【文档说明】安徽省合肥市重点中学2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题 含解析.docx，共(21)页，2.222 MB，由小赞的店铺上传

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2023-2024学年第一学期安徽省合肥市重点中学期中联考试题高二数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.若直线l的倾斜角满足203，且2，则其斜率k满足（）A.30k−B.3k−C.0k或3

k−D.0k或33k−【答案】C【解析】【分析】根据倾斜角和斜率关系可求斜率的范围.【详解】斜率tank=，因为203，且2，故tan0或tan3−，即0k或3k−，故选：C.【点睛】本题考查倾斜角与斜

率的关系，一般地，如果直线的倾斜角为，则当2=时，直线的斜率不存在，当0,,22时，斜率tanθk=.2.直线l过点()1,2-且与直线2310xy−+=垂直，则l的方程为（）A.3210xy+−=B.3270xy

++=C.2350xy−+=D.2380xy−+=【答案】A【解析】【分析】求出直线l的斜率，然后利用点斜式可写出直线l的方程，化为一般式可得出答案.【详解】直线2310xy−+=的斜率为2233k=−=−，则直线l的斜率为32−，因此，直线l的方程为()3212yx−=−+，即

3210xy+−=.故选：A.【点睛】本题考查垂线方程的求解，一般要求出直线的斜率，也可以利用垂直直线系方程来求解，考查计算能力，属于基础题.3.已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（）A.3a，ab−，2ab+B.2

b，2ba−，2ba+C.a，2b，bc−D.c，ac+，ac−【答案】C【解析】【分析】利用空间向量的基底的定义，逐项判断作答.【详解】向量,,abc是不共面的三个向量，对于A，32()(2)aabab=−++，则向量3,,2aabab−+共面，A不能构成空间基底；对于B，2(2)(

2)bbaba=−++，则向量2,2,2bbaba−+共面，B不能构成空间基底；对于D，2()()cacac=+−−，则向量,,cacac+−共面，D不能构成空间基底；对于C，假定向量,2,abbc−共面，则存在不全为0的实数12,，使得122()abbc=+−，整理得122(2)

0abc−++=，而向量,,abc不共面，则有12210200=+==，显然不成立，所以向量,2,abbc−不共面，能构成空间的一个基底，C能构成空间基底.故选：C4.在平行六面体1111ABCDABCD−中，向量11ABADBD､､是（）A.有相同起点的向量B.等长的向量C

.共面向量D.不共面向量【答案】C【解析】【分析】根据空间向量的概念和共面定理判断.详解】如图所示：【向量11ABADBD､､显然不是有相同起点的向量，A不正确；由该平行六面体不是正方体可知，这三个向量不是等长的向量，B不正确.又因为1111ADAB

BDBD−==，所以11ABADBD､､共面，C正确，D不正确.故选：C5.如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为A14米B.15米C.51米

D.251米【答案】D【解析】【详解】以圆拱拱顶为坐标原点，以过拱顶顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得：A（6，﹣2），设圆的半径为r，则C（0，﹣r），即圆的方程为x2+（y+r）2＝r2，将A的坐标代入圆的方程可得r＝10，所以圆的方程是

：x2+（y+10）2＝100则当水面下降1米后可设A′的坐标为（x0，﹣3）（x0＞0）代入圆的方程可得x051=，所以当水面下降1米后，水面宽为251米．故选：D．.6.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且1AFADm

ABnAA=+−则m，n的值分别为()A.12，－12B.－12，－12C.－12，12D.12，12【答案】A【解析】【分析】直接利用向量的线性运算化简得11122AFADABAA=++,比较系数得11,2

2mn==−.【详解】由于11111()222AFADDFADDCDDADABAA=+=++=++，所以11,22mn==−.故选：A【点睛】本题主要考查向量的线性运算和空间向量的基本定理，意在考查学生对

这些知识的掌握水平和分析推理能力.7.四棱锥PABCD−中，(2,1,3),(2,1,0),(3,1,4)ABADAP=−=−=−，则这个四棱锥的高为（）A.55B.15C.25D.255【答案】A【解析】【分析】求出平面ABCD的法向量n，

计算法向量n与AP的夹角得出AP与平面ABCD的夹角，从而可求出P到平面ABCD的距离．【详解】解：设平面ABCD的法向量为(nx=，y，)z，则nABnAD⊥⊥，23020xyzxy−+=−+=，令1x=可得2y=，0z=，即

