【文档说明】第03讲 根的判别式及根与系数关系（解析版）-2022-2023学年九年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）.docx，共(26)页，81.001 KB，由管理员店铺上传

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第03讲根的判别式及根与系数关系（解析版）第一部分典例剖析+针对训练类型一根的判别式的应用（1）不解方程，判别根的情况典例1（2021秋•龙岗区校级期末）不解方程，判断下列方程的根的情况：（1）2x2+3x﹣4＝0；（2）ax2+bx＝0（a≠0）．

思路引领：分别计算根的判别式，利用根的判别式的符号进行判断即可．解：（1）∵Δ＝32﹣4×2×（﹣4）＝41＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵Δ＝（﹣1）2﹣4×4×4＝﹣63＜0，∴方程没有实数根．（2）∵a≠0，∴方程ax2+bx＝0（a≠0）是

一元二次方程，∵Δ＝（﹣b）2﹣4×a×0＝b2≥0，∴方程有两个实数根．解题秘籍：本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．针对训练11．（2021秋•建昌县期中）不解方程，判断方程3x2﹣4x﹣1＝0的根的情况是（）A．没有实数根B

．有两个相等实数根C．有两个不相等实数根D．无法确定思路引领：根据方程的系数结合根的判别式即可得出Δ＝28＞0，从而得出方程有两个不相等的实数根．解：在方程3x2﹣4x﹣1＝0中，∵Δ＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）＝28＞0，∴方程3x2﹣4x﹣1＝0有两个不相等

的实数根．故选：C．解题秘籍：本题考查了根的判别式，熟练掌握“当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根”是解决问题的关键．2．（2021秋•达川区期末）已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣1＝0．（1）不解方程，判断方程根的情况；（2）若方程有一根为1，求m的值．思

路引领：（1）根据根的判别式判断即可；（2）将x＝1代入方程，解方程即可得m的值．解：（1）∵Δ＝4m2﹣4（m2﹣1）＝4＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．（2）∵方程有一根为1，∴1+2m+m2﹣1＝0，∴m（m+

2）＝0，∴m1＝0，m2＝﹣2．∴m的值为0或﹣2．解题秘籍：本题主要考查了根的判别式以及一元二次方程解的知识，解答本题的关键是熟练掌握根的判别式的意义以及因式分解法解方程的知识．（2）求待定系数的值或取值范围典例2（2021秋•崇明区校

级期末）已知关于x的一元二次方程x（kx﹣4）﹣x2+4＝0．（1）如果方程的根的判别式的值为4，求k的值；（2）如果方程有两个实数根，求k的取值范围．思路引领：（1）先把方程化为一般式，再根据根的判别式的定义得到Δ＝（﹣4）2﹣4（k﹣1）

×4＝4，然后解关于k的方程即可；（2）利用判别式的意义得到k﹣1≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4（k﹣1）×4≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．解：（1）方程化为：（k﹣1）x2﹣4x+4＝0，根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4（k﹣1）×4＝4，解得k=74；（2）根据题意得k﹣1≠0且Δ＝（﹣4

）2﹣4（k﹣1）×4≥0，解得k≤2且k≠1，即k的取值范围为k＜2且k≠1．解题秘籍：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当

Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．针对训练23．（2022•张家口一模）若关于x的一元二次方程nx2﹣2x﹣1＝0（n为整数）有两个不相等的实数根，则n的最小值为（）A．0B．1C．﹣1D．﹣2思路引领：根据方程的

系数结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于n的一元一次不等式，解之即可得出n的取值范围．解：由题意可知Δ＝（﹣2）2﹣4n×（﹣1）＝4+4n＞0，解得n＞﹣1，又n≠0，则n的最小整数为1，故选：B．解题秘籍：本题考查了根的判别式，牢

记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．4．（2022•双柏县模拟）已知一元二次方程x2+mx+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为（）A．m＝0B．m＝4C．m＝0或m＝4D．m＝0或m＝﹣4思路引领：根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于m的等

式或不等式，求解即可．解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝0，即m2﹣4×1×m＝0，解得：m＝0或m＝4，故选：C．解题秘籍：本题考查根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定

一元二次方程根的情况．5．（2022•定海区一模）直线y＝x﹣a不经过第二象限，且关于x的方程ax2﹣2x+1＝0有实数解，则a的取值范围是（）A．0≤a≤1B．o≤a＜1C．0＜a≤1D．0＜a＜1思路引领：利用一次函数的性质得

到a≥0，再判断Δ＝（﹣2）2﹣4a≥0，从而得到a的取值范围．解：∵直线y＝x﹣a不经过第二象限，∴﹣a≤0，∴a≥0，当a＝0时，关于x的方程ax2﹣2x+1＝0是一元一次方程，解为x=12，当a＞0时，关于x的方程ax

