【文档说明】重庆市西南大学附属中学2019-2020学年高二下学期阶段性测试数学【精准解析】.doc，共(19)页，1.526 MB，由小赞的店铺上传

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西南大学附属中学校高2021级阶段性测试数学试题（全卷共150分，考试时间为120分钟）2020年6月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效；3．

考试结束后，将答题卡交回（试题卷自己保管好，以备评讲）．一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.11zi=−的共轭复数是()A.1122i+B.1122i−C.1

−iD.1＋i【答案】B【解析】由题意，复数()()111111122iziiii+===+−−+，所以z的共轭复数为1122zi=−，故选B．2.已知随机变量ξ的分布列为(),(1,2,3,4,5)Pkmk

k===，则实数m＝（）A.15B.110C.115D.120【答案】C【解析】【分析】由随机变量ξ的分布列的性质得：23451mmmmm++++=，由此能求出实数m．【详解】∵随机变量ξ的分布列为(),(1,2,3,4,5)Pkmkk===23

451mmmmm++++=解得实数115m=故选：C【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.随机变量服从正态分布()21,N，若()20.8P=，则()01P的值（）A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2【答案】C

【解析】分析：由随机变量服从正态分布()21,N，可得正态曲线的对称轴1x=，根据正态曲线的特点，得到()()101022PP=，从而可得结果.详解：随机变量X服从正态分布()21,N，1=，得对称轴是1x=，()20.8P=

，()()200.2PP==，()020.6P=，所以()()101022PP=，故选C.点睛：本题考查了正态分布的有关概念与运算，重点考查了正态密度曲线的性质以及如何利用正态密度曲线求概率，意在考查学生对正态分布密度曲线性质的理解及基本的运算能力.4.如

果函数()yfx=的图象如图，那么导函数()yfx=的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据原函数的增减性确定导函数值的正负.【详解】由函数()yfx=的图象可知，()yfx=在()0,

+上先增后减，所以()yfx=在()0,+上先正后负，又函数()fx为偶函数，所以()yfx=为奇函数.故答案选：A.【点睛】本题考查导函数图象与原函数图象之间的关系，比较简单.一般地，根据原函数图象确定导函数图象时，只需要根据原

函数图象的增减性确定导数值的正负分布即可.5.二项式91(2)xx−的展开式中的常数项是（）A.﹣2016B.672C.﹣144D.144【答案】B【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．【详解】二项式91(2)xx−的展开式的通项公式为3

99219(1)2rrrrrTCx−−+=−,令3902r−=，求得r＝6，故展开式中的常数项为T769C=•23＝672，故选：B．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题．6.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒

需再补种3粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（）A.100B.200C.300D.400【答案】C【解析】【分析】种子每粒发芽的概率都为0.9，则不发芽的概率是0.1，现播种了1000粒，不发芽的种子数(0.1,1000)B，由题意又有3X=，由二项分布的期望公式可计算出期望．

【详解】每粒种子发芽概率是0.9，则不发芽概率是0.1，由题意，播种了1000粒种子，没有发芽的种子数服从二项分布，即(0.1,1000)B，不发芽每粒补种3粒，则补种的种子数3X=，∴()3()310000.1300EXE===．故选：C

．【点睛】本题考查二项分布的期望，考查随机变量的性质，属于基础题．7.甲、乙等5人排一排照相，要求甲、乙2人相邻但不排在两端，那么不同的排法共有（）A.36种B.24种C.18种D.12种【答案】B【解析】根据题意，甲、乙看做一个

元素安排中间位置，共有1222CA4=种排法，其余3人排其它3个位置，共有33A6=种排法，利用乘法原理，可得不同的排法有4624=种．故选B．点睛：本题考查的是排列组合问题.（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合

问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．8.已知函数3221

()13fxxaxbx=+++，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（）A.79B.13C.59D.23【答案】D【解析】试题分析：将a记为横坐标，将b记为纵坐标，可知总共有(1,0),(1,

1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)9个的结果，而函数有两个极值点的条件为其导函数有两个不相等的实根，22'()2fxxaxb=++，满足题中条件为22440ab=−，即ab，所以满足条件的基本事件有(1,0),(2,0),(2,1),(3

,0),(3,1),(3,2)共6个基本事件，所以所求的概率为6293P==，故选D．考点：古典概型．9.直线1ykx=+与曲线()lnfxaxb=+相切于点()1,2P,则2ab+=()A.4B.3C.2D.1【

