【文档说明】广东省江门市2023-2024学年高二下学期7月期末考试 数学 Word版含解析.docx，共(23)页，1.390 MB，由小赞的店铺上传

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江门市2024年普通高中高二调研测试（二）数学本试卷共6页，19小题，满分150分，测试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．2．作答选择题时，选出每小题答案后

，用铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉

原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷与答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知函数()fxx=

，则()2f=（）A.22B.2C.22D.242.一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了6次试验，收集数据如下表所示，建立加工时间关于零件数的一元线性回归模型，则回归直线必过点（）零件数x个5060708090100加工时间ymin88951

02108115122A.()75,102B.()75,105C.()80,108D.()80,1053.在等差数列na中，526aa−=，若直线l过点(),mMma，()(),,,NnNnamnmn，则直线l的斜率为（）A.3−B.2−C.2D.34.由伦敦著名建筑事务所Steyn

Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品，若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线()222210,0yxabab−=下支的一部分，离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A.3yx=B.33yx=C.yx=

D.2yx=5.某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩X服从正态分布()295,8N，将考试成绩从高到低，按照16%，34%，34%，16%的比例分为A，B，C，D四个等级．若小明的数学成绩为105分，则属于等级（

）（附：()0.68PX−+，()220.95,PX−+，()330.99PX−+）A.AB.BC.CD.D6.已知曲线lnyxx=+在点()1,1处的切线与曲线

()221yaxax=+++有且仅有一个公共点，则实数a的值是（）A.8−B.0C.0或8D.87.已知数列na的前n项和为nS，且115(1)222nnnS+=−+−，设2nnnba=−，则nb的前11项和为（）A.1−B.0C.1D.28.设事件A，B满足

AB，且()0.3PA=，()0.6PB=，则()PBA=（）A.14B.12C.37D.47二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知椭圆22

:11xyCmm+=+的左、右焦点分别为1F，2F，点P是椭圆C上任意一点（非长轴的顶点），则下列说法正确的是（）A.椭圆C焦点坐标为()1,0B.当1m=时，椭圆C的离心率为12C.当3m=时，12PFF△周长为6D.若椭圆C的离心率为12，则

12PFF△的面积的最大值是2310.在正方体中，下列说法正确的是（）A.正方体的8个顶点可以确定28条不同的线段B.以正方体的顶点为顶点的直三棱柱有12个C.以正方体顶点为顶点的三棱锥有64个D.以正方

体的顶点为顶点的四棱锥有48个11.在正项无穷数列na中，若对任意的*nN，都存在*Nm，使得()22nnmnmaaa++=，则称na为m阶等比数列．在无穷数列nb中，若对任意的*nN，都存在*Nm，使得22n

nmnmbbb+++=，则nb称为m阶等差数列，下列说法正确的是（）A.若na为1阶等比数列，12354aaa++=，345516aaa++=，则na为等比数列且公比2B.若nb为1阶等差数列，nb共有30项，其中奇数项之和为20，偶数项之和为50，则nb为等差数列且公

差为2C.若na为m阶等比数列，则lnna为m阶等差数列D.若na既是3阶等比数列，又是4阶等比数列，则na是等比数列三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.()61x−展开式中4x的系数为______.13.已知直线

30xmy−−=与圆22:4Cxy+=交于A，B两点，写出满足“ABC面积为3”的m的一个值____________．14.丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等的的的式方面留下了很多宝贵的成果．设函数()fx在(),ab上的导函数为()f

x，()fx在(),ab上的导函数为()fx，若在(),ab上()0fx恒成立，则称函数()fx在(),ab上为“凸函数”，已知()2eln2xmfxxxx=−−在()1,2上为“凸函数”，则实数m的取值范围是________

____．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列na满足11a=，12nnaa+=+，数列nb是正项等比数列，且417bb−=，238bb=．（1）求na，nb的通项公式；（2）从下

面①②两个条件中选择一个作为已知条件，求数列nc的前n项和nS．①1221lognnncab+=；②nnncab=．16.为了对高中生进行职业规划教育，让高中生了解信息技术发展的前沿，体验典型人工智能技术的应用感受

