【文档说明】陕西省安康市2022-2023学年高三上学期第一次质量联考试题（一模） 数学（理） 含解析.docx，共(16)页，910.406 KB，由管理员店铺上传

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绝密★启用前安康市2023届高三年级第一次质量联考试卷数学（理科）考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封

线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的

答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量与复数，数列、立体几何．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i为虚数单位，复数z满足2i

1(1i)z+=−，则|1|z−=（）A．2B．10C．23D．322．记集合()2||2,ln3MxxNxyxx===−，则MN=（）A．23xxB．32xxx−或C．02xxD．23xx−3．若4sin()5+

=−，则cos(2)−=（）A．35B．35−C．725D．725−4．设cR，则ab成立的一个必要不充分条件是（）A．22acbcB．ccabC．22acbc++D．2cab−−5．正方体1111

ABCDABCD−中，E为1CC的中点，则异面直线1BE与1CD所成角的余弦值为（）A．1010B．1010−C．104D．104−6．已知函数()sin2(0)fxxxf=−，则该函数的图象在2x=处的切线方程为（）A．30

xy+−=B．30xy−−=C．30xy+−=D．30xy++=7．记函数()()sin4fxxb=++N的最小正周期为T，若2T，且()yfx=的最小值为1．则曲线()yfx=的一个对称中心为（

）A．,012−B．,212C．7,212D．,048．南京市地铁S8号线经扩建后于2022年国庆当天正式运行，从起点站长江大桥北站到终点站金牛湖站总行程大约为51.3千米，小张是陕西来南京游玩的一名旅客，从起点站开始，他利用手机上的里程

表测出前两站的距离大约为2千米，以后每经过一站里程约增加0.1千米，据此他测算出本条地铁线路的站点（含起始站与终点站）数一共有（）A．18B．19C．21D．229．已知O是ABC△内一点，230OAOBmOC++=，若AOB△与ABC△的面积之比为47，则

实数m的值为（）A．103−B．103C．203−D．20310．定义在R上的函数()fx满足对任意的x恒有1(2)()1,(1)()2fxfxfxfx++++，且(2)2f−=，则(2024)f的值为（）A．2026B．1015C．1014D．1013

11．若函数2()e3xfxkx=−+有三个零点，则k的取值范围为（）A．360,eB．362e,e−C．(2e,0)−D．36,e−12．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为菱形，60,ABCEA=⊥平面,,22ABCDEABFABAE

BF===∥，点M在棱EC上，且EMEC=，平面MBD与平面ABCD的夹角为45，则下列说法错误的是（）A．平面EAC⊥平面EFCB．34=C．点M到平面BCF的距离为34D．多面体ABCDEF的体

积为733二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知命题0:0px，使得32002350xx++，则p为______________．14．在ABC△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若23()||5CACBABAB+=，则coscosaBbA=_____

_________．15．已知圆锥1OO的侧面由函数2,[0,2]yxx=的图象绕y轴旋转一周所得，圆锥2OO的侧面由函数2,[0,2]yxx=的图象绕直线yx=旋转一周所得，记圆锥1OO与圆锥2OO的体积分别为1V和2V，则12:VV=________

______．16．设等比数列na满足121312,24aaaa+=−=−，记mb为na中在区间()(0,]mmN中的项的个数，则数列mb的前50项和50S=______________．三、解

答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知函数()22()log45fxaxx=++．（1）若(1)3f=，求函数()fx的单调区间；（2）是否存在实数a，

使函数()fx的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．18．（本小题满分12分）已知等差数列na的前n项的和为nM，23520,14aMa+==．数列nb的前n项和为nS，111,222nn

nbSSb+==+．（1）求数列na和nb的通项公式；（2）若11nnncaa+=，数列nc的前n项和为nT，求证：16nnTb．19．（本小题满分12分）已知ABC△中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinsin()si

nbBcCbaA−=−．（1）若1c=，求ABC△外接圆的面积；（2）若ABC△为锐角三角形，且4a=，求ABC△面积的取值范围．20．（本小题满分12分）如图，已知AB为圆锥SO底面的直径，点C在圆锥底面的圆周上，2,,6

