【文档说明】高考数学培优专题55讲：第25讲平面向量高考选择填空压轴题专练【高考】.doc，共(17)页，1.518 MB，由小赞的店铺上传

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第二十五讲平面向量选择填空压轴题专练A组一、选择题1．（2017年全国2卷）已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()PAPBPC+的最小值是（）A.2−B.32−C.43−D.1−【答案】B【解析】以BC为x轴，BC的垂直平分线AD为y轴，D为坐标原点建立坐

标，则(0,3)A，(1,0)B−，(1,0)C，设(,)Pxy，所以(,3)PAxy=−−，(1,)PBxy=−−−，(1,)PCxy=−−所以(2,2)PBPCxy+=−−，222333()22(3)22()222PAPBPCxyyxy+=−−=+−−

−当3(0,)2P时，所求的最小值为32−，故选B。2．(2017年高考浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记，，，则A．I１<I２<I３B．I１<I３<I２C．I３<I１<I２D．I２<I１<I３【答案】C

【解析】因为90AOBCOD=，所以0(,)OBOCOAOBOCODOAOCOBOD，选C.2．在OAB中，4OAOC=，2OBOD=，AD，BC的交点为M，过M作动直线l分别交线段AC，BD于E，F两点，若OEOA=，OFO

B=，（，0），则+的最小值为（）A．237+B．337+C．3237+D．4237+【答案】D【解析】由A，M，D三点共线可得存在实数t使得()()OBOAtODOAtOMt121t1−+=−+=，同理由C，M，B三点共线可得存在实数m使得()()OAOBmOCOB

mOMm141m1−+=−+=，∴()()=−−=mtmt121141，解得==7173tm，∴OBOAOM7371+=，设OByOAxOFyOExOM+=+=，则==7371yx，即==3717yx，即731=+

，故()7324331713171++++=++=+u，即+的最小值为4237+，故选：D．3．已知点O为ABC内一点，0120,1,2AOBOAOB===，过O作OD垂直AB于点D，点E

为线段OD的中点，则OEEA的值为（）A．514B．27C．314D．328【答案】D【解析】如图，点O为ABC内一点，0120,1,2AOBOAOB===，过O作OD垂直AB于点D，点E为线段OD的中点，∴0ODAD•=，则1()222ODAOADOEEA

AEOD+•=•−=−••4AOODODAD•+•=−2cos444OAODAODODOAOD•••===.AOB中，利用余弦定理可得7AB=,因为11sin120,22AOBSABODOAOB=••=••可得113712222OD••=•••，所以37OD=，∴328OEEA=，故选：

D.4．设向量(cos,sin)axx=−，(cos(),cos)2bxx=−−，且atb=，0t，则sin2x的值等于（）A．1B．1−C．1D．0【答案】C【解析】因为(cos(),cos)(sin,cos)2bxxxx=−−=−,atb=，所以()()cosc

ossinsin0xxxx−−−=，即22cossin0xx−=，所以2tan1,tan1xx==，()24kxkZ=+，2()2xkkZ=+，sin21x=，故选C.5．如图，点,90PAPBAPB==,点C在线

段PA的延长线上，,DE分别为ABC的边AB,BC上的点.若PE与PAPB+共线，DE与PA共线，则PDBC的值为（）A．-1B．0C.1D．2【答案】B【解析】设1PAPB==,以,PAPB所在直线为,xy轴,建立直角坐标系,可得(1,0),(0,1)AB,直线AB的方程为1yx=

−,由于PE与PAPB+共线,,PAPBE=在APB的角平分线上,可得PE所在直线方程是yx=,设(,),EmnDE与PA共线得D的纵坐标为m,将ym=代入直线AB方程,得1xm=−,可得(1