【文档说明】高一数学人教A版2019必修第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元测试卷 含解析【高考】.docx，共(17)页，859.457 KB，由小赞的店铺上传

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1第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试卷时间：120分钟满分：150分姓名：班级：得分：题号一二三四总分得分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，在给出的四个选项中只有一项是正确的。1．若,Rab，下列命题正确的是（）A．若ab，

则22abB．Rc，若ab，则22acbcC．若33ab−−，则abD．0a，0b，若ab，则11ab2．如果实数,ab满足0ab，那么（）．A．0ab−B．11abC．acbcD．22ab3．已知x，y都是正数，若

2xy+=，则14xy+的最小值为（）A．74B．92C．134D．14．已知0abc，则以下不等式不正确的是（）A．22acbcB．cacbab++C．22aabbD．baab5．若0a，0b，且3327abab=++，则ab的最小值为（）A．9B．16C．49D．816

．已知0x，则下列说法正确的是（）A．12xx+−有最大值0B．12xx+−有最小值为0C．12xx+−有最大值为－4D．12xx+−有最小值为－427．已知实数xy，满足0xy，且2xy+，则213xyxy++−的值最小时，

实数x=（）A．221−B．22−C．322−D．18．已知实数ab，关于x的不等式()210xabxab−+++的解集为()12,xx，则实数a、b、1x、2x从小到大的排列是()A．12axxb

B．12xabxC．12axbxD．12xaxb二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分，在给出的四个选项中至少有一项是正确的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。9．下列说法正确的有（）A．21xyx+=的最小

值为2B．任意的正数ab、，且1ab+=，都有2ab+C．若正数x、y满足23xyxy+=，则2xy+的最小值为3D．设x、y为实数，若2291xyxy++=，则3xy+的最大值为221710．已知关于x的不等式(1)(2)10txx+−−的解集是()12,xx，其中12xx，则下列结论

中正确的是（）A．1210xx+−=B．1212xx−C．123xx−D．1220xx+11．已知0x，0y，且3xyxy+=，则（）A．xy的最小值是12B．3xy+的最小值是12C．若263ttxy++恒成立，则实数t的取值范围是82t−D．若23

140txyt+−−恒成立，则正实数t的取值范围是6t312．已知关于x的不等式(1)(3)20axx−++的解集是()12,xx，其中12xx，则下列结论中正确的是（）A．1220xx++=B．1231xx−C．124xx−D．1230xx+三、填空题：本大题共4小题，每小题

5分，共计20分。13．已知实数,ab，且0ab，则22224ababab+++的最大值为______．14．已知正实数a，b满足3abab++=，则2ab+的最小值为__________．15．若两个正实数x，y

满足411xy+=，且不等式246xymm+−恒成立，则实数m的取值范围是__________．16．《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.设00ab＞，＞，称

2abab+为a、b的调和平均数.如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，且ab¹，O为AB中点，以AB为直径作半圆.过点C作AB的垂线，交半圆于D，连结OD，AD，BD.过点C作OD的垂线，垂足为E.则图中线段OD的长度是a

、b的算术平均数2ab+，线段CD的长度是a、b的几何平均数ab，线段______的长度是a、b的调和平均数2abab+,该图形可以完美证明三者的大小关系为_________.四、解答题：本大题共6小题，共计70分，需要写出必要的推理过程。17.（10分）解下列不等

式：(1)2430xx++；(2)294604<−+−xx.18.（12分）设实数a、b，满足2242ab+=．(1)求2+ab的取值范围；(2)若39abM−−=+，求M的最小值．419.（12分）设2(1)2yaxaxa=+−+−.(1)若不等式2y−对一切实数x恒成立，求实数a的取

值范围；(2)解关于x的不等式2(1)21(R)axaxaaa+−+−−.20.（12分）求实数m的范围，使关于x的方程()221?260.xmxm+−++=(1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小；(2)有两个实根，，且满

