【文档说明】山西省晋城市（高平一中、阳城一中、高平实验中学）2020-2021学年高二上学期数学（理）答案.doc，共(9)页，847.500 KB，由小赞的店铺上传

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高平一中2020—2021学年上学期高二年级期末考试数学试题（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知点，()3,3B−，则直线AB的倾斜角为（）A．30B．45C．120D．1

352.给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②存在每个面都是直角三角形的四面体；③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.33.双

曲线C：221916xy−=的左右焦点分别为1F，2F，点P在双曲线C上且1||20PF=，则2||PF等于（）A.12或28B.14或26C.16或24D.17或234.已知直线1:(2)(3)50lmxmy+++−=和2

:6(21)5lxmy+−=互相平行，则m=()A.4B.52−C.4，52−D.1−，92−5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A.23B.13C.43D.836.已知mR，则“3m”是

“方程22113xymm−=−−表示双曲线”的（）A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件7.已知向量a，b满足||5a=，||6b=，6ab=−，则cos,=+aabA．3135−B．1935−C．1735D．19358.直三棱柱1

11ABCABC−中，若90BAC=，1ABACAA==，则异面直线1BA与1AC所成的角等于A.30°B.45°C.60°D.90°9.设m，nR，若直线(1)(1)20mxny+++−=与圆22(1)(1)1xy−+

−=相切，则mn+的取值范围是（）．A.[13,13]−+B.(),1313,−−++C.[222,222]−+D.(),222222,−−++10.设12,FF分别是椭圆22221(0)xyabab+=的左、右焦点，若在直线

2axc=上存在点P，使线段1PF的中垂线过点2F，则椭圆离心率的取值范围是（）A．1,12B．2,13C．2,12D．3,1311.已知函数3,0,(),0.xxfxxx=−

若函数2()()2()gxfxkxxk=−−R恰有4个零点，则k的取值范围是A．1(,)(22,)2−−+B．1(,)(0,22)2−−C．(,0)(0,22)−D．(,0)(22,)−+12.如图，在三棱锥ABCD−中，AB，AC，AD两两互相垂直，4ABACAD===，点

P，Q分别在侧面ABC、棱AD上运动，2PQ=，M为线段PQ中点，当P，Q运动时，点M的轨迹把三棱锥ABCD−分成上、下两部分的体积之比等于()A.64−B.264−C.128−D.643−二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．命题“2,230xRxx

−+”的否定是________.14.已知直三棱柱111ABCABC−的各顶点都在同一球面上，若30BAC=，11BCAA==，则该球的表面积等于__________．15．(6,13)A和(12,11)B是平面上圆C上两点，过A，B两点作圆C的切线交于x轴上同一点，

则圆C的面积为__________．16.如图所示，已知M，N为双曲线22221(0,0)xyabab−=上关于原点对称的两点，点M与点Q关于x轴对称，2516MEMQ=，直线NE交双曲线右支于点P，若2NMP=，则e=_____________．三

、解答题（本大题共6题，共70分）17．（10分）已知p：11,42x，2x>m(x2+1)，q：函数f(x)=4x+2x+1+m-1存在零点.若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围.1

8.（12分）数列).13(21}{321−=++++nnnaaaaa满足：（1）求}{na的通项公式；（2）若数列.T}{,3}{n项和的前求满足：nbabnbannnn=19.（12分）在锐角ABC中，内角ABC，，所对的边分别为,,abc.已知sinbAsin(

)3aB=+.（1）求角B的大小；（2）求ac的取值范围.20.（12分）如图，三棱柱中，，，平面平面.（1）求证：；（2）若，直线与平面所成角为，为的中点，求二面角的余弦值.21.（12分）已知在平面

直角坐标系xOy中，圆22:1Oxy+=与y轴交于C，D两点，点P在第一象限且为圆O外一点，直线PC，PD分别交圆O于点A，B，交x轴于点Q，R．（Ⅰ）若直线BD的倾斜角为60°，||1AC=，求点P

坐标；（Ⅱ）过P作圆O的两条切线分别交x轴于点M，N，试问||||MQNR是否为定值？若是，求出这个定值：若不是，说明理由．22.（12分）已知点A(−2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为−12.记M

的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.（i）证明：PQG△是直角三角形；（ii）求PQG△面积的最大值

.高平一中2020—2021学年上学期高二年级期末考试数学试题（理科）答案一、选择题1-6CCBBAB7-12DCDDDA二、填空题13.2000,230xRxx−+14.513．85816.54三、解答题17.解：由题意得：11,4