2﹣2x+1＝0是一元二次方程，∵Δ＝（﹣2）2﹣4a≥0，∴a≤1．∴0≤a≤1，故选：A．解题秘籍：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程

有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．（3）根据字母系数，判别根的情况典例3（2022•新野县一模）若关于x的一元二次方程ax2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．a＜2B．a＜1C．a＜2且a≠0D．a＜1且a≠0思路引领：根据

方程的系数结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，∴a≠0，Δ＝（﹣6）2﹣4×a×9＝36﹣36a＞0，解得：a＜1且a≠0．故选：D．解题秘籍：本题考查了根

的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．针对训练36．（2022•南沙区一模）若16m+2＜0，则关于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣1＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根

C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根思路引领：16m+2＜0可得出8m+1＜0，根据方程的系数及根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝8m+1，进而可得出关于x的一元二次方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣1＝0没有实数根．解：∵16m+2＜0，∴8m+1＜0．由题意得

Δ＝（2m+1）2﹣4×m×（m﹣1）＝8m+1．∵8m+1＜0，∴Δ＜0，∴关于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣1＝0没有实数根．故选：A．解题秘籍：本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根”

是解题的关键．7．（2022春•黄浦区期中）关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定思路引领：先计算根的判别式，再确定根的判别式与0的关系，

最后得结论．解：Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣1）＝m2+4∵m2≥0，∴Δ＝m2+4＞0．∴关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0有两个不相等的实数根．故选：A．解题秘籍：本题考查了根的判别式，利用完全平方式的非负性确定根的判别式与0的关系是解决本题的关键．8．（2022

•呈贡区一模）已知关于x的一元二次方程−14𝑥2+𝑎𝑥+(2𝑎+1)=0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个实数根D．无实数报思路引领：先求出Δ的值，再判断出其符号即可．解：∵Δ＝a2﹣4×（−14）×（2a+1）＝a2+2a

+1＝（a+1）2≥0，∴方程有两个实数根．故选C．解题秘籍：本题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实

数根．上面的结论反过来也成立．9．（2022春•德阳月考）函数y＝kx﹣b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定思路引领：利用一次函数的性质得k＜0，再计算判别式的值得到Δ＝b2﹣4

k+4，然后判断△的符合，从而得到方程根的情况．解：由图象可得k＜0，∵Δ＝b2﹣4（k﹣1）＝b2﹣4k+4，∵b2≥0，∴b2+4＞0，∵﹣4k＞0，∴Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：C．解题秘籍：本题考查了根的判别式和了一次函数

的性质，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解决问题的关键．类型二根与系

数的应用（1）求轮换对称的代数式的值典例4（2022春•东湖区期中）[问题背景]若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，则利用求根公式得x1=−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎，x2=−𝑏−√𝑏2−4�

�𝑐2𝑎，其中b2﹣4ac≥0．根据问题背景回答下列问题：（1）直接写出一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两个根x1＝2+√3，x2＝2−√3．（2）在（1）的条件下，写出x1+x2＝4，x1•x2＝1．（3）在（2）的条件下，求出下列式子的值．

①x12+2x1x2+x22；②𝑥1𝑥2+𝑥2𝑥1．思路引领：（1）利用配方法解方程即可；（2）计算2+√3与2−√3的和、积即可；（3）①利用完全平方公式得到原式＝（x1+x2）2，然后利用整体代入的方法计算；②先通分，再利用完全平方公式变形得到原式=(𝑥1+𝑥2

)2−2𝑥1𝑥2𝑥1𝑥2，然后利用整体代入的方法计算．解：（1）x2﹣4x＝﹣1，x2﹣4x+4＝3，（x﹣2）2＝3，x﹣2＝±√3，所以x1＝2+√3，x2＝2−√3；故答案为：2+√3；2−√3；（2）x1

+x2＝2+√3+2−√3=4；x1x2＝（2+√3）（2−√3）＝4﹣3＝1；故答案为：4，1；（3）①原式＝（x1+x2）2＝42＝16；②原式=𝑥12+𝑥22𝑥1𝑥2=(𝑥1+𝑥2)2−2𝑥1𝑥2𝑥1𝑥2=42−2×11=14．解题秘籍：

本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2=−𝑏𝑎，x1x2=𝑐𝑎．也考查了解一元二次方程．针对训练410．（2022•东坡区模拟）已知x1、x2是一元二次方程x2﹣x﹣7＝0的两个实数根，则𝑥12+4x1x

