【文档说明】[26752062]精讲练04 整式方程-2020-2021学年八年级数学寒假精讲练专题（沪教版）.docx，共(13)页，144.307 KB，由管理员店铺上传

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精讲练04整式方程【学习目标】1、知道一元整式方程与高次方程的有关概念，知道一元整式方程的一般形式.2、经历从具体问题中的数量相等关系引进含字母系数的方程的过程,理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它们的基本解法.3、通过解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程,体会分

类讨论的方法，了解由特殊到一般、一般到特殊的辨证思想.4．理解和掌握二项方程的意义以及二项方程的解法；5．学会把一个代数式看作一个整体，掌握可以通过换元转化为二项方程的方程的解法,经历知识的产生过程，感受自主探究的

快乐.【要点梳理】要点一、一元整式方程1.一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程;2.一元n次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是(是正整数),这个方程叫做一元次方程.3.一元高次方程概念：一

元整式方程中含有未知数的项的最高次数是，若次数是大于2的正整数，这样的方程统称为一元高次方程。要点诠释：一元高次方程应具备：整式方程;只含一个未知数;含未知数的项最高次数大于2次.要点二、二项方程1.概念：如果一元

n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程.要点诠释：注：①=0（a≠0）是非常特殊的n次方程，它的根是0.②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次.nnnnnnax2.一般

形式：3.二项方程的基本方法:是（开方）4.解的情况：当n为奇数时，方程有且只有一个实数根，；当n为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab>0，那么方程没有实数根.要点三、双二次方程

1.概念：只含有偶数次项的一元四次方程.要点诠释：当常数项不是0时，规定它的次数为0.2.一般形式：3.解题的一般步骤：换元——解一元二次方程——回代4.解双二次方程的常用方法：因式分解法与换元法（目的是降次，使它转化为一元一次方程或一元二次方程）通过换元，把双二次方程转化为一元方程

体现了“降次”的策略。要点诠释：解高于一次的方程，基本思想就是“降次”，对有些高次方程，可以用因式分解的方法降次。用因式分解的方法时要注意：一定要使方程的一边为零，另一边可以因式分解。【精讲例题】类型一、一元一次方程和一元二次方程的解法1．（普宁市期末）解方

程：12225xxx−+−=−【思路点拨】这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解．),0,0(0是正整数nbabaxn=+nbxa=−)0(024=++acbxax【答案与解析】解：去分母得：()()1051202

2xxx−−=−+去括号得：10552024xxx−+=−−移项合并得：711x=系数化为1得：117x=．【总结升华】去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如

果是一个多项式）作为一个整体加上括号．举一反三：【变式】【答案】解：去分母得：去括号得：合并同类项，得：系数化为1，得．2．用因式分解法解下列方程：(1)3(x+2)2＝2(x+2)；(2)(2x+3)2-25＝0．【思路点拨】解决这

类题目要有整体的思想，(1)中把“x+2”看做一个整体。（2）中把“2x+3”看做一个整体，然后进行因式分解。【答案】(1)移项．得3(x+2)2-2(x+2)＝0，(x+2)(3x+6-2)＝0．∴x+2＝0或3x+4＝0，∴x

1＝-2，．(2)(2x+3-5)(2x+3+5)＝0，22511346xxx−+−−=−4(2)3(25)2(1)12xxx−−+=−−486152212xxx−−−=−−49x−=94x=−243x=−∴2x-2＝0或2x

+8＝0，∴x1＝1，x2＝-4．【总结升华】(1)中方程求解时，不能两边同时除以(x+2)，否则要漏解．用因式分解法解一元二次方程必须将方程右边化为零，左边用多项式因式分解的方法进行因式分解．因式分解的方法有提公因式法、公式法、二次三项式法及分组分解法．(2)可

用平方差公式分解．举一反三：【变式】解下列一元二次方程：(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0；(2)．【答案】(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0．即，∴．(2)移

项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0，即(x-1)(x+2)＝0，所以，．【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如(1)可以用完全平方公式．用含未知数的整式去除方程两边时

