【文档说明】2023届广东省六校联考（广州二中、中山纪中、东莞中学、珠海一中、深圳实验、惠州一中）高三第四次联考数学试题 含解析.docx，共(14)页，776.569 KB，由小赞的店铺上传

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广东省2023届高三六校第四次联考数学满分：150分。考试时间：120分钟。注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。并用2B铅笔将对应的信息点涂

黑，不按要求填涂的，答卷无效。2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应

位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回。一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题的四个选项中，只有

一项符合题目要求。1.已知集合𝑀={𝑥|𝑦=ln𝑥}，集合𝑁={𝑦|𝑦=1𝑥−1}，则𝑀∩𝑁=()A.{𝑥|𝑥>0且𝑥≠1}B.{𝑥|𝑥≠1}C.{𝑥|𝑥>0}D.{𝑥|𝑥≠0}2.如图，在复平面内，复数𝑧对应的点为

𝑃，则复数𝑧1+𝑖的虚部为()A.12B.32C.12𝑖D.32𝑖3.已知𝛼,𝛽是空间中两个不同的平面，𝑚,𝑛是空间中两条不同的直线，则下列命题中正确的是()A.若𝑚//𝑛，𝑛⊂𝛼，则𝑚//𝛼B.若𝑚//𝛼，𝑚//𝛽，则𝛼//𝛽C.

若𝛼⊥𝛽，𝑚⊂𝛼，则𝑚⊥𝛽D.若𝑚⊥𝛼，𝑛⊥𝛽，𝑚⊥𝑛，则𝛼⊥𝛽4．已知数列{an}的前n项和为Tn，数列{Tn}是递增数列是a2023≥a2022的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5.八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有

鲜明特色的花纹。八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样。八角星纹以白彩绘成，黑线勾边，中为方形或圆形，具有向四面八方扩张的感觉。八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八

角大汶口文化八角星纹。图2是图2-1yxOP1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形(如)为等腰直角三角形，点为圆心，中间部分是正方形且边长为2，定点,所在位置如图所示，则的值为（）图1图2A.10B.12C.14D.166、把二项式932xx（+）的所有展开项重新

排列，求有理项不相邻的概率为（）A.25B.16C.542D.137、已知双曲线222:14xyMb−=的左，右焦点分别为F1，F2，记|F1F2|＝2c，以坐标原点O为圆心，c为半径的圆与双曲线M在第一象限的交点为P.若14PFc=+，则双曲线的离心率为()A

.31+B.312+C.322+D.332+8、已知函数()2ln1xfxaxxxe=++−，对任意的0x，()0fx≤恒成立，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对5分，部分选

对得2分，有选错得0分。9、已知𝑓(𝑥)的图象可由𝑔(𝑥)=12sin(2𝑥+𝜋4)的图象向右平移𝜋8个单位长度得到，则下列说法正确的是()A．()fx的最小正周期为𝜋B．()fx在[0，𝜋4]上单调递增C．当𝑥∈[0，𝜋4]时，()fx的取值范围为[−√34，√3

4]D．()fx是偶函数ACDOABABAO(,0−(,2−(,1−(,3−CD10．若抛物线C：24yx=的焦点为𝐹，准线为l,点M在抛物线C上且在第一象限，直线MF的斜率为√3，M在直线l上的射影

为A,则下列选项正确的是（）A.𝐹到直线1yx=+的距离为3B.△MAF的面积为4√3C.𝐴𝐹的垂直平分线过点MD.以MF为直径的圆过点(0，2)11、已知函数21()exxxfx+−=，则下列结论正确的是（）

A．函数()fx只有两个极值点B．方程()fxk=有且只有两个实根,则𝑘的取值范围为0ek−C.方程(())1ffx=−共有4个根D．若当[,)xt+时，max25()efx=，则t的最大值为212、如图，矩形ABCD中，4,2ABBC