BSABBACBE===平分SBA，D是SC上一点，且平面DBE⊥平面SAB．（1）求证：SABD⊥；（2）求二面角EBDC−−的正弦值．21．（本小题满分12分）已知函数()sin()0,0,||2fxAxBA=++

的部分图象如图所示．（1）求函数()fx的解析式；（2）将函数()yfx=图象上所有的点向右平移4个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()ygx=的图象．当130,6x时，方程()0gxa−=恰有三个不

相等的实数根，()123123,,xxxxxx，求实数a的取值范围以及1232xxx++的值．22．（本小题满分12分）设向量()21ln,,1,,()(1),()2maxnxfxmnaxa===−+R．（1）讨论函数()fx的单调

性；（2）设函数28()2()2gxfxxaxx=−++，者()gx存在两个极值点()1212,xxxx，证明：()()()12122(2)gxgxaxx−−−．安康市2023届高三年级第一次质量联考试卷·数学（理科）参考答案、提示及评分细则1．B由2i1(1)2izi

+=−=−，得i12i,2izz=−−=−+，所以13iz−=−，故|1|10z−=．故选B．2．B集合22Mxxx=−或，23003Nxxxxxx=−=或，所以32MNxxx=−或．故选B．

3．C由4sin()sin5+=−=−，得4sin5=，所以2247cos(2)cos22sin121525−=−=−=−=．故选C．4．D当0c=时，选项A、B不符合题意，对于C选项，因为函数()2xcfx+=为(,)−+上的单调递增函数，根据ab得到()

()fafb，反之亦成立，故为充要条件，故C错误；由ab可得0ab−，又20c−，可得2cab−−，反之不一定成立．故选D．5．A平移1CD到1BA，再连接AE，则1ABE或其补角为异面直线1BE与1CD所成的角，设正方体的棱长为2，易得11122,3,5CDB

AAEBE====，由余弦定理得2221111185910cos210410ABBEAEABEABBE+−+−===．故选A．6．A因为()2cos2(0)fxxf=−，所以(0)2cos0(0)ff=−，解得(0)1f=，所以()sin2,,()2

cos21,3222fxxxffxxf=−=−=−=−，所以切线方程为：322yx+=−−，即30xy+−=，故选A．7．C由函数的最小正周期T满足2T，得22，解得24，又因为N，

所以3=，所以()sin34fxxb=++，又函数()yfx=的最小值为1，所以2b=，所以()sin324fxx=++，令3,,,4312kxkkxk+==−ZZ，所以对称

中心为,2()312kk−Z，只有选项C符合题意．故选C．8．B由题意设前两站的距离为1a千米，第二站与第三站之间的距离为2a千米，…，第n站与第1n+站之间的距离为na千米，na是等差数列，首项是12a=，公差0.1d=，则(1)20.151.32nnnSn

−=+=，解得18n=，则站点数一共有19个．故选B．9．D由23OAOBmOC+=−得23555mOAOBOC+=−，设5mOCOD−=，则2355OAOBOD+=．∴A，B，D三点共线，如图所示：∵OC与OD反向共线，0m，

∴||5||ODmOC=，∴||55||15mODmmmCD==++，∴||420573||AOBABCSODmmSmCD====+△△．故选D．10．B根据1(1)()2fxfx++得1(2)(1)()12fxfx

fx++++，又(2)()1fxfx++，所以(2)()1fxfx+=+，所以(2024)(2022)1,(2022)(2020)1,(2020)(2018)1,,(0)(2)1ffffffff=+=+=+=−+，所以(2024)1013(2)101

321015ff=+−=+=．故选B．11．A令()0fx=，得23xxke−=，设23(1)(3)(),()xxxxxgxgxee−−+−==，令()0gx=，解得121,3xx=−=，当13x−时，()0gx，当1x−或3x

时，()0gx，且36(1)2,(3)gege−=−=，其图象如图所示：若使得函数()fx有3个零点，则360ke．故选A．12．D对于A，取EC的中点G，连接BD交AC于N，连接,GNGF，因为ABCD是菱形，所以ACBD⊥，且N是A