和人工智能对学习和生活的影响，激发学生对信息技术未来的追求，某市计划在高一年级推广开设人工智能研究性学习课程．为调研学生对人工智能的兴趣，随机从某校高一年级学生中抽取了100人进行调查，其中数据如下表：有兴趣没兴趣合计男生48250女生321850合计802010

0（1）依据小概率值0.001=独立性检验，分析高一学生对人工智能有兴趣与性别是否有关？（2）以该100名高一学生对人工智能有兴趣的频率作为全市高一学生对人工智能有兴趣的概率，从全市的高一学生中随机抽取

5名学生，记X为这5名学生中对人工智能有兴趣的学生人数，求X的期望与方差．参考公式：()()()()()22nadbcabcdacbd−=++++，nabcd=+++．参考数据：0050.010.0050.001的.x3.8416.6357.87910.82817.如图，

四边形11ACCA与四边形11BCCB是全等的矩形，ACBC⊥，122AAAC==，P为1AA上的动点．（1）若P为1AA的中点，求证：⊥CP平面11PBC；（2）若直线1BP与平面11ACCA所成角的正切值为35，求平面1CPB与平面11PBC夹角的余弦

值．18.某学校高二年级乒乓球社团举办了一次乒乓球比赛，进入决赛的9名选手来自于3个不同的班级，三个班级的选手人数分别是2，3，4，本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名选手进行8场比赛，每场比赛采取5局3胜制，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束，根据积分选出最后的冠军．如

果最终积分相同，则同分选手加赛决出排名，积分规则如下：比赛中以3:0或3:1取胜的选手积3分，失败的选手积0分；而在比赛中以3:2取胜的选手积2分，失败的选手积1分．已知第6场是甲、乙之间的比赛，设每局比赛甲取胜的概率为()01pp．（1）若进入决赛

的9名选手获得冠亚军的概率相等，则比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级的概率是多少？（2）在第6场比赛中，当23p=时，设甲所得积分为X，求X的分布列及期望（3）在第6场比赛中，记甲3:1取胜的概率为()fp，求()fp的最大值．19.已知函数()()lnfxxax=−，Ra

．（1）令()()()0hxafxa=，讨论()hx的单调性；（2）若1x=是()fx的极值点，函数()()2gxfxk=−有且仅有一个零点，设1x和2x为两个不相等的正数，且满足()()12fxfx=．①求k的取值范围；②求证：

12exx+．江门市2024年普通高中高二调研测试（二）数学本试卷共6页，19小题，满分150分，测试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．2．作答选

择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案

，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷与答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知函数()fxx=，

则()2f=（）A.22B.2C.22D.24【答案】D【解析】【分析】求出函数()fx的导数，再代入求出导数值.【详解】函数()fxx=，求导得1()2fxx=，所以12(2)422f==.故选：D.2.一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了6次试验，收集

数据如下表所示，建立加工时间关于零件数的一元线性回归模型，则回归直线必过点（）零件数x个5060708090100加工时间ymin8895102108115122A.()75,102B.()75,105C.()80,108D.(

)80,105【答案】B【解析】【分析】求出x，y，根据回归直线方程必过样本中心点(),xy，即可判断.【详解】依题意可得()15060708090100756x=+++++=，()188951021081151221056y=+++++=，所以回归直线必过点()75,105.故选：B3

.在等差数列na中，526aa−=，若直线l过点(),mMma，()(),,,NnNnamnmn，则直线l的斜率为（）A.3−B.2−C.2D.3【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，求出等差数列公差，再利用公差的几

何意义求解即得.【详解】在等差数列na中，526aa−=，则公差52252aad−==−，所以直线l的斜率为2mnaamdn−==−.故选：C.4.由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南

非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品，若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线()222210,0yxabab−=下支的一部分，离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A.3yx=B.33yx=C.yx=

D.2yx=【答案】B【解析】【分析】求出ba的值，可得出双曲线的渐近线方程.详解】由已知可得22222213bbcaeaaa−===−=，因此，该双曲线的渐近线方程为1333ayxxxb===.故选：B.5.某校高二级学生参加期末

