【文档说明】河北省易县中学2020-2021学年高一上学期12月月考数学试题 【精准解析】.doc，共(17)页，1.406 MB，由小赞的店铺上传

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-1-河北易县中学高一年级2020-2021学年第一学期12月考试高一数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合20,1,2,3,4,5,|20ABxxx==−−，则AB

=（）A.1,2B.0,1,2C.1,0,1−D.0,1【答案】B【解析】【分析】解不等式化简集合，再求交集即可.【详解】由题意得，集合2|20{|12}Bxxxxx=−−=−，所以{0,1,2}AB=故选

：B.2.命题“xR，22xx+”的否定是（）A.xR，22xx+B.xR，22xx+C.xR，22xx+D.xR，22xx+【答案】B【解析】【分析】【详解】由全称命题的否定得，2,2xRxx+，故选：

B3.已知函数()xfxa=，且(1)yfx=+过点()2,4，则函数logayx=的图像必过点（）A.()3,4B.()2,3C.()3,2D.()4,3【答案】D【解析】-2-【分析】先由题意求出a的值

，代入对数函数，进而可得其必过的点．【详解】解：∵函数()xfxa=，且1(1)xyfxa+=+=过点()2,4，34a=，则函数34loglogayxx==，令4x=，求得()3fx=，可得函数logayx=的图象必过()4,3，故选：D．【点睛】本题主要考查指数运算和对数运算，属于基础题

．4.下列命题中正确的是（）A.若ab，则22acbcB.若ab，cd，则abcdC.若,abcd，则acbd−−D.若0,abab，则11ab【答案】D【解析】【分析】根据特殊值法，分别判定ABC都错；再由不等式的性质，即可判定D正确；【详解】A选项，当

0c=时，不成立，故A选项错误；B选项，当1,0,2,1abcd===−=−时，abcd，故B选项错误；C选项，当1,0,1,0abcd====时，acbd−=−，故C选项错误；D选项，若0ab，ab，则1

10baabab−−=，即11ab，故D正确．故选：D.【点睛】本题主要考查由不等式性质判断所给结论是否正确，属于基础题型.5.下列函数中，既是奇函数，又在（0，1）上是增函数的是（）A.()1yxx=−B.21yxx=−

C.1yxx=+D.12yxx=−【答案】D【解析】-3-【分析】运用奇偶性和单调性的定义，判断即可得到所求结论．【详解】A，令y＝f（x）＝x（x﹣1），f（﹣x）＝x（x+1），﹣f（x）＝﹣x（x﹣1）＝x

（1﹣x），不满足f（﹣x）＝﹣f（x），不为奇函数；B，y＝f（x）21x=−x，f（﹣x）21x=+x，﹣f（x）=21x−+x不满足f（﹣x）＝﹣f（x），不为奇函数；C，y＝f（x）＝x1x+满足f

（﹣x）＝﹣f（x），为奇函数，又x=13时，y＝3+13=103，x=12时，y＝2+12=52，即1132，但10532，所以不满足在（0，1）上是增函数；D，y＝f（x）＝2x1x−（x≠0）满足f（﹣x）＝﹣f（x），为奇函数，且

在（0，1）递增，符合题意；故选D．【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用定义法和单调性的定义，属于基础题．6.若,xyR+，且1xy+=，则11xy+的取值范围是（）A.()2,+?B.)2,+C.()4,+D.)4,+【答案】D【解析】试题分析：(

)112224yxxyxyxy++=+++=，故选D.考点：基本不等式.【思路点晴】本题考查基本不等式.基本不等式需要满足一正二定三相等，也就是说，利用基本不等式必须确保每个数都是正数，必须确保右边是定值，必须确保等号能够成立.在利用基本不等式证明的过程中，常常要把数、

式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．要注意1的代换.7.函数22yxx=−+的单调增区间是（）．-4-A.0,1B.,1−C.1,+D.1,2【答

案】A【解析】分析：先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性原理求函数的单调增区间.详解∵()22211yxxx=−+=−−+∴()2110x−−+，∴02x，当01x时，根据二次函数性质得：()211yx=−−+单调递增