，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉x＝1这个根．类型二、含字母系数的整式方程的解法3.解关于的方程：【思路点拨】解含字母系数的方程时，先化为最简形式，再考虑有解、无解、无穷多解的模式。然后进行分类讨论．【答案】原方程可化为：(31)(1)(41)(1)x

xxx−−=+−2(23)0x+=1232xx==−11x=22x=−x1mxnx−=axb=()1mnx−=当，即时，方程有唯一解为：；当，即时，方程无解．【总结升华】解含字母系数的方程时，先化为最简形式，再根据系数是否为零进行分类讨论．举一反三：【变式1】若关于x的方程(k-4)x

=6有正整数解，求自然数k的值.【答案】解：∵原方程有解，∴原方程的解为：为正整数，∴应为6的正约数，即可为：1，2，3，6∴为：5，6，7，10答：自然数k的值为：5，6，7，10.【变式2】解关于x的方程：（a﹣1）x=3．【答案】解：分两种情

况考虑：当a=1时，方程为0=3，无解；当a≠1时，解得：x=．类型三、特殊的高次方程的解法4.判断下列方程是不是二项方程，如果是二项方程，求出它的根。【答案】：（1）、（3）是二项方程，（2）、（4）不是二

项方程。下面解方程（1）、（3）：（1）移项，得x3=640mn−mn1xmn=−0mn−=mn=axb=xa40k−64xk=−4k−4k−k3(1)640x−=4(2)0xx+=5(3)9x=−3(4)1x

x+=开方，得即x=4（3）开方，得即5.判断下列方程是不是双二次方程，如果是，求出它的根：（1）（2）（3）（4）【答案】：（1）、（4）是双二次方程，（2）、（3）不是双二次方程。下面解方程（1）、（4）：（1

）设x2=y，则，于是原方程可化为y2-9y+14=0解这个关于y的方程，得y1=2，y2=7由y1=2，得x2=2，解得由y2=7，得x2=7，解得所以，原方程的根是=，=，=，=（4）设x2=y，则，于是原方程可化为y2+9y+20=0364=x59−=x59−=x429140xx−+=

310250xx++=432740xx−−=429200xx++=42xy=2=x7=x1x22x2−3x74x7−42xy=解这个关于y的方程，得y1=-4，y2=-5由y1=-4，得x2=-4，它没有实数根；由

y2=-5，得x2=-5，它也没有实数根所以，原方程没有实数根。类型四、问题拓展6.不解方程，判断下列方程的根的个数：①；②；③；④.【答案】：令①△>0,y1y2>0,y1+y2>0∴原方程有四个实数根.②△>0,y1y2>0,y1+y2<0∴原方程没有实数根.③△<0∴原方程没有实数根.

④△>0,y1y2<0,∴原方程有两个实数根.【精练巩固】一、选择题1．（黄岛区期末）把方程中分母化整数，其结果应为（）A．B．0C．D．02．下列等式变形中，不正确的是()．06524=+−xx422310xx++=04224=+−xx422630xx+−=

2xy=A．看x＝y，则x+5＝y+5B．若(a≠0)，则x＝yC．若-3x＝-3y，则x＝yD．若mx＝my，则x＝y3.已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（）A.1B.﹣1C.0D.无法确定4．若一元二次方程式ax（x＋1）＋（x＋1）（x＋2）＋bx（

x＋2）＝2的两根为0．2，则|3a＋4b|之值为何（）A．2B．5C．7D．85．某品牌服装原价173元，连续两次降价后售价价为127元，下面所列方程中正确的是（）A．B．C．D．6．（丽水模拟）将代数式2

63xx+−化成()2xpq++的形式，正确的是（）A.()236x++B.()236x−+C.()2312x+−D.()2312x−−二、填空题7．（江阴市期中）已知方程230xmx+−=的一个根为-1，则另一个根是，m的值是．8.（

昆明校级期末）方程x（x﹣3）=3（3﹣x）的解是．9．关于的一元二次方程有一个根为0，则.10．问题1：设a、b是方程x2＋x－2012＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为；问题2：方程x2－2x－1＝0的两个实数根分别为x1，x

2，则（x1―1）（x2―1）＝；11．某校2010年捐款1万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到2012年共捐款4.75万元，则该校捐款的平均年增长率是.三、解答题12.解下列关于x的方程xyaa=00x()20

01731127x+=()0017312127x−=()2001731127x−=()2001271173x+=x22(1)10axxa−++−=a=13.解下列方程：14.（黄山期末）解方程（1）2x2+3x+1=0（2）（3x+1）2=9x+3．15.解