2+𝑥22的值是（）A．﹣6B．﹣2C．﹣13D．﹣30思路引领：利用根与系数的关系得x1+x2＝1，x1x2＝﹣7，再利用完全平方公式得到𝑥12+4x1x2+𝑥22=（x1+x2）2+2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．解：根据根与系数的关系得x1+x2＝1，x1x2＝﹣7，所以�

�12+4x1x2+𝑥22=（x1+x2）2+2x1x2＝12+2×（﹣7）＝﹣13．故选：C．解题秘籍：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−𝑏𝑎，x1x2=𝑐𝑎．11．（2022

•黔东南州一模）已知一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则1𝑥1+1𝑥2的值为（）A．2B．﹣1C．−12D．﹣2思路引领：利用根与系数的关系求出x1+x2与x1x2的值，原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，将各自的值代入计算即可求出值．解：∵一元二次方程x2﹣4x﹣

2＝0的两根分别为x1，x2，∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣2，则原式=𝑥1+𝑥2𝑥1𝑥2=4−2=−2，故选：D．解题秘籍：此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．（2）结合方程解的定义求非对称的代数式的值典例5（2

020•成都模拟）设x1，x2是方程x2﹣x﹣2020＝0的两实数根，则x13+2021x2﹣2020＝．思路引领：先根据一元二次方程根的定义得到x12＝x1+2020，再用x1表示出x13，则x13+2021x2﹣2020＝2021（x1+

x2），然后根据根与系数的关系计算．解：∵x1是方程x2﹣x﹣2020＝0的实数根，∴x12﹣x1﹣2020＝0，∴x12＝x1+2020，∴x13＝x1（x1+2020）＝x1+2020+2020x1＝202

1x1+2020，∴x13+2021x2﹣2020＝2021x1+2020+2021x2﹣2020＝2021（x1+x2），∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2020＝0的两实数根，∴x1+x2＝1，∴x13+2021x2﹣2020＝2021×1＝2021．故答案为：2021．解题秘籍：本题考查了根与

系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−𝑏𝑎，x1x2=𝑐𝑎．针对训练512．（2022•任城区校级二模）已知m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m2﹣n+2022

的值是（）A．2022B．2024C．2026D．2028思路引领：先根据一元二次方程的解得的定义得到m2＝﹣m+3，则m2﹣n+2022可化为﹣（m+n）+2025，再根据根与系数的关系得到m+n＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．解：∵m是方程x2+x﹣3＝0

的实数根，∴m2+m﹣3＝0，∴m2＝﹣m+3，∴m2﹣n+2022＝﹣m+3﹣n+2022＝﹣（m+n）+2025，∵m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，∴m+n＝﹣1，∴m2﹣n+2022＝﹣（﹣1）+2025＝2

026．故选：C．解题秘籍：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，x1+x2=−𝑏𝑎，x1x2=𝑐𝑎．13．（2022•硚口区模拟）已知a，b是方程x2﹣x﹣5＝0的两根，则代数式﹣a3+5a−5𝑏的值是（）A．5B

．﹣5C．1D．﹣1思路引领：利用一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2﹣a＝5，ab＝﹣5，变形后可得出a2﹣5＝a，a=−5𝑏，将其代入﹣a3+5a−5𝑏=−a（a2﹣5）−5𝑏中可得出原式＝﹣a2+a，再结合a2﹣a＝5，即可求出原

式＝﹣5．解：∵a，b是方程x2﹣x﹣5＝0的两根，∴a2﹣a＝5，ab＝﹣5，∴a2﹣5＝a，a=−5𝑏，∴﹣a3+5a−5𝑏=−a（a2﹣5）−5𝑏=−a2+a＝﹣（a2﹣a）＝﹣5．故选：B．解题秘籍：本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，利用根与系数的

关系以及一元二次方程的解，找出a2﹣a＝5，a2﹣5＝a，a=−5𝑏是解题的关键．类型三判别式及根与系数的综合应用典例6（2022•海淀区校级模拟）已知方程mx2﹣4x+1＝0的两个实数根为x1和x2．（1）求m的取值范围；（2）若x1+x2+x1x2=14m，求m的值．思路引领：（1）利用二次

项系数非零及根的判别式Δ≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围；（2）利用根与系数的关系可得出x1+x2=4𝑚，x1x2=1𝑚，结合x1+x2+x1x2=14m，即可得出关于m的分式方程，解之经检验后即可得出m的值．解：（

1）∵方程mx2﹣4x+1＝0有两个实数根，∴{𝑚≠0𝛥=(−4)2−4×𝑚×1≥0，解得：m≤4且m≠0，∴m的取值范围为m≤4且m≠0．（2）∵x1，x2是方程mx2﹣4x+1＝0的两个实数根，∴x1+

x2=4𝑚，x1x2=1𝑚．又∵x1+x2+x1x2=14m，∴4𝑚+1𝑚=14m，解得：m1＝2√5，m2＝﹣2√5，经检验，m1＝2√5，m2＝﹣2√5是原方程的解，m1＝2√5不符合题意，舍去，∴m的值为﹣2√5．解题秘籍：本题考查了根的判别式