==，E为边AB的中点，沿DE将ADE折起，点A折至1A处（1A平面ABCD），若M为线段1AC的中点，平面与平面所成锐二面角，直线与平面所成角为，则在ADE折起过程中，下列说法正确的是（）A．存在某个位置，使得1BMAD⊥B．1AEC△面

积的最大值为22C.D．三棱锥𝐴1−𝐸𝐷𝐶体积最大时，三棱锥𝐴1−𝐸𝐷𝐶的外接球的表面积16𝜋三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、已知0,0xy，且41xy+=，则19xy+的最小值是．14、若斜率为3的直线与y轴交于点A，与圆2

21xy+=相切于点B，则||AB=．15、某公司在某地区进行商品A的调查，随机调查了100位购买商品A的顾客的性别，其中男性顾客18位，已知该地区商品A的购买率为10%，该地区女性人口占该地区总人口的46%.从该地区中任选一人，若此人是男性，求此人购买商品A的概率.1ADEDEBC1A

EDEBCsin2sin=16、数列中，表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如：的因数有的因数有那么数列前22023−1项的和𝑆22023−1=.四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18—22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、（10分）

已知等差数列na的前𝑛项和为nS，数列nb是公比为2的等比数列，且11a=，36S=，24b=．（1）求数列na,nb的通项公式；（2）数列na与nb中的所有项分别构成集合A，B.将集合|x

xAxB且中的所有元素从小到大依次排列构成新数列nc，求数列nc的前20项和20T.18、（12分）已知ABCV的角,,ABC的对边分别为,,abc，且sin(coscos)sinsinsinAcBbCcBcCbB+−=+，(1)求角𝐴;(2)若AD平分BAC交线段BC于

点D，且𝐴𝐷=1，𝐵𝐷=2𝐶𝐷，求ABCV的周长.19、（12分）如图，在三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，平面𝐴𝐶𝐶1𝐴1⊥平面𝐵𝐶𝐶1𝐵1，侧面𝐴𝐶𝐶1𝐴

1是边长为2的正方形，𝐶1𝐵=𝐶1𝐶=2，𝐵𝐶1⊥𝐴1𝐶，𝐸、𝐹分别为𝐵𝐶、𝐴1𝐵1的中点.（1）求证：𝐵𝐶1⊥𝐸𝐹；（2）求二面角𝐵1−𝐹𝐶1−𝐵的余弦值.nanan20201,

2,4,5,10,20,5,a=21211,3,7,21,21,a=na20、（12分）为了增强学生的国防意识，某中学组织了一次国防知识竞赛，高一和高二两个年级学生参加知识竞赛，（1）两个年级各派50名学生参加国防知识初赛，成绩均在区间50,100上，现将成

绩制成如图所示频率分布直方图（每组均包括左端点，最后一组包括右端点），估计学生的成绩的平均分（若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）两个年级各派一位学生代表参加国防知识决赛，决赛的规则如下：①决赛一共五轮，在每一轮中

，两位学生各回答一次题目，两队累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，分数持平，则并列为冠军；②如果在答满5轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满5次题可能答对的题目数量，则不需再答题，譬如：第3轮结束时，双方答对题目数量比为3：0，则不

需再答第4轮了；③设高一年级的学生代表甲答对比赛题目的概率是，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是，每轮答题比赛中，答对与否互不影响，各轮结果也互不影响.(i)在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了3轮题，且每次答题互不影响，记X为答对题目的数

量，求X的分布列及数学期望.(ii)求在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率.342321、（12分）已知椭圆22221xyab+=（a＞b＞0），A、B两点分别为椭圆的左顶点、下顶点，F是椭圆的右焦点，且∠FAB＝6，直线l与椭圆相切与P（P在第一象限），与y轴相交于

Q（Q异于P）．记O为坐标原点，若△OPQ是等边三角形，且△OPQ的面积为32，（1）求椭圆的标准方程．（2）C、D两点均在直线m：x＝a上，且C在第一象限．设直线AD、BC分别交椭圆于点S、点T，若S、T关于原点对称，求|CD|的最小值.22