答案】A【解析】【分析】直线1ykx=+与曲线()lnfxaxb=+相切于点()1,2P,可得1,2,kb==求得()fx的导数,可得1a=,即可求得答案.【详解】直线1ykx=+与曲线()lnfxaxb=+相切于点()1,2P将()1,2P代入1ykx=+可得:1

2k+=解得:1k=()lnfxaxb=+()afxx=由(1)11af==,解得:1a=.可得()lnfxxb=+,根据()1,2P在()lnfxxb=+上()1ln12fb=+=,解得:2b=故2224.ab+=+=故选:A.【点睛】本题考查了根据切点求参数

问题,解题关键是掌握函数切线的定义和导数的求法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.10.西大附中为了增强学生对传统文化的继承和发扬，组织了一场类似《诗词大会》的PK赛，A、B两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选手

PK，除第三局胜者得2分外，其余各胜者均得1分，每局的负者得0分．假设每局比赛A队选手获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为（）A.2027B.5281C.1627D.79【答案】A【解析】【分析】比赛

结束时A队的得分高于B队的得分的情况有3种：A全胜；A三胜一负、A第三局胜，另外三局一胜两负.利用独立重复试验的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】比赛结束时A队的得分高于B队的得分的情况有3种：A全胜；A三胜一负、A第三局胜，另外三局一胜两负.所以

，比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为43232432212122033333327PCC=++=.故选：A.【点睛】本题考查概率的求解，考查独立重复试验概率的求解，考查计算能力

，属于中等题.11.函数()fx是定义在区间(0,)+上的可导函数，其导函数为()fx，且满足2()()0fxfxx+，则不等式(2020)(2020)5(5)52020xfxfx+++的解集为（）A.20202015xx−−B.2015xx

−C.20200xx−D.2015xx−【答案】D【解析】【分析】根据条件，构造函数2()()gxxfx=，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化求解即可得到结论.【详解】构造函数2()()gxxfx=，2()2()()2()()gxxfxxfxx

fxxfx=+=+，当0x时，∵2()()0fxfxx+，即()2()0xfxfxx+，∴()2()0xfxfx+，所以()0gx，∴()gx在(0,)+上单调递减，又∵(2020

)(2020)5(5)52020xfxfx+++，因为定义域为正实数，∴20200x+，即2020x−，∴22(2020)5(2020(5))fxxf++，∴(2020)(5)gxg+，∴20205x+，解之得：2015x−，∴不等式(2020)(2020

)5(5)52020xfxfx+++的解集为2015xx−.故选：D．【点睛】本题考查利用导数的单调性解不等式，解题关键是正确构造新函数，从而将不等式进行转化进而求解，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查转化思想，属于常考题.12.已知函数()xafxxe−=+，()()ln24a

xgxxe−=+−，其中e为自然对数的底数，若存在实数0x，使()()003fxgx−=成立，则实数a的值为（）A.ln21−−B.1ln2−+C.ln2−D.ln2【答案】A【解析】令f（x）﹣g（x）=x+ex﹣a﹣1n（x+2）+4ea﹣x，令y=x﹣ln（x+2），y′=1﹣12x+=

12xx++，故y=x﹣ln（x+2）在（﹣2，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数，故当x=﹣1时，y有最小值﹣1﹣0=﹣1，而ex﹣a+4ea﹣x≥4，（当且仅当ex﹣a=4ea﹣x，即x=a+ln2时，等号成立）；故f（x）﹣g（x）≥3（当且仅当等号同时成立时

，等号成立）；故x=a+ln2=﹣1，即a=﹣1﹣ln2．故选A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上．13.12zi=−（i为虚数单位）的模是________．【答案】5【解析】【分析】根据复数模的定义计算．【详解】22121(2)5

zi=−=+−=．故答案为：5．【点睛】本题考查求复数的模，属于简单题．14.袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次任取1个球，取2次，则事件“第一次取得白球的情况下，第二次恰好取得黄球”的概率为

_____．【答案】23【解析】分析：根据条件概率进行求解即可．详解：设“第一次取得白球”为事件A，“第二次恰好取得黄球”为事件B．由题意得492464(),()109510915PAPAB====，∴4()215(|)2()35PABPBAPA===

