【文档说明】浙江省绍兴市嵊州市2020届高三下学期第三次教学质量调测数学试题 【精准解析】.doc，共(26)页，2.146 MB，由小赞的店铺上传

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嵊州市2020年上半年高三第三次教学质量调测数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U=R，集合02Axx=，21Bxx=，则()UAB=ð（）A.01xx

B.12xxC.1xx−，或12xD.1xx−，或0x【答案】B【解析】【分析】首先求出UBð，再求()UAB∩ð即可.【详解】因为211UBxxxx==ð或1x−，所以()12UABxx=ð.故选：B【点睛】本题主要考查集合的运算，同时考

查二次不等式，属于简单题.2.欧拉公式ecossinixxix=+（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，ei表示的复数在复平面中位于第_______

_象限（）A.一B.二C.三D.四【答案】A【解析】【分析】首先根据题意得到ecos1sin1ii=+，从而得到对应的点为()cos1,sin1，再判断象限即可.【详解】由题知：ecos1sin1ii=+，在复平面对应的点为()cos1,sin1，因为cos10，sin10，所以

ei表示的复数在复平面中位于第一象限.故选：A【点睛】本题主要考查复数的几何意义，同时考查任意角的三角函数，属于简单题.3.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：3cm）是（）A.6B.7C.22

7D.233【答案】B【解析】【分析】作出几何体的直观图，可知该几何体是直五棱柱，计算出底面积，利用柱体的体积公式可得结果.【详解】几何体的直观图如下图所示：可知该几何体是直五棱柱，且底面为在边长为2cm的正方形中截去

一个腰长为1cm的等腰直角三角形所形成的平面图形，其底面积为()222172122Scm=−=，该直五棱柱的高为2hcm=，因此，该几何体的体积为()37272VShcm===.故选：B.【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题

.4.“xy”是“xy”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】利用取特殊值法判断即可.【详解】取特殊值代入，当4,0xy=−=时，满足xy但xy，所以不充分；

当x1,y2==−时，满足xy，但xy，所以不必要；故“xy”是“xy”的既不充分也不必要条件.故选：D.【点睛】本题主要考查了对充分条件和必要条件的判断.属于较易题．5.已知x，y满足不等式组320,230,0,xyxyy+−−+若kxy−

的最小值是54−，则实数k的值是（）A.58−或512B.14或58C.58−或14D.512或14【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，令zkxy=−，再对k分类讨论，数形结合计算可得；【详解】解：

由约束条件320,230,0,xyxyy+−−+作出可行域如图，令zkxy=−，则ykxz=−当0k时，直线ykxz=−过点()1,1C−时，z取得最小值，因为min54z=−，即所以14k=；当k0时，直线ykxz=−过

点()2,0D时，z取得最小值，因为min54z=−，所以58k=−；故选：C【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题．6.函数()2xbfxxa+=+的部分图象如图所示，则（）A.0a，且0bB.0a，且0bC.0a，且0bD.0a，且0b【

答案】A【解析】【分析】根据函数的定义域和()00f再结合函数的图象即可得到答案.【详解】因为()2xbfxxa+=+的定义域为xa?，有图象知：0a−，所以0a.又因为()00bfa=，所以0b.故选：A【点睛】本题主要考查函数的图象

，特值法为解题的关键，属于简单题.7.安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（A.60种B.90种C.150种D.300种【答案】C【解析】【分析】首先按每个人工作的项目数，分成1,1,3和2,2,1，再分别计算即可.【详解】按每个人工作的项目数

，分成两种情况，第一种情况，项目数为1,1,3，共有311352132260CCCAA=种，第二种情况，项目数为2,2,1，共有221353132290CCCAA=种，总共的方法共有150种.故选：C【点睛】本题主要考查均匀

分组问题，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.8.在正方体1111ABCDABCD−中，点M，N分别是直线AD，BC上的动点，点P是11ABD内的动点（不包括边界），记直线1AP与MN所成角为，若的最

小值为3，则点P的轨迹是（）A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.抛物线的一部分D.双曲线的一部分【答案】B【解析】【分析】直线1AP与MN所成角的最小值是直线1AP与面ABCD所成角，即原问题转化为：直线1AP与面ABCD所成角为3，求点P的轨迹．延长1AP交面ABCD于点K，则

K在面ABCD内的轨迹为圆的一部分，则将点P的轨迹转化为平面截圆锥面所得曲线．【详解】解：直线1AP与MN所成角的最小值是直线1AP与面ABCD所成角，即原问题转化为：直线1AP与面ABCD所成角为3，求点P的轨迹．延长1AP交面ABCD于点K，因为1AA⊥面ABCD，所以1AKA