、（12分）已知函数有两个零点，，且（1）求的取值范围；（2）证明：(=ln1fxxax−+）1x2x122xxa222112()42xxexx+数学参考答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求。12345678CBDDC

BAB二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对5分，部分选对得2分，有选错得0分。9101112ABBCACDBCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.2514.√315.13016

.42023−13四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18~22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）解：(1)数列na为等差数列，且11a=，36

S=32236,2Saa===即1ndan==即........2分数列nb是公比为2的等比数列,24b=122nnbb==即........4分（2）由（1）知BAn{c}{b}nna数

列的元素是由数列中去除数列数列na中去掉2,4,8,16，........6分202412424=24816=30=2702TS+−−−−−（）.......10分18．（12分）解：（1）由余弦定理得222222coscos22acbabccBbCcbaacab+−+−+=

+=.......2分所以sin(coscos)sinsinsinAcBbCcBcCbB+−=+可化为sinsinsinsinaAcBcCbB−=+再由正弦定理得222acbcb−=+，得222cbabc+−=−，所以2221cos22bcaAb

c+−==−.因为(0,)A，所以23A=.......5分（2）因为AD平分BAC，所以3BADCAD==.由1211sinsinsin232323ABCBADCADSSSbccADbAD=+

=+，得bcbc=+........7分作AEBC⊥于E，则11sin232211sin232ABDACDcADBDAEScBDSbDCbADCDAE====........9分由2bcbccb=+=，解得3,3,2cb

==由余弦定理，得222632cos4abcbcA=+-=，所以372a=故ABCV的周长为9372+.......12分19.（12分）(1)证明：∵面𝐴𝐶𝐶1𝐴1⊥面𝐵𝐶𝐶1𝐵1，面𝐴𝐶𝐶1𝐴1

∩面𝐵𝐶𝐶1𝐵1=𝐶𝐶1，𝐴1𝐶1⊥𝐶𝐶1，𝐴1𝐶1⊂面𝐴𝐶𝐶1𝐴1，∴𝐴1𝐶1⊥面𝐵𝐶𝐶1𝐵1，……1分∵𝐵𝐶1⊂面𝐵𝐶𝐶1𝐵1，∴𝐴1𝐶1⊥

𝐵𝐶1，又∵𝐵𝐶1⊥𝐴1𝐶，𝐴1𝐶1∩𝐴1𝐶=𝐴1，∴𝐵𝐶1⊥面𝐴𝐶𝐶1𝐴1，……2分取𝐴1𝐶1的中点𝐺，连接𝐹𝐺、𝐶𝐺，∵𝐶𝐺⊂面𝐴𝐶𝐶1𝐴1,∴𝐵𝐶1⊥𝐶𝐺,……3分又∵𝐹𝐺//𝐵1�

�1//𝐸𝐶，𝐹𝐺=𝐸𝐶=12𝐵1𝐶1，∴四边形𝐸𝐹𝐺𝐶为平行四边形，∴𝐸𝐹//𝐶𝐺，……4分∴𝐵𝐶1⊥𝐸𝐹.……5分(2)解：方法一：∵𝐵𝐶1⊥面𝐴𝐶𝐶1𝐴1，∴𝐵𝐶1⊥𝐶𝐶1，如图，以𝐶1为坐标原点，𝐶1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,�

�1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐶1𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的方向分别为𝑥轴，𝑦轴，𝑧轴的正方向建立空间直角坐标系，则𝐶1(0,0,0)，𝐵(2,0,0)，𝐵1(2,−2,0)，𝐹(1,−1,1)，∴𝐶1𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,−2,0)，𝐶1𝐹⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗=(1,−1,1)，𝐶1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,0,0)，……6分设平面𝐵1𝐹𝐶1的一个法向量为𝑚⃗⃗=(𝑥1,𝑦1,𝑧1)，则{𝐶1𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑚⃗⃗=2𝑥1−2𝑦1=0𝐶1𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑚⃗⃗=𝑥1−𝑦1+�

�1=0，∴可取𝑚⃗⃗=(1,1,0)，……8分设平面𝐹𝐶1𝐵的一个法向量为𝑛⃗=(𝑥2,𝑦2,𝑧2)，则{𝐶1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑛⃗=2𝑥2=0𝐶1𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑛⃗=𝑥2−𝑦2+𝑧2=0，∴

可取𝑛⃗=(0,1,1)，……10分设二面角𝐵1−𝐹𝐶1−𝐵为𝜃，则cos𝜃=cos〈𝑚⃗⃗,𝑛⃗〉=𝑚⃗⃗⃗∙𝑛⃗|𝑚⃗⃗⃗||𝑛⃗|=1√2×√2=12，所以二面角𝐵1−𝐹𝐶1−𝐵的余弦值为12.……12分方法二

：取𝐵1𝐶1的中点𝐻，过点𝐻作𝐻𝑃⊥𝐹𝐶1于点𝑃，连接𝐵𝐻,𝐵𝑃，……6分∵𝐵𝐵1=𝐵𝐶1=2，𝐻为𝐵1𝐶1的中点，∴𝐵𝐻⊥𝐵1𝐶1，由(1)可知，𝐴1𝐶1⊥面𝐵𝐶𝐶1𝐵1，∴𝐴1𝐶1⊥𝐵𝐻，且𝐵

1𝐶1∩𝐴1𝐶1=𝐶1，∴𝐵𝐻⊥面𝐴1𝐵1𝐶1，……7分∴𝐵𝐻⊥𝐹𝐶1，又∵𝐻𝑃⊥𝐹𝐶1，𝐵𝐻∩𝐻𝑃=𝐻，∴𝐹𝐶1⊥面𝐵𝐻𝑃，∴𝐹𝐶1⊥𝐵𝑃，∴∠𝐵𝑃𝐻即为二面角𝐵1−𝐹𝐶1−𝐵的平面角，……8分又∵�

�𝑃𝐶1𝐻=𝐴1𝐶1𝐴1𝐵1，𝐶1𝐻=√2，𝐴1𝐶1=2，𝐴1𝐵1=2√3，∴𝐻𝑃=√63，……9分而𝐵𝐻=√2，∴𝐵𝑃=√𝐵𝐻2+𝐻𝑃2=2√63，……

.10分∴cos∠𝐵𝑃𝐻=𝐻𝑃𝐵𝑃=12，……11分所以二面角𝐵1−𝐹𝐶1−𝐵的余弦值为12.……12分20.（12分）解：(1)由频率分布直方图可知：10(0.0060.0080.

0260.042)1a++++=可得0.018a=……2分平均分的估计值为:0.08550.26650.42750.18850.069573.8++++=……3分学生的成绩的平均分的估计值为73.8分.(2)(i)由题可得,3(3,)4XB∼,X的可能取值

为0,1,2,3331(0)(1)464PX==−=123339(1)(1)4464PXC==−=……4分2233327(2)()(1)4464PXC==−=33033327(3)()(1)4464PXC==−=……5分X的分布列为X0123P1649642764276

49()4EX=……7分(2)(ii)将“在第4轮结束时,学生代表甲答对3道题并刚好胜出”记为事件A,“在第4轮结束时,学生代表乙答对0道题”记为事件1A,“在第4轮结束时,学生代表乙答对1道题”记为事件2A,2241333321()()(1)(1)4443256PAC=−

−=……9分313221323343322333225()()(1)(1)(1)()(1)443344433128PACCC=−−+−−=……11分1211()()()256PAPAPA=+=.……12分21．（12分）（1）解：∵∠FAB＝，则𝑎=√3𝑏

……1分∵△OPQ是等边三角形，∴𝑆△𝑂𝑃𝑄=√32=√34𝑂𝑃2，则𝑂𝑃=√2……3分∵∠𝑄𝑂𝑃=60°，∠𝑃𝑂𝐹=30°，则𝑦𝑝=√22，𝑥𝑃=√62……4分将𝑃(√22，√62)代入𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1，64𝑎