、一元二次方程的定义以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）利用二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，找出关于m的一元一次不等式组；（2）利用根与系数的关系结合x1+x2+x1x2=14m，找出关于m的方程．针对训练620．（2022•佛山二模）若a、b是关于x的一元二次方程x2﹣2kx+4

k＝0的两个实数根，且a2+b2＝12，则k的值是（）A．﹣1B．3C．﹣1或3D．﹣3或1思路引领：利用根与系数的关系求出a+b与ab的值，已知等式利用完全平方公式变形后代入计算即可求出k的值．解：∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣2kx+4k＝0的两个实数根，∴Δ＝4k2﹣16k≥0，即k

≥4或k≤0，a+b＝2k，ab＝4k，∵a2+b2＝12，∴（a+b）2﹣2ab＝12，即4k2﹣8k＝12，整理得：k2﹣2k﹣3＝0，即（k﹣3）（k+1）＝0，解得：k＝3（不合题意，舍去）或k＝﹣1，则k＝﹣1．故选：A．解题秘籍：此题考查了根与系数的关系，熟练掌

握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．14．（2021秋•毕节市期末）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足1𝑥1+1𝑥2=1，则m的值为（）A．﹣3或1B．﹣1或3C．﹣1D．3思路引领：根据根与系数关系得出：x

1+x2＝2m+3，x1x2＝m2，代入1𝑥1+1𝑥2=1中，求出m的值，再进行检验即可．解：∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，∴x1+x2＝2m+3，x1x2＝m2，∴1𝑥1+1𝑥2=𝑥1+𝑥2𝑥1𝑥2=

2𝑚+3𝑚2=1，解得：m＝3或m＝﹣1，把m＝3代入方程得：x2﹣9x+9＝0，Δ＝（﹣9）2﹣4×1×9＞0，此时方程有解；把m＝﹣1代入方程得：x2﹣x+1＝0，Δ＝1﹣4×1×1＜0，此时方程无解，

即m＝﹣1舍去．故选：D．解题秘籍：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−𝑏𝑎，x1x2=𝑐𝑎．15．（2022•珙县校级模拟）关于x的一元二次方程x2﹣5mx+6m2＝0（m＞0）的两实数根分别为

x1，x2，若x12+x22＝52，则实数m的值为（）A．12B．1C．2D．4思路引领：根据根与系数的关系可用m表示出x1+x2和x1x2的值，代入已知等式可得到关于m的方程，可求得m的值，再根据方程根的判别式进行取舍．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣5mx+

6m2＝0的两实数根分别为x1，x2，∴x1+x2＝5m，x1x2＝6m2，∵x12+x22＝52，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝52，∴（5m）2﹣2×6m2＝52，解得m＝±2（负值舍去）．故选：C．解题秘籍：本题主要考查根与系数的关系，利用m表示出两根和与两根

积是解题的关键．16．（2018秋•嘉善县期末）已知实数a、b，满足a2（b2+1）+b（b+2a）＝40，a（b+1）+b＝8．（1）求a+b和ab的值；（2）求1𝑎2+1𝑏2的值．思路引领：（1）根据完全平方公式以及配方法即可求出答案．（2）根据配方法对

该分式进行变形，然后将a+b与ab的值代入即可求出答案．解：（1）由题意可知：a2b2+a2+2ab+b2＝40，（a+b）2+a2b2＝40，ab+a+b＝8，令a+b＝m，ab＝n，∴m2+n2＝40，m+n＝8，∴m2+（8﹣m）2＝40，∴解得：m＝2或m＝6

，∴n＝6或n＝2，∴a+b＝2，ab＝6或a+b＝6，ab＝2；设a、b是方程x2﹣mx+n＝0的两个实根，∴△＝m2﹣4n，当m＝2，n＝6时，△＝4﹣24＝﹣20，当m＝6，n＝2时，△＝36﹣8＞0，∴a+b＝6，ab＝2；（2）原式=𝑎2+𝑏2𝑎2𝑏2=(𝑎+𝑏

)2−2𝑎𝑏𝑎2𝑏2，当a+b＝6，ab＝2时，原式=36−44＝8．解题秘籍：本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及完全平方公式，本题属于中等题型．17．（2016秋•海安县月考）已知

关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程两根a，b满足a2+b2﹣ab＝13，求k的值；（3）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．思路引领：（1）先计算出△