，当12x时，()211yx=−−+单调递减，∴()211yx=−−+在0,1上单调递增，故答案为A．点睛：（1）本题主要考查函数的定义域的求法和复合函数的单调性，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2)解答函数的问题，必须注意定义域优先的原则，所以本

题首先要求函数的定义域.(3)求复合函数的单调区间时，先把原函数分解为初等函数，再根据复合函数单调性原理（同增异减）求函数的单调区间.8.终边在直线3yx=上的角的集合为（）A.{|2,}3kkz=+B.{|,}3kkz=+C.{|2,}3kkz=D.{|,}3

kkz=【答案】B【解析】【分析】先求出终边在3yx=上的度数，即可得到结论．【详解】在[0，2π]内终边在直线3yx=上的角为3和433=+，-5-则终边在直线y＝x上的角的集合为{α|α＝2kπ3+或2kπ43+}，k∈Z

，即{α|α＝kπ3+，k∈Z}，故选B．【点睛】本题主要考查终边相同角的表示，熟记特殊角是关键，比较基础．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求

．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知集合{1,1}M=−，{|1}Nxmx==，且MNM=，则实数m的值可以为（）A.1B.-1C.2D.0E.-2【答案】ABD【解析】【分析】由MNM=，得NM，按0m=，0

m分类讨论，求得m的值即可.【详解】因为MNM=，所以NM，{|1}Nxmx==.当0m=时，NM=，符合题意；当0m时，1Nm=，所以11m=−或11m=，解得1m=−或1m=．所以m的值为1或-1或0．故选ABD．【点睛】本题考查的是集合的包含关系判断以及应用问题，集

合元素的特性、分类讨论以及问题转化的思想，属于基础题.10.设a，b为正实数，则下列命题中是真命题的是（）A.若221ab−=，则1ab−B.若111ba−=，则1ab−C.若1ab−=，则1ab−D.若1a„，1b„，则1abab−−„【答案】AD【解析】

【分析】-6-结合不等式的基本性质，熟练应用作差比较进行运算，即可求解，得到答案.【详解】对于A选项，由a，b为正实数，且221ab−=，可得1abab−=+，所以0ab−，所以0ab，若1ab−，则11ab+，可得1ab+，这与0abab+−

矛盾，故1ab−成立，所以A中命题为真命题；对于B选项，取5a=，56b=，则111ba−=，但5516ab−=−，所以B中命题为假命题；对于C选项，取4a=，1b=，则1ab−=，但31ab−=，所以C中命题为假命题；对于D选项，由1,1ab，则()()()()2222

222211110ababababab−−−=+−−=−−„，即()()221abab−−，可得1abab−−„，所以D中命题为真命题.故选AD.【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，其中解答中结合不等式的基本性质，熟练应用作差比较进行

运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11.关于函数()2411xxfxx−=−−的性质描述，正确的是（）A.()fx的定义域为)(1,00,1−B.()fx的值域为()1,1−C.()fx在定义域上是增函数D.()fx的

图象关于y轴对称【答案】AB【解析】【分析】先求出函数的定义域，再求值域，然后利用函数单调性以及奇偶性定义即可求解.【详解】对于A中，由240110xxx−−−，解得)(1,00,1x−即为函数的定义域，故A正确；-7-对于B中，由定义域可

化简函数得()221,101,01xxfxxx−−=−−，当)1,0x−时，())0,1fx；当(0,1x时，()(1,0fz﹣，所以()()1,1fx−，故B正确；对于C中，因为13132222ff−==−，所以函数不是增函数，

故C错误；对于D中，因为定义域关于原点对称，且对任意(0,1x，()()21fxxfx=−−=−−，所以函数是奇函数，故D错误，故选：AB.12.已知直线2yx=−+分别与函数xye=和lnyx=的图象交于点()()1122,,,AxyBxy，则下列结论正确的是()A.122xx+

=B.122xxeee+C.1221lnln0xxxx+D.122exx【答案】ABC【解析】【分析】根据互为反函数的性质可得()()1122,,,AxyBxy的中点坐标为()1,1，从而可判断A；利用基本不等式可判断B、D；利用零点存在性定理以及对数的运算性质可判