就是直线1AP与面ABCD所成角，1136AKAAAK==，11333AAKAAAAK==，则K在面ABCD内的轨迹为以A为圆心，133AA为半径的圆的一部分，1AK的轨迹是以1AA为轴的圆锥面的一部分，点P是11ABD内的动点（不包括边界），其在11ABD内的轨迹，等

价于平面11ABD截圆锥面所得的曲线，取11BD的中点O，连接1,AOAO，设正方体的棱长为1，11112=22AOBD=，1123tantan23AAOAAK==，112AAOAAK，即圆锥的轴与截面所成的角大于轴与母线的夹角，小于直角，平面11ABD截圆锥面所得的曲

线为椭圆的一部分.故选：B.【点睛】本题考查线线角、线面角及空间轨迹问题，求解时注意判断截面与圆锥的轴所成角与圆锥母线与轴所成角的大小关系，中档题.9.已知,abR，设函数()2fxxaxb=++，函数()2gxxcxd=++，若函数()()()()yfg

xgfx=−没有零点，则（）A.ac=，且bd=B.ac，且bd=C.ac=，且bdD.ac，且bd【答案】C【解析】【分析】函数()()()()yfgxgfx=−没有零点，等价于()()fxgxx=

=无解.【详解】若()()()()yfgxgfx=−没有零点，即()()()()fgxgfx=无解，即()()fxgxx==无解，所以()()2211xaxbxcxd+−+=+−+无解，整理得()acxdb−=−无解所以,acbd=.故答案选：C.【点睛】本题以二次

函数为载体考查复合函数零点问题，题目较难，考查学生分析转化问题的能力.解答复合函数题目时，注意利用换元思想、整体思想等.10.已知数列na和nb，11a=，11b=，11nnnnnaabab+++=，11nnnnnbabba+++=，（）A.202012aB.

202013aC.20203bD.20205b【答案】B【解析】【分析】先计算11na++与11nb++，再计算111111nnab++−++找出na、nb的关系，然后判断项的大小.【详解】由10a，1

0b及递推关系式可知0na，0nb.()()()()11111111nnnnnnnnabababba+++++=+++=，即()()()()1111111111nnnnnnnnbaababab++

=+++=+++所以()()()()()()()()11111111111111nnnnnnnnnnnnbabaabababab+++−+−=−=++++++++1111nnab=−++，则20202020201920192018201811

11111111011111111ababaaab−=−=−==−=++++++++，故nnab=，代入11nnnnnaabab+++=得所以21111nnnnnnaaaaaa+++==++，则1111nnnaaa+−=+，又11a=所

以，202013a.故选：B【点睛】本题考查数列的递推关系式及应用，难度较大.解答时要针对递推关系式合理变形，发现规律.二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11.双曲线2212xy

−=的实轴长是________，离心率是________.【答案】(1).22(2).62【解析】【分析】根据双曲线的标准方程得到,ab的值，计算出c的值，再根据实轴的概念和离心率公式可得结果.【详解】在双曲

线2212xy−=中，22a=，21b=，所以2a=，22213cab=+=+=，所以实轴长为222a=，离心率为3622ca==.故答案为：22；62.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，属于基础题.12.设()()()()62601261111xaaxaxax−=+

++++++，则6a=________，0126aaaa++++=________.【答案】(1).1(2).1【解析】【分析】先用赋值法求出0126aaaa++++的值，再利用二项式定理写出通项，代入数值即可得出答案.【详解

】令0x=，得：1=0126aaaa++++，因为66(1)[2(1)]xx−=−++，所以6660166(2)(1)(2)1rrrrTCxaC−+=−+=−=.故答案为：1；1.【点睛】本题主要考查了二项

式定理、赋值法等知识.属于较易题.13.已知102a，102b，随机变量X的分布列是：X012P12ab若()23EX=，则a=________，()DX=________.【答案】(1).13(2).59【解析】【分析】根据

分布列的基本性质和期望公式可得出关于a、b的方程组，解出a、b的值，然后利用方差公式可求得()DX的值.【详解】由题意可得()112223102102abEXabab++==+=，解得1316ab==，因此，()222212121501232

33369DX=−+−+−=.故答案为：13；59.【点睛】本题考查分布列性质的应用，同时也考查了期望和方差的计算，考查计算能力，属于基础题.14.在ABC中，D是BC边上一点，

