【文档说明】2023届高考数学易错题专项突破——易错点3 函数的性质含解析【高考】.docx，共(20)页，101.667 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

1易错点3函数的性质一、单项选择题1.形如𝑦=𝑏|𝑥|−𝑐(𝑐>0,𝑏>0)的函数因其函数图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”.若函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑥+1(𝑎>0且𝑎≠1)有最小值，则当𝑐=1,𝑏

=1时的“囧函数”与函的图象交点个数为()A.1B.2C.4D.62.函数𝑓(𝑥)=2𝑥2−𝑚𝑥+3，在(−∞,−2]上单调递减，在(−2,+∞)上单调递增，则𝑓(1)=()A.−3B.7C.13D.

不能确定3.函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2−(𝑎−1)𝑥−3在区间[−1,+∞)上是增函数，则实数a的取值范围是()A.(−∞,13]B.(−∞,0)C.(0,13]D.[0,13]4.已知奇函数𝑓(𝑥)满足𝑓(𝑥+2)=𝑓(−𝑥)，当𝑥∈(0,1)时，𝑓(𝑥)=

3𝑥，则𝑓(log312)=A.43B.−43C.34D.34二、多项选择题5.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数𝑦=𝐴sin𝜔𝑡，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.

若一个复合音的数学模型是函数𝑓(𝑥)=sin𝑥+12sin2𝑥，则下列结论正确的是()A.2𝜋是𝑓(𝑥)的一个周期；B.𝑓(𝑥)在[0,2𝜋]上有3个零点；C.𝑓(𝑥)的最大值为3√34；D.𝑓(𝑥)在[0,𝜋2]上是增函数．

6.下列命题中，真命题的是()A.𝑦=sin|𝑥|的图象与𝑦=sin𝑥的图象关于y轴对称B.𝑦=cos(−𝑥)的图象与𝑦=cos|𝑥|的图象相同2C.𝑦=sin|𝑥|的图象与𝑦=sin(

−𝑥)的图象关于x轴对称D.𝑦=cos𝑥的图象与𝑦=cos(−𝑥)的图象相同7.已知函数𝑓(𝑥)=(sin𝑥+cos𝑥)2−2√3cos2𝑥+√3，则下列结论正确的是()．A.函数的最小正周期为𝜋B.函数的最大值是3C.函数的单调增区间为[𝑘𝜋−𝜋12,𝑘

𝜋+5𝜋12](𝑘∈𝑍)D.(𝜋6,0)是函数的一个对称中心8.已知函数，给出下述论述，其中正确的是()A.当𝑎=0时，𝑓(𝑥)的定义域为B.𝑓(𝑥)一定有最小值；C.当𝑎=0时，𝑓(𝑥)的值域为R；D.若𝑓

(𝑥)在区间上单调递增，则实数a的取值范围是{𝑎|𝑎≥−4}9.已知函数𝑓(𝑥)=sin(2𝑥+3𝜋2)(𝑥∈𝑅)，则下列结论正确的是()A.函数𝑓(𝑥)的最小正周期为𝜋B.函数𝑓(𝑥)是偶函数C.函数𝑓(𝑥)的图象关于直线𝑥=𝜋4对称D.

函数𝑓(𝑥)在区间[0,𝜋2]上是增函数10.下列命题中正确的是()A.命题“∃𝑥0≥0,𝑥0<sin𝑥0”的否定是“∀𝑥≥0,𝑥≥sin𝑥”B.若函数𝑓(𝑥)在区间(𝑎,𝑏)上单调递增，则𝑓′(𝑥

)>0在区间(𝑎,𝑏)上恒成立C.“𝑥<0”是“不等式1𝑥<1成立”的必要不充分条件D.若对任意𝑥1,𝑥2∈𝑅(𝑥1≠𝑥2)都满足𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥1)𝑥2−𝑥1>0，则函数𝑓(𝑥)是R上的增函数11.下列说法正确的

是()．A.分针每小时旋转2𝜋弧度B.在△𝐴𝐵𝐶中，若sin𝐴=sin𝐵，则𝐴=𝐵3C.在同一坐标系中，函数𝑦=sin𝑥的图象和函数𝑦=𝑥的图象有三个公共点D.函数𝑓(𝑥)=si

n𝑥1+cos𝑥是奇函数12.函数𝑓(𝑥)在[𝑎,𝑏]上有定义，若对任意𝑥1,𝑥2∈[𝑎,𝑏]，有𝑓(𝑥1+𝑥22)≤12[𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)]则称𝑓(𝑥)在[𝑎,𝑏]上具有性质�

�.设𝑓(𝑥)在[1,3]上具有性质P，则下列说法错误的是：()A.𝑓(𝑥)在[1,3]上的图像是连续不断的；B.𝑓(𝑥2)在[1,√3]上具有性质P；C.若𝑓(𝑥)在𝑥=2处取得最大值1，则𝑓(𝑥)=1，𝑥∈[1,3]

；D.对任意𝑥1,𝑥2,𝑥3,𝑥4∈[1,3]，有𝑓(𝑥1+𝑥2+𝑥3+𝑥44)≤14[𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)+𝑓(𝑥3)+𝑓(𝑥4)]三、填空题13.已知函数𝑓(𝑥)=12𝑥−22𝑥+1，则𝑔(

𝑥)=𝑓(𝑥)+1是________函数(从“奇”，“偶”，“非奇非偶”及“既是奇函数又是偶”中选择一个填空)，不等式𝑓(𝑥2−𝑥)+𝑓(4𝑥−10)≤−2的解集为________．14.已知𝑓(𝑥)是定义在(−∞,+∞

)上的偶函数，且在(−∞,0]上是增函数，设𝑎=𝑓(log47)，𝑏=𝑓(log123)，𝑐=𝑓(0.2−0.6)，则a，b，c的大小关系是____________．15.下列几个命题①方程𝑥2+(𝑎−3)𝑥+𝑎=0有一个正实根，一个负实根，则𝑎<0；②

函数𝑦=√𝑥2−1+√1−𝑥2是偶函数，但不是奇函数；③命题“若𝑥2>1，则𝑥>1”的否命题为“若𝑥2>1，则𝑥≤1”；④命题“∀𝑥∈𝑅，使得𝑥2+𝑥+1<0”的否定是“∀𝑥∈𝑅，都有𝑥2+𝑥+1≥0”；⑤“𝑥

>1”是“𝑥2+𝑥−2>0”的充分不必要条件．正确的是__________．16.设函数𝐟(𝐱)=𝐞𝐱+𝐞−𝐱−𝟏lg(𝐱𝟐+𝟏)，则使得𝐟(𝟐𝐱+𝟏)<𝐟(𝐱−𝟐)成立的x的取值范围是4____________.四、解答题17.设𝑓(𝑥)=lo

g𝑎(1+𝑥)+log𝑎(3−𝑥)(𝑎>0且𝑎≠1)，𝑓(1)=2．(1)求a的值及𝑓(𝑥)的定义域；(2)求𝑓(𝑥)在区间[0,32]上的最大值．18.已知二次函数．(1)若𝑓(𝑥)+𝑡≥0对于∀𝑥

∈𝑅恒成立，求t的取值范围；(2)若𝑔(𝑥)=−𝑓(𝑥)+𝑚𝑥，当𝑥∈[1,2]时，若𝑔(𝑥)的最大值为2，求m的值．19.己知函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+𝜑)+𝑚(𝜔>0,−𝜋2<𝜑<0)满足下列4个条件中的3个，4个条件依次是：①𝜔=32；②周期𝑇=�

�；③过点(0,0)；④𝑓(𝜋3)=32。(1)写出所满足的3个条件的序号(不需要说明理由)，并求𝑓(𝑥)的解析式；5(2)求函数𝑓(𝑥)的图像与直线𝑦=1相邻两个交点间的最短距离．20.已知幂函数𝑓(𝑥)=(2𝑚2−6𝑚+5)𝑥𝑚+1为

偶函数．(1)求𝑓(𝑥)的解析式；(2)若函数𝑦=𝑓(𝑥)−2(𝑎−1)𝑥+1在区间(2,3)上为单调函数，求实数a的取值范围．21.已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+12𝑥，且𝑓(1)=52．(1)求a的值；(2)判定𝑓(𝑥)的奇偶性，并说明理由；6(3)令𝑔(𝑥)=�

�(𝑥)−𝑚，若𝑦=𝑔(𝑥)有两个不同的零点，写出实数m的值(此问不需要写过程)．已知𝑓(𝑥)是定义域为R的奇函数，且当𝑥1<𝑥2时，(𝑥1−𝑥2)[𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)]>0，设p：“𝑓(𝑚2+3)+𝑓(12−8𝑚

)<0”．(1)若p为真，求实数m的取值范围；(2)设q：集合𝐴={𝑥|(𝑥+1)(4−𝑥)≤0}与集合𝐵={𝑥|𝑥<𝑚}的交集为{𝑥|𝑥≤−1}，若𝑝∧𝑞为假，𝑝∨𝑞为真，求实数

m的取值范围一、单项选择题1.形如𝑦=𝑏|𝑥|−𝑐(𝑐>0,𝑏>0)的函数因其函数图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”.若函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑥+1(𝑎>0且𝑎≠1)有最小值，则当𝑐=1,𝑏=1