＝1，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）根据一元二次方程根与系数的关系即可得到结论；（3）先利用公式法求出方程的解为x1＝k，x2＝k+1，然后分类讨论：AB＝k，AC＝k+1，当AB＝BC或AC＝BC时△ABC为等腰三角

形，然后求出k的值．解：（1）∵△＝（2k+1）2﹣4（k2+k）＝1＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵a，b为方程两根∴a+b＝2k+1，ab＝k2+k，∴a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝（2k+1）2﹣3（k2+k）＝13，解得k1＝﹣4，k2

＝3；（3）解：一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0的解为x=2𝑘+1±√12，即x1＝k，x2＝k+1，∵k＜k+1，∴AB≠AC．当AB＝k，AC＝k+1，且AB＝BC时，△ABC是等腰三角形，则k＝5；当

AB＝k，AC＝k+1，且AC＝BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1＝5，解得k＝4，综合上述，k的值为5或4．解题秘籍：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，

方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．18．（2018秋•花都区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（k+2）x﹣1＝0（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根分别为x，y

，且满足x+y＝x•y求k的值．思路引领：（1）根据根的判别式Δ＝（k+2）2﹣4×1×（﹣1）＝（k+2）2+4＞0即可得；（2）将x+y＝﹣（k+2）、xy＝﹣1代入x+y＝x•y列出关于k的方程组，解之可得．解：（1）∵Δ＝（k+2）2﹣4×1×（﹣1）＝（k+2）2+4＞0，∴方程有两

个不相等的实数根；（2）∵x+y＝﹣（k+2）、xy＝﹣1，则由x+y＝x•y得﹣（k+2）＝﹣1，解得：k＝﹣1．解题秘籍：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，

方程没有实数根．也考查了根与系数的关系．第二部分专题提优训练1．（2022•开封一模）数a，b在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．只有一个实

数根思路引领：表示出根的判别式，判断其值的正负，即可确定出根的情况．解：由数轴上的点可得：b＜0＜a，∴方程ax2+bx﹣1＝0的根的判别式Δ＝b2+4a＞0，则方程有两个不相等的实数根．故选：B．解题秘籍：此题考查了根的判别式

，以及实数与数轴，熟练掌握根的判别式的正负与根的情况是解本题的关键．2．（2022•任城区校级二模）已知m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m2﹣n+2022的值是（）A．2022B．2024C．2026D．202

8思路引领：先根据一元二次方程的解得的定义得到m2＝﹣m+3，则m2﹣n+2022可化为﹣（m+n）+2025，再根据根与系数的关系得到m+n＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．解：∵m是方程x2+x

﹣3＝0的实数根，∴m2+m﹣3＝0，∴m2＝﹣m+3，∴m2﹣n+2022＝﹣m+3﹣n+2022＝﹣（m+n）+2025，∵m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，∴m+n＝﹣1，∴m2﹣n+2022＝﹣（﹣1）+2025＝2026．故选：C．解题秘籍：本题考查了根与系数的关系：若

x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，x1+x2=−𝑏𝑎，x1x2=𝑐𝑎．3．（2022•覃塘区模拟）若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实根，则m2+4m+2n的值是（）A．﹣4B．﹣3C．3D．4思路引领：先根据一元二次方程解的定

义得到m2＝﹣2m+1，则m2+4m+2n变形为2（m+n）+1，接着根据根与系数的关系得到m+n＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算．解：∵m是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的实根，∴m2+2m﹣1＝0，∴m2＝﹣2m+1，∴m2+4m+2n＝﹣2m

+1+4m+2n＝2（m+n）+1，∵m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实根，∴m+n＝﹣2，∴m2+4m+2n＝2×（﹣2）+1＝﹣3．故选：B．解题秘籍：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，

x1+x2=−𝑏𝑎，x1x2=𝑐𝑎．4．（2022•长沙县一模）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣4，2，小明看错了一次项系数p，得到方程两个根是4，﹣3，则原来的

方程是（）A．x2+2x﹣8＝0B．x2+2x﹣12＝0C．x2﹣2x﹣12＝0D．x2﹣2x﹣8＝0思路引领：先设这个方程的两根是α、β，根据两个根是﹣4，2和两个根是4，﹣3，得出α+β＝﹣p＝﹣2，αβ＝q＝﹣12，从而得出符合题意的方程．解：设此方程的两个根是α、β，根据题

意得：α+β＝﹣p＝﹣2，αβ＝q＝﹣12，则以α、β为根的一元二次方程是x2+2x﹣12＝0．故选：B．解题秘籍：本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−𝑏𝑎，x1•x2=�

�𝑎．5．（2022•张家口一模）若关于x的一元二次方程nx2﹣2x﹣1＝0（n为整数）有两个不相等的实数根，则n的最小值为（）A．0B．1C．﹣1D．﹣2思路引领：根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于n的一元一次不等式，解之即可得出n的取值范围．解：由

题意可知Δ＝（﹣2）2﹣4n×（﹣1）＝4+4n＞0，解得n＞﹣1，又n≠0，则n的最小整数为1，故选：B．解题秘籍：本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．6．（

2022•新野县一模）若关于x的一元二次方程ax2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．a＜2B．a＜1C．a＜2且a≠0D．a＜1且a≠0思路引领：根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围．解：∵关于x的一元

二次方程ax2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，∴a≠0，Δ＝（﹣6）2﹣4×a×9＝36﹣36a＞0，解得：a＜1且a≠0．故选：D．解题秘籍：本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．7．（2022•沂源县一模）如

果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的三倍，则称这样的方程为“3倍根方程”，以下说法不正确的是（）A．方程x2﹣4x+3＝0是3倍根方程B．若3m+n＝0且m≠0，则关于x的方程x2+（m﹣n）x﹣mn＝0是3

倍根方程C．若m+n＝0且m≠0，则关于x的方程（x﹣3）（mx+n）＝0是3倍根方程D．若关于x的方程（x﹣3）（mx+n）＝0是3倍根方程，则m+n＝0思路引领：解关于x的一元二次方程，根据“3倍根方程”的定义即可判断．解：方程x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴x2＝3x1，∴

A选项不符合题意；方程x2+（m﹣n）x﹣mn＝0，解得x1＝﹣m，x2＝n，∵3m+n＝0且m≠0，∴n＝﹣3m，即x2＝3x1，∴B选项不符合题意；方程（x﹣3）（mx+n）＝0，解得x1＝3，x2=−𝑛𝑚，∵m+n＝0且m≠0，∴m＝﹣n，∴x2=−𝑛

𝑚=1，∴x1＝3x2，∴C选项不符合题意；∵关于x的方程（x﹣3）（mx+n）＝0是3倍根方程，∴x1＝3x2，或x2＝3x1，∴m+n＝0或9m+n＝0，∴D选项符合题意，故选：D．解题秘籍：本题考查了一元二次方程与新定义的综合，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．二．填空

题（共7小题）8．（2022•济阳区一模）已知关于x的一元二次方程ax2﹣2x+c＝0有两个相等的实数根，则1𝑎−c+1的值等于．思路引领：由方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式等于0，列出关系式，变形后代入计算即可求出值．解：∵关于x的一元二次方程

ax2﹣2x+c＝0有两个相等的实数根，∴a≠0，Δ＝（﹣2）2﹣4ac＝4﹣4ac＝0，即ac＝1，整理得：1𝑎=c，则原式＝c﹣c+1＝1．故答案为：1．解题秘籍：此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程解的关系是解

本题的关键．9．（2022春•天桥区校级期中）若一元二次方程2x2+6x﹣c＝0有两个相等的实数根，则c的值为．思路引领：利用根的判别式的意义得到Δ＝62﹣4×2×（﹣c）＝0，然后解一次方程即可．解：根据题意得Δ＝62﹣4×2×（﹣c）＝0，解得c=−92．故答案为：−92．解题秘籍：本题考查

了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．10．（2022•崂山区校级一模）一元二次方程的根完全由它的系数确定，并且可以由判

别式Δ＝b2﹣4ac来判断根的情况，已知关于的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+4＝0有实数根，则a的取值范围为．思路引领：根据一元二次方程根的定义和根的判别式的意义得到a﹣3≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4（a﹣3）×4≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．解：由题意得a﹣3≠0且Δ

＝（﹣4）2﹣4（a﹣3）×4≥0，解得a≤4且a≠3，所以a的取值范围为a≤4且a≠3．故答案为：a≤4且a≠3．解题秘籍：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：

当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．11．（2022•江西模拟）已知a、b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则代数式2a3﹣6a2+b2+7b+1的值

是36．思路引领：利用根与系数的关系求出a+b与ab的值，再将x＝a与x＝b代入方程求出a2﹣3a＝5与b2﹣3b＝5，原式变形后代入计算即可求出值．解：∵a、b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，∴a+b＝3，ab＝﹣5，a2﹣3a＝5，b2﹣3b＝5

，则原式＝2a（a2﹣3a）+（b2﹣3b）+10b+1＝10a+5+10b+1＝10（a+b）+6＝30+6＝36．故答案为：36．解题秘籍：此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．12．（2022•临淄区一模）若