满足2BDDC=，若3BAC=，433BD=，则ABC的面积的最大值是________，此时BCAC=________.【答案】(1).33(2).1【解析】【分析】根据余弦定理及基本不等式可求出bc的最大值，再由三角形面积公式即可求出面积的最大值，由等号成立条件可得BC

AC的值.【详解】2BDDC=，433BD=，=23BC，2212212cos322bcbcbcbc+−−=Q，212bcbc−，即12bc，当且仅当23bc==时，等号成立，113sin1233222ABCSbcA==V，此时23123BCAC==,故

答案为：33；1【点睛】本题主要考查了余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式，考查了运算能力，属于中档题.15.已知单位向量a，b的夹角为3，()catbtR=−+，则cca+−的最小值为________.【答

案】7【解析】【分析】首先计算2c和()2ca−，从而得到()()222213010322cctta−+−+−+−+−=，再利用cca+−的几何意义即可得到答案.【详解】由题知：2222222213132102422catabtbtttt=−+=−+

=−+=−+−，()()()()222222222=4424103caatbatabtbttt−=−+−+=−+=−+−.所以()()222213010322cctta−+

−+−+−+−=，几何意义为(),0t到13,22和()1,3的距离之和.因为点13,22关于x轴的对称点为13,22−，所以()mi2n21313=722cca−+−−

=+−.故答案为：7【点睛】本题主要考查向量数量积和模长的应用，同时考查学生的转化能力，属于中档题.16.已知函数()132xafx−=，函数()22gxxx=−+，记()

()()min,mxfxgx=，其中min,pq表示实数p，q中较小的数.若对xR都有()34mx成立，则实数a的取值范围是________.【答案】32a−，或72a【解析】【分析】

首先根据题意可知当12x或32x时，()34gx恒成立，又对xR都有()34mx成立，则1322x，时，()13324xafx−=恒成立，再对a进行分类讨，求出(

)fx的最值，由此即可求出结果.【详解】由于对xR都有()34mx成立，令()2324gxxx=−+，可得12x或32x；所以当1322x，时，()13324xafx−=恒成立；当12a时，()13

2xafx−=在区间1322，上单调递减，所以()12max132afx−=，所以()12max13324afx−=，可得122a−，所以32a−或52a，所以32a−；当32a时，()132xafx−=在

区间1322，上单调递增，所以()32max132afx−=，所以()32max13324afx−=，可得322a−，所以12a−或72a，所以72a；当1322a时，()132xafx−=在区间1,2a上单调递增，

在3,2a上单调递减，所以()max1332aafx−==，此时不成立；综上所述，32a−，或72a.故答案为：32a−，或72a.【点睛】本题主要考查了函数的单调性、函数最值、恒成立问题等，同时考查转换思想，属于中档题．17.已

知P为椭圆C：22143xy+=上一个动点，F1、F2是椭圆C的左、右焦点，O为坐标原点，O到椭圆C在P点处的切线距离为d，若12247PFPF=，则d＝__________.【答案】142【解析】【分析

】计算1||PF，2||PF的值得出P点坐标，再求出切线方程，利用点到直线的距离公式计算d．【详解】解：设1||PFm=，2||PFn=，则4247mnmn+==，不妨设P在第一象限，则12||27PF=+，22||27PF=−，故以1F为圆心以1PF为半径的圆为：2222(1

)(2)7xy++=+，①以2F为圆心以2PF为半径的圆为：2222(1)(2)7xy−+=−，②①−②得：47x=，代入椭圆方程可得：37y=，故4(7P，3)7，当0y时，由22143xy+=得1223(3)4yx=−，故122133(3)()24

2yxx−=−−，椭圆在P处的切线的斜率12131634(3)()124727k−=−−=−．切线方程为：34()77yx−=−−，即70xy+−=，原点O到切线的距离71422d==．故答案为：142．【点睛】本题考查了椭圆的性质，切线的求法，点到直线的距离应用，

属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18.已知函数()223sincos2sin1fxxxx=+−.（1）求()fx在区间0,2上的值域；（2）若()23f=−，且0,2απ，求co

s2的值.【答案】（1）1,2−；（2）2616+.【解析】【分析】（1）首先化简()2sin26fxx=−，再求出52666x−−，从而得到函数的值域.（2）首先根据已知得到1sin263−

=−，从而得到22cos263−=，再将cos2cos266=−+计算即可得到答案.【详解】（1）()223sincos2sin1fxxxx=+−3sin2cos22sin26xxx=−=−.因为0,2x