时的“囧函数”与函的图象交点个数为()A.1B.2C.4D.6【答案】C【解析】∵函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑥+1(𝑎>0,𝑎≠1)有最小值，∴𝑎>1，∵当𝑐=1,𝑏=1时，𝑦=𝑏|𝑥|−𝑐=1|𝑥|−1，画出函数𝑦=1|𝑥|−1与𝑦

=log𝑎|𝑥|的图象在同一坐标系数内的图象：7∴结合图形，得到交点个数有4个．故选C2.函数𝑓(𝑥)=2𝑥2−𝑚𝑥+3，在(−∞,−2]上单调递减，在(−2,+∞)上单调递增，则𝑓(1)=(

)A.−3B.7C.13D.不能确定【答案】C【解析】函数𝑓(𝑥)=2𝑥2−𝑚𝑥+3在(−∞,−2]上单调递减，在(−2,+∞)上单调递增，所以对称轴为𝑥=𝑚4=−2，所以𝑚=−8，所以𝑓(𝑥)=2𝑥2+8𝑥+3，所以𝑓(1)=2+8+3=13．故选

C．3.函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2−(𝑎−1)𝑥−3在区间[−1,+∞)上是增函数，则实数a的取值范围是()A.(−∞,13]B.(−∞,0)C.(0,13]D.[0,13]【答案】D【解析】当𝑎=0时，𝑦=𝑥−3符合题意，当𝑎≠0时，函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2−

(𝑎−1)𝑥−3是二次函数，对称轴为𝑥=𝑎−12𝑎，∴二次函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2−(𝑎−1)𝑥−3在[−1,+∞)上是增函数，8∴{𝑎>0𝑎−12𝑎≤−1．解得：0<𝑎≤13．则a的范围为[0,13]．故选D．

4.已知奇函数𝑓(𝑥)满足𝑓(𝑥+2)=𝑓(−𝑥)，当𝑥∈(0,1)时，𝑓(𝑥)=3𝑥，则𝑓(log312)=A.43B.−43C.34D.34【答案】B【解析】∵2<log312<3，∴0<log312−2<1，∴𝑓(log312)=𝑓(log312−2+2)=𝑓(

2−log312)=−𝑓(log312−2)=−3log312−2=−129=−43，故选B．二、多项选择题5.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数𝑦=𝐴sin𝜔𝑡，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数𝑓(𝑥

)=sin𝑥+12sin2𝑥，则下列结论正确的是()A.2𝜋是𝑓(𝑥)的一个周期；B.𝑓(𝑥)在[0,2𝜋]上有3个零点；C.𝑓(𝑥)的最大值为3√34；D.𝑓(𝑥)在[0,𝜋2]上是增函数．【答案】ABC【解

析】∵𝑓(𝑥+2𝜋)=sin(𝑥+2𝜋)+12𝑠𝑖𝑛2(𝑥+2𝜋)=𝑠𝑖𝑛𝑥+12𝑠𝑖𝑛2𝑥，A正确；由𝑓(𝑥)=0得到𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜

𝑠𝑥=0，∴𝑠𝑖𝑛𝑥=0或1+𝑐𝑜𝑠𝑥=0，∴𝑥=𝑘𝜋，或𝑥=𝜋+2𝑘𝜋，𝑘∈𝑍，∴函数𝑓(𝑥)在[0,2𝜋]上有三个零点0，𝜋，2𝜋，B正确；9∵𝑓′(𝑥)=𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑐𝑜𝑠2𝑥，∴当时，𝑓′(𝑥)=0，且当时𝑓′(𝑥)

>0，当时，𝑓′(𝑥)<0，∴𝑓(𝑥)在时取得最大值，，C正确，由上述求解知函数在上一定递减，D错误．故选ABC．6.下列命题中，真命题的是()A.𝑦=sin|𝑥|的图象与𝑦=sin𝑥的图象关于y轴对称B.𝑦=cos(−𝑥)的图象与𝑦=co

s|𝑥|的图象相同C.𝑦=sin|𝑥|的图象与𝑦=sin(−𝑥)的图象关于x轴对称D.𝑦=cos𝑥的图象与𝑦=cos(−𝑥)的图象相同【答案】BD【解析】对于A，是偶函数，而为奇函数，故与的图象不关于y轴对称，故A错误；对于B，，，即其图象相同，故B正

确；对于C，当𝑥<0时，，即两图象相同，故C错误；对于D，，故这两个函数图象相同，故D正确，故选BD．7.已知函数𝑓(𝑥)=(sin𝑥+cos𝑥)2−2√3cos2𝑥+√3，则下列结论正确的是()．A.函数的最小正周期为𝜋B.函

