【文档说明】2021北师大版数学必修第一册章末综合测评2　函数 .docx，共(10)页，135.552 KB，由小赞的店铺上传

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章末综合测评(二)函数(满分：150分时间：120分钟)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f()x＝x＋12－x的定义域为()A．[－1

，2)∪(2，＋∞)B．(－1，＋∞)C．[－1，2)D．[－1，＋∞)A[由x＋1≥0，2－x≠0，解得x≥－1，且x≠2.]2．函数f(x)＝x|x|的图象是()ABCDC[因为f(x)＝x|x|＝1，x＞0，－1，x＜0，所以其图象为C.]3．

设函数f(x)＝x2＋1，x≤12x，x>1，则f(f(3))＝()A．15B．3C．23D．139D[因为f(3)＝23，所以f(f(3))＝f(23)＝(23)2＋1＝49＋1＝139，故选D.]4．函数f(x)＝||x3＋1＋||x3

－1，则函数f(x)图象()A．关于原点对称B．关于直线y＝x对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称D[函数f(－x)＝|(－x)3＋1|＋|(－x)3－1|＝|1－x3|＋|－x3－1|＝|x3＋1|＋|x3－1|

＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数，由函数性质知选项D正确．]5．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<f13的x的取值范围是()A．13，23B．13，23C．

12，23D．12，23A[由题意得|2x－1|<13⇒－13<2x－1<13⇒23<2x<43⇒13<x<23，故选A.]6．函数f(x)＝11－x（1－x）的最大值是()A．45B．54C．34D．43D[∵1－x(

1－x)＝x2－x＋1＝x－122＋34≥34，∴11－x（1－x）≤43.]7．已知函数f(x)＝ax2－x，若对任意x1，x2∈[2，＋∞)，且x1≠x2，不等式f（x1）－f（x2）x1－x2>0恒成立，则实数a

的取值范围是()A．12，＋∞B．12，＋∞C．14，＋∞D．14，＋∞D[不妨设x2>x1≥2，则f（x1）－f（x2）x1－x2＝（ax21－x1）－（ax22－x2）x1－x2＝a（x21－x22

）－（x1－x2）x1－x2＝a（x1－x2）（x1＋x2）－（x1－x2）x1－x2＝a(x1＋x2)－1.∵对任意x1，x2∈[2，＋∞)，且x1≠x2，f（x1）－f（x2）x1－x2>0恒成立，∴x2>x1≥2时，a(x1＋x2)－1>0，即a>1x1＋x

2恒成立．∵x2>x1≥2，∴1x1＋x2＜14.∴a≥14，即a的取值范围为14，＋∞.故选D.]8．已知f(x)＝（3a－1）x＋4a（x＜1），－ax（x≥1）是定义在(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是()A．

18，13B．18，13C．0，13D．－∞，13A[由题意可得3a－1＜0，－a＜0，－a≤3a－1＋4a，解得18≤a<13，故选A.]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每

小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．下列函数中与函数y＝x不相同的是()A．y＝x2B．y＝3t3C．y＝x2D．y＝x2xACD[y＝3t3＝t，t∈R，故只有B选项相同，故选ACD.]10．下列函数中，

是奇函数()A．y＝x＋1B．y＝－x2C．y＝1xD．y＝x|x|CD[根据奇函数的定义知：C、D中函数是奇函数．]11．设函数D(x)＝1，x为有理数0，x为无理数，则下列结论正确的是()A．D()x的定义域为RB．D()x的

值域为{0，1}C．D()x是偶函数D．D()x是单调函数ABC[A，B，C正确，由D()0＝D()1知，D()x不是单调函数．]12．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论中正确的是()A．b＝－2aB．a＋b＋c＜0C．a－b＋c＞0D．abc＜

0AD[由图象知a＜0，对称轴x＝－b2a＝1，则b＝－2a，则b＞0.由x＝0时，y＝c＞0，∴abc＜0，由x＝－1时，y＜0，即a－b＋c＜0，由x＝1时，y＞0，则a＋b＋c＞0，故选AD.]三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上．13．已知幂函

数y＝xm2－2m－3(m∈N＋)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减少的，则m＝________.1[由题意知m2－2m－3为负的偶数，由m2－2m－3＝(m－1)2－4<0⇒|m－1|<2.∴－1<m<3.又m∈N＋，∴m＝1或m＝2.代入m2

－2m－3使其为偶数，只有m＝1.]14．函数f()x＝x＋1－x－1的值域为________．(]0，2[由f()x＝2x＋1＋x－1，知f()x是减函数．又f()x的定义域是[)1，＋∞，所以，f(

)x的最大值是f()1＝2，又f()x>0，所以，f()x的值域为(]0，2.]15．若函数f()x＝2x2＋2ax－a－1的定义域为R，则a的取值范围为________．[]－1，0[函数f()x的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即x2＋2ax－a

≥0恒成立，因此有Δ＝()2a2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.]16．设函数f(x)＝（x＋1）2＋a2xx2＋1，a∈R的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________．2[f(x)＝（x＋1）2＋a2xx2＋1＝1＋（2＋a2）xx2＋