．点睛：解决概率问题时，若条件中含有“在……发生的条件下，求……发生的概率”的字样，则一般为条件概率类型．求解时可根据条件概率的定义进行，即()(|)()PABPBAPA=进行求解．15.若函数2()()xfxexaxa−=+−在R上单调递减，则实数a的值为_______.【

答案】2−【解析】【分析】由于函数在R上递减，利用导函数恒小于或等于零，由此求得实数a的值.【详解】依题意，()()()20xxaxfxe+−+=在R上恒成立，则需()()20xax+−+恒成立，()()20xax+−+=有两个相等的实数根，故2

a=−.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查除法的导数，考查一元二次不等式恒成立问题，属于中档题.16.若存在1,xee，使得不等式22ln30xxxmx+−+成立，则实数m的最大值为________．【答案】132e

e+−【解析】【分析】先采用参变分离将22ln30xxxmx+−+等价转化为32lnmxxx++，结合题意应该是m小于等于右边函数的最大值，利用导数求出其最大值即可.【详解】因为1,xee所以

22ln30xxxmx+−+等价于32lnmxxx++，记()32lnfxxxx=++，由题意知()maxmfx，因为()()()2'2221323231xxxxfxxxxx−++−=+−==，所以当1,

1xe时，()'0fx；当(1,xe时，()'0fx，所以()fx在1,1e单调递减，在(1,e单调递增，所以当1x=时，()()min14fxf==，而()332ln++2feeeeee=++=，1111

2ln33+2feeeeee=++=−，又1323+2++224>0eeeeee−−=−−，所以()max13+2fxee=−，所以132mee+−所以实数m的最大值为132

ee+−.故答案为：132ee+−.【点睛】本题主要考查函数的能成立问题，区间能成立或恒成立问题经常采用参变分离法转化为函数的最值问题，复杂函数最值可利用导数求解，属于难题.三、解答题：本大题共6小题，共

70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数3()212fxxx=−．（1）求()fx在点()()1,1f处的切线；（2）求函数()fx的单调区间和极值．【答案】（1）640xy++=；（2）函数()fx的增区间是(),2−−和()2,+，减区间为()2,2−；极大值

是82，极小值是82−【解析】【分析】（1）利用解析式求出切点坐标()()1,1f，利用导数求出切线斜率()1f，根据直线点斜式方程写出切线方程；（2）利用导数得到原函数的单调性，根据极值定义可知极值点，代入求得极值.【详解】

（1）()3212fxxx=−，则()2612fxx=−则()110f=−，()16f=−故切线为()1061yx+=−−，即640xy++=（2）()()()2612622fxxxx=−=+−，列表如下：

x(),2−−2−()2,2−2()2,+()fx+0−0+()fx极大值极小值所以函数()fx的增区间是(),2−−和()2,+，减区间为()2,2−极大值是()282f−=，极小值是()282f=−.【点睛】本题考查求解函

数的切线方程、单调区间和极值的问题，能够明确导数的几何意义以及导数与函数单调性的关系是解决本题的关键，属于基础题.18.高新区某高中德育处为了调查学生对“一带一路”的关注情况,在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试,并从中随机抽取了12份问卷,得到其测试成绩(百分制)的茎叶图如下：（1

）写出该样本的中位数,若该校共有3000名学生,试估计该校测试成绩在70分以上的人数；（2）从所抽取的70分以上的学生中再随机选取4人，记表示测试成绩在80分以上的人数,求的分布列和数学期望【答案】（1）200；（2）见解析【解析】分析：（1）根据茎叶图中的数据可得中位数，然后根

据样本中70分以上的成绩所占的比例可得总体中70分以上的人数．（2）根据题意得到的可能取值，分别求出对应的概率得到分布列，然后可得期望．详解：（1）由茎叶图可得中位数为76，样本中70分以上的所占比例为82123=，故可估计该校测试成绩在70分以上的约为3000

×23=2000人．（2由题意可得的可能取值为0，1，2，3，4．()044448CC10C70P===,()134448CC1681C7035P====,()224448CC36182C7035P====,()()314044444488C

CCC168134C7035C70PP=======．.∴的分别列为：01234P1708351835835170∴()1818810123427035353570E=++++=.

