【文档说明】12.2 二次根式的乘除（教师版）-【帮课堂】2021-2022学年八年级数学下册同步精品讲义（苏科版）.docx，共(19)页，872.014 KB，由管理员店铺上传

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第12章二次根式12.2二次根式的乘除课程标准课标解读理解二次根式的乘、除运算1.掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算。2.了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简。知识

点二次根式的乘除法（一）二次根式的乘法及积的算术平方根1.乘法法则：abba=•）（0,0ba,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘。【微点拨】(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数)

。(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：nnaaaaaaaa••••=••321321）（0,0,0,0321naaaa(3)若二次根式相乘的结果能写成2a的形式，则应化简。2.积的算术平方根:ba

ab•=）（0,0ba,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。【微点拨】(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足≥0，≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；

(2)ba•与都是的算术平方根；(3)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有2a形式的a移到根号外面。ababab目标导航知识精讲（二）二次根式的除法及商的算术平方根1.除法法则：baba=）（0,0ba,即两个二次根式相除，根指

数不变，把被开方数相除。【微点拨】(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0；(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结

果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.2.商的算术平方根:baba=）（0,0ba，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。【微点拨】与都是的算术平方根。（三）最简二次根式（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（2）被开方数中不

含有分母；（3）分母中不含有根号。满足这三个条件的二次根式叫做最简二次根式。【微点拨】二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1)被开方数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式。【即学即练1】计算：(1)3205275+−；(2)()()3232+−．【答案】(1)0(2)1【分析】(

1)运用二次根式的除法运算法则，求一个数的立方根计算即可．(2)按照平方差公式进行计算即可．abababab【解析】(1)3205275+−=2+1-3=0．(2)（32+）（32−）=22(3)(2)−=3-2=1．

【即学即练2】计算：(1)18321+28−．(2)38−﹣2×34+|1﹣3|．【答案】(1)0(2)-3【分析】（1）先化简每一个二次根式，然后再进行计算即可；（2）先化简各数，然后再进行计算即可．【解析】(1)解：18328−+12＝324222−+12＝222−+12＝-12+12＝0．

(2)解：38−﹣2×34+|1﹣3|＝﹣2﹣2×32+3﹣1＝﹣2﹣3+3﹣1＝﹣3．能力拓展考法01二次根式的乘除法【典例1】材料1：因为无理数是无限不循环小数，所以无理数的小数部分我们不可能全部写出来．比如：π，2等，而常用的

“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确．材料2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是2.5−2得来的．材料3：任何一个无理数，都夹在两个相邻的整数之间，如253，是因为459．根据上

述材料，回答下列问题：（1）17的整数部分是，小数部分是．（2）53+也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为53ab+，求ab+的值．（3）已知33xy+=+，其中x是整数，且0＜y＜1，求x+4y的倒数．【答案】（1）4，17

4−；（2）13；（3）312【分析】（1）先估算17在哪两个整数之间，即可确定17的整数部分和小数部分；（2）先估算出3的整数部分，再利用不等式的性质即可确定答案；（3）先求出3的整数部分，得到3+3的整数部分即为x

的值，从而表示出y，求出x+4y的结果，再求x+4y的倒数即可．【解析】解：（1）∵161725，∴4175，∴17的整数部分是4，小数部分是17-4，故答案为：4，174−；（2）∵134，∴132，∴65+37，∵5

3ab+，∴a=6，b=7，∴a+b=13；（3）∵1＜3＜2，∴1+3＜3+3＜2+3，∴4＜3+3＜5，∴x=4，y=3+3-4=31−，x+4y=4+4(3-1）=43，∴x+4y的倒数是312．考法02最简二次根式【典例2】阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些

含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如()232212+=+，善于思考的小明进行了以下探索：设()222abmn+=+（其中a、b、m、n均为正整数），则有222222abmnmn+=++，∴222amn=

+，2bmn=．这样小明就找到了一种把部分2ab+的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）a、b、m、n均为正整数时，若()233abmn+=+，用含m、n的式子分别表示a

、b，得：=a______，b=______；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n，符合()233abmn+=+．________________________（3）若()2433amn+=+，且a

、b、m、n均为正整数，求a的值．【答案】（1）223mn+，2mn；（2）4、2、1、1；（3）7a=或13【分析】（1）利用完全平方公式展开得到（m+n3）2＝m2+3n2+23mn，从而可用m、n表示a、b；（2）先取m＝1，n＝1，则计算对