足014；(3)至少有一个正根.21.（12分）已知,,abc均为正实数，且满足3.abc++=证明：(1)2223bcaabc++；(2)22222232abbabccbcaac+++++．22.（12分）若实数x，y，m满足||||xmym−−，则称x比y

接近m，（1）若231x+比3接近1，求x的取值范围；（2）证明：“x比y接近m”是“231xymxy+−−−”的必要不充分条件；（3）证明：对于任意两个不相等的正数a、b，必有22abab+比33+ab接近2abab一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，在给出的四个选项中只

有一项是正确的。1．若,Rab，下列命题正确的是（）A．若ab，则22abB．Rc，若ab，则22acbcC．若33ab−−，则abD．0a，0b，若ab，则11ab【答案】C【详解】对于A，当12ab==−时，2214ab==，故A错误；对于B，当

0c=时，22acbc=，故B错误；对于C，若33ab−−，则ab，故C正确；对于D，当12ab==−时，11112ab==−，故D错误，5故选：C.2．如果实数,ab满足0ab，那么（）．

A．0ab−B．11abC．acbcD．22ab【答案】B【详解】对于A：因为0ab，所以0ab−，故A错误；对于B：因为0ab，所以10,0abab，所以11ababab，即11ab，故B正确；对于C：因为0ab，当0c

时acbc，故C错误；对于D：因为()()220ababab−=+−，即22ab，故D错误；故选：B3．已知x，y都是正数，若2xy+=，则14xy+的最小值为（）A．74B．92C．134D．1【答案】B【详解

】因为2xy+=，所以1414141422xyyxxyxyxy++=+=+++．因为x，y都是正数，由基本不等式有：4424yxyxxyxy+=，所以141491422yxxyxy+=+++，当且仅当2,?2,yxxy=+=即2,343xy

==时取“＝”．故A，C，D错误.故选：B．4．已知0abc，则以下不等式不正确的是（）6A．22acbcB．cacbab++C．22aabbD．baab【答案】D【详解】∵0abc，∴2220,cacbc，故A正确；∵0abc，∴1110,abab

，∴,11ccccabab++，即cacbab++，故B正确；由0ab可得，22,aababb，∴22aabb，故C正确；因为0ab，所以22ab，10ab，所以2211ababab，即abba．故D错误.故选：D．5．若0a

，0b，且3327abab=++，则ab的最小值为（）A．9B．16C．49D．81【答案】D【详解】由题意得3327627ababab=+++，得()()627930abababab−−=−+，解得9ab，即81ab，当且仅当9ab==时，等号成立．故

选：D6．已知0x，则下列说法正确的是（）A．12xx+−有最大值0B．12xx+−有最小值为0C．12xx+−有最大值为－4D．12xx+−有最小值为－4【答案】B【详解】由题意，0x，由均值不等式1122xxxx+=，当且仅当1xx

=，即1x=时等号成立故120xx+−，有最小值0故选：B7．已知实数xy，满足0xy，且2xy+，则213xyxy++−的值最小时，实数x=（）A．221−B．22−C．322−D．17【答案】A【详解】设3xym

xyn+=−=，解得344mnxmny+=−=，所以22mnxy++=，即4mn+，设21213txyxymn=+=++−，则()21243322nmtmnmnmn++=+++，即32

24t+，当且仅当2nmmn=，即2mn=时取等号，即221322xy=−=−，，则213xyxy++−的值最小时，实数212x=−，故选:A．8．已知实数ab，关于x的不等式()210xabxab−+++的解集为()12,xx，则实数a、b、1x、2x从小到大的

排列是()A．12axxbB．12xabxC．12axbxD．12xaxb【答案】A【详解】由题可得：12xxab+=+，121xxab=+.由ab，12xx，设1xam=+，则2xbm=−.所以212()()()1ambmabmb

amabxx=+−=+−−=+，所以2()1mbam−−=，21mmba+=−.又ab，所以0ba−，所以0m.故1xa，2xb.又12xx，故12axxb.故选：A.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分，在给出的四个选项中至少有一项

