的截面，则

该截面圆的面积是（）A．B．C．D．11．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为2的等边三角形．设点P为后轮上

的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（）A．12B．10C．9D．812．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a：b＝ln2：ln4，且，则k的范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每

小题5分，共20分．）13．已知i为虚数单位，若z＝1+2i，则|z﹣i|＝．14．给出下列说法：①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若空间中三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c一定垂直

；④垂直于同一直线的两条直线平行．其中正确说法的是．15．已知非零向量与满足且，若，则△ABC的面积为．16．把四个半径分别为9，9，9，19的小球同时放入一个大球中，使四个小球两两外切并均与大球内切，则大球的半径

为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知向量，，．（Ⅰ）若点A，B，C不能构成三角形，求x，y应满足的条件；（Ⅱ）若，求x，y的值．18．已知圆锥SO的底面半径R＝6，高H＝8．（1）求圆锥SO的表面

积和体积；（2）圆锥SO的内接圆柱OO′的高为h，当h为何值时，圆锥SO的内接圆柱OO′的侧面积最大，并求出最大值．19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积记为S△ABC，满足a2+b2﹣c2＝．（1）求∠C；（2）若c＝，求

2a﹣4sinB的取值范围．20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC是边长为2的等边三角形，BB1＝4，E为棱A1C1的中点，F为棱A1B1的中点，BC1∩B1C＝O．（Ⅰ）若M为线段BC上一动点，证明：A1M∥平面EFO；（Ⅱ）求三棱锥A1﹣OE

F的体积．21．为了美校园环境，某中学欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD．其中AB＝6百米，AD＝2百米，且△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），设∠BAD＝θ，θ∈（，π）．（1）

当cosθ＝﹣时，求小路AC的长度；（2）试求小路BD的长度．使得草坪ABCD的面积最大．22．在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P﹣ABCD．点E在棱PB上，满足，点F在棱PC上，满足，要求同学们按照以

下方案进行切割：（1）试在棱PC上确定一点G，使得EF∥平面ABG；（2）过点A，E，F的平面α交PD于点H，沿平面α将四棱锥模型切割成两部分，在实施过程中为了方便切割，需先在模型中确定H点的位置，请求出的值．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知＝2+i，则复数z＝（）A．﹣1+3iB．﹣1﹣3iC．1﹣3iD．1+3i解：＝2+i，∴z＝（1+i）（2+i）＝2﹣1+（2+1）i＝1+3i，则复数z＝1+3i．故选：

D．2．下列说法正确的是（）A．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台B．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等C．通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线D．球面上四个不同的点一定不在同一个

平面内解：对于A：当用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故A错误；对于B：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故B错误；对于C：通过圆台侧面上一点，有且只有一条母

线，故C正确；对于D：球面上四个不同的点不一定不在同一个平面内，故D错误．故选：C．3．已知平面向量，满足||＝2，||＝1，⊥（+4），则向量，的夹角为（）A．B．C．D．解：∵，∴，∴，且，∴，且，∴．故选：C．4．梯形A1B1C1D1（如图）是一水平放置的平面图形ABCD的直观

图（斜二测），若A1D1∥y′轴，A1B1∥x′轴，A1B1＝C1D1＝4，A1D1＝2，则平面图形ABCD的面积是（）A．20B．10C．D．解：梯形A1B1C1D1中，A1B1＝C1D1＝4，所以C1D1＝6，A1D1＝2，所以梯形面积为S′＝×（4+6）×2×sin45°＝5

，所以原平面图形ABCD的面积是5×2＝20．故选：A．5．在△ABC中，a＝20，b＝10，B＝32°，则此三角形的解的情况是（）A．有两解B．有一解C．有无数个解D．无解解：在△ABC中，a＝20，b＝10，B＝32°，∴根据正弦定理，，∴sinA＝2sin32°，∵，∴sinA＞1，

∴△ABC不存在，即此三角形无解．故选：D．6．设是两个非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（）A．且B．C．D．解：A．若||＝||且∥，则，两个向量为相等向量或相反向量，当＝﹣时，＝不成立，所以A不是充分条件．B．当＝﹣时，＝不成立

，所以B不是充分条件．C．当∥时，且，两个向量方向相反时，＝不成立，所以C不是充分条件．D．当＝4时，满足，同向共线，满足＝，所以D是充分条件．故选：D．7．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截

面的面积为（）A．B．C．D．解：取AA1的中点N，连接MN，NB，MC1，BC1，由于截面被平行平面所截，所以截面为梯形，且MN＝BC1＝，MC1＝BN＝，∴梯形的高为，∴梯形的面积为（）×＝，故选：C．8．已知△ABC的三个内角A，B，C的对

边依次为a，b，c，其中bc＝2且满足，则△ABC面积为（）A．B．C．D．解：因为＝＝所以2ccosA＝bcosA+acosB，由正弦定理得2sinCcosA＝sinBcosA+sinAcosB＝sin（A+B）＝sinC，由C为三

