【文档说明】2021-2022学年高中数学人教A版必修1讲义：第一章　集合与函数概念 阶段综合提升 含解析【高考】.doc，共(6)页，291.500 KB，由小赞的店铺上传

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-1-[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]求函数的定义域【例1】(1)求函数y＝5－x＋x－1－1x2－9的定义域．(2)将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的解析式，并写出此函数的定义域．[解](1)解不等式组5－x≥0，x－1≥

0，x2－9≠0，得x≤5，x≥1，x≠±3，故函数的定义域是{x|1≤x≤5且x≠3}．(2)设矩形的一边长为x，则另一边长为12(a－2x)，所以y＝x·12(a－2x)＝－x2＋12ax，定义域为x0<x<12a.1．已给出函数解析式：函数的

定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．2．实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．[跟进训练]-2-1.函数f(x)＝3x21－x＋(3x－1)0的定义域是()A.－∞，13B.13，1C.－13，13D.－∞，1

3∪13，1D[由1－x>0，3x－1≠0，得x<1且x≠13，故选D.]求函数的解析式【例2】(1)函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时，f(x)＝x＋1，则f(x)的解析式为________．(2)已知f1＋xx＝1＋x2x2＋1x，

则f(x)的解析式为______．(1)f(x)＝1＋x，x>00，x＝0，－－x－1，x<0(2)f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)[(1)设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－x＋1.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即－f(x)＝－

x＋1，∴f(x)＝－－x－1.∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，∴f(x)＝1＋x，x>0，0，x＝0，－－x－1，x<0.(2)令t＝1＋xx＝1x＋1，则t≠1.把x＝1t－1代入f

1＋xx＝1＋x2x2＋1x，-3-得f(t)＝1＋1t－121t－12＋11t－1＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1.所以所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．]求函数解析式的题型与相应的解法(

1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法.(2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系数法.(3)含f(x)与f(－x)或f(x)与f1x，使用解方程

组法.(4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法.[跟进训练]2．(1)已知f(x)－3f(－x)＝2x－1，则f(x)＝________.(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b∈R，a≠

0)满足条件：①当x∈R时，f(x)的图象关于直线x＝－1对称；②f(1)＝1；③f(x)在R上的最小值为0.求函数f(x)的解析式．(1)12x＋12[因为f(x)－3f(－x)＝2x－1，以－x代替x得f(－x)－3f(x)＝－2x－1，两式联立得f(x)＝12x

＋12.](2)[解]因为f(x)的对称轴为x＝－1，所以－b2a＝－1即b＝2a，又f(1)＝1，即a＋b＋c＝1，由条件③知：a>0，且4ac－b24a＝0，即b2＝4ac，由上可求得a＝14，b

＝12，c＝14，所以f(x)＝14x2＋12x＋14.-4-函数的性质及应用【例3】已知函数f(x)＝ax＋b1＋x2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f12＝25.(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数．思路点拨：(1)用f(0)＝

0及f12＝25求a，b的值；(2)用单调性的定义求解．[解](1)由题意，得f(0)＝0，f12＝25，∴a＝1，b＝0，故f(x)＝x1＋x2.(2)任取－1<x1<x2<1，则f(x1)－f(x2)＝x11＋x21－x21＋x

22＝(x1－x2)(1－x1x2)(1＋x21)(1＋x22).∵－1<x1<x2<1，∴x1－x2<0,1＋x21>0,1＋x22>0.又－1<x1x2<1，∴1－x1x2>0，∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x)在(－1,1)上是增函数．1．在本

例条件不变的情况下解不等式：f(t－1)＋f(t)<0.[解]由f(t－1)＋f(t)<0得f(t－1)<－f(t)＝f(－t)．∵f(x)在(－1,1)上是增函数，∴－1<t－1<－t<1，∴0<t<12，∴不等式的解集为t0<t<

12.2．把本例条件“奇函数”改为“偶函数”，求f(x)的解析式．[解]由题意可知，f(－x)＝f(x)，即－ax＋b1＋x2＝ax＋b1＋x2，∴a＝0，又f12＝25，∴b＝12，∴f(x)＝12＋2x2.-5-巧用奇偶性及单调性解不等式(1)利

用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式.(2)根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为

简单不等式求解.函数的图象及应用【例4】已知：函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)．(1)求证：f(x)是偶函数；(2)画出这个函数的图象；(3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)的单调性；(4)求函数f(x)的值域．[解](1)证明

：∵函数的定义域为[－3,3]，关于原点对称，又∵f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2)当0≤x≤3时，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，当－3≤x<0时，

f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，即f(x)＝(x－1)2－2，0≤x≤3，(x＋1)2－2，－3≤x<0.根据分段函数的作图方法，可得函数图象如图所示．(3)函数f(x)的单调区间为：[－

3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]．f(x)在[－3，－1)，[0,1)上为减函数；在[－1,0)，[1,3]上为增函数．(4)由f(x)的图象可知函数的值域为[－2,2]．因为函数的图象从图形上很好地反映了函数的性质，所以在研究函数的性质时要注意结合图象，在解方程和不等式时有时需画

出图象，利用数形结合能达到快速解题的目的．-6-[跟进训练]3．已知函数f(x)是定义在[－4,4]上的奇函数，且当x∈[0,4]时，f(x)＝－2x2＋4x，0≤x＜2，12x2－x，2≤x≤

4.(1)在平面直角坐标系中，画出函数f(x)的图象；(2)根据图象，直接写出f(x)的单调增区间，同时写出函数的值域．[解](1)函数f(x)的图象如图所示．(2)根据图象可知，函数的增区间为(－4，－2)，(－1,1)，(2,4)，函数的值域为[－4,4]．