数的最大值是3C.函数的单调增区间为[𝑘𝜋−𝜋12,𝑘𝜋+5𝜋12](𝑘∈𝑍)D.(𝜋6,0)是函数的一个对称中心【答案】ABC10【解析】因为函数𝑓(𝑥)=(𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜

𝑠𝑥)2−2√3cos2𝑥+√3=sin2𝑥+cos2𝑥+2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥−2√3cos2𝑥+√3=2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥−2√3cos2𝑥+√3+1=𝑠𝑖𝑛2𝑥−√3𝑐𝑜𝑠2𝑥+1=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥−𝜋3

)+1，对A，它的周期为2𝜋2=𝜋，故A正确；对B，计算得𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥−𝜋3)+1，所以函数的最大值为3，故B正确；对C，函数的单调增区间为，即，故C正确；对D，令，计算得𝑓(𝑥)=1，故D错

误，故选：ABC．8.已知函数，给出下述论述，其中正确的是()A.当𝑎=0时，𝑓(𝑥)的定义域为B.𝑓(𝑥)一定有最小值；C.当𝑎=0时，𝑓(𝑥)的值域为R；D.若𝑓(𝑥)在区间上单调递增，则实数a的取值范围是{𝑎|𝑎≥−4}

【答案】AC【解析】对A，当𝑎=0时，解𝑥2−1>0有，故A正确；对B，当𝑎=0时，𝑓(𝑥)=lg(𝑥2−1)，此时，𝑥2−1∈(0,+∞)，此时𝑓(𝑥)=lg(𝑥2−1)值域为R，故B错误；对C，同B，故C正确；对D，若𝑓(𝑥)在区间上单调递

增，此时𝑦=𝑥2+𝑎𝑥−𝑎−1对称轴.解得𝑎≥−4．但当𝑎=−4时𝑓(𝑥)=lg(𝑥2−4𝑥+3)在𝑥=2处无定义，故D错误．故选AC．9.已知函数𝑓(𝑥)=sin(2𝑥+3𝜋2)(𝑥∈𝑅)，则下列结论正确的是()11A.函数𝑓

(𝑥)的最小正周期为𝜋B.函数𝑓(𝑥)是偶函数C.函数𝑓(𝑥)的图象关于直线𝑥=𝜋4对称D.函数𝑓(𝑥)在区间[0,𝜋2]上是增函数【答案】ABD【解析】∵𝑓(𝑥)=sin(2𝑥+3𝜋2)=−𝑐𝑜𝑠2𝑥，∴函数𝑓(𝑥)的最小正周期为𝜋

，A正确；函数𝑓(𝑥)是偶函数B正确；∵𝑓(0)=−1，𝑓(𝜋2)=1，∴𝑓(0)≠𝑓(𝜋2)，∴函数𝑓(𝑥)的图象关于直线𝑥=𝜋4对称是错误的，故C错，∵0≤𝑥≤𝜋2，故0≤2𝑥≤𝜋，而𝑦=𝑐

𝑜𝑠𝑥在[0,𝜋]单调递减，∴𝑓(𝑥)=−𝑐𝑜𝑠2𝑥在区间[0,𝜋2]上是增函数，故D正确．故选ABD．10.下列命题中正确的是()A.命题“∃𝑥0≥0,𝑥0<sin𝑥0”的否定是“∀𝑥≥0,𝑥≥sin𝑥”B.若函数𝑓(�

�)在区间(𝑎,𝑏)上单调递增，则𝑓′(𝑥)>0在区间(𝑎,𝑏)上恒成立C.“𝑥<0”是“不等式1𝑥<1成立”的必要不充分条件D.若对任意𝑥1,𝑥2∈𝑅(𝑥1≠𝑥2)都满足𝑓(𝑥2)−𝑓(

𝑥1)𝑥2−𝑥1>0，则函数𝑓(𝑥)是R上的增函数【答案】AD【解析】对𝐴.命题“∃𝑥0≥0,𝑥0<sin𝑥0”的否定是“∀𝑥≥0,𝑥≥sin𝑥”，正确；对𝐵.函数𝑦=𝑥3在区间(−1,1)上单调递增，但在区间(𝑎,𝑏)上�

�′(𝑥)⩾0，故B不正确；对𝐶.不等式1𝑥<1⇔𝑥−1𝑥>0⇔𝑥(𝑥−1)>0⇔𝑥<0或𝑥>1，所以“𝑥<0”是“不等式1𝑥<1成立”的充分不必要条件，故C不正确；12D.若对任意𝑥1,𝑥2∈𝑅(�

�1≠𝑥2)都满足𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥1)𝑥2−𝑥1>0，则，即若𝑥2>𝑥1，则𝑓(𝑥2)>𝑓(𝑥1)，所以函数𝑓(𝑥)是R上的增函数，D正确．故选AD．11.下列说法正确的是()．A.分针每小时旋转2𝜋弧度B.在

△𝐴𝐵𝐶中，若sin𝐴=sin𝐵，则𝐴=𝐵C.在同一坐标系中，函数𝑦=sin𝑥的图象和函数𝑦=𝑥的图象有三个公共点D.函数𝑓(𝑥)=sin𝑥1+cos𝑥是奇函数【答案】BD【解析】A选项中，分针为顺时针旋转，每小时应旋转−

2𝜋弧度，故A错误;B选项中，由正弦定理𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵可知，若sin𝐴=sin𝐵，则𝑎=𝑏，所以𝐴=𝐵，故B正确;C选项中，设𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑥，𝑓′(�

�)=𝑐𝑜𝑠𝑥−1⩽0，𝑓(𝑥)在R单调递减，则函数𝑓(𝑥)在R上最多只有一个零点，故函数𝑦=sin𝑥的图象和函数𝑦=𝑥的图象至多有一个交点，故C错误．D选项中，∵cos𝑥≠−1，∴

𝑥≠(2𝑘+1)𝜋，𝑘∈𝑍，∴𝑓(𝑥)的定义域关于原点对称，又，∴𝑓(𝑥)为奇函数，故D正确．故选BD．12.函数𝑓(𝑥)在[𝑎,𝑏]上有定义，若对任意𝑥1,𝑥2∈[𝑎,𝑏]，有𝑓(𝑥1+𝑥22)≤12[𝑓(𝑥

1)+𝑓(𝑥2)]则称𝑓(𝑥)在[𝑎,𝑏]上具有性质𝑃.设𝑓(𝑥)在[1,3]上具有性质P，则下列说法错误的是：()A.𝑓(𝑥)在[1,3]上的图像是连续不断的；B.𝑓(𝑥2)在[1,√3]上具有性质P；C.若𝑓(𝑥)在𝑥=2处取得最大值1，则𝑓(𝑥)=

1，𝑥∈[1,3]；D.对任意𝑥1,𝑥2,𝑥3,𝑥4∈[1,3]，有𝑓(𝑥1+𝑥2+𝑥3+𝑥44)≤14[𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)+𝑓(𝑥3)+𝑓(𝑥4)]【答案】AB13【解析】对于A、反例𝑓(𝑥)={𝑥2,1⩽𝑥<310,

𝑥=3，此函数满足性质P但不连续，因此A错误；对于B、函数𝑓(𝑥)=−𝑥具有该性质，但是函数𝑓(𝑥2)=−𝑥2不具有该性质，因此B错误；对于C、因为对于任意𝑥∈[1,3]，则4−𝑥∈

[1,3]，而函数𝑓(𝑥)在[1,3]上具有性质P，所以𝑓(2)=𝑓(𝑥+(4−𝑥)2)⩽12[𝑓(𝑥)+𝑓(4−𝑥)]．又因为函数𝑓(𝑥)在𝑥=2处取得最大值1，所以{𝑓(𝑥)+𝑓(4−𝑥)⩾2𝑓(𝑥)⩽𝑓(𝑥)max=1𝑓(

4−𝑥)⩽𝑓(𝑥)max=1，所以𝑓(𝑥)=1，因此C正确；对于D、因为对任意𝑥1,𝑥2,𝑥3,𝑥4∈[1,3]，所以12(𝑥1+𝑥2)∈[1,3]，12(𝑥3+𝑥4)∈[1,3]．又因为函数𝑓(𝑥)在[1,3]上具有性质P，所以𝑓(𝑥1+𝑥2+𝑥3+�

�44)=𝑓(12(𝑥1+𝑥2)+12(𝑥3+𝑥4)2)⩽12[𝑓(𝑥1+𝑥22)+𝑓(𝑥3+𝑥42)]⩽12{12[𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)]+12[𝑓(𝑥3)+𝑓(𝑥4)]}⩽14[𝑓(𝑥1)+𝑓(�

�2)+𝑓(𝑥3)+𝑓(𝑥4)]，因此D正确．故选AB．三、填空题13.已知函数𝑓(𝑥)=12𝑥−22𝑥+1，则𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)+1是________函数(从“奇”，“偶”，“非奇非偶”及“既是奇函数

又是偶”中选择一个填空)，不等式𝑓(𝑥2−𝑥)+𝑓(4𝑥−10)≤−2的解集为________．【答案】奇；[−5,2]【解析】函数𝑦=12𝑥,𝑦=−22𝑥+1单调递增，故𝑓(𝑥)=12𝑥−22𝑥+1单调递增；𝑔(