角形内角得sinC＞0，所以cosA＝，由A为三角形内角得A＝，则△ABC的面积S＝bcsinA＝＝．故选：B．9．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝4，AB⊥AC，M为BB1的中点，点N在棱CC1上，CN＝3NC1，则异面直线A1N与CM所成角的

余弦值为（）A．B．C．D．解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1（0，0，4），N（0，1，3），C（0，1，0），M（1，0，2），＝（0，1，﹣1），＝（1，﹣1，2），设异面直线A1N与CM所成角为θ，则cosθ＝＝＝．∴

异面直线A1N与CM所成角的余弦值为．故选：B．10．一个空心球玩具里面设计一个棱长为4的内接正四面体，过正四面体上某一个顶点所在的三条棱的中点作球的截面，则该截面圆的面积是（）A．B．C．D．解：棱长为4的正四面

体放入一个棱长为的正方体中，则外接球的直径为，故外接球的半径为，棱长为4的正四面体的高h＝，所以过正四面体上某一个顶点所在的三条棱的中点作球的截面，则顶点到截面的距离为，则球心到截面的距离为，所以截面

圆的半径＝，则截面圆的面积是＝．故选：A．11．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，△ABE，△

BEC，△ECD均是边长为2的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（）A．12B．10C．9D．8解：据题意：圆D（后轮）的半径均为，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为2的等边三角形．点P为后轮上的一点，如图建立平面直角坐标系：则A（﹣4，0），B（

﹣3，），C（﹣1，）．圆D的方程为x2+y2＝，可设P（cosα，sinα）所以＝（3，），＝（cosα+3，sinα−）．故＝sinα+cosα+6＝3（sinα+cosα）+6＝3sin（α+）+6≤3+6＝9．故选：C．12．△ABC的

内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a：b＝ln2：ln4，且，则k的范围是（）A．B．C．D．解：因为a：b＝ln2：ln4＝ln2：2ln2＝1：2，所以b＝2a，因为三角形三边长分别为，a，2a，c，所以a+2a＞c，且a+c＞2a

，即3a＞c，且c＞a，于是，所以，因为＝b•acosC＝2a2cosC＝kc2，所以k＝＝＝，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知i为虚数单位，若z＝1+2i，则|z﹣i|＝．解：∵i为虚数单位，z＝1+2i，∴|z﹣i|＝|1+i|＝＝，故答案为

：．14．给出下列说法：①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若空间中三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c一定垂直；④垂直于同一直线的两条直线平行

．其中正确说法的是③．解：对于①，若直线l平行于平面α内的任意一条直线，则l∥α，故①错误；对于②，若直线a在平面α外，当直线a与平面α相交时，则a∥α错误，故②错误；对于③，若空间中三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c

，则直线a与c一定垂直，故③正确；对于④，只有在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，故④错误．故答案为：③．15．已知非零向量与满足且，若，则△ABC的面积为．解：因为，所以∠BAC的平分线与BC

边垂直，所以AB＝AC，取AC中点D，连接AD，AD⊥BC，因为cos∠BAC＝，所以∠BAC＝120°，于是∠B＝∠C＝30°，AD＝AD•tan30°＝2•，所以＝．故答案为：．16．把四个半径分别为9，9，9，19的小球同时放入一个大球中，

使四个小球两两外切并均与大球内切，则大球的半径为．解：如图，设三个半径为9的球的球心分别为A、B、C，半径为19的球的球心为D，连接AB、BC、AC、AD、BD、CD，则D在平面ABC上的射影为底面正三角形ABC的外心G，可得BG＝＝，三棱锥D﹣ABC为正三棱锥，侧棱DB＝2

8，则DG＝．再设大球的球心为O，由对称性可得，O在线段DG上，要使大球与四个小球都内切，则OD+19＝OB+9，设OB＝x，则OG＝，∴OD＝DG﹣OG＝26﹣，则，解得x＝．∴大球的半径为x+9＝．故答案为：．三、解

答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知向量，，．（Ⅰ）若点A，B，C不能构成三角形，求x，y应满足的条件；（Ⅱ）若，求x，y的值．解：（Ⅰ）若点A、B、C不能构成三角形，则A、B、C三点共线由，，得＝

（3，1），＝（2﹣x，1﹣y）∵A、B、C三点共线，得∥∴3（1﹣y）＝2﹣x，即x、y满足的条件为x﹣3y+1＝0；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）∵＝（﹣1﹣x，﹣y）且，∴（2﹣x，1﹣y）＝2（﹣1﹣x，﹣y）可得

2﹣x＝﹣2﹣2x，1﹣y＝﹣2y，解之得x＝﹣4，y＝﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．已知圆锥SO的底面半径R＝6，高H＝8．（1）求圆锥SO的表面积和体积；（2）圆锥SO的内接圆柱OO′的高为h，