应的a、b的值，然后填空即可；（3）利用a＝m2+3n2，2mn＝4和a、m、n均为正整数可先确定m、n的值，然后计算对应的a的值．【解析】解：（1）∵()233abmn+=+，∴223323abmnmn+=++，∴223amn=+，2bmn=，故答案为223mn+，2mn；（2）设1

m=，1n=，∴2234amn=+=，22bmn==故答案为4、2、1、1；（3）由题意，得：223amn=+，2bmn=∵42mn=，且m、n为正整数，∴2m=，1n=或者1m=，2n=，∴222317a+==，或2213213a=+=∴7a=或13．题组A基础过关练1．化简12的结果

是（）A．22B．22C．23D．23【答案】D【分析】根据(00)ababab=，进行化简即可．【解析】解：124323==，故选：D．2．下列二次根式中，最简二次根式是（）A．5B．4C．12D．12【答案】A【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数中不含能开得

尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，判断即可．【解析】解：A、5是最简二次根式，符合题意；B、42=不是最简二次根式，不符合题意；C、1223=不是最简二次根式，不符合题意；D、1222=不是最简二次根式，不符合题意；故选：A．3．下列

二次根式中，不是最简二次根式的是（）A．4abB．22ab−C．39D．222aabb−+【答案】D【分析】按照最简二次根式的定义对选项进行逐个分析即可．【解析】解：A.4ab是最简二次根式，不符合题意；B.22ab−是最简二次根式，不符合题意；C.39是最简二次根式

，不符合题意；D.()2222=aabbabab−+−=−，不是最简二次根式，符合题分层提分意；故选：D．4．已知一个长方形面积是24，宽是2，则它的长是（）A．32B．12C．23D．43【答案】C【分析】用长方形的面积除以一边长，可得另一边长．【解析】解：24÷2=12

23=，故答案为：C。题组B能力提升练1．下列二次根式中，最简二次根式是（）A．2−B．12C．15D．2a【答案】A【分析】根据最简二次根式的两个条件逐项判定即可．【解析】解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因

数或因式，故A符合题意；B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B不符合题意；C、被开方数含分母，故C不符合题意；D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意．故选：A．2．下列运算正确的是（）A．35=15B．316＝4C．246=4D．4＝4【答案】A【分析】根据立方根的

定义、算术平方根的定义、二次根式的乘除运算法则即可求出答案．【解析】解：A、原式=15，故该选项符合题意；B、316≠4，故该选项不符合题意；C、原式=4=2，故该选项不符合题意；D、原式=2，故该选项不符合题意．故选：A．3．已知a、b均为有理数，且26(23)ab

+=−，则a、b的值为（）A．2，-5B．5，2C．5，-2D．-2，5【答案】C【分析】根据完全平方公式和二次根式乘法的性质，计算得226(23)5=−−，结合有理数的性质分析，即可得到答案．【解析】22223(23)3526=−+=−−∵a

、b均为有理数，且26(23)ab+=−∴5a=，2b=−故选：C．4．估计()2142−的值在（）A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间【答案】B【分析】先根据二次根式的乘法进行计算，进而根据无理数大小估计求解即可【解析】解：∵()2142−272=−又2728=∴

527632724−故选B5．请同学们猜一猜()25155+的值应在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间【答案】B【分析】先计算二次根式的除法，再根据无理数的估算即可得．【解析】解：()2515525515523+=+=+，134，132，32

34+，即()25155+的值在3和4之间，故选：B．6．化简计算：222432+=_________．【答案】40【分析】首先把被开方数转化为42（62+82）=42×100，然后化简即可.【解析】解：()2

22222432=468=4100=40++，答案为40.7．计算：()()3232+−=_________．【答案】1【分析】利用平方差公式计算．【解析】解：()()3232+−=()()2232−=3

-2=1．故答案为18．122718＝_____．【答案】22【分析】根据二次根式乘除运算法则计算即可．【解析】原式=122712882==故答案为：22．9．分母有理化131=−_______．【答案】312+【分析】分子，分母同乘以(3+1)，利用平方差公式化简解题．【解析】

解：13131231(31)(31)++==−−+故答案为：312+．题组C培优拔尖练1．下列各式中，正确的是（）A．822=B．93=C．622−=D．()244−=−【答案】A【分析】利用二次根式的性质，除法法则和加减法则进行计算即可．【解析