𝑥)=𝑓(𝑥)+1=12𝑥−22𝑥+1+1=12𝑥+2𝑥−12𝑥+1，函数单调递增；𝑔(−𝑥)=12(−𝑥)+2−𝑥−12−𝑥+1=−12𝑥−2𝑥−12𝑥+1=−𝑔(𝑥)，故𝑔(𝑥)是奇函数；14𝑓(𝑥2−𝑥)

+𝑓(4𝑥−10)≤−2，即𝑔(𝑥2−𝑥)≤−𝑔(4𝑥−10)=𝑔(10−4𝑥)．故𝑥2−𝑥≤10−4𝑥，解得−5≤𝑥≤2．故答案为奇；[−5,2]．14.已知𝑓(𝑥)是定义

在(−∞,+∞)上的偶函数，且在(−∞,0]上是增函数，设𝑎=𝑓(log47)，𝑏=𝑓(log123)，𝑐=𝑓(0.2−0.6)，则a，b，c的大小关系是____________．【答案】𝑐<𝑏<

𝑎【解析】解：𝑓(𝑥)是定义在(−∞,+∞)上的偶函数，且在(−∞,0]上是增函数，故𝑓(𝑥)在[0,+∞)上是减函数，∵𝑎=𝑓(log47)，𝑏=𝑓(𝑙𝑜𝑔123)，𝑐=𝑓(0.2−0.6)，∵log4

7=log2√7>2，∵𝑙𝑜𝑔123=−log23=−log49<−1，0.2−0.6>1，∴|log47|>|log23|>|0.2−0.6|>0，∴𝑓(0.2−0.6)<𝑓(𝑙𝑜𝑔123)<𝑓(log47)，即𝑐<𝑏<𝑎，故答案为：𝑐<𝑏<𝑎．15.下

列几个命题①方程𝑥2+(𝑎−3)𝑥+𝑎=0有一个正实根，一个负实根，则𝑎<0；②函数𝑦=√𝑥2−1+√1−𝑥2是偶函数，但不是奇函数；③命题“若𝑥2>1，则𝑥>1”的否命题为“若𝑥2>1，则𝑥≤1”；④命题“∀�

�∈𝑅，使得𝑥2+𝑥+1<0”的否定是“∀𝑥∈𝑅，都有𝑥2+𝑥+1≥0”；⑤“𝑥>1”是“𝑥2+𝑥−2>0”的充分不必要条件．正确的是__________．【答案】①⑤15【解析】①∵方程𝑥2+(𝑎−3)𝑥+𝑎=0的有一个正实根，一个负实根

，∴根据韦达定理，得𝑎<0，命题正确；②∵要使函数𝑦=√𝑥2−1+√1−𝑥2有意义，∴{𝑥2−1≥01−𝑥2≥0,∴解得𝑥=±1，∴𝑦=0(𝑥=±1)，∴函数既是偶函数，又是奇函数，故命题错误；③命题“若𝑥2>1，则𝑥>1”的否命题为“若𝑥2≤1，则𝑥≤1”，故

命题错误；④∵全称命题的否定为特称命题，∴命题“∀𝑥∈𝑅，使得𝑥2+𝑥+1<0”的否定是“∃𝑥∈𝑅，都有𝑥2+𝑥+1≥0”，故命题错误；⑤∵𝑥2+𝑥−2>0的解为𝑥<−2或𝑥>1，∴“𝑥>1”是“𝑥2+𝑥−2>0”

的充分不必要条件，故命题正确．∴正确的命题为①⑤．故答案为①⑤．16.设函数𝐟(𝐱)=𝐞𝐱+𝐞−𝐱−𝟏lg(𝐱𝟐+𝟏)，则使得𝐟(𝟐𝐱+𝟏)<𝐟(𝐱−𝟐)成立的x的取值范围是_____

_______.【答案】(−3,−12)∪(−12,13)【解析】∵𝑓(𝑥)=𝑒𝑥+𝑒−𝑥−1lg(𝑥2+1)，故𝑥≠0，∴𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥)即𝑓(𝑥)为偶函数，当𝑥>0时，𝑓(𝑥)单调递增，由𝑓

(2𝑥+1)<𝑓(𝑥−2)可得|2𝑥+1|<|𝑥−2|且2𝑥+1≠0，𝑥−2≠0，所以|2𝑥+1|<|𝑥−2|且𝑥≠2，𝑥≠−12，16所以4𝑥2+4𝑥+1<𝑥2−4𝑥+4且𝑥≠2，𝑥≠−1