C的中点，所以GNAE∥且12GNAE=，又,22AEBFAEBF==∥，所以GNBF∥且GNBF=，所以四边形BNGF是平行四边形，所以GFBN∥，又EA⊥平面,ABCDBN平面ABCD，所以EABN⊥，又因为,,ACE

AAACEA=平面EAC，所以NB⊥平面EAC，所以GF⊥平面EAC，又GF平面EFC，所以平面EFC⊥平面EAC，故A正确；对于B，取CD的中点H，由四边形ABCD是菱形，60ABC=，则60ADC=，所以ADC△是正三角形，所以AHCD⊥，所以AHAB⊥，又

AE⊥平面ABCD，以A为原点，,,AHABAE为坐标轴建立空间直角坐标系，则(3,1,0),(0,2,0),(3,1,0),(0,0,2),(0,2,1),(0,0,0)DBCEFA−(3,1,2)(3,,2)EMEC==−=−，所以(3,,22)M−，所以(33

,1,22),(3,2,22),(3,1,0),(0,0,1)DMBMBCBF=−+−=−−=−=，设平面DBM的一个法向量(,,)nxyz=，则0,0nDMnBM==即(33)(1)(22)0,3(2)(22)0,

xyzxyz−+++−=+−+−=令3,1xy==，得213,1,1n−=−，平面ABCD的法向量可取(0,0,1)m=，所以221||21|cos,|2||||2141mnnmmn−−===−+−，解

得34=，故B正确；对于C，结合B，所以3331,,442M，则311,,442CM=−−，设平面BCF的一个法向量(,,)uabc=，则0,0,uBCuBF==

即30,0,abc−==取1a=，得(1,3,0)u=，所以点M到平面BCF的距离||34||uCMdu==，故C正确；对于D，11115322sin602(12)2332323EACDCABFEVVV

−−=+=++=三棱锥四棱锥，故D错误．故选D．13．320,2350xxx++14．4因为在ABC△中，若23()||5CACBABAB+=，所以23||5CAABCBABAB+=，所以23cos()cos5bcAacBc−+=，即3coscos5aBbAc−

=，由正弦定理得33sincossincossinsin()55ABBACAB−==+，化简得sincos4sincosABBA=，所以cossincos4cossincosaBABbABA==．15．42:3当线段绕y

轴旋转一周时，围成一个半径为2，高为4的圆锥，其体积为2162433=，当线段绕直线yx=旋转一周时，因为点(2,4)到直线2yx=的距离为2，此时线段旋转一周围成一个半径为2，高为32的圆锥，其体积为2(2)32223=，所以12:42:3VV=．1

6．114设等比数列na的公比为q，则()211(1)12,124aqaq+=−=−，解得13,3aq==，故3nna=，因为mb为na中在区间()(0,]mmN中的项的个数，所以当1,2m=时，0mb=；当39m时，1mb=；当9

27m时，2mb=；当2750m时，3mb=；故500216218324114S=+++=．17．解：（1）∵(1)3f=，∴392a+=，即1a=−，∴函数()fx的定义域为(1,5)−，∵函数245txx=−++在(1,2)−上单调递增，在(2,5)上单调递减，又

∵2logyt=在(0,)+上为增函数，∴函数()fx的单调递增区间为(1,2)−，单调递减区间为(2,5)．（2）设存在实数a，使函数()fx的最小值为0，2()45hxaxx=++，∵函数()fx的最小值为0，∴函数()hx的最小值为1，所以0a，①又201614aa

−=，②联立①②解得：1a=，∴存在实数1a=，使函数()fx的最小值为0．18．（1）解：设na的公差为d，由题意得：114420,414,adad+=+=解得12,?3,ad==所以1(1)3

1naandn=+−=−，由122nnnSSb+=+，得()1122nnnnSSbb++−==，又112b=，所以nb是公比为12的等比数列，所以12nnb=．（2）证明：111111(31)(32)33132nnncaannnn+===−−+−

+，11111111113255831323232nTnnn=−+−++−=−−++．要证16nnTb，即证211322nn−+

，因为21()1322nfnn=−−+在[1,)+上为增函数，且21(1)1052f=−−，所以2110322nn−−+得证．19．解：（1）由题知：sinsinsin

sinbBcCbAaA−=−，由正弦定理可化为222bcaba−=−，即2221abcab+−=，由余弦定理知1cos2C=，又(0,)C，故3C=．设ABC△外接圆的半径为R，则1232sin332cRC===，所以33R=，所以ABC△外接圆的面积为