点睛：本题考查茎叶图的应用以及用样本估计总体，同时考查分布列、期望的求法，主要考查学生应用所学知识解决实际问题的能力和计算能力，属中等题．19.2018年，在《我是演说家》第四季这档节目中，英国华威大学留学生游斯彬的“数学之美”的演讲视频在微信朋友

圈不断被转发，他的视角独特，语言幽默，给观众留下了深刻的印象．某机构为了了解观众对该演讲的喜爱程度，随机调查了观看了该演讲的140名观众，得到如下的列联表：（单位：名）男女总计喜爱4060100不喜爱202040总计6080140（1）根据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过

0.05的前提下认为观众性别与喜爱该演讲有关．（精确到0．001）（2）从这60名男观众中按对该演讲是否喜爱采取分层抽样，抽取一个容量为6的样本，然后随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱该演讲的概率．附

：临界值表()20PKk0.100.050.0250.0100.0050k2.7053.8415.0246.6357.879参考公式：22()=)()()()nadbcKabcdacbd（−++++，+nabcd=++．【答案】（1）见解析；（2）

0.4【解析】【分析】(1)根据独立性检验求出()221406020402071.1673.8418060100406K−==，即得不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为观众性别与喜爱该演讲有关．（2）利用古典概型求选

到的两名观众都喜爱该演讲的概率．【详解】（1）假设：观众性别与喜爱该演讲无关，由已知数据可求得，()221406020402071.1673.8418060100406K−==∴不能在犯错误的概

率不超过0.05的前提下认为观众性别与喜爱该演讲有关．（2）抽样比为616010=，样本中喜爱的观众有40×110=4名，不喜爱的观众有6﹣4=2名．记喜爱该演讲的4名男性观众为a，b，c，d，不喜爱该演讲

的2名男性观众为1，2，则基本事件分别为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，1），（a，2），（b，c），（b，d），（b，1），（b，2），（c，d），（c，1），（c，2），（d，1），（d，2），（1，2）．其中选

到的两名观众都喜爱该演讲的事件有6个，故其概率为P（A）=60.415=【点睛】本题主要考查独立性检验和古典概型，意在考查学生对这些知识的理解能力，掌握水平和应用能力.20.2020年1月底因新型冠状病毒感染的肺炎疫情形势严峻，避免外出是减少相互交叉感染最有效的方式．在家中适当

锻炼，合理休息，能够提高自身免疫力，抵抗该种病毒．某小区为了调查“宅”家居民的运动情况，从该小区随机抽取了100位成年人，记录了他们某天的锻炼时间，其频率分布直方图如下：（1）求a的值，并估计这100位居民锻炼

时间的平均值x（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）小张是该小区的一位居民，他记录了自己“宅”家7天的锻炼时长：序号n1234567锻炼时长m（单位：分钟）10151220302535（Ⅰ）根据数据求

m关于n的线性回归方程；（Ⅱ）若4mx−（x是（1）中的平均值），则当天被称为“有效运动日”．估计小张“宅”家第8天是否是“有效运动日”？附；在线性回归方程ybxa=+$$$中，()()()121niiiniixxyybxx==−−=−，

aybx=−$$．【答案】（1）0.03a=，30.2；（2）（Ⅰ）11334287mn=+，（Ⅱ）估计小张“宅”家第8天是“有效运动日”．【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的特征，各小矩形面积之和为1，即可求出a的值，再根

据平均值等于各小矩形的面积乘以其底边中点的横坐标之和，即可求出；（2）（Ⅰ）根据最小二乘法，分别计算出ˆb和ˆa，即可求出m关于n的线性回归方程；（Ⅱ）根据线性回归方程，令8n=，求出预测值m，再验证是否满足4mx−，即可判断．【详解】（1）()0.0

050.0120.0350.0150.003101a+++++=，0.03a=．50.00510150.01210250.0310350.03510450.0151055x=+++

++0.0031030.2=（分钟）．（2）（Ⅰ）123456747n++++++==，10151220302535217m++++++==，()()()()()()()()()7114102124152134122144iiinnmm=−−=−−+−−+−−+−(

)()()()()()()2021543021642521743521113−+−−+−−+−−=，11328b=，11334214287a=−=，m关于n的线性回归方程为11334287mn=+．（Ⅱ）当8n=时，1133