断C.【详解】函数xye=与lnyx=互为反函数，则xye=与lnyx=的图象关于yx=对称，将2yx=−+与yx=联立，则1,1xy==，由直线2yx=−+分别与函数xye=和lnyx=的图象交于点()()1122,,,AxyBxy，作出函数图像：-8-则()()1122,,,

AxyBxy的中点坐标为()1,1，对于A，由1212xx+=，解得122xx+=，故A正确；对于B，12121222222xxxxxxeeeeeee+=+==，因为12xx，即等号不成立，所以122xxeee+，故B正确；对于

C，将2yx=−+与xye=联立可得2xxe−+=，即20xex+−=，设()2xfxex=+−，且函数为单调递增函数，()010210f=+−=−，112211320222fee=+−=−，故函数的零点在10,2上，即1102x，由122xx+=，

则212x，122112211lnlnlnlnxxxxxxxx+=−()1222122lnlnln0xxxxxxx−=−，故C正确；对于D，由12122xxxx+，解得121xx，由于12xx，则121xx，故D错误；故选：ABC【点睛】本题考查了互为反函数的性质、基本不等式的应用

、零点存在性定理以及对数的运-9-算性质，考查了数形结合的思想，属于难题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若集合2|20,1,2NxxxaM=−+==，NM，则实数a的取值范围是______.【答案】)

1,+【解析】【分析】由NM，可得N=或{1}或{2}或{1,2}，对集合N中的一元二次方程的判别式进行分类讨论，结合韦达定理可得出答案．【详解】NM，N=或{1}或{2}或{1,2}．①由440a=−，解得1a，1a时，N=，满足条件．②若0=，解得1a=，可得2

210xx−+=，解得1x=，因此{1}N=，不可能等于{2}．③0时，解得1a，若{1,2}N=，则122+=（不成立），舍去．综上可得：实数a的取值范围为[1,)+．故答案为[1,)+．【点睛】本题考查集合之间的基本关系、一元二次方程的解法，考查分类讨论思想、方

程思想的运用，考查推理能力与计算能力．14.关于x的不等式()210xaxa−++＜的所有整数解的绝对值之和为45,则实数a的取值范围是________.【答案】)109a,−−【解析】【分析】原式可变形为()()10xax−−＜，可分1,1,1aaa=三种情况

进行讨论【详解】()210xaxa−++＜即()()10xax−−＜①当1a时，()()10xax−−=的两根为121,xxa==，且12xx，不等式的解集为()1,a，简单列举符合的整数解有2,3,4,5,6,7,8,9,10……不管怎么取，所有整数

解的和都不会取到45，故1a不成立-10-②当1a=时，不等式无解③当1a时，不等式的解集为()1a,，简单列举符合的整数解有：0，-1，-2，-3，-4，-5，-6，-7，-8，-9……，此时0+12394

5−+−+−++−=，符合题意故当1a时，)109a,−−时，整数解的绝对值和为：45,故)109a,−−故答案为)109a,−−【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和不等式的基本性质，得出答案的关键在于列举数值，通过观察分析进一步得出结论，是中档题15.

已知定义在R上的奇函数()fx，当0x时，2()log(1)=+fxx，则使得(2)(1)fxfx−成立的x的取值范围为__________．【答案】{|1}xx−【解析】当x0时，()fx在(0,)+单调递增，又因为()fx定义在R上的奇函数，所

以()fxR在单调递增，由()()f2xfx1−，所以21xx−，得1x−．填{x|x1}−．16.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)内单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f

(12loga)≤2f(1)，则a的取值范围是________．【答案】1,22【解析】因为f(12loga)＝f(－log2a)＝f(log2a)，所以原不等式可化为f(log2a)≤f(1)．又f(x)在

区间[0，＋∞)上单调递增，所以|log2a|≤1，解得12≤a≤2.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）若sin2cos0−=，求2sincosco

ssincos++−的值.（2）计算：()()23lg5lg8lg1000lg2++.-11-【答案】（1）165；（2）3【解析】【分析】(1)由条件先求出tan2=，再利用三角函数的基本关系化弦为切，即可求解.(2)利用对数的运