是正确的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。9．下列说法正确的有（）A．21xyx+=的最小值为28B．任意的正数ab、，且1ab+=，都有2ab+C．若正数x、y满足23xyxy+=，则2xy+的最小值为3D．设x、y为实数，若2

291xyxy++=，则3xy+的最大值为2217【答案】BCD【详解】选项A：211+==+xyxxx，当0x时，112.2yxxxx=+=，当且仅当1x=时有最小值.故A不正确.选项B：()()2212ababababab+=+=++=+对于任意正数ab、，2

abab+，而1ab+=，所以21ab，当且仅当12ab==时取得最大值.所以+2ab，当且仅当12ab==时取得最大值.故B正确.选项C：对于正数xy、，23xyxy+=,所以213xy+=所以()()112

1232233xyxyxyxy+=+=++122122552333yxyxxyxy=+++=当且仅当22yxxy=，即1xy==时取得最小值.故C正确.选项D：因()2229351xyxyxyxy++=+−=所以()2253+315()32xy

xyxy+−=，即()21237xy+所以221221377xy−+，当且仅当2137xy==时等号成立.故D正确.故选：BCD.10．已知关于x的不等式(1)(2)10txx+−−的解集是()12,xx，其中12xx，则下列结论中正9确的是（）A．1

210xx+−=B．1212xx−C．123xx−D．1220xx+【答案】ABD【详解】(1)(2)10txx+−−，即2210txtxt−−−的解集为()12,xx，可知0t，且12122111,22txxxxtt++==−=−−−，故A，D正确，22112124(

)4183xxxxxxt−=+−=++，故C错误，由对称性可知113122x−=−，213222x+=，故B正确，故选：ABD11．已知0x，0y，且3xyxy+=，则（）A．xy的最小值是12B．3xy+的最小值是12C

．若263ttxy++恒成立，则实数t的取值范围是82t−D．若23140txyt+−−恒成立，则正实数t的取值范围是6t【答案】ABCD【详解】对于A因为0x，0y，且3xyxy+=，

则323xyxyxy=+…，可得()230xyxy−…，解得23xy或0xy（舍去）则12xy，当且仅当6x=，2y=取等号故最小值为12，故A正确；对于B因为0x，0y，且3xyxy+=，则131yx+=，则()139933336212xyxyxyxyyxyxyx

+=++=++++=…，10当且仅当6x=，2y=取等号故最小值为12，故B正确；对于C()133333339110216xyxyxyxyyxyxyx+=++=++++=…，当且仅当4xy==取等号，所以不等式263tt

xy++恒成立，转化为2616tt+，解得82t−，故C正确；对于D因为0x，0y，131yx+=，则3x，1y，将不等式变形得到1423ytx−−恒成立，()()()2142142121421466333331yyyyyyxy−−==

−−=−−+−−−当4y=时，取等号，故6t，D正确．故选：ABCD．12．已知关于x的不等式(1)(3)20axx−++的解集是()12,xx，其中12xx，则下列结论中正确的是（）A．1220xx++=B．1231xx−C．124xx−D．1230xx+【答案】ACD【详解

】由题设，2(1)(3)22320axxaxaxa−++=+−+的解集为()12,xx，∴0a，则12122230xxxxa+=−=−，∴1220xx++=，12230xxa+=，则A、D正确；原不等式可化为()(

1)(3)2fxaxx=−+−的解集为()12,xx，而()fx的零点分别为3,1−且开口11向下，又12xx，如下图示，∴由图知：1231xx−，124xx−，故B错误，C正确.故选：A

CD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。13．已知实数,ab，且0ab，则22224ababab+++的最大值为______．【答案】16【详解】由2220abab+，所以222222424abababababab+++++