2+12𝑏2=1∴{𝑎=√3𝑏64𝑎2+12𝑏2=1解得{𝑎=√3𝑏=1∴椭圆的标准方程为𝑥23+𝑦2=1……6分（2）𝐵（0，﹣1），𝑇（√3cosθ，sinθ），0<𝜃<𝜋2，则直线𝐵𝑇：𝑦=𝑠𝑖𝑛𝜃+1√3cos𝜃𝑥−

1，所以C（√3，𝑠𝑖𝑛𝜃+1cos𝜃−1），……7分A（﹣√3，0），S（﹣√3cosθ，﹣sinθ），则直线AS：𝑦=𝑠𝑖𝑛𝜃√3cos𝜃−√3(𝑥+√3)，所以D（√3，2𝑠𝑖𝑛𝜃cos𝜃−1），……8分所以|𝐶𝐷|=|�

�𝑖𝑛𝜃+1cos𝜃−1−2𝑠𝑖𝑛𝜃cos𝜃−1|=|2𝑠𝑖𝑛𝜃2𝑐𝑜𝑠𝜃2+𝑠𝑖𝑛2𝜃2+𝑐𝑜𝑠2𝜃2𝑐𝑜𝑠2𝜃2−𝑠𝑖𝑛2𝜃2−4𝑠𝑖𝑛𝜃2𝑐𝑜𝑠𝜃2−2𝑠𝑖𝑛2𝜃2−1|……10分设𝑡𝑎𝑛𝜃2=

t(0<𝑡<1)，则|𝐶𝐷|=|2(11−𝑡+1𝑡)−2|，∵1𝑎+1𝑏≥4𝑎+𝑏，∴11−𝑡+1𝑡≥41−𝑡+𝑡=4，当且仅当𝑡=12时，等号成立，所以|𝐶𝐷|≥6即|

CD|的最小值为6．……12分22.（12分）（1）解：因为()ln1fxxax=−+的定义域为（0，+∞），所以()11axfxaxx−=−=…1分当a≤0时，()0fx恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，故f（

x）不可能有两个零点，故舍去；……2分当a＞0肘，令()0fx，解得10xa，令()0fx，解得1xa，所以f（x）在1(0,)a上单调递增，在1(,)a+上单调递减，……3分所以f（x）max＝1()fa＝1lna，要使f（x）有两个零点，

则f（x）max＝1()fa＝1lna＞0，解得0＜𝑎＜1，……4分又111()ln10afaeeee=−+=−，22444242()ln1110faaaaaa=−+−+=−，所以当0＜a＜1时，f（x）在11(,)ea和214(,

)aa上各有一个零点x2，x1……5分且x1＞2x2，所以1122ln10ln10xaxxax−+=−+=，由f（x）单调性知，当x∈（x2，x1）时，f（x）＞0，当x∈（x1，+∞）时f（x）＜0，因为x2＜2x2＜x1，所以f（2x2

）＞0，即ln（2x2）﹣a﹣2x2+1＞lnx2﹣ax2+1，所以ax2＜ln2，而ax2﹣lnx2+1＜ln2，所以0＜x2＜，所以a＝，……6分令h（x）＝，x∈（0，），则h′（x）＝＝＞0，所以h（x）

在（0，）上单调递增，所以h（x）＜h（）＝＝，所以a∈（0，）．……7分（2）222112122xxeexxxx+要证22211242xxexx+，即证12242exx，即证1228xxe

，即证12lnln3ln22xx+−=+=+22111ln1lnaxxaxx，设2＞12,txtx=……9分11lnln2−−=ttx，tttxln11lnln1+−−=，122lnlnlnln

21txxtt+=+−−令()2ln1ln2−+−=ttttg，()()2212ln1ttgttt−−=−令()tttln212−−=，()2t20tt=−＞∴()()+1，在t∴()()01＞=t∴()()+，2在g

t∴()()gg23ln22t=−＞得证……12分获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com