实数a≠b，且a、b满足a2﹣5a+3＝0，b2﹣5b+3＝0，则代数式a2﹣（6﹣b）a﹣b的值为．思路引领：由题意得到a与b为方程x2﹣5x+3＝0的两根，利用根与系数的关系求出a+b与ab的值，原式变形后代入计算即可求出值．解：∵实数a≠b，且a、b满足a2﹣5a+3＝0，b2

﹣5b+3＝0，∴a与b为方程x2﹣5x+3＝0的两根，a2﹣5a＝﹣3，∴a+b＝5，ab＝3，则原式＝a2﹣6a+ab﹣b＝（a2﹣5a）﹣（a+b）+ab＝﹣3﹣5+3＝﹣5．故答案为：﹣5．解题秘籍：此题考查了根与系数的关系，以及代数式求值，熟练

掌握根与系数的关系是解本题的关键．13．（2022•兴化市一模）已知关于x的方程x2+2x﹣3＝0的两根分别为x1、x2，则𝑥1+𝑥2𝑥1𝑥2的值为．思路引领：根据一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2与x1x2的值，代入计算即可求出

值．解：∵方程x2+2x﹣3＝0的两根分别为x1、x2，∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣3．∴𝑥1+𝑥2𝑥1𝑥2=−2−3=23．故答案是：23．解题秘籍：此题考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x

2=−𝑏𝑎，x1•x2=𝑐𝑎．14．（2022春•青羊区校级月考）若x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0的两个根，且x1+x2＝11﹣x1x2，则m的值为．思路引领：根据根与系数的关系可得x1+x2＝2m，x1x2＝m2﹣m﹣1，根据x1+x2＝11﹣x1x

2，列方程求出m的值，再根据判别式可知m＞﹣1，即可最终确定m的值．解：∵x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0的两个根，∴x1+x2＝2m，x1x2＝m2﹣m﹣1，∵x1+x2＝11﹣x1x2，∴2m＝11﹣（m2﹣m﹣1），解得m＝3或m＝﹣4，∵Δ＝（﹣2m）

2﹣4（m2﹣m﹣1）＝4m+4＞0，∴m＞﹣1，∴m＝3，故答案为：3．解题秘籍：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，特别注意一元二次方程Δ＞0这个隐含的条件是解题的关键．三．解答题（共8小题）15．（2022•北京一模）已

知关于x的方程x2+2x+k＝0总有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）写出一个k的值，并求此时方程的根．思路引领：（1）根据根的判别式的意义得到22﹣4k＞0，解不等式即可；（2）当k取0时，方

程化为x2+2x＝0，然后利用因式分解法解方程．解：（1）∵方程总有两个不相等的实数根，∴Δ＝22﹣4k＞0，解得k＜1，∴k的取值范围是k＜1；（2）当k＝0时，方程化为x2+2x＝0，x（x+2）＝0，∴x1＝0，x2＝﹣2．解题秘籍：本题考查了根的判别式：一元二次方

程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．16．（2022•海珠区一模）已知T=2𝑎𝑎2−𝑏2−1𝑎−𝑏．（1）化简T；（2）若a、b是方程x2﹣7x

+5＝0的两个根，求T的值．思路引领：（1）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果；（2）利用根与系数的关系求出a+b的值，代入计算即可求出值．解：（1）T=2𝑎(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)−𝑎+𝑏(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏

)=2𝑎−(𝑎+𝑏)(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)=𝑎−𝑏(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)=1𝑎+𝑏；（2）∵a、b是方程x2﹣7x+5＝0的两个根，∴a+b＝7，则T=17．解题秘籍：此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方

程根与系数的关系是解本题的关键．17．（2022•汝阳县一模）已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的两个实数根，是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=−32成立？若存在，求出k的

值；若不存在，请说明理由．思路引领：存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=−32成立，理由为：利用根与系数的关系表示出x1+x2与x1x2，已知等式变形后代入计算即可求出k的值．解：存在实数k，使（

2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=−32成立，理由为：∵x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的两个实数根，∴x1+x2＝1，x1x2=𝑘+14𝑘，已知等式整理得：2x12﹣5x1x2+2x22=−32，即2（x1+x2）2﹣9x1x2=−32，代入得：2−9(𝑘+

1)4𝑘=−32，即72=9(𝑘+1)4𝑘，去分母得：14k＝9k+9，解得：k=95．解题秘籍：此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．18．（2022春•拱墅区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的一个解是x＝2，另一个

解是正数，而且也是方程（x+4）2﹣22＝9x的解，请求出m+n的值．思路引领：求出第二个方程的解确定出另一解，利用根与系数的关系求出m与n的值，即可求出m+n的值．解：方程（x+4）2﹣22＝9x，整理得：x2﹣x﹣6＝0，即（x﹣3）（x+2）＝0，解得：x＝3或x