(1n=，2，0)，1cos,||||526nAPnAPnAP==，设AP与平面ABCD所成角为，则1sin526=，于是P到平面ABCD的距离为5||sin5AP=，即四棱锥PABCD−的高为55．故选：A．【点睛】本题考查了空间向

量在立体几何中的应用，属于基础题．8.已知⊙M：222220xyxy+−−−=，直线l：220xy++=，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线,PAPB，切点为,AB，当||||PMAB最小时，直线AB的方程

为（）A.210xy−−=B.210xy+−=C.210xy−+=D.210xy++=【答案】D【解析】【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,APBM共圆，且ABMP⊥，根据44PAMPMABSPA==

可知，当直线MPl⊥时，PMAB最小，求出以MP为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB的方程．【详解】圆的方程可化为()()22114xy−+−=，点M到直线l的距离为2221125221d++==+，所以直线l与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,APBM四点共圆，且ABMP⊥，所

以14442PAMPMABSPAAMPA===，而24PAMP=−，当直线MPl⊥时，min5MP=，min1PA=，此时PMAB最小．∴()1:112MPyx−=−即1122yx=+，由1122220yxxy

=+++=解得，10xy=−=．所以以MP为直径的圆的方程为()()()1110xxyy−++−=，即2210xyy+−−=，两圆的方程相减可得：210xy++=，即为直线AB的方程．故选：D.【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用

，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.直线21yaxa=−+必过定点(

)21，B.直线3240xy−+=在y轴上的截距为2−C.直线310xy++=的倾斜角为120D.若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为23−【答案】AC【解析】【分析】直接利用直线的方程，直线的倾斜角和斜率之间的关系逐项

判断即可得结论．【详解】对于A：直线21yaxa=−+，整理得()12yax−=−，所以该直线经过()2,1点，故A正确；对于B：直线3240xy−+=，令0x=，解得2y=，故直线在y轴上的截距为2，

故B错误；对于C：直线310xy++=，所以直线的斜率3k=−，所以tan3=−，由于0180故120=，故C正确；对于D：直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则()31v=−

，，所以直线的斜率为13−，故D不正确．故选：AC.10.已知()1,0,1a=r，()1,2,3b=−−，()2,4,6c=−，则下列结论正确的是（）A.ab⊥B.bc∥C.,ac为钝角D.c在a方向

上投影向量为()4,0,4【答案】BD【解析】【分析】利用向量垂直，平行的坐标关系判断A，B，根据向量夹角公式判断C，根据投影向量和投影数量的关系计算求解判断D.的【详解】因为()()11021340−++−=−，所以a，b不垂直，A错，因为2cb=−，所以

bc∥，B对，因为()1204168ac=+−+=，所以cos,0ac，所以,ac不是钝角，C错，因为c在a方向上的投影向量()()28cos,1,0,14,0,42aaccacaaa===，D对，故选：BD.11.圆C：224630xyxy++−−=，直线:3470l

xy−−=，点P在圆C上，点Q在直线l上，则下列结论正确的是（）A.直线l与圆C相交B.||PQ的最小值是1C.若P到直线l的距离为2，则点P有2个D.从Q点向圆C引切线，则切线段的最小值是3【答案】BCD【解析】【分析】对于A:求出圆心C到直线l的距离54d=，即可判断直线与圆相离；对

于B:利用几何法求出||PQ的最小值，即可判断；对于C:设直线m与l平行，且m到l的距离为2.求出m的方程，判断出直线m与圆C相交，有两个交点，即可判断；对于D:根据图形知,过Q作QR与圆C相切于R，连结CR.要使切线长最小，只需CQ最小.利用

几何法求出切线段的最小值，即可判断.【详解】对于A:由圆C：224630xyxy++−−=，得圆C的标准方程为()()222316xy+−=+，圆心()2,3C−到直线:3470lxy−−=的距离()2261275434d−−−==+−，所以直

线与圆相离.故A错误；对于B:圆心()2,3C−到直线:3470lxy−−=的距离5d=,所以||PQ的最小值为541−=.故B正确;对于C:设直线m与l平行，且m到l的距离为2.则可设:340mxyn−+=.由()227234n+=+−，解得

：3n=或17n=−.当3n=时，直线:3430mxy−+=，圆心()2,3C−到直线:3430mxy−+=的距离()2261233434−−+=+−,所以直线m与圆C相交，有两个交点，且这两个点到直线l的距离为1.当17n=−时，直