调研考试的数学成绩X服从正态分布()295,8N，将考试成绩从高到低，按照16%，34%，34%，16%的比例分为A，B，C，D四个等级．若小明的数学成绩为105分，则属于等级（）（附：()0.68PX−+，()220.95,PX−+

，()330.99PX−+）A.AB.BC.CD.D【答案】A【解析】【分析】根据正态分布的性质即可求解.【详解】数学测试成绩服从正态分布()295,8N，则95=，8=，由于,AD等级的概率

之和为()16%16%32%1PX+==−−+，所以1()()()0.162PXPXPX−−−=+==1()(87)(103)0.162PXPXPX−−===，而()()0.34,PXPX−=+=即(8795)(95103)0

.34,PXPX==故103X为A等级，95103X为B等级，8795X为C等级，87X为D等级，故105分为A等级．故选：A.【6.已知曲线lnyxx=+在点()1,1处的切线与曲线()221yaxax

=+++有且仅有一个公共点，则实数a的值是（）A.8−B.0C.0或8D.8【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，求出切线方程，再按0a=与0a分类讨论求解.【详解】函数lnyxx=+，求导得11yx=+，则1|2xy==，因此曲线lnyxx=+在点()1,1处的切线方程为12(1)y

x−=−，即21yx=−，当0a=时，曲线21yx=+与直线21yx=−平行，无公共点，则0a，曲线()221yaxax=+++是对称轴为22axa+=−的抛物线，因此直线21yx=−与曲线()221yaxax=+++有且仅有一个公共点，当且仅当()22121

yxyaxax=−=+++只有一个解，即220axax++=有相等实根，于是280aa=−=，则8a=.故选：D.7.已知数列na的前n项和为nS，且115(1)222nnnS+=−+−，设2nnnba=−，则nb的前11项和为（）A.1−B.0C

.1D.2【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用分组求和法，结合等比数列前n项和公式计算即得.【详解】依题意，nb的前11项和为21111121111152(12)(1)212(221222)S−−=

−+−−++−+=−.故选：A.8.设事件A，B满足AB，且()0.3PA=，()0.6PB=，则()PBA=（）A.14B.12C.37D.47【答案】C【解析】【分析】根据条件概率的公式结合已知条件分析判断.【详解】因为()0.3PA=，所以()0.7PA=.因为AB

，()0.6PB=，()()0.3PABPA==.()()()0.6PBPABPAB=+=，则()0.3PAB=.所以()0.33()()0.77PABPBAPA===.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知椭圆22:11xyCmm+=+的左、右焦点分别为1F，2F，点P是椭圆C上任意一点（非长轴的顶点），则下列说法正确的是（）A.椭圆C的焦点坐

标为()1,0B.当1m=时，椭圆C的离心率为12C.当3m=时，12PFF△的周长为6D.若椭圆C的离心率为12，则12PFF△的面积的最大值是23【答案】AC【解析】【分析】求出焦点坐标判断A；求出离心率、焦点三角形周期、面积最大值判断BCD.【详

解】椭圆22:11xyCmm+=+的长半轴长1am=+，短半轴长bm=，半焦距221cab=−=，对于A，椭圆C的焦点坐标为(1,0)，A正确；对于B，当1m=时，2a=，离心率12cea==，B错误；对于C，

当3m=时，2a=，则12PFF△的周长为226ac+=，C正确；对于D，椭圆C的离心率为12，即1121m=+，解得3m=，3b=，设000(,),0Pxyy，则12PFF△的面积12001||||||32SFFyyb

===，D错误.故选：AC.10.在正方体中，下列说法正确的是（）A.正方体8个顶点可以确定28条不同的线段B.以正方体的顶点为顶点的直三棱柱有12个C.以正方体的顶点为顶点的三棱锥有64个D.以正方体的顶点

为顶点的四棱锥有48个【答案】ABD【解析】【分析】利用几何组合计数问题，结合正方体及直三棱柱、三棱锥、四棱锥的构造特征，列式计算即得.【详解】对于A，每两点确定一条线段，则正方体的8个顶点可确定不同的线段有28C28=条，A正确；对于B，直三棱柱的两个底面三角形平行并且全等，因此直三棱