算性质即可求解.【详解】（1）∵sin2cos0−=，∴tan2=原式原式222sincoscossincoscossin+=+−+22sin11tan11cossin1tantan11tan1cos++=+=++−+−22111

621125+=+=−+（2）原式()2lg5(3lg23)3lg2=++()23lg5lg23lg53lg2=++3lg2(lg5lg2)3lg5=++3lg23lg5=+3(lg2lg5)=+3=【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查三角函数基本关系的应用，考查

对数的运算性质，属于基础题.18.已知函数1()31fxxx=−−−的定义域为集合A，集合211Bxmxm=−+.（1）当0m=时，求AB；（2）若BA，求实数m的取值范围；（3）若,AB=求实数m的取值范围【答案】(1)[1,3]−；(2)(1,)+

；(3)(,0](2,)−+.【解析】【分析】-12-求函数()fx的定义域求得集合A，（1）根据并集的知识求得两个两个集合的并集.（2）将B分为,BB=两种情况，根据子集的概念列不等式，由此求得m的取值范围.（3）B分为,BB=两种情况，根

据AB=列不等式，由此求得m的取值范围.【详解】由3010xx−−解得(1,3A=.（1）当0m=时，1,1B=−，所以1,3AB=−.（2）当B=时，211,2mmm−+，符合BA.当B时，

根据BA得21121113mmmm−+−+，解得12m.综上所述，m的取值范围是()1,+.（3）当B=时，211,2mmm−+，符合AB=.当B时，21111mmm−++或21

1213mmm−+−，解得0m.综上所述，m的取值范围是(,0](2,)−+.【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查子集的概念及运用，考查两个集合交集为空集的知识和运算，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.1

9.已知函数()2()(2)4fxxaxaR=−++.（1）若关于x的不等式()0fx的解集为()1,b，求a和b的值；（2）若对14x，()1fxa−−恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）34ab==；（2）4a【解

析】【分析】（1）依题意1x=，xb=为方程2(2)40xax−++=的两解，利用韦达定理得到方程组，解得即可；-13-（2）依题意对任意的1,4x()2251xxax−+−恒成立，当1x=时，显然成立，当(1,4x时，参变分离，利用基本不等式求出

a的取值范围；【详解】解：（1）关于x的不等式()0fx的解集为()1,b，即1x=，xb=为方程2(2)40xax−++=的两解，所以124bab+=+=解得34ab==（2）对任意的1,4x，()1fxa−−恒成立，即2(2)50xaxa−+++对任意的

1,4x恒成立，即()2251xxax−+−恒成立，①当1x=时，不等式04恒成立，此时aR②当(1,4x时，2254111xxaxxx−+=−+−−，因为14x，所以013x−，所以()

44121411xxxx−+−=−−当且仅当411xx−=−时，即12x−=，即3x=时取等号，所以4a，综上4a【点睛】本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系，不等式恒成立问题，属于中档题.20.“大数据”时代的到来，人工智能的应用已在各个领域内得到了认可与大力推广，人工智

能AI教育也相应在北京、上海等大城市普及、某教育总公司开发了一款专门针对于中小学语数英教学的应用程序，据研究发现，题库总量x(单位：万，100x)与成本y(单位：万元)的关系由两部分构成：①固定成本：总计500万元；②浮动成本：20.60.002xx+万元.(1)该公司题库总量为多少时

，可使得每题的平均成本费用最低?最低费用为多少?(2)公司将该软件投放市场寻求加盟合作伙伴，加盟费为30万元，加盟人数与题库量满足一次关系pabx=+，已知当题库量为600万时，此时加盟人数为1000，公司总利润z(单位：万元)达到