1，令g(x)＝（2＋a2）xx2＋1，则y＝g(x)是奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0.所以M＋m＝[1＋g(x)max＋[1＋g(x)min]＝2.]四、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，

证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋1，求f(x)在x∈R上的表达式．[解]因为f(x)是定义域在R上的奇函数，所以f(0)＝0，当x<0时，－x>0，由已知得，f(－x)＝(－x)2－2(

－x)＋1＝x2＋2x＋1＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－2x－1，所以f(x)＝x2－2x＋1，x＞0，0，x＝0，－x2－2x－1，x＜0.18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝x＋ax的图象过点A

2，52.(1)求实数a的值；(2)证明函数f(x)在(0，1)上是减函数．[解](1)因为函数f(x)＝x＋ax的图象过点A2，52，所以52＝2＋a2⇒a＝1.于是，f(x)＝x＋1x.(2)证明：设x1，x2是(0，1)上的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)

＝x1＋1x1－x2－1x2＝x1－x2＋x2－x1x1x2＝(x1－x2)x1x2－1x1x2.由x1，x2∈(0，1)，得0<x1x2<1，x1x2－1<0，又由x1<x2，得x1－x2<0，于是f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).所以

函数f(x)在(0，1)上是减函数．19．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)的图象过点(0，4)，对任意x满足f(3－x)＝f(x)，且有最小值是74.(1)求f(x)的解析式；(2)求函数h(x)＝f(x)－(2t－3)x在区间[0，1]上

的最小值，其中t∈R；(3)在区间[－1，3]上，y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象上方，试确定实数m的范围．[解](1)由题知二次函数图象的对称轴为x＝32，又最小值是74，则可设f(x)＝a

x－322＋74(a≠0).又图象过点(0，4)，则a0－322＋74＝4，解得a＝1，∴f(x)＝x－322＋74＝x2－3x＋4.(2)h(x)＝f(x)－(2t－3)x＝x2－2tx＋4＝(x－t)2＋

4－t2，其对称轴x＝t.①t≤0时，函数h(x)在[0，1]上单调递增，最小值为h(0)＝4；②当0<t<1时，函数h(x)的最小值为h(t)＝4－t2；③当t≥1时，函数h(x)在[0，1]上单调递减，最小值为h(1)＝

5－2t，所以h(x)min＝4，t≤0，4－t2，0＜t＜1，5－2t，t≥1.(3)由已知，f(x)>2x＋m对x∈[－1，3]恒成立，∴m<x2－5x＋4对x∈[－1，3]恒成立，∴m<(x2－5x＋4)min(x∈[－1，3]).∵g(x)＝x2－5x＋4在x∈[－1，

3]上的最小值为－94，∴m<－94.20．(本小题满分12分)如图所示，有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，且上底CD的端点在圆周上，写出梯形周长y关于腰长x的函数关系式，并求出它的定义域．[解

]AB＝2R，C、D在⊙O的半圆周上，设腰长AD＝BC＝x，作DE⊥AB，垂足为E，连接BD，则∠ADB是直角，∴Rt△ADE∽Rt△ABD.AD2＝AE×AB，即AE＝x22R，∴CD＝AB－2AE＝2R－x2R，所以y＝2R＋2x＋2R－x2R，即y＝－x

2R＋2x＋4R.再由x>0x22R>02R－x2R>0，解得0＜x＜2R.所以y＝－x2R＋2x＋4R，定义域为(0，2R).21．(本小题满分12分)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足fx1x2＝f()x1－f()x2，且当x

>1时，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)<－2.[解](1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1

)＝0.(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则x1x2>1，由于当x>1时，f(x)<0，所以fx1x2<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单

调递减函数．(3)由fx1x2＝f()x1－f()x2得f93＝f()9－f()3，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.由于函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，由f(|x|)<f(9)，得|x|>9，∴x>9或x<－9.因此不等式的解集

为{x|x>9或x<－9}．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3，x≤a，x2，x>a.(1)当a＝2时，求f(x)的定义域、值域；(2)若存在x1≠x2，使f(x1)＝f(x2)，求a的取值范围．[解](1)f(x)的定义域为(－∞，a]∪(a，＋∞)＝R.当a＝2时，y＝

x3在(－∞，2]上是增加的，∴x3∈(－∞，8].y＝x2在(2，＋∞)上是增加的，∴x2∈(4，＋∞).∴f(x)的值域为(－∞，8]∪(4，＋∞)＝R.(2)当a<0时，f(x)在(a，＋∞)上不单调，∴存在x1≠x2使f

(x1)＝f(x2).当a＝0时，f(x)在R上是增函数，∴不存在x1≠x2，使f(x1)＝f(x2).当a>0时，f(x)在(－∞，a]，(a，＋∞)上都是增加的，要使x1≠x2时，f(x1)＝f(x2)，需a3>a2，即a>1.综上，a的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞).获

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