柱两底面在正方体相对面上，以正方形的顶点为顶点的三角形有4个，从而正方体的一组相对面对应的直三棱柱有4个，因此以正方体的顶点为顶点的直三棱柱有3412=个，B正确；对于C，正方体顶点任取4个点，共有48C70=种选法，其中四点共面的共有6个面和6个对角面共12种，因此

三棱锥共有701258−=个，C错误；对于D，由选项C，知正方体四点共面的情况有12种，每一种情况，余下每个点对应1个四棱锥，因此四棱锥共有12448=，D正确.故选：ABD.11.在正项无穷数列na中，若对任意的*

nN，都存在*Nm，使得()22nnmnmaaa++=，则称na为m阶等比数列．在无穷数列nb中，若对任意的*nN，都存在*Nm，使得22nnmnmbbb+++=，则的nb称为m阶等差数列，下列说

法正确的是（）A.若na为1阶等比数列，12354aaa++=，345516aaa++=，则na为等比数列且公比2B.若nb为1阶等差数列，nb共有30项，其中奇数项之和为20，偶数项之和为50，则nb为等差数

列且公差为2C.若na为m阶等比数列，则lnna为m阶等差数列D.若na既是3阶等比数列，又是4阶等比数列，则na是等比数列【答案】BCD【解析】【分析】对于A，根据题意可得na为正项等比数列，求出首项与

公比，再根据等比数列的前n项和公式即可得解；对于B，根据题意可得nb为等差数列，根据题意写出1352920bbbb+++=，2463050bbbb+++=，两式相减即可得解；对于C，由na为m阶等比数列，可得**N,Nnm

，使得()22nnmnmaaa++=成立，再根据m阶等差数列即可得出结论；对于D，根据na既是3阶等比数列，又是4阶等比数列，可得()()2*63nnnaaanN++=与()()2*84Nnnnaaan++=同时

成立，再结合等比数列的定义即可得出结论.【详解】对于A，因na为1阶等比数列，所以()221nnnaaa++=，则na为正项等比数列，设公比为q，则q为正数，由已知得()()2122151,451,16aqqaqqq++=++=两式相除得214q=，所以12q

=（12q=−舍去），故A错误．对于B，因为nb为1阶等差数列，则212nnnbbb+++=，则nb为等差数列.设公差为d．因为nb共有30项，其中奇数项之和为20，偶数项之和为50.则1352920bbbb+++=，2463050bbbb+++=，两式相减得到1530d

=，解得2d=.故B正确.为对于C，因为na为m阶等比数列，所以**N,Nnm，使得()22nnmnmaaa++=成立，所以()22lnlnnnmnmaaa++=，又20,0,0nnmnmaaa++，所以2lnln2lnnnmnmaaa+++=，即**2N,N,lnln2lnnn

mnmnmaaa+++=成立，所以lnna为m阶等差数列；故C正确．对于D，因为na既是3阶等比数列，又是4阶等比数列，所以()()2*63Nnnnaaan++=与()()2*84Nnnnaaan++=同时成立，所以()*363N

nnnnaanaa+++=与()*484Nnnnnaanaa+++=同时成立，又na的各项均为正数，所以对任意的*nN，数列()*36,,,Nnnnaaan++和数列()*48,,,Nnnnaaan++都是等比数列，由数列()*36,,,Nnnnaaan++

是等比数列，得()*147,,,Nnnnaaan+++也成等比数列，设𝑎𝑛+4𝑎𝑛=𝑞1>0(∀𝑛∈N*),𝑎𝑛+4𝑎𝑛+1=𝑞2>0(∀𝑛∈N*)，所以𝑎𝑛+1𝑎𝑛=𝑞1𝑞2>0(∀�

�∈N*)，所以na是等比数列．故D正确．故选：BCD．【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是通过给出一个新的概念来创设全新的问题情境，要求学生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息

迁移，达到灵活解题的目的，遇到新定义的问题，应耐心读题，分析新定义，弄清新定义的性质，按新定义的要求运算求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.()61x−展开式中4x的系数为______.【答案】15【解析】【分析】写出展开式的通项，即可得解.【详解】