线:34170mxy−−=，圆心()2,3C−到直线:34170mxy−−=的距离()22612177434−−−=+−,所以直线m与圆C相离，不合题意.综上所述，圆上到直线l的距离为1的点有且只有2个.故C正确.对于D

:根据图形知,过Q作QR与圆C相切于R，连结CR.则切线长22224QRCQCRCQ=−=−.要使切线长最小，只需CQ最小.点Q到圆心C的最小值为圆心到直线的距离d=5,由勾股定理得切线长的最小值为22543−=,故D正确.故选：BCD12.如图，在棱长为1的正方体1111ABC

DABCD−中（）A.AC与1BD的夹角为60B.三棱锥11BACD−外接球的体积为3π2C.1AB与平面1ACD所成角的正切值2D.点D到平面1ACD的距离为33【答案】BCD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法逐项判断即得．【详解】如图建立空间直角坐标系，则

()()()()()111,0,0,0,1,0,1,1,0,0,0,1,1,1,1ACBDB，对于A，()()11,1,0,1,1,1ACBD=−=−−，则10ACBD=，即1ACBD⊥，所以AC与1BD的夹角为90，故A错误；对于B，三棱锥11BACD−外接球与正方体1111ABC

DABCD−的外接球相同，又正方体1111ABCDABCD−的外接球的直径等于体对角线的长，所以三棱锥11BACD−外接球的半径为32，所以三棱锥11BACD−外接球的体积为3433π()π322V==，故B正确；对于C，设平面1ACD的法向量为(),,mxyz=，()()

11,1,01,0,1ACAD=−=−，，所以100mACxymADxz=−+==−+=，令1x=，得到，1yz==，则()1,1,1m=，因为()10,1,1AB=，设1AB与平面1ACD所成角为，则111sincos,ABmABmABm==

26323==，则3cos,tan23==，故C正确；因为()1,0,0DA=，设点D到平面1ACD的距离为d，则1333DAmdm===，故D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每

小题5分，共20分．13.若实数x、y满足x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则22xy+的最大值是____.【答案】5＋3【解析】【详解】将方程x2＋y2＋4x－2y－4＝0化为22(2)(1)9xy++−=，表示以(2,1)−为圆心，半径为3的圆，2222(0)(0)xyxy+=−+−表示

圆上的点与原点之间的距离，容易判断原点（0,0）在圆内，且原点与圆心之间的距离为22(2)15−+=，所以22xy+的最大值为53+．点睛：本题主要考查圆内的点与圆上的点之间的距离最大值问题，属于中档题．本

题注意数形结合，将代数问题转化为几何问题求解．14.如图，在平行六面体1111ABCDABCD−中，底面是边长为1的正方形，若1160AABAAD==，且13AA=，则1AC的长为_________．【答案】5【解析】【详解】试题分析：因为，所以2222

1111ACAAABAD2A22AABAAADABAD=+++++，即，故．15.已知矩形ABCD，1AB=，3BC=，沿对角线AC将ABC折起，若二面角BACD−−的大小为120，则B，D两点之间的距离为______.【答案】132【解析】【分析】过,BD分别作,,BEA

CDFAC⊥⊥由题意可求得1,1,2AECFEF===由二面角BACD−−的大小为120，得到3·cos120,8EBFDEBFD==−再利用BDBEEFFD=++可求得结果.【详解】过,BD分别作,,BEACDFAC⊥⊥1,3,2,ABBCAC===11

1···,222ABBCACBEACDF==3,2BEDF==则1,1,2AECFEF===二面角BACD−−的大小为120,3·cos120,8EBFDEBFD==−BDBEEFFD=++22222()2?2?2?BDBEEFFDBEEFFDBEEF

EFFDBEFD=++=+++++3331314444=+++=,则132BD=,即,BD两点间的距离为132.故答案为：132.16.瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉

线.已知ABC的顶点()4,0−A，()0,4B，其欧拉线方程为20xy−+=，则顶点C的坐标可以是_________【答案】()2,0或()0,2−【解析】【分析】设(,)Cxy，依题意可确定ABC的外心为(0,2)

M，可得出,xy一个关系式，求出ABC重心坐标，代入欧拉直线方程，又可得出,xy另一个关系式，解方程组，即可得出结论.【详解】设(,),CxyAB的垂直平分线为yx=−，ABC的外心为欧拉线方程为20xy−+=与直线yx=−的交点为(1,1)