，又由2211142464222ababababababab==+++++，当且仅当ab=时，等号成立，所以2222146ababab+++.故答案为：16.14．已知正实数a，b满足3abab++=，则2ab+的最小值为__________．【答

案】423−【详解】由3abab++=有()()114ab++=，则()()22113abab+=+++−()()22113423ab++−=−，当且仅当()()211ab+=+，即21a=−，221b=−时取等号.故答案为：423−15

．若两个正实数x，y满足411xy+=，且不等式246xymm+−恒成立，则实数m的取值范围是__________．12【答案】28−m【详解】根据题意先求4xy+得最小值，由0,0xy，得414(4)()xyxyxy+=++161644828816

yyxxxyxy=++++=+=，所以若要不等式246xymm+−恒成立，只要2166mm−，即26160mm−−，解得28−m。16．《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公

理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.设00ab＞，＞，称2abab+为a、b的调和平均数.如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，且ab¹，O为AB中点，以AB为直径作半圆.过点C作AB的垂

线，交半圆于D，连结OD，AD，BD.过点C作OD的垂线，垂足为E.则图中线段OD的长度是a、b的算术平均数2ab+，线段CD的长度是a、b的几何平均数ab，线段______的长度是a、b的调和平均数2abab+,该图形可以完美证明三者的大小关

系为_________.【答案】DE2ab+ab2abab+【详解】依题意，ACBCab+=+，,ADBDCDAB⊥⊥，由直角三角形射影定理得2CDACBCab==，即CDab=，而点C与点O不重合，在RtOCD△中，即12CDODAB=，则2abab+，在

RtOCD△中，因CEOD⊥，OCCD⊥，由直角三角形射影定理得2CDDEOD=，222CDababDEabODab===++，又CDDE，则2ababab+，即22abababab++，13所以线段DE的长度是a、b的调和平均数2abab+，该图形可以完美证明三者

的大小关系为22abababab++.故答案为：DE；22abababab++四、解答题：本大题共6小题，共计70分，需要写出必要的推理过程。17.（10分）解下列不等式：(1)2430xx++；(2)294604<

−+−xx.【答案】(1){|3xx−或1}x−；(2)34xx【解析】(1)因为1641340＝－＝，所以方程2430xx＋＋＝有两个不等实根x1＝－1，x2＝－3.所以原不等式的解集为{|3xx−或1}x−.(2)因为()0

36449()4−−=＝－，所以方程246xx−−＋9=04有两个相等实根x1＝x2＝34所以原不等式的解集为34xx.18.（12分）设实数a、b，满足2242ab+=．(1)求2+ab的取值范围；(2)若

39abM−−=+，求M的最小值．【答案】(1)222ab−+；(2)23【解析】(1)解：因为()()222222422244abababab+=+++=，222ab−+.当且仅当1a=，12b=时，22ab+=；当且仅当1a=−，12b=−时，22ab+=−.因此，2+ab的

取值范围是222ab−+.(2)解：因为2212332323339abbabaM−−−−−−−=+=+=，当且仅当1a=，12b=时，等号成立，因此，M的最小值为23.19.（12分）设2(1)2

yaxaxa=+−+−.(1)若不等式2y−对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；14(2)解关于x的不等式2(1)21(R)axaxaaa+−+−−.【答案】(1)13aa；(2)答案见解析【解析】（1）由题意可得22(1)22(1)0axaxa

axaxa+−+−−+−+对一切实数成立，当0a=时，0x不满足题意；当0a时，得2201(1)403aaaa−−.所以实数a的取值范围为13aa.（2）由题意可得22(1)21(1)10axaxaaaxax+−+−−+−

−，当0a=时，不等式可化为1x，所以不等式的解集为1xx，当0a时，21(1)10(1)(1)01axaxaxxxa+−−+−−，当0a时，2(1)10(1)(1)0axaxaxx+−