】解：A、828242===，故原题计算正确；B、9=3，故原题计算错误；C、6和2不能合并，故原题计算错误；D、()24−=|-4|=4，故原题计算错误；故选：A．2．下列各式中，是最简二次根式

的是（）A．23B．2abC．27D．22ab−【答案】D【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．【解析】解：A、23被开方数里含有分母，故本选项错误；B、2ab，被开方数里含有能开得尽方的因式2a，故本选项错误；C、被开方数里含有能开得尽方的因数9，故本

选项错误；D、符合最简二次根式的条件，故本选项正确．故选：D．3．当0m时，化简二次根式mnnm，结果正确的是（）A．nmnB．nmn−C．1mnnD．1mnn−【答案】D【分析】先判断0,n再利

用()0,0aaabbb=?进行化简即可.【解析】解：0,0,nmm<>Q0,n\<2.mnmmnmmnmnnmnmnmn\===--g故选D4．如图，在正方形网格中，每个小正方形的方格的边长均为1，则点A到边BC的距离为（）

A．355B．223C．322D．32【答案】C【分析】过点A作ADBC⊥于点D，由勾股定理得出2BC=，再根据面积法可得AD的长．【解析】解：过点A作ADBC⊥于点D，由勾股定理得：22112BC=+=，1111222121112

2222ABCSAD=−−−=△，∴1241122AD−−−=，322AD=，故选：C．5．等式3311aaaa−−=++成立的条件是（）A．1a−B．3a−且1aC．1a−D

．3a【答案】D【分析】根据二次根式有意义，分式有意义的条件列出不等式求解即可．【解析】解：根据题意得，30−a，10a+∴3a，1a−∴3a故选D．6．下列等式：①()155−=；②12(32)+＝2＋6；③4415＝4415，其中正确的个数为（）A．0

B．1C．2D．3【答案】B【分析】利用负整数指数幂的含义及二次根式的除法运算可判断①，利用二次根式的除法运算可判断②，利用二次根式的化简可判断③，从而可得答案．【解析】解：()1155,55−==故①错误；()()()123212=626,3+23232−=

−+−故②错误；46416444===4,15151515故③正确，故选：.B7．使等式3322xxxx++=−−成立的条件时，则x的取值范围为___．【答案】32x−【分析】由二次根式有意义的条件可得30,20xxì+?ïí->ïî再解不等式组即可得到答案.【解析】

解：等式3322xxxx++=−−成立，3020xxì+?ï\í->ïî①②由①得：3,x−由②得：2,x所以则x的取值范围为32.x-?故答案为：32x−8．已知：若10的整数部分为a，小数部分为b，则3a﹣（b+3）2＝_____．【答案】-1【

分析】先估算无理数的范围，求出a、b的值，代入求出即可．【解析】解：∵3＜10＜4，∴整数部分a＝3，小数部分b＝10﹣3，∴3a﹣（b+3）2＝3×3﹣（10﹣3+3）2＝﹣1．故答案为：﹣1．9．化简3100的结果是___．【答案】310【分

析】直接根据二次根式的除法法则进行化简即可得到答案．【解析】3100＝3100＝310．故答案为：31010．已知m是2的小数部分，求221m-2m+＝___________．【答案】2【分析】根据题意知m=2-

1，将所求式子进行通分化简，再将m的值代入即可求解．【解析】解：由题意，知m=2-1，221m-2m+=42212mmm+−=()2221mm−当m=2-1时，原式=()()22221121−−−=()()

2222221−−=()()2242121−−=4=2．故答案为2．11．计算：（1）27506；（2）21233223aaa．【答案】（1）15；（2）3a．【分析】（1）根据二次根式的乘除运算

性质计算即可；（2）根据二次根式的性质化简即可；【解析】（1）原式=13352156=．（2）原式=221221134263663aaaaaa===．12．先阅读下面的解题过程，然后再解答：形如2mn的化

简，只要我们找到两个数a，b，使abm+=，abn=，即22()()abm+=，abn=，那么便有22()()mnababab==例如：化简：7212+解：首先把化为7212+，这里7m=，12n=因为437+=，4312=即22(4)(3)7+=，431

2=所以27212(43)23=+=+=+根据上述方法化简：（1）13242−；（2）8215+【答案】（1）76−；（2）53+【分析】根据abm+=，abn=，即22()()abm+=，abn=代入计算即可；【解析】（1）根据题意，可知13m=