二项式()61x−展开式的通项为()616C1rrrrTx−+=−（06r且Nr），所以()61x−展开式中4x的系数为()226C115−=．故答案为：15．13.已知直线30xmy−−=与圆22:4Cxy+=交于A，B两点，写出满足“ABC面积为3”的m

的一个值____________．【答案】0（答案不唯一）【解析】【分析】利用圆的弦长求法，结合面积可得方程求解即可.【详解】由圆22:4Cxy+=可知，圆心()0,0C，半径2R=，设圆心()0,0C到直线30

xmy−−=的距离为d，由垂径定理可知222224ABRdd=−=−，由ABC面积为3知：21124322ABddd=−=，解得1d=或3d=，则由点到直线的距离公式得：231dm−=+，当1d=时，有2311m−=+，解得：2m=，当3d=时，有23

31m−=+，解得：0m=，故答案为：0（取2,2,0−这三个中的任何一个都算对，答案不唯一）.14.丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数()fx在(),ab上的导函数为()fx，()

fx在(),ab上的导函数为()fx，若在(),ab上()0fx恒成立，则称函数()fx在(),ab上为“凸函数”，已知()2eln2xmfxxxx=−−在()1,2上为“凸函数”，则实数m的取值范围是___

_________．【答案】21e2m−【解析】【分析】根据给定的函数，求出()fx、()fx，再利用“凸函数”的定义求解即得.【详解】函数2()eln2xmfxxxx=−−，求导得()e1lnxfxxmx=−−−，1()exfxmx=−−，依题意，(

1,2)x，1()0exfxmx−恒成立，而函数1()exgxx=−在(1,2)上单调递增，21()(2)e2gxg=−，则21e2m−，所以实数m的取值范围是21e2m−.故答案为：21e2m−四、解答题：本题共5小题，共

77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列na满足11a=，12nnaa+=+，数列nb是正项等比数列，且417bb−=，238bb=．（1）求na，nb的通项公式；（2）从下面①②两个条件中选择一个作为已知条件，求数列nc的前n项和

nS．①1221lognnncab+=；②nnncab=．【答案】（1）21nan=−，12nnb−=（2）若选①21nnSn=+；若选②()2323=−+nnSn【解析】【分析】（1）依题意可得

na是以1为首项，2为公差的等差数列，即可求出na的通项公式，）根据等比数列的性质可得出关于1b、4b的方程组，解出这两个量的值，可求得数列nb的公比，进而可求得数列nb的通项公式；（2）若选①则11122121ncnn=−−+利用裂项相消法求得nS；若

选②则()1212nncn−=−，利用错位相减法可求得nS.【小问1详解】因为11a=，12nnaa+=+，即12nnaa+−=，所以na是以1为首项，2为公差的等差数列，所以21nan=−，由等比数列的性质可得14238bbbb==，由题意可得411414780,0bbbbb

b−==，解得1418bb==，所以等比数列na的公比为4312bqb==，所以1112nnnbbq--==.【小问2详解】若选①，()21122211log21log2nnnncabn−+==+()()1111212122121n

nnn==−+−−+，所以11111112335212121nnSnnn=−+−++−=−++L.若选②，()1212nnnncabn−==−，所以()0121123252212nnSn−=++++−，则()()121

21232232212nnnSnn−=+++−+−，两式相减得()()()()2112121212222212121212nnnnnSnn−−−−=++++−−=+−−−()()11242123223nnnnn+=+−−−=−−，因此()2323=−+nnSn；16.