2x，2x>m(x2+1)，即22211xmxxx=++在11,42上恒成立，因为1yxx=+在11,42为单调递减函数，所以当x=14时，max1174xx+=，所以2min28117

xx=+，所以若命题p为真命题，则817m，………………3分设t=2x，则t∈(0，+∞)，则函数f(x)化为g(t)=t2+2t+m-1，由题意知g(t)在(0，+∞)上存在零点，令g(t)=0，得m=-(t+1)2+2，又t>0，所以若

命题q为真，则m<1.………………6分又因为“p∨q”为真，“p∧q”为假，所以命题p，q一真一假，即p真q假，或p假q真，所以8171mm或8171mm，解得817≤m<

1，………………9分故所求实数m的取值范围是8,117.………………10分18.解：（1）1231(31)2nnaaaa++++=−，①当2n时，-1123-11(31)2nnaaaa++++=−，②①－②得，13nna−=，当1n=时，11a=，符合上式.所以13nna−=.

…………………………6分（2）因为3nnabna=，所以133nnabn−=，即1nnabn=−，113nnbn−−=，nT23n-11111=0+1+2+3++n-1)3333（）（）（（），①23n-1n11111=1

+2++n-2)+n-1)33333nT（）（）（（）（（），②…………………8分①－②得，23n-1n211111=++++n-1)333333nT（）（）（）－（（）111=)223nn+－(，…………………11

分所以1321443nnnT−+=−.……………………12分19..解：（1）∵，∴sinBsinA＝sinA（sinB+cosB），sinA≠0．…………………2分化为：sinB﹣cosB＝0，∴tanB＝，…………………4分因为0B，所以B＝．…………………6分-

wqpoy（2）由（1）可得：A+C＝π﹣B＝，又△ABC为锐角三角形，∴0＜C＝﹣A＜，0＜A＜，∴＜A＜，……………………8分∴＝＝＝＝+∈，………………11分∴的取值范围是．………………12分20.（1）证明：过点作，垂足为，因为平面平面，所以平面，故，…………2分又因为，，，所以，故，因为

，所以，…………4分又因为，所以平面，故.……………………6分（2）以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，因为平面，所以是直线与平面所成角，故，所以，，………………7分，，，，，，设平面的法向量为，则，所

以，令，得，………………9分因为平面，所以为平面的一条法向量，，………10分，所以二面角的余弦值为.………………12分21.解（Ⅰ）由题可知()()0,1,0,1CD−，直线BD的倾斜角为60°，则直线BD的方程为31

yx=−，1ACOAOC===，故AOC△为正三角形，则直线AC的倾斜角为30，故直线AC方程为313yx=+，P为直线BD和直线AC交点，联立方程31313yxyx=−=+，解得32xy==，()3,2P；………………6分（Ⅱ）设(),Pab，切线与x轴交点为()0,0x，

则切线方程为0000xxybax−−=−−，即()000bxaxyxb−−−=，又O到切线的距离为1，则()0220xbbax−+−，整理得()()222200120bxaxab−+−+=，则,MNxx是

方程的两根，221MNaxxb+=−，由P，C，Q共线得10100Qbxa−−=−−，解得1Qaxb=−，同理可得1Raxb=+，,QMNRMQxxNRxx=−=−，()()222222011111NMRQa

aaaaNRMQxxxxbbbbb−=+−+=−+=−=−−+−−，NRMQ=，即||1||MQNR=.………………12分22.解（1）由题设得1222yyxx=−+−，化简得221(||2)42xyx+=，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不

含左右顶点．………………3分（2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为(0)ykxk=．由22142ykxxy=+=得2212xk=+．记2212uk=+，则(,),(,),(,0)PuukQuukEu−−．

于是直线QG的斜率为2k，方程为()2kyxu=−．由22(),2142kyxuxy=−+=得22222(2)280kxukxku+−+−=．①设(,)GGGxy，则u−和Gx是方程①的解，故22(32)2Guk

xk+=+，由此得322Gukyk=+．从而直线PG的斜率为322212(32)2ukukkukkuk−+=−+−+．所以PQPG⊥，即PQG△是直角三角形．………………7分（ii）由（i）得2||21PQuk=+，2221||2ukkPGk+=+，所

以△PQG的面积222218()18(1)||12(12)(2)12()kkkkSPQPGkkkk++===++++‖．设t=k+1k，则由k>0得t≥2，当且仅当k=1时取等号．因为2812tSt=+在[2，+∞）单调

递减，所以当t=2，即k=1时，S取得最大值，最大值为169．因此，△PQG面积的最大值为169．………………12分