426082877m=+=．26030.247−，估计小张“宅”家第8天是“有效运动日”．【点睛】本题主要考查利用频率分布直方图估计总体的数字特征，利用最小二乘法求线性回归方程，以及利用线性回归方程进行预测，意在考查学生的数学运算能

力和数据分析能力，属于基础题．21.已知函数2()1fxax=+，（0a），3()gxxbx=+（1）若曲线()yfx=与曲线()ygx=在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a,b的值（2）当24ab=时，求函数()()fxgx+的单调区间，并求其在区间（-∞，-

1]上的最大值．【答案】（1）3ab==（2）见解析【解析】【详解】（1）()2fxax=，2()3gxxb=+∵曲线()yfx=与曲线()ygx=在它们的交点（1，c）处具有公共切线∴23ab=+，11ab+=+∴3a

b==（2）令()()()hxfxgx=+，当214ba=时，3221()14hxxaxax=+++221()324hxxaxa=++令'()0hx=，得12,26aaxx=−=−0a时，()()hxhx与的情况如下：x(,)2a−−2a−(,)26aa−−6a−(,)6a

−+()hx+0-0+()hx所以函数()hx的单调递增区间为(,)2a−−，(,)6a−+，单调递减区间为(,)26aa−−当12a−−，即02a时，函数()hx在区间(,1]−−上单调递增，()h

x在区间(,1]−−上的最大值为21(1)4haa−=−，当126aa−−−即26a时，函数()hx在区间(,)2a−−内单调递增，在区间(,1)2a−−上单调递减，()hx在区间(,1]−

−上的最大值为()12ah−=当16a−−，即a>6时，函数()hx在区间(,)2a−−内单调递赠，在区间(,)26aa−−内单调递减，在区间上单调递增．又因为所以()hx在区间(,1]−−上的最大值为()12ah−=．22.已知函数2()lnfxaxx=+，其中aR．（1）

讨论()fx的单调性；（2）当1a=时，证明：2()1fxxx+−；（3）求证：对任意的*nN且2n…，都有：222211111111234en++++．（其中2.7183e

为自然对数的底数）．【答案】（1）当0a时，函数()fx在(0,)+上调递增；当0a时，函数()fx在0,2a−上单调递减，在,2a−+上单调递增；（2）证明见解析；（

3）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出导函数()fx，按照0a和0a讨论，确定()fx的正负，得()fx的单调区间；（2）不等式即为ln1xx−，即ln10xx−+．引入函数()ln1gxxx=−+，由导数确定其最大值后可证结论．（3）关键是如何应用刚才所证得的函数不等

式，由（2）ln1xx−，令211xk=+，让2,3,,kn=，这些不等式相加后右边利用放缩法证明和式1，可得证结论．【详解】解：（1）函数()fx的定义域为(0,)+，22()2aaxfxxxx+=+=，①当0a时

，()0fx，所以()fx在(0,)+上单调递增，②当0a时，令()0fx=，解得2ax=−．当02ax−时，220ax+，所以()0fx，所以()fx在0,2a−上单调递减

；当2ax−时，220ax+，所以()0fx，所以()fx在,2a−+上单调递增．综上，当0a时，函数()fx在(0,)+上调递增；当0a时，函数()fx在0,2a−上单

调递减，在,2a−+上单调递增．（2）当1a=时，2()lnfxxx=+，要证明2()1fxxx+−，即证ln1xx−，即ln10xx−+．设()ln1gxxx=−+，则1()xgxx−=，令()0gx=得，1x=．当(0,1)x时，()0

gx，当(1,)x+时，()0gx．所以1x=为极大值点，也为最大值点．所以()(1)0gxg=，即ln10xx−+．故2()1fxxx+−．（3）证：由（2）ln1xx−，（当且仅当1x=时等号成

立）令211xn=+，则2211ln1nn+，∴222222111111111ln1ln1ln123231223(1)nnnn++++++++++++−LLL111111111ln12231ennn=−

+−++−=−=−L，即22221111ln1111ln234en++++，所以222211111111234en++++．【点睛】本题考查用导数研究函数的单调

性，证明不等式，本题出现两种不等式及其证明，一种是函数不等式，方法是把不等式变形后引入新函数，利用导数求出函数的最值后证得不等式成立，另一种是数列不等式，方法是在已知（或已证）的不等式中令自变量x取某些值，让这些值按某种规律变化后得一系列不等

式，相加或相乘等运算后适当变形可得结论．