−+−，①当1a=−，解集1xx，②当10a−，解集为1xx或1xa−，③当1a−，解集为1xx或1xa−.综上所述，当1a−，不等式的解集为1xx或1xa−，当1a=−，不等式的解集为1xx，当10a−，不等式的解集为

1xx或1xa−，当0a=时，不等式的解集为1xx，当0a时，不等式的解集为11xxa−.20.（12分）求实数m的范围，使关于x的方程()221?260.xmxm+−++

=(1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小；(2)有两个实根，，且满足014；(3)至少有一个正根.【答案】(1)1m−；(2)7554m−−；(3)1m−【解析】(1)设()()22126yfxxmxm==+−+

+．依题意有()20f，即()441260mm+−++，得1m−．(2)设()()22126yfxxmxm==+−++．15依题意有()()()02601450410140fmfmfm=+=+=+，解得7554m−−．(3)设()(

)22126yfxxmxm==+−++．方程至少有一个正根，则有三种可能：①有两个正根，此时可得()()Δ0002102fm−−，即153.311mmmmm−−−−或．②有一个正根，一个负根，此时可得()00f，得3m−．③有一个

正根，另一根为0，此时可得()6203210mmm+==−−，．综上所述，得1m−．21.（12分）已知,,abc均为正实数，且满足3.abc++=证明：(1)2223bcaabc++；(2)22222232abbabccbcaac+++++．【答案】(1)证明见解析；(

2)证明见解析.【解析】(1),,abc均为正实数，则²2(baba+当且仅当ab=时取“=”)，同理可得：22cbcb+，22(acac+当且仅当bc=，ca=时等号成立)，故22²222(bcaabcabcabc+++++++当且仅当abc==时取“=”)

，又3abc++=，故2223bcaabc++.(2)()2222ababbaababab++=+=()2222224abababab++=++(当且仅当2abab+=时取“=”)，16同理()2222(2

4bccbbcbc+++当且仅当2bcbc+=时取“=”)，()2222(24caacacac+++当且仅当2acac+=时取“=”)．又由3abc++=，可知()229()?²2223abcabcabacbcabbcac=++=++++

+++．(当且仅当abc==时取“=”)．所以3abbcac++，故()()222222223222abbabccbcaacabbccaabc++++++++++．(当且仅当1abc===时取“=”)．22.（12分）若实数x，y，m满足||||xmym−−，则称

x比y接近m，（1）若231x+比3接近1，求x的取值范围；（2）证明：“x比y接近m”是“231xymxy+−−−”的必要不充分条件；（3）证明：对于任意两个不相等的正数a、b，必有22abab+比33+ab接近2abab.【

答案】（1）2222x−；（2）见解析；（3）见解析.【详解】（1）因为231x+比3接近1，故231131x+−−，故232x，故28x，所以2222x−.（2）取1,2,02xym=−==，则1||2||2xmym−==−，故x比y接近m.但23120215922xy

mxy+−−++==−−−−−，故“x比y接近m”推不出“231xymxy+−−−”.所以“x比y接近m”是“231xymxy+−−−”不充分条件.若231xymxy+−−−，则330xmxy

−−，故()()0xmxy−−，所以00xmxy−−或00xmxy−−，17若00xmxy−−，则yx且xm，故2xymxm++，所以()()20xymxy+−−，故()()222

0xmymxymxy−−−=+−−，所以xmym−−，也就是“x比y接近m”.若00xmxy−−，则xy且mx，故2xymxm++，所以()()20xymxy+−−，故()()2220xmymxymxy−−−=+−−，所以xmym−

−，故“x比y接近m”是“31xymxy+−−−”必要不充分条件.（3）对于任意两个不相等的正数a、b，要证22abab+比33+ab接近2abab，即证：223322−++−ababababababab，即证：3322abab

abababab−+−+，即证：2222abababbaab++−−，因为22222222ababbabaabbaba++++=+，因为ab¹，故222abababba++，故22220ababababba+−+−，所以2222abababbaab++−−成立，故

22abab+比33+ab接近2abab