【文档说明】专题12 几何模型（2）—半角模型（原卷版）-备战2022年中考数学二轮专题归纳提升.docx，共(14)页，610.931 KB，由管理员店铺上传

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专题12几何模型（2）—半角模型【模型介绍】半角模型是指：共顶点的两个一大一小的角，其中小角是大角的一半。如下图中：若小角∠EAD等于大角∠BAC的一半，我们习惯上称之为“半角模型”。【解题关键】旋转目标三角形法和翻折目

标三角形法【典型例题】【题型一：等边直角三角形中的半角模型】【模型】如图，△BDC为等腰三角形且∠BDC=120°，M和N分别是AB和AC上的两个点，且∠MDN=60°，△ABC为等边三角形。【结论】结论①：MN=BM+CN；证明：如下图1，延长

AB到H点，并使得BH=CN，连接DH，∵△BCD为等腰三角形，且∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=60°+30°=90°=∠ACD，即∠HBD=∠NCD=90°，在△HBD和

△NCD中：{𝐵𝐻=𝐶𝑁∠𝐻𝐵𝐷=∠𝑁𝐶𝐷=90∘𝐷𝐵=𝐷𝐶∴△HBD≌△NCD(SAS)，∴DH=DN，∠HDB=∠CDN，又∠BDC=120°，∠MDN=60°，∴∠BDM

+∠CDN=60°，即∠BDM+∠HDB=60°，∴∠HDM=∠NDM=60°，在△HDM和△NDM中：{𝐻𝐷=𝐷𝑁∠𝐻𝐷𝑀=∠𝑁𝐷𝑀=60∘𝑀𝐷=𝑀𝐷∴△HDM≌△NDM(SAS)，∴MN=MH=MB+BH=MB+CN。证明

完毕！结论②：如上图1中：△AMN的周长=2倍等边△ABC的边长；或者说成：3倍△AMN的周长=2倍等边三角形的周长。证明：由结论①知：MN=MB+CN，𝐶𝛥𝐴𝑀𝑁=𝐴𝑀+𝐴𝑁+𝑀𝑁=𝐴𝑀+𝐴𝑁+(𝑀𝐵+𝐶𝑁)=(𝐴𝑀+𝑀𝐵)+(𝐴𝑁+

𝑁𝐶)=𝐴𝐵+𝐴𝐶=2𝐴𝐵【例】如图，△𝐴𝐵𝐶是边长为2的等边三角形，△𝐵𝐷𝐶是顶角为120°的等腰三角形，以点𝐷为顶点作∠𝑀𝐷𝑁=60°，点𝑀、𝑁分别在𝐴𝐵、𝐴𝐶上．（1）如图①，当𝑀𝑁//

𝐵𝐶时，则△𝐴𝑀𝑁的周长为______；（2）如图②，求证：𝐵𝑀+𝑁𝐶=𝑀𝑁．【练1】如图，△𝐴𝐵𝐶是边长为3的等边三角形，△𝐵𝐷𝐶是等腰三角形，且∠𝐵𝐷𝐶=120°，以𝐷为顶点作一个60°角，使其两边分别交𝐴𝐵于点𝑀，

交𝐴𝐶于点𝑁，连接𝑀𝑁，求△𝐴𝑀𝑁的周长．【练2】在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边

△ABC的周长L的关系．（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时𝑄𝐿=；（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．（3）如图3，当M、

N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．【题型二：等腰直角三角形中的半角模型】【模型】：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E在BC上，且∠DAE=45°作法1：将△ABD旋转90°作法2：分别翻折△ABD,△ACE【结论】BD

2+CE2=DE2（证明与正方形中的半角模型类似）【例】如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°．若BM=1，CN=3，求MN的长．【练1】如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝CD，∠AB

C＝∠ADC＝90°，∠MAN＝∠BAD．（1）如图1，将∠MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明；（2）如图2，将∠MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD的延长线于M、N，试判断

这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；（3）如图3，将∠MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD的反向延长线于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明．【练2】已知：如图（1

）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；（2）当动点E在线段BC上，动

点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；（3）已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．【题型

三：正方形中的半角模型】【模型】在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，BD为对角线，交AE于M点，交AF于N点。【结论】结论①：图1、2中，EF=BE+FD；证明：如图3中，将AF绕点A顺时针旋转90°，F点落在F’处，

连接BF’，∴∠EAF’=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠EAF，且AE=AE，AF=AF’，∴△FAE≌△F’AE(SAS)，∴EF=EF’，又∠D=∠ABF’=90°，∠ABE=90°，∴∠ABE+

∠ABF’=90°+90°=180°，∴F’、B、E三点共线，∴EF’=BE+BF’=BE+DF。结论②：图2中MN²=BM²+DN²；证明：如图4中，将AN绕点A顺时针旋转90°，N点落在N’处，连接AN’、BN’、MN’，∴∠N’AM=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠MAN，

且AM=AM，AN=AN’，∴△MAN’≌△MAN(SAS)，∴MN=MN’，又∠ADN=45°=∠ABN’，∠ABD=45°，∴∠MBN’=∠ABD+∠ABN’=45°+45°=90°，∴在Rt△MBN’中，MN’²=BM²+BN’²，即MN²=B

M²+BN’²。结论③：图1、2中EA平分∠BEF，FA平分∠DFE。证明过程见证明①中时△FAE≌△F’AE即可。结论④：图1、2中𝑆𝛥𝐴𝐸𝐹=𝑆𝛥𝐴𝐵𝐸+𝑆𝛥𝐴𝐷𝐹。证明：如图5中，过A点作AH⊥EF于H点，由结论③可知：∠AEH=∠AEB，且∠AHE=∠ABE=

90°，AE=AE，∴△AEB≌△AEH(AAS)，∴AH=AB=AD，进而可以证明△AHF≌△ADF(AAS)，∴𝑺𝜟𝑨𝑬𝑭=𝑺𝜟𝑨𝑯𝑬+𝑺𝜟𝑨𝑯𝑭=𝑺𝜟𝑨𝑩𝑬+𝑺𝜟𝑨𝑫𝑭.结论⑤：图6中，连接NE，则A、

B、E、N四点共圆，△ANE为等腰直角三角形。证明：如图6中，∵∠EAF=45°=∠NBE，∴A、B、E、N四点共圆，由同弧所对的圆周角相等可知：∠AEN=∠ABN=45°，又已知∠EAN=45°，∴△NEA为等腰直角三角形。此时会

有𝐴𝐸𝐴𝑁=√2。结论⑥：图7中，连接MF，则A、M、F、D四点共圆，△AMF为等腰直角三角形。证明：如图7中，∵∠EAF=45°=∠BDF，∴A、M、F、D四点共圆，由同弧所对的圆周角相等可知：∠AFM=∠ADB=45°，又已知∠EAN=45

°，∴△AMF为等腰直角三角形。此时会有𝐴𝐹𝐴𝑀=√2。结论⑦：图8中，△AMN∽△AFE，𝐸𝐹𝑀𝑁=√2，𝑆𝛥𝐴𝐸𝐹=2𝑆𝛥𝐴𝑀𝑁.证明：由结论⑥和结论⑤可知：𝐴𝐸𝐴𝑁=𝐴𝐹𝐴

𝑀=√2，且∠MAN=∠FEA=45°(公共角)，∴△AMN∽△AFE，且其相似比为√2，∴𝐸𝐹𝑀𝑁=√2，由面积比等于相似比的平方可知：𝑆𝛥𝐴𝐸𝐹𝑆𝛥𝐴𝑀𝑁=(𝐸𝐹𝑀𝑁)2=2,∴𝑆𝛥𝐴𝐸𝐹=2𝑆𝛥𝐴𝑀𝑁。【例】如图，𝐴𝐵=�

�𝐷=𝐵𝐶=𝐷𝐶，∠𝐶=∠𝐷=∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐵𝐴𝐷=90°，点𝐸、𝐹分别在边𝐵𝐶、𝐶𝐷上，∠𝐸𝐴𝐹=45°，过点𝐴作∠𝐺𝐴𝐵=∠𝐹𝐴𝐷，且点𝐺在𝐶𝐵的延长线上．（1）𝛥�

�𝐴𝐵与𝛥𝐹𝐴𝐷全等吗？为什么？（2）若𝐷𝐹=2，𝐵𝐸=3，求𝐸𝐹的长．【练1】已知，如图所示，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐸，𝐹分别在边𝐵𝐶，𝐶𝐷上，且∠𝐸𝐴𝐹=45°，𝐴𝐸，𝐴𝐹分别交𝐵𝐷于H，𝐺，连𝐸𝐹，求证：①𝐷

𝐹+𝐵𝐸=𝐸𝐹②𝐷𝐺2+𝐵𝐻2=𝐻𝐺2.【练2】请阅读下列材料：问题：正方形ABCD中，M，N分别是直线CB、DC上的动点，∠MAN＝45°，当∠MAN交边CB、DC于点M、N（如图①）时，线段B

M、DN和MN之间有怎样的数量关系？小聪同学的思路是：延长CB至E使BE＝DN，并连接AE，构造全等三角形经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）直接写出上面问题中，线段BM，DN和MN之间的数量关系；（2）当∠MAN分别交边CB，DC的延长线于点M/N时（如图

②），线段BM，DN和MN之间的又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明；（3）在图①中，若正方形的边长为16cm，DN＝4cm，请利用（1）中的结论，试求MN的长．【练3】如图，点E是正方形ABCD的边BC上一点，连接DE，将DE绕着点E逆时针旋转90°，得到EG

，过点G作GF⊥CB，垂足为F，GH⊥AB，垂足为H，连接DG，交AB于I．（1）求证：四边形BFGH是正方形；（2）求证：ED平分∠CEI；（3）连接IE，若正方形ABCD的边长为3√2，则△BEI的周长为．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号w

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