当h为何值时，圆锥SO的内接圆柱OO′的侧面积最大，并求出最大值．解：（1）∵圆锥SO的底面半径R＝6，高H＝8，∴圆锥SO的母线长L＝＝10，则侧面积S＝πRL＝60π，体积V＝＝96π；（2）作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示，其中SO＝8，

OA＝OB＝6，OK＝h（0＜h＜8）．设圆柱底面半径为r，则，即r＝（8−h）．设圆柱的侧面积为S′＝2πr•h＝2π•（8−h）•h＝（−h2+8h）．∴当h＝4时，S′有最大值为24π．19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△AB

C的面积记为S△ABC，满足a2+b2﹣c2＝．（1）求∠C；（2）若c＝，求2a﹣4sinB的取值范围．解：（1）因为a2+b2﹣c2＝，所以2abcosC＝，所以tanC＝，由C为三角形内角得C＝；（2）由正弦定理得＝2，所以a＝2sinA，所以2a﹣4s

inB＝4sinA﹣4sinB＝4sinA﹣4sin（）＝4sinA﹣2cosA﹣2sinA＝2sinA﹣2cosA＝4sin（A﹣），由0＜A＜得﹣＜A﹣，所以﹣＜sin（A﹣）＜，﹣24sin（A﹣）．故2a﹣4sinB的取值范围（﹣2）．2

0．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC是边长为2的等边三角形，BB1＝4，E为棱A1C1的中点，F为棱A1B1的中点，BC1∩B1C＝O．（Ⅰ）若M为线段BC上一动点，证明：A1M∥平面EFO；（Ⅱ）求三棱锥A1﹣OEF的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵O为B1C的中点，F为A1B1的

中点，∴OF∥A1C，∵OF⊄平面A1CB，A1C⊂平面A1CB，∴OF∥平面A1CB，∵E为A1C1的中点，F为A1B1的中点，∴EF∥B1C1，而BC∥B1C1，∴EF∥BC，∵EF⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，∴EF∥平面A1C

B，又OF∩EF＝F，∴平面OEF∥平面A1CB，∵M为线段BC上一动点，∴A1M⊂平面A1CB，则A1M∥平面EFO；（Ⅱ）解：取B1C1的中点为D，连接OD，则OD∥BB1，由直三棱柱可得BB1⊥平面A1B1C1，则OD⊥平面A1B1C1，且OD＝BB1＝2，由△A

1B1C1是边长为2的等边三角形，可得，而E为A1C1的中点，F为A1B1的中点，∴，∴×OD＝．21．为了美校园环境，某中学欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD．其中AB＝6百米，A

D＝2百米，且△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），设∠BAD＝θ，θ∈（，π）．（1）当cosθ＝﹣时，求小路AC的长度；（2）试求小路BD的长度．使得草坪ABCD的面积最大．解：（1）△ABD中，由余弦定理得BD2＝

AB2+AD2﹣2AB•ADcosθ＝36+20﹣2××＝80，所以BD＝4，由题意得sinθ＝，由正弦定理得＝，即＝，所以sin∠ADB＝，因为△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，，CD＝BD＝4，所以cos∠ADC＝﹣sin∠ADB＝﹣，△ADC中，由余弦定理得A

C2＝AD2+DC2﹣2AD•CDcos∠ADC＝+（4）2﹣2××（﹣）＝2；（2）由（1）得BD2＝56﹣24cosθ，因为ABCD的面积S＝S△ABD+S△BCD＝6×sinθ+＝6sinθ﹣12cosθ+28＝28+30sin（θ﹣φ），其中sinφ＝，cosφ＝，φ∈（

0，），当θ﹣φ＝，即θ＝φ+时，S取得最大值，此时BD2＝56﹣24cosθ＝104，所以BD＝2．22．在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P﹣ABCD．点E在棱PB上，满足，点F在棱PC上，满

足，要求同学们按照以下方案进行切割：（1）试在棱PC上确定一点G，使得EF∥平面ABG；（2）过点A，E，F的平面α交PD于点H，沿平面α将四棱锥模型切割成两部分，在实施过程中为了方便切割，需先在模型中确定H点的位置，请求出的值．解：（1）当PG＝3GC时，EF

∥平面ABG．理由：设PB＝PC＝3t，因为，，可得PE＝2t，EB＝t，PF＝FC＝t，因为PG＝3GC，可得PG＝t，可得＝＝，所以EF∥BG，而EF⊄平面ABG，BG⊂平面ABG，则EF∥平面ABG；（2）延长FE，与延长CB交于M，连接MA，并延长与CD的延长线交于N，连接FN，交PD

于H，由（1）可得FG＝GC＝，即G为CF的中点，由EF∥BC，可得B为MC的中点，由AD∥BC，可得D为CN的中点，在等腰三角形PCD中，F为PC的中点，取CD的中点K，连接FK，则PD＝2KF，DH＝FK，所以PD＝3DH，即＝．