为了对高中生进行职业规划教育，让高中生了解信息技术发展的前沿，体验典型人工智能技术的应用感受和人工智能对学习和生活的影响，激发学生对信息技术未来的追求，某市计划在高一年级推广开设人工智能研究性学习课程．为调研学生对人工智能

的兴趣，随机从某校高一年级学生中抽取了100人进行调查，其中数据如下表：有兴趣没兴趣合计男生48250女生321850合计8020100（1）依据小概率值0.001=的独立性检验，分析高一学生对人工

智能有兴趣与性别是否有关？（2）以该100名高一学生对人工智能有兴趣的频率作为全市高一学生对人工智能有兴趣的概率，从全市的高一学生中随机抽取5名学生，记X为这5名学生中对人工智能有兴趣的学生人数，求X的期望与方

差．参考公式：()()()()()22nadbcabcdacbd−=++++，nabcd=+++．参考数据：0.050.010.0050.001x3.84166357.87910.828【答案】（1）有关；（

2）期望4，方差45.【解析】【分析】（1）利用给定数表求出2的观测值，再与临界值比对即得.（2）求出频率，利用二项分布求出期望、方差.【小问1详解】零假设0H：高一学生对人工智能有兴趣与性别无关，由给定的数表，得220.0015050100(48180322)1610.828802x

−===，依据小概率值0.001=的独立性检验，推断0H不成立，即认为高一学生对人工智能有兴趣与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.001.小问2详解】由数表知，100名高一学生对人工智能有兴趣的频率为8041

005=，因此全市高一学生对人工智能有兴趣的概率为45，依题意，X的可能取值为0,1,2,3,4,5，4(5,)5XB，所以期望4()545EX==，方差414()5555DX==.17.如图，四边形11ACCA与四边形11BCCB是全等的矩形，ACBC⊥，122AAAC==，P为1A

A上的.【动点．（1）若P为1AA的中点，求证：⊥CP平面11PBC；（2）若直线1BP与平面11ACCA所成角的正切值为35，求平面1CPB与平面11PBC夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）135【解析】【分析】（1）由线面垂

直判定定理证明，（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解．【小问1详解】由题意知ACBC⊥，又四边形11BCCB为矩形，得1CCBC⊥，且1,CCACCAC=平面111,ACCACC平面11ACCA，所以BC⊥平面11A

CCA，又CP平面11ACCA，所以BCCP⊥.因为12AAAC=，点P为1AA的中点，所以ACAP=，所以π4APC=，同理11π4APC=，所以1π2CPC=，即1PCCP⊥.又由于11//BCBC，所以11BCCP⊥，且1111PCBCC=，

又1PC平面1111,PBCBC平面11PBC，所以⊥CP平面11PBC，【小问2详解】由（1）知，BC⊥平面11ACCA，又11//BCBC，故11BC⊥平面11ACCA，所以1CP是直线1BP在平面11ACCA内的射影，所以11

BPC就是直线1BP与平面11ACCA所成的角，即113tan5BPC=，即11135BCPC=，设12AA=，则22111111111541,,33ACBCPCPAPCAC====−=.又由（1）知，11111,,ACBCCC

两两垂直，以1C为原点，11111,,CCCBCA所在直线分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系.则()()()1142,0,0,0,1,0,,0,1,0,0,03CBPC，()1142,1,0,,1,1,3BCBP=−=−设平面1PBC的一个法向量为(),,mxyz=

，由于11mBCmBP⊥⊥，所以1100mBCmBP==，即20403xyxyz−=−+=，令3x=，则6,2yz==，即()3,6,2m=，设平面11PBC的一个法向量为(

),,nabc=，()1114,0,1,0,1,03CPCB==，由于111nCBnCP⊥⊥，所以11100nCBnCP==，即0403bac=+=，令3a=，则0,4b

c==−，即()3,0,4n=−，设平面1CPB与平面11PBC的夹角为，可知为锐角，所以2222211cos353623(4)mnmn===+++−.故平面1CPB与平面11PBC夹角的余弦值为135.18.某学校高二年级乒乓球社团举办了一次乒乓球比赛，进入决赛的9名选手

来自于3个不同的班级，三个班级的选手人数分别是2，3，4，本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名选手进行8场比赛，每场比赛采取5局3胜制，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束，根据积分选出最后的冠军．如果最终积分相同，则同分选手加赛决出排名，积分规则如下：比赛中以3:0或3

:1取胜的选手积3分，失败的选手积0分；而在比赛中以3:2取胜的选手积2分，失败的选手积1分．已知第6场是甲、乙之间的比赛，设每局比赛甲取胜的概率为()01pp．（1）若进入决赛的9名选手获得冠亚军的概率相等，则比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级的概率