，所以52666x−−，所以1sin2126x−−.故()fx在区间0,2上的值域是1,2−.（2）由()23f=−，知1sin2063−=−，又因为52666−−，所以22cos263−

=.故cos2cossin2sincos2co6666s266=−=−+−−2231126132326+=−−=.【点睛】本题主要考查三角函数的值域和三角函数的恒等变换，同时考查学生的计算能力，属于

简单题.19.如图，已知三棱锥DABC−，2ABAD==，23BCCD==，3BD=，直线BD与平面ABC所成的角为6.（1）证明：ACBD⊥；（2）求二面角ACDB−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）31313.【解析】【

分析】（1）过D作DEAC⊥于E，连接BE，利用ABDCBD≌△△，可得BEAC⊥，再根据直线与平面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE.，从而可得ACBD⊥；（2）以E为坐标原点，EA，EB所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，利用空间向量可求得

结果.【详解】（1）过D作DEAC⊥于E，连接BE.因为ABAD=，BCCD=，ACAC=所以ACDACB≌△△，于是BEAC⊥，又BEDEE=，所以AC⊥平面BDE.所以ACBD⊥.（2）由（1）可知，AC⊥平面BDE，所以平面ABC⊥平面BDE

，所以交线BE就是BD在平面ABC上的射影，故DBE就是直线BD与平面ABC所成的角，即6DBE=.因为BEDE=，3BD=，所以3BEDE==，23BED=，在直角CDE△中，3DE=，23CD=，所以3CE=.以E为坐标原点，EA，EB所在的直线分别为x轴，

y轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()1,0,0A，()0,3,0B，()3,0,0C−，330,,22D−.所以()4,0,0AC=−，333,,22CD=−，()3,3,0BC=−−.设平

面ACD的一个法向量为(),,nxyz=，则0nAC=，且0nCD=，所以40333022xxyz−=−+=，所以0x=，取1z=，则y=3，所以()0,3,1n=.同理：可取平面BCD

的一个法向量为()1,3,3m=−−.因为二面角ACDB−−是锐二面角，所以二面角ACDB−−的余弦值为|033|6313cos,13139031213mnmnmn−−====++++.【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定与性质，考查了二面角的向量求法，属于中档题

.20.已知正项数列na满足112a=，346aaa=，且数列2nna是等差数列.（1）求数列na的通项公式；（2）记112nnnban++=+，12nnSbbb=+++，试比较nS与321nn+的大小，并予以证明.【答案】（1）2nnna=；（2）321nnSn+；证

明见解析.【解析】【分析】（1）通过2nna是等差数列，设其公差为d，代入346aaa=，求出d即可得出结果.（2）首先求出()()21122nnnbn++=+，()331212nfnnn==++是关于n的增函数，分3n和4n两种情况比较n

S与321nn+的大小，并用放缩法证明不等式即可得出结论.【详解】解：（1）设等差数列2nna的公差为d，其首项121a=，所以33212ad=+，即33122da+=.同理44132da+=，66152da+=.因为346aaa=，所以634151

213222ddd+++=，化简得：26510dd−−=，解得16d=−，或1d=.当16d=−时，()12116nnan=++−，故762nnna−=，此时，当7n时，0na，不符合na是正项数列.当1d

=时，2nnan=，故2nnna=，符合na是正项数列.综上所述：2nnna=.（2）因为112nnnban++=+，所以()()21122nnnbn++=+，故113b=，2932b=，315b=，所以1231918981

41332515321530bbb++=++=++=.又因为()331212nfnnn==++是关于n的增函数，所以()()31121nfnfn==+.所以当3n时，12321nnbbbn++++.当4n时，()()344213nfnnf==+.又1111112322222nnnnnn

nnnnbn++++++++==−+.所以1221122343223nnnbbb+++++++−.所以当4n时，12321nnbbbn++++.综上：12321nnbbbn++++.【点睛】本题主要考查利用等差数列求通项公式以及利用放缩

法证明不等式的问题.属于中档题.21.如图，已知直线:lxmyt=+与抛物线2yx=相交于两点,AB，()1,1C，且ACBC⊥.（1）证明：直线AB经过一个定点，并求出定点坐标；（2）设动点P满足PAB△

的垂心恰好是()1,0E，记点C到直线AB距离为d，若1dPE=，求实数m的值.【答案】（1）证明见解析；定点()2,1−；（2）152m=，或0m=.【解析】【分析】（1）设()11,Axy，()22,Bxy，由xmyt=+与2yx=联立消元得到20ymyt−−=