＝﹣2（舍去），∴x＝3与x＝2都为方程x2+mx+n＝0的解，∴3+2＝﹣m，3×2＝n，解得：m＝﹣5，n＝6，则m+n＝1．解题秘籍：此题考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解

本题的关键．19．（2022春•海淀区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若原方程恰有一个大于3的实数根，求m的范围．思路引领：（1）求出

一元二次方程根的判别式，证明根的判别式大于等于0即可；（2）求出一元二次方程的解（用含m的式子表达），再根据题意列不等式组即可求得m的范围．（1）证明：由关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0可得

：Δ＝（﹣4m）2﹣4×3m2＝4m2，∵4m2≥0，∴Δ≥0，∴该方程总有两个实数根；（2）解：关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0的解为x＝m或x＝3m，∵方程恰有一个大于3的实数根，∴{3𝑚＞3𝑚≤3，解得1＜m≤3．答：m的范围是1＜m≤3．解题秘籍：本题考查一元二次方程根的情

况及字母参数的范围，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式，会根据已知列出不等式组．20．（2022春•大观区校级期中）如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根，那么x1+x2=−

𝑏𝑎，x1•x2=𝑐𝑎，这就是著名的韦达定理．已知m，n是方程2x2﹣5x﹣1＝0的两根，不解方程计算：（1）2𝑚+2𝑛；（2）m﹣3n．思路引领：根据根与系数的关系得到m+n=52，mn=−12，（1）利用通分得到原式=2(𝑚+𝑛)�

�𝑛，然后利用整体代入的方法计算；（2）利用n=52−m得到m﹣3n＝2（m﹣n）−52，再利用（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn计算出m﹣n＝±√334，从而得到m﹣3n的值．解：∵m，n是方程2x2﹣5x﹣1＝0的两根，

∴m+n=52，mn=−12，（1）原式=2(𝑚+𝑛)𝑚𝑛=2×52−12=−10；（2）m﹣3n＝m﹣2n﹣n＝m﹣2n﹣（52−m）＝2（m﹣n）−52，∵（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝（52）2﹣4×（−12）=334，∴m﹣n＝±√334∴m

﹣3n=±√33−52，即m﹣3n的值为√33−52或−√33−52．解题秘籍：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−𝑏𝑎，x1x2=𝑐𝑎．21．（2022春•澧

县校级月考）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．（1）试证明不论m为何值，方程总有实根．（2）若α、β是原方程的两根，且α﹣β＝2√2，求m的值，并求出此时方程的两根．思路引领：（1）根据关于x的一元

二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0的根的判别式Δ＝b2﹣4ac的符号来判定该方程的根的情况；（2）由已知条件列出关于m的方程，通过解该方程即可求得结论．（1）证明：∵△＝（m+3）2﹣4（m+1）＝（m+1）2+4，∵不论m

取何值时，（m+1）2+4恒大于0，∴原方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵α，β是原方程两根，∴α+β＝﹣（m+3）αβ＝m+1，∵α﹣β＝2√2，∴（α﹣β）2＝8，∴（α+β）2﹣4αβ＝8，∴[﹣（m+3）]2﹣4（m+1）＝8，∴m2+2m﹣3＝0，∴m1

＝﹣3，m2＝1，当m＝﹣3时，原方程x2﹣2＝0，得x1=√2，x2=−√2，当m＝1时，原方程x2+4x+2＝0，得x1＝﹣2+√2，x2＝﹣2−√2．解题秘籍：本题考查了根与系数的关系、根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ＝b2﹣4

ac．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．22．（2022春•越秀区校级月考）设关于x的方程x2﹣5x﹣m2+1＝0的两个实数根分别为α、β．

（1）证明：无论实数m为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）当|α|+|β|≤6时，试确定实数m的取值范围．思路引领：（1）根据根的判别式即可求解；（2）根据x的方程x2﹣5x﹣m2+1＝0的实根为α

、β，由根与系数的关系列出不等式即可解出m的取值范围．（1）证明：∵Δ＝（﹣5）2﹣4（﹣m2+1）＝4m2+21＞0，∴无论实数m为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵α+β＝5，αβ＝1﹣m2，|α|+|β|≤6，∴α2+β2+2|αβ

|≤36，即（α+β）2﹣2αβ+2|αβ|≤36．∴25﹣2（1﹣m2）+2|1﹣m2|≤36，当1﹣m2≥0时，25≤36成立，∴﹣1≤m≤1①．当1﹣m2＜0时，得25﹣4（1﹣m2）≤36，∴−√152≤m≤√152②．由①、②得

−√152≤m≤√152．解题秘籍：本题考查了根的判别式，根与系数的关系，难度较大，关键是正确灵活运用根与系数的关系列出不等式．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com