M−，∴22||||10,(1)(1)10MCMAxy==++−=①由()4,0−A，()0,4B，ABC重心为44(,)33xy−+，代入欧拉线方程20xy−+=，得20xy−−=②,由①②可得2,0xy==或0,2xy==−.故答案：()2,0或()0,2−.【点睛】本题

以数学文化为背景，考查圆的性质和三角形的外心与重心，考查逻辑思维能力和计算能力，属于较难题.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知空间向量()2,4,2a=−，()1,0,2b=−，(),

2,1cx=−．（1）若//ac，求c；（2）若bc⊥，求cos,ac的值．【答案】（1）6；（2）66．【解析】【分析】（1）利用空间向量共线定理，列式求解x的值，由向量模的坐标运算求解即可；（2）利用向量垂直的坐标表示，求出x的值，从而得到()2,2,1c=−

−，由空间向量的夹角公式求解即可．【详解】解：（1）空间向量()2,4,2a=−，()1,0,2b=−，(),2,1cx=−，因为//ac，所以存在实数k，使得cka=，所以22412xkkk==−=−，解得1x=，则()2

221216c=++−=．（2）因为bc⊥，则020bcx=−+−=，解得2x=−，所以()2,2,1c=−−，故()()2224126cos,64164441acacac−++−−===++++．18.已知ABC的顶点()5,1A，AB边上的中线CM所在直线方程为

250xy−−=，AC的边上的高BH所在直线方程为250xy=−−．（1）求顶点C的坐标；为（2）求直线BC的方程．【答案】（1）()4,3C（2）6590xy−−=【解析】【分析】（1）设(),Cmn，利用点C在AB边上

的中线CM上和直线AC与高线BH垂直求解；（2）设(),Bab，利用点B在BH上和AB的中点M在直线CM上求解；【小问1详解】解：设(),Cmn，∵AB边上的中线CM所在直线方程为250xy−−=，A

C边上的高BH所在直线方程为250xy−−=．∴25011152mnnm−−=−=−−，解得43mn==．∴()4,3C．【小问2详解】设(),Bab，则2505125022abab−−=++−−=，解得13ab=−=−．∴()1,3B−−．∴336415

BCk+==+．∴直线BC的方程为()6345yx−=−，即为6590xy−−=．19.已知以点(1,1)C−为圆心的圆与直线:3440mxy++=相切．（1）求圆C的方程；（2）过点(2,3)P−的作圆C的切线，求切线方程．【答案】（1）22(1)(1)1xy++−=；（2）

3460xy+−=和2x=−．【解析】【分析】（1）由点到直线距离公式得圆半径后可得圆方程；（2）分类讨论，检验斜率不存在的直线是否为切线，斜率存在时设出切线方程，由圆心到切线的距离等于半径得结论．【小问1详解】由题意，圆半径不22344134r−++==+，所以圆方程为22(1)(

1)1xy++−=；【小问2详解】易知过P点斜率不存在的直线2x=−是圆的切线，再设斜率存在的切线方程为3(2)ykx−=+，即230kxyk−++=，212311kkk−−++=+，解得34k=−，直线方程为

363044xy−−−+=，即3460xy+−=．所以切线方程是3460xy+−=和2x=−．20.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，ABAP=，E为棱PD的中点．（1）证明：AECD⊥；

（2）求直线AE与平面PBD所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析（2）63【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质与判定，证明CD⊥平面PAD即可；（2）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面夹角即可.【小问1详解】因为PA⊥底面ABCD，CD平面A

BCD，故PACD⊥.又ABCD为正方形，故ADCD⊥.又PAADA=，,PAAD平面PAD，故CD⊥平面PAD.又AE平面PAD，故AECD⊥.【小问2详解】以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系.设2ABAP==，则()0

,0,0A，()2,0,0B，()0,2,0D，()002P,,，()0,1,1E.()0,1,1AE=，()2,0,2BP=−，()0,2,2DP=−.设平面PBD的法向量(),,nxyz=，则00nBPn

DP==，即220220xzyz−+=−+=，设1x=则()1,1,1n=.设直线AE与平面PBD所成角为，则26sin323AEnAEn===uuurruuurr.21.如图，在直四棱柱1111ABCDABCD−中，底面ABCD为菱形

，13DD=，2AD=，π3BCD=，E为棱1BB上一点，1BE=，过A，E，1C三点作平面交1DD于点G.（1）求点D到平面1BCG的距离；（2）求平面AEC与平面BEC夹角的余弦值.【答案】（1）305（2）64【