2，解可得，−3<𝑥<13且𝑥≠−12．故答案为：(−3,−12)∪(−12,13)．四、解答题17.设𝑓(𝑥)=log𝑎(1+𝑥)+log𝑎(3−𝑥)(𝑎>0且𝑎≠1)，𝑓(1)=2．(1)求a的值及𝑓(�

�)的定义域；(2)求𝑓(𝑥)在区间[0,32]上的最大值．【答案】(1)∵𝑓(1)=2，∴log𝑎(1+1)+log𝑎(3−1)=log𝑎4=2，解得𝑎=2(𝑎>0,𝑎≠1)，由{1+𝑥>03−𝑥>0，得𝑥∈(−1,3)，∴函数

𝑓(𝑥)的定义域为(−1,3)；(2)𝑓(𝑥)=log2(1+𝑥)+log2(3−𝑥)=log2(1+𝑥)(3−𝑥)=log2[−(𝑥−1)2+4]∴当𝑥∈[0,1]时，𝑓(𝑥)是增函数

；当𝑥∈(1,32]时，𝑓(𝑥)是减函数．所以函数𝑓(𝑥)在[0,32]上的最大值是𝑓(1)=log24=2．18.已知二次函数．(1)若𝑓(𝑥)+𝑡≥0对于∀𝑥∈𝑅恒成立，求t的取值范围；(2)若𝑔(𝑥)=−𝑓(𝑥

)+𝑚𝑥，当𝑥∈[1,2]时，若𝑔(𝑥)的最大值为2，求m的值．17【答案】解：(1)𝑓(𝑥)+𝑡⩾0对于∀𝑥∈𝑅恒成立，即2𝑥2−3𝑥+𝑡⩾0对于∀𝑥∈𝑅恒成立，∴𝛥=(−3)2−8𝑡⩽0，解得𝑡⩾98；(2)若𝑔(

𝑥)=−𝑓(𝑥)+𝑚𝑥=−2𝑥2+(3+𝑚)𝑥，二次函数开口向下，对称轴𝑥=3+𝑚4，在𝑥∈[1,2]时，𝑔(𝑥)的最大值为2，当3+𝑚4⩽1，即𝑚⩽1时，𝑔(𝑥)max=𝑔(1)=−2+3+𝑚

=2，解得𝑚=1；当1<3+𝑚4<2，即1<𝑚<5时，𝑔(𝑥)max=𝑔(3+𝑚4)=𝑚2+6𝑚+98=2，解得𝑚=1(舍)或𝑚=−7(舍)；当3+𝑚4⩾2，即𝑚⩾5时，𝑔(𝑥)m

ax=𝑔(2)=−8+2𝑚+6=2，解得𝑚=2(舍)；综上所述，m的值为1，即𝑚=1．19.己知函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+𝜑)+𝑚(𝜔>0,−𝜋2<𝜑<0)满足下列4个条件中的3个，4个条件依次是：①𝜔=3

2；②周期𝑇=𝜋；③过点(0,0)；④𝑓(𝜋3)=32。(1)写出所满足的3个条件的序号(不需要说明理由)，并求𝑓(𝑥)的解析式；(2)求函数𝑓(𝑥)的图像与直线𝑦=1相邻两个交点间的最短距离．【答案】解：(1)所满足的三个条件是：②③④，∵𝑓(

𝑥)的周期𝑇=𝜋，∴𝜔=2，∴𝑓(𝑥)=sin(2𝑥+𝜑)+𝑚，又过点(0,0)，且𝑓(𝜋3)=32，∴sin𝜑+𝑚=0，sin(2𝜋3+𝜑)+𝑚=32，∴sin(2𝜋3+𝜑)−sin𝜑=32，18∴√32cos𝜑−12sin𝜑−sin𝜑=32

，∴√3(12cos𝜑−√32sin𝜑)=32，∴sin(𝜋6−𝜑)=√32，又−𝜋2<𝜑<0，∴𝜑=−𝜋6，又sin𝜑+𝑚=0，∴−12+𝑚=0，∴𝑚=12，∴𝑓(𝑥)=sin(2𝑥−𝜋6)+12．注：如果学生选取条件①③④，并往下做：∵𝜔=32

，∴𝑓(𝑥)=sin(32𝑥+𝜑)+𝑚，又过点(0,0)，且𝑓(𝜋3)=32，∴sin𝜑+𝑚=0，sin(𝜋2+𝜑)+𝑚=32，∴sin(𝜋2+𝜑)−sin𝜑=32，∴cos𝜑−sin𝜑=32，∴√2sin(𝜋4−𝜑)=32，又∵√2<32，故此种选择不满足