，42n=，因为6713+=，6742=，即22(7)(6)13+=，7642=，所以()()()22213242672677676−=+−=−=−；（2）根据题意，可知8m=，15n=，因为538+=，5315=即22(5)(3

)8+=，5315=，所以28215(53)53+=+=+．13．小明在学习了“二次根式”后，发现一些含根号的代数式可以写成另一个根号的代数式的平方，如2322(12)+=+．善于思考的小明进行了以下探索：设22(2)abmn+=+（

其中a、b、m、n均为整数），则有222222abmmnn+=++．222amn=+，2bmn=．这样小明就找到了把总分2ab+的代数式化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为整数时，若23(3)abmn+=+，用含m、n的代数

式分别表示a、b，则：=a______，b=_________；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：2____3(________3)+=+．（3）若243(3)amn+=+，且a、m、n均为正整数，求a的值

．【答案】（1）m2＋3n2，，2mn；（2）13，4，1，2；（3）13或7【分析】（1）已知等式右边利用完全平方公式展开，表示出a与b即可；（2）令m＝1，n＝2，确定出a与b的值即可；（3）根据第（1）题的结论，结合a、m、n均为正整数，即可求解．【解析】解：（1）∵222(3)233

mnmmnn+=++，又∵23(3)abmn+=+，∴a＝m2＋3n2，b＝2mn；故答案为m2＋3n2，，2mn；（2）令m＝1，n＝2，则a＝m2＋3n2＝1＋3×4＝13，b＝2mn＝4，∴13＋43＝（1＋23）2；故答案为13，4，1，2；（3）由（1）可知：a＝m2＋3n2，4＝2mn

，∴a＝m2＋3n2，mn=2，∵a、m、n均为正整数，∴m=1，n=2或m=2，n=1，∴a＝12＋3×22=13或a＝22＋3×12=7，即a=13或7．14．由2()0ab−得，222abab+；如果两个正数a，b，即0

,0ab，则有下面的不等式：2abab+，当且仅当ab=时取到等号．例如：已知0x，求式子4xx+的最小值．解：令4,axbx==，则由2abab+，得4424xxxx+=，当且仅当4xx=时，即2x=时，式子有最小值

，最小值为4．请根据上面材料回答下列问题：（1）当0x，式子1xx+的最小值为______________；当0x，则当x=__________时，式子364+xx取到最大值；（2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽

各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？（3）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AOB、COD△的面积分别是8和14，求四边形ABCD面积的最小值．【答案】（1）2；-3；（2）长为8，宽为4；最短篱笆为16；（3）32+87．【分析】（1）直接套公式计算，取相反数后，

套用公式计算即可；（2）设篱笆的长为x，则宽为32x，则篱笆的周长为64xx+，套用公式计算即可；（3）设点B到AC的距离BE=1h，点D到OC的距离DF=2h，用AC，1h，2h表示四边形的面积，后套用公式计算即可．【解析】（1）∵0x，∴1122xxxx+=，∴式子

1xx+的最小值为为2，故答案为：2；∵0x，∴x−＞0,∴3636(-4)2(-4)24(-)(-)xxxx+，当且仅当，36(-4)=(-)xx时，等号成立，解得3x=不符合题意，舍去，取3x=−，∴36-(4)24xx+，∴36424xx+−，∴当3

x=−时，式子364+xx取到最大值，故答案为：-3；（2）设篱笆的长为x，则宽为32x，∴篱笆的周长为32642xxxx+=+,∵0x，∴6464216xxxx+=，当且仅当，64=xx时，等号成立，解得8x=或8x=−（舍去），∴32x=4，∴长方形的长为8米、宽为4米时，所用的篱笆最

短，最短的篱笆是16米；（3）设点B到AC的距离BE=1h，点D到OC的距离DF=2h，∵AOB、COD△的面积分别是8和14，∴OA=116h，OC=228h，∴AC=OA+OC=116h+228h，∴=ABCADCABCDSSS+△△四边形12

1122AChACh=+121(hh)2AC=+121()2hh=+(116h+228h)=22+218hh+2114hh，∵120,0hh，∴218hh+2114hh2112814287hhhh，∴22+218hh+211422+87hh，∴四边形ABC

D面积的最小值22+87．