下列方程：【答案与解析】1．【答案】C；【解析】解：根据分式的性质，每个分式分子分母同乘以10得：．注意分式的基本性质与等式的性质的不同点．故选C．2.【答案】D【解析】D中由mx＝my左右两边需同时

除以m，得到x＝y，但当m＝0时，左右两边不能同时除以m，所以D项中等式变形不正确，利用性质2对等式两边同时进行变形，特别注意等式两边同时除以一个式子(1).(32)2(3)axx−=−22(2).11(1)bxxb−=−−32(1)2740xxx+−=3

2(2)220xxx−+−=43212568956120xxxx−+−+=时，一定先确定这个式子不是0．3.【答案】B；【解析】解：根据题意得：（m﹣1）+1+1=0，解得：m=﹣1．故选B．4.【答案】B；【解析】先根据一元二次方

程式ax（x＋1）＋（x＋1）（x＋2）＋bx（x＋2）＝2的根确定a．b的关系式．然后根据a．b的关系式得出3a＋4b＝－5．用求绝对值的方法求出所需绝对值．5.【答案】C；【解析】当商品第一次降价x%时，其售价为

173－173x%＝173（1－x%）；当商品第二次降价x%后，其售价为173（1－x%）－173（1－x%）x%＝173（1－x%）2．∴173（1－x%）2＝127．故选C．6.【答案】C；【解析】()222636912312xxx

xx+−=++−=+−．7．【答案】3，-2．【解析】设方程的另一个解是a，则113am,a−+=−=−，解得23m,a=−=．8.【答案】x1=3，x2=﹣3；【解析】解：原方程移项得，x（x﹣3）+3（x﹣3）=0，∴（x﹣3）（x+3）=

0，解得x1=3，x2=﹣3．故答案为x1=3，x2=﹣3．9．【答案】-1；【解析】把x=0代入方程得,因为，所以.10．【答案】2011；-2；【解析】由于a，b是方程x2+x-2012=0的两个实数根，根据根与系数的关系

可以得到a+b=-1，并且a2+a-2012=0，然后把a2+2a+b可以变为a2+a+a+b，把前面的值代入即可求出结果．11．【答案】50%；【解析】设该校捐款的平均年增长率是x，则，整理，得，解得，答：该校捐款的平均年增长率是50%.12.【答案与解析】（1）去括号，得3ax-2x=6

-2x移项，得3ax-2x+2x=6合并同类项，得3ax=6※当a≠0时，方程※是一元一次方程，解得；当a=0时，方程※变成0·x=6，这时不论x取什么值，等式0·x=6都不成立，因此方程无解。所以，当a≠0时，原方程的根是；当a=0时，原方程无解。（2）移项，得bx2+

x2=1+1合并同类项，得（b+1）x2=2因为b≠-1，所以b+1≠01a=10a−1a=−ax2=ax2=两边同除以b+1，得※当b+1＞0时，由方程※解得；当b+1＜0时，方程※中，这时方程没有实数根。所以，当b+1＞0时，原方程的根是

，；当b+1＜0时，原方程没有实数根。13.【答案与解析】（1）方程左边因式分解，得x(2x2+7x-4)=0x(x+4)(2x-1)=0得x=0或x+4=0或2x-1=0∴原方程的根是x=0，x=-4，x=注意：不要漏掉x=0这个根!（2）方程左边因式分解，得(x3-2x2

)+(x-2)=0x2(x-2)+(x-2)=0（x-2）(x2+1)=0即x-2=0或x2+1=0解方程x-2=0得x=2方程x2+1=0没有实数根所以，原方程的根是x=214.【答案与解析】122+=bx21xb=+012+b121xb=+221xb=−+21解：（1）

分解因式得：（2x+1）（x+1）=0，可得2x+1=0或x+1=0，解得：x1=﹣0.5，x2=﹣1；（2）方程整理得：（3x+1）2﹣3（3x+1）=0，分解因式得：（3x+1）（3x+1﹣3）=0，可得3x+1=0或3x﹣2=0，解得

：x1=﹣，x2=．15.【答案与解析】观察方程的系数，可以发现系数有以下特点：x4的系数与常数项相同，x3的系数与x的系数相同，像这样的方程我们称为倒数方程．由