，则12yym+=，12yyt=−，由ACBC⊥可知0CACB=可求得2tm=+，即直线:2ABxmym=++，即可求出直线的定点.（2）由（1）求得d，由E是PAB△的垂心，得AEPB⊥，且BEPA⊥，设()00,Pxy，通过向

量的坐标运算求得0111mxm−−=+，()011mmym−−=+，进而求得PE，再由1dPE=求得m即可.【详解】解：（1）联立xmyt=+与2yx=消去x化简整理得：20ymyt−−=.设()11,Axy，()22,Bxy，则12yym+=，12yyt=−.由ACBC⊥可知0CACB=

.又()111,1CAxy=−−，()221,1CBxy=−−，所以()()()()12121111CACBxxyy=−−+−−()()()()2212121111yyyy=−−+−−()()()1212121120yyyyyy=−−+++=所以()121

220yyyy+++=，即20mt−+=，所以2tm=+.所以直线:2ABxmym=++，即()2(1)0xmy−−+=，所以它经过定点()2,1−.（2）由（1）可知：2211mdm+=+.因为E是PAB△的垂心，所以AEPB⊥，且BEPA⊥.由AEPB⊥得

0AEPB=，即EAEPEAEB=①.设()00,Pxy，则()()101011EAEPxxyy=−−+②，又()222212121212224xxyyyyymm+=+=+−=++y，()22212122xxyym==+，所以()()()1212121211111EAEBx

xyyxxxxyym=−−+=−+++=−③，由①②③得：()()1010111xxyym−−+=−，即()0101012xxyyxm−+=+−，同理：由BEPA⊥可得：()0202012xxyyxm−+=+−.所以()1

1,xy，()22,xy是方程()00012xxyyxm−+=+−的两组解，故此方程表示直线ABl.又因为直线():20lxmym−−+=，所以001ymx=−−，00221xmmx+−=+−，解得：0111mxm−−=+，()011mmym−−=+.所以()

222001111mPExymm−=−+=++.所以()()12111mmdPEm−+==+.①当()()1211mmm−+=+时，210mm−−=，解得152m=.②当()()()1211mmm−+=−+时，20m=，解得0m=.

综上所述：152m=，或0m=.【点睛】本题主要考查直线与抛物线位置关系，考查学生的计算能力，属于综合题.22.已知函数()()lnxxefxkx=−−，其中e2.718=，是自然对数的底数.（1）当21

ke=-时，证明：1x=是()fx的一个极小值点；（2）若()fx在区间()0,+上的最小值为1，求实数k的值.【答案】（1）证明见解析；（2）1k=.【解析】【分析】（1）首先根据题意得到函数()fx的单调区间，再根据单调区间即可证明.（2）首先根据题意得到min1ln

xxkexx−−，再构造函数，利用导数求1lnxxexx−−的最小值即可.【详解】（1）()()11xfxxekx=+−−.当21ke=−时，()()()1121xfxxeex=+−−−，令()()gxfx=，

0x，则()()2120xgxxex=++，所以()gx在区间()0,+上的增函数.又()10g=，所以当01x时，()0gx，即()0fx，()fx为减函数，当1x时，()0gx，即()0fx，()fx为增函数，所以1x=是()fx的一个极小值

点，即证.（2）因为()fx在区间()0,+上的最小值为1，所以()()ln1xfxxekx=−−，即1lnxxkexx−−在区间()0,+上恒成立，故min1lnxxkexx−−.因为()1lnxxFxexx=−−的导数()222lnlnxxxxexFxexx+=+=.

令()2lnxGxxex=+，则()Gx在在()0,+上是增函数，且12110eGee−+=−，()10Ge=，所以存在01,1xe，则0020en0lxxx+=.故当00xx时()0Gx，即()0Fx；当0xx时，即()0Fx；所以()0000m

in001ln1,,1xxexFexxxx−=−.设0000ln0xxxmxe=−=，则00lnlnxxm+=，于是00ln0xmxm−−=.设()00lnHtxtxt=−−，它是区间()

0,+上的减函数，且()10H=，又()0Hm=，故1m=.于是()000min001ln1xFxxexxx−=−=，从而1k.由()fx在区间()0,+上的最小值为1可知不等式1lnexxkxx−−的等号必须成立，故1k=.【点睛】

本题第一问考查利用导数证明函数的极值点，第二问从利用导数求函数的最值，同时考查学生的计算能力，属于难题.