是多少？（2）在第6场比赛中，当23p=时，设甲所得积分为X，求X的分布列及期望（3）在第6场比赛中，记甲3:1取胜的概率为()fp，求()fp的最大值．【答案】（1）518（2）分布列见解析，()18481EX=（3）81256【解析】【分析】（1）根据古典概

型的概率公式计算可得；（2）依题意X的可能取值为0,1,2,3，求出所对应的概率，即可求出分布列与数学期望；（3）依题意()()331fppp=−，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最大值.【小问1详解】记比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级为事件A，则()22223429CCC5C18P

A++==；【小问2详解】依题意X的可能取值为0,1,2,3，所以()()()333311332223933101C11C1PXppp==−+−=−+−=，()()23322244228

1C1C13381PXpp==−=−=，()()2222224422212116C33138CPppXp==−=−=，()()32322233163C1C

12722223333PXpppp==+−=+−=.所以X的分布列为X0123P1988116811627所以X的期望为()1816161840123981812781EX=

+++=.【小问3详解】依题意()()()2333C131fppppp=−=−，()01p，则()()()()2323311334fpppppp=−+−=−，令()0fp=，得34p=，当30,4p

时，()0fp，()fp在30,4上单调递增，当3,14p时，()0fp，()fp在3,14上单调递减，所以()fp在34p=处取得极大值，即最大值，所以()3max3338131444256fpf==

−=.19.已知函数()()lnfxxax=−，Ra．（1）令()()()0hxafxa=，讨论()hx的单调性；（2）若1x=是()fx的极值点，函数()()2gxfxk=−有且仅有一个零点，设1x和2x

为两个不相等的正数，且满足()()12fxfx=．①求k的取值范围；②求证：12exx+．【答案】（1）答案见解析（2）0k或12k=；证明见解析【解析】【分析】（1）先求导函数，再分类讨论导函数正负得出函数的单调区间；（2）①先根据极值点求出1a=，再把有一个零点转化结合函数图形求出参数范

围即可；②构造函数再应用导函数确定函数单调性证明不等式.【小问1详解】ℎ(𝑥)=𝑎𝑓(𝑥)=𝑎𝑥(𝑎−ln𝑥)(𝑥>0)，()()ln1hxaax=−−，函数ln1yax=−−为减函数，令()0hx=，则1eax−=，当a<0时，

令()0hx，得10eax−，令()0hx，得1eax−，所以函数()hx的单调增区间为()1e,a−+，减区间为()10,ea−，当0a时，令()0hx，得10eax−，令()0hx，得1eax−，所以函数()h

x的单调减区间为()1e,a−+，增区间为()10,ea−，综上所述，当a<0时，函数()hx的单调增区间为()1e,a−+，减区间为()10,ea−；当0a时，函数()hx的单调减区间为()1e,a−+，增区间为()10,e

a−；【小问2详解】①()()ln10fxaxx=−−，因为1x=是()fx的极值点，所以()110fa−==，解得1a=，经检验符合题意，则()()1lnfxxx=−，()lnfxx=−，当01x时，()0fx，当1x

时，()0fx，所以函数()fx在()0,1上单调递增，在()1,+上单调递减，所以()()max11fxf==，又当0x→时，()0fx且()0fx→，当x→+时，()fx→，作出函数()fx的大致图象，如图所示，函数()()2gxfxk=−有一个零点

，即函数(),2yfxyk==的图象有一个交点，由图可知21k=或20k，所以0k或12k=；②当1a=时，()()1lnfxxx=−，由()()12fxfx=，不妨设12xx，又()e0f=，结合（1），则1201exx

，要证12exx+，由()()12fxfx=，得𝑥1(1−ln𝑥1)=𝑥2(1−ln𝑥2)>𝑥1，即证()222121lneexxxxx−++，令()()()1ln,1,exxxxx=−+

，则𝜇′(𝑥)=1−ln𝑥>0，故()x在区间()1,e内单调递增，所以()()eex=，故()2ex，即12exx+，综上12exx+.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题构造新函数法,将问题转化为研究两函数图象的交点问题；