解析】【分析】（1）如图所示建立空间直角坐标系，确定各点坐标，根据1AGAEAC=+得到()0,0,2G，确定平面1BCG的法向量，再利用点到平面的距离公式计算得到答案.（2）确定平面AEC与平面BEC的法向量，再根据向量的夹角公式计算即可.【小问1详解】如图所示：取F为AB中点，ABCD为菱

形，π3BCD=，则222π21221cos33DF=+−=，故3DF=，222DADFAF=+，DFAB⊥，以DF，DC，1DD为,,xyz轴建立空间直角坐标系，则()3,1,0A−，()3,1,0B，()0,2,0C，()3,1,1E，()10,2,3C，

设()0,0,Ga，则1AGAEAC=+，即()()()()3,1,0,2,13,3,33,32,3a−=+−=−++，故331323a−=−=+=+，解得112a==−=

，故()0,0,2G，设平面1BCG的法向量为(),,nxyz=，则1330320nBCxyznBGxyz=−++==−−+=，取1y=−，得到53,1,23n=−，点D到平面1BCG的距离为()533,1,0,1,2330

52303DBnn−==.【小问2详解】设平面AEC的法向量为()1111,,nxyz，则11111120330nAEyznACxy=+==−+=，取11y=，得到()13,1,2n=−；设平面BEC的法向量为()2222,,nxyz，则22222

030nBEznBCxy===−+=，取21x=，得到()21,3,0n=；平面AEC与平面BEC夹角为锐角，余弦值为121212236cos,4222nnnnnn===.22.在平面直角坐标系xOy中，圆C的圆心在直线x＋y－3＝0上，圆C经过点A(0，4)，且与直线3x

－4y＋16＝0相切．（1）求圆C的方程；（2）设直线l交圆C于P，Q两点，若直线AP，AQ的斜率之积为2，求证：直线l过一个定点，并求出该定点坐标．【答案】（1）(x－3)2＋y2＝25；（2）证明见解析，定点为(6,12)−−.【解析】【分析】（1）由圆心在直线上，可

设圆心坐标C(a，3－a)，由圆心到切线的距离等于半径列方程解得a后可得圆方程；（2）分类讨论，直线l斜率不存在时，设()00,Pxy，()00,Qxy−，x0≠0，由已知求出x0，但此直线与圆无交点，不合题意；直线l的斜率存在．设直线l的方程y＝kx＋t(t≠4)，()11,Pxkxt+，

()22,Qxkxt+，把已知2APAQkk=用坐标表示出来，记为①式，由直线与圆相交，直线方程与圆方程联立，消元后应用韦达定理得1212,xxxx+，代入①式，得出,kt的关系式，代入直线方程整理可得直线过定点的坐标．【详解】（1）因为圆心C在直线x＋y－3＝0上，所以设C(a

，3－a)，因为圆C经过点A(0，4)，所以圆C的半径r＝AC＝22(1)aa++，因为圆C和直线3x－4y＋16＝0相切，所以圆C的半径r＝22|34(3)16|3(4)aa−−++−，所以22(1)aa++＝22|34(3)16

|3(4)aa−−++−．化简，得a2－6a＋9＝0，解得a＝3．所以C(3，0)，半径r＝5．所以圆C的方程为(x－3)2＋y2＝25．（2）若直线l的斜率不存在，则可设()00,Pxy，()00,Qxy−，x

0≠0，所以(x0－3)2＋y02＝25，2000200044162APAQyyykkxxx−−−−===，消去y0得x0＝－6，再代入(x0－3)2＋y02＝25，y0不存在，所以直线l的斜率存在．设直线l的方程y＝kx＋t(t≠4)，

()11,Pxkxt+，()22,Qxkxt+，所以1212442APAQkxtkxtkkxx+−+−==，整理得，()()()()2212122440kxxktxxt−+−++−=①直线方程与圆C方程联立，()

22,325,ykxtxy=+−+=消去y得()()222126160kxktxt++−+−=，所以122261ktxxk−+=−+，2122161txxk−=+代入①得()()()()()()22222

16426410ktktkttk−−−−−+−+=，由于t≠4，整理得6120kt−−=，即612tk=−，所以直线l的方程为612ykxk=+−，即()612ykx=+−，令60,12,xy+==−解得6,12,xy=−=−所以直线l过一个定点，该定点坐标为(

6,12)−−．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com