最大值.试求a、b的值.(注：总利润＝加盟费-成本).【答案】(1)公司题库总量为500万时，可使得每题的平均成本费用最低，最低费用为2.6元/道(2)940a=，110b=-14-【解析】【分析】（1）由题意可知成本20.0020.6500yxx=++，推出5000.0020.6y

xxx=++，利用函数的单调性转化求解最小值即可；（2）依题意可知()20.002300.630500zxbxa=−+−+−利用二次函数的性质转化求解最大值，推出结果即可．【详解】(1)由题意可知成本20.0020.6500yxx=++，∴5000.0020.6yxxx=++，根据对勾函数的单调性

可知该函数在100,500递减，()500,+递增，所以当500x=时，yx取最小值为2.6．故该公司题库总量为500万时，可使得每题的平均成本费用最低，最低费用为2.6元/道；（2）依题意可知()2300.002300.630500zpyxbxa=−=−+−+−．

当()300.620.002bx−=−−时，z取最大值，∴()300.660020.002b−−=−，解得：110b=．又6001000ab+=，解得：940a=．综上所述，940a=，110b=．【点睛】本题主要考查对勾函数和二次函数模型的运

用，考查学生的计算能力，属于中档题．21.已知函数21()2xxfxa−=+的图象经过点11,3−−.（1）求a的值；（2）求函数()fx的定义域和值域；（3）判断函数()fx的奇偶性并证明.【答案】（1）1；

（2）定义域为R，值域为(1,1)−；（3）()fx是奇函数，证明见详解.【解析】【分析】（1）将函数过的点的坐标代入函数解析式，求解参数；-15-（2）利用分母不为零求定义域，采用不等式法求函数值域；（3）先判断函数的定义域是否关于

原点对称，再判断()fx与()fx−之间的关系.【详解】（1）由题意知11112112(1)1232faa−−−−−===−++，解得1a=.（2）因为212()12121xxxfx−==−++.∵20x，∴211x+，∴()fx的定义域为R.∵2(0,)x+，∴2(0,2)21x+

，∴()fx的值域为(1,1)−.（3）函数()fx是奇函数.证明如下：∵()fx的定义域为R，关于原点对称，且2112()()2112xxxxfxfx−−−−−===−++，∴()fx是奇函数，即证.【点睛】本题考查函数解析式，定义域和值域的求解，

以及函数奇偶性的证明，涉及指数运算，属函数综合基础题.22.已知函数()fx对于任意实数,xyR恒有()()()fxyfxfy+=+，且当0x时，()0fx，又(1)2f=−.(1)判断()fx的奇偶性并证明；(2)()fx在区间3,3−的最大值；(3

)解关于x的不等式.2()2()()4faxfxfax−+＜.【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）6；（3）见解析.【解析】【分析】（1）取0xy==可得(0)0f=；再取yx=−代入即可；-16-（2）先判断函数的单调性，再求函数的最值；（3）

由于()fx为奇函数，整理原式得2()(2)()(2)faxfxfaxf+−+−；即2(2)(2)faxxfax−−；再由函数的单调性可得222axxax−−，从而求解．【详解】（1）取0xy==，则(00)(0)(0)fff+=+；则(0)

0f=；取yx=−，则()()()fxxfxfx−=+−，()()fxfx−=−对任意xR恒成立()fx为奇函数；（2）任取1x，2(,)x−+且12xx，则210xx−；2121()()()0fxfxfxx+−=−；21()(

)fxfx−−，又()fx为奇函数12()()fxfx；()fx在(,)−+上是减函数；对任意[3x−，3]，恒有()(3)fxf−„，而(3)(21)(2)(1)3(1)236fffff=+=+==−

=−，(3)(3)6ff−=−=；()fx在[3−，3]上的最大值为6；（3）()fx为奇函数，整理原式得2()(2)()(2)faxfxfaxf+−+−；即2(2)(2)faxxfax−−；-17-而()fx

在(,)−+上是减函数，222axxax−−；(2)(1)0axx−−．当0a=时，(,1)x−；当2a=时，{|1xxx且}xR；当0a时，2{|1}xxxa；当02a时，2{|xx

xa或1}x；当2a时，2{|xxxa或1}x.【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、最值及解抽象不等式，考查分类讨论思想、函数与方程思想的运用，考查运算求解能力．