；(2)由𝑓(𝑥)=sin(2𝑥−𝜋6)+12=1，得sin(2𝑥−𝜋6)=12，∴2𝑥−𝜋6=2𝑘𝜋+𝜋6，或2𝑥−𝜋6=2𝑘𝜋+5𝜋6，𝑘∈𝑍，∴𝑥=𝑘𝜋+𝜋6，或𝑥=𝑘𝜋+𝜋

2，𝑘∈𝑍，所以，函数𝑓(𝑥)的图象与直线𝑦=1相邻两个交点间的最短距离为𝜋2−𝜋6=𝜋3．20.已知幂函数𝑓(𝑥)=(2𝑚2−6𝑚+5)𝑥𝑚+1为偶函数．(1)求𝑓(𝑥)的解析式；(2)若函数𝑦=𝑓(𝑥)−2(𝑎−1

)𝑥+1在区间(2,3)上为单调函数，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)由𝑓(𝑥)为幂函数知2𝑚2−6𝑚+5=1，即𝑚2−3𝑚+2=0，得𝑚=1或𝑚=2，当𝑚=1时，𝑓(𝑥)=𝑥2，符合题意；1

9当𝑚=2时，𝑓(𝑥)=𝑥3，为奇函数，不合题意，舍去．∴𝑓(𝑥)=𝑥2;(2)由(1)得𝑦=𝑓(𝑥)−2(𝑎−1)𝑥+1=𝑥2−2(𝑎−1)𝑥+1，即函数的对称轴为𝑥=𝑎−1，由题意知函数在(2,3)上为单调函数，∴对

称轴𝑎−1≤2或𝑎−1≥3，即𝑎≤3或𝑎≥4．21.已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+12𝑥，且𝑓(1)=52．(1)求a的值；(2)判定𝑓(𝑥)的奇偶性，并说明理由；(3)令𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑚，若𝑦=𝑔(𝑥)有两个不同的零点，写出实数m的值(

此问不需要写过程)．【答案】解：(1)因为𝑓(1)=52，所以52=𝑎+12，所以𝑎=2；(2)由(1)得𝑓(𝑥)=2𝑥+12𝑥，所以𝑓(𝑥)的定义域为(−∞,+∞)，𝑓(−𝑥)=2−𝑥+12

−𝑥=12𝑥+2𝑥，所以𝑓(𝑥)=𝑓(−𝑥)，所以𝑓(𝑥)为偶函数；(3)𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑚，因为𝑦=𝑔(𝑥)有两个不同的零点，即𝑔(𝑥)=0，即𝑓(𝑥)=𝑚，设{𝑦=𝑓(𝑥)𝑦=𝑚,即𝑦=𝑓

(𝑥)图象与𝑦=𝑚有两个不同的交点，由(2)得𝑓(𝑥)=2𝑥+12𝑥为偶函数，由2𝑥+12𝑥≥2√2𝑥12𝑥=2，等号当且仅当𝑥=0时取等号，20作出函数图象：由图得𝑚>2时，恰有两个交点，即有两个不同的零点．2

2.已知𝑓(𝑥)是定义域为R的奇函数，且当𝑥1<𝑥2时，(𝑥1−𝑥2)[𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)]>0，设p：“𝑓(𝑚2+3)+𝑓(12−8𝑚)<0”．(1)若p为真，求实数m的取值范围；(2)设q：集合𝐴={𝑥|(𝑥+1)(

4−𝑥)≤0}与集合𝐵={𝑥|𝑥<𝑚}的交集为{𝑥|𝑥≤−1}，若𝑝∧𝑞为假，𝑝∨𝑞为真，求实数m的取值范围．【答案】解：(1)∵函数𝑓(𝑥)是奇函数，∴𝑓(𝑥)+𝑓(−𝑥)=0，∵当𝑥1<𝑥2时，(𝑥1−𝑥2)[𝑓(𝑥1)−𝑓(

𝑥2)]>0，∴函数𝑓(𝑥)为R上的增函数．∵𝑓(𝑚2+3)+𝑓(12−8𝑚)<0，∴𝑓(𝑚2+3)<−𝑓(12−8𝑚)=𝑓(8𝑚−12)，∴𝑚2+3<8𝑚−12，若p为真，则𝑚2−8𝑚+15<0，解得3<𝑚<5．

(2)𝐴={𝑥|𝑥≤−1或𝑥≥4}，若q为真，则−1<𝑚≤4．∵𝑝∧𝑞为假，𝑝∨𝑞为真，∴𝑝、q一真一假．若p真q假，则4<𝑚<5；若p假q真，则−1<𝑚≤3．综上，实数m的取值范围是(−1,3]∪(4，5)