2333=．（2）因为ABC△为锐角三角形且3C=，则0,202AB即0,220,32AA−所以62A．又由正弦定理2sinsin3abAA=−，得24

sin3sinAbA−=，所以2314sincossin1133322sin44323122sin2sintanABCAAASabCAAA−+====+△．又3,,tan,623AA+，则3(0,3)tan

A，故ABC△面积的取值范围是(23,83)．20．（1）证明：因为2SASBAB===，且BE平分SBA，所以BESA⊥，又因为平面DBE⊥平面SAB，且平面DBE平面,SABBESA=平面SAB，所以SA⊥平面BDE，又因为BD平面BD

E，所以SABD⊥．（2）取AB的中点M，连接OM，则,,OMOSOA两两垂直，所以以O为坐标原点，OM为x轴，OA为y轴，OS为z轴建立如图空间直角坐标系则31(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),,,0,(0,0,3)22OABCS−−，由（1）知SA⊥平面BDE，所

以(0,1,3)AS=−是平面BDE的一个法向量．设平面BDC的法向量(,,)mxyz=，因为31(0,1,3),,,322BSCS==−，则30,3130,22mBSyzmCSxyz=+==−++=取3z=，则(

3,3,3)m=−，因此615cos,5||||215mASmASmAS===，所以二面角EBDC−−的正弦值为105．21．解：（1）由图示得：51512,322AB−+====，又71212122T=

−=，所以T=，所以22T==，所以()2sin(2)3fxx=++．又因为()fx过点,512，所以52sin2312=++，即sin16+=，所以2,62kk+=+Z，解得2,3kk=+Z，又||

2，所以3=，所以()2sin233fxx=++．（2）根据题意得()2sin36gxx=−+，当130,6x时，,266x−−，令,2

66tx=−−，则2sin32sin36xt−+=+，令()2sin3htt=+，则332sin32,2sin35,2sin31,(2)2sin233662222hhhh−=−+==+==+==+=

，所以[2,3]a．因为()0hta−=有三个不同的实数根()123123,,tttttt，则12312,22tttt+===+，所以12324ttt++=，即12324666xxx

−+−+−=，所以1231423xxx++=．22．（1）解：根据已知得21()ln(1),02fxaxxaxx=+−+，则2(1)(1)()()(1)axaxaxxafxxaxxx−++−−=+−+==，若0a

，当01x时，()0fx；当1x时，()0fx，所以()fx在(0,1)上单调递减，在(1,)+上单调递增．若01a，由()0fx，得0xa或1x，由()0fx，得1ax，所以()fx在(0,),(1,)a+上单调

递增，在(,1)a上单调递减．若1,()0afx=恒成立，所以()fx在(0,)+上单调递增．若1a，由()0fx，得01x或xa；由()0fx，得1xa，所以()fx在(0,1),(,)a+上

单调递增，在(1,)a上单调递减．（2）证明：由已知得8()2ln2gxaxxx=−+，从而()2222428()2,0xaxagxxxxx−−+=−−=．当44a−时，()0gx恒成立，函数()gx不可能有两个

极值点；当4a−时，()0gx=有两个根12,xx，因为124xxa+=−，与12,xx都是正数相矛盾，不合题意；当4a时，()0gx=有两个根12,xx，因为120xxa+=，且124xx=，所以两根12,xx均为正

数，故()gx有两个极值点，因为12xx，由124xx=知1202,2xx，因为()()1212212121222lnln8ln42ln22244gxgxxxxaaxxxxxxxx−−−=−−=−−−−，所以()()()12122(2)

gxgxaxx−−−等价于222ln42ln224xaaxx−−，即22242ln2ln2xxx−+．令222442(1)3()2ln(2),()10xhxxxxhxxxxx−−−=−+=−−+

=，所以()hx在(2,)+上单调递减，又(2)2ln2h=，所以当2x时，()2ln2hx，故()()()12122(2)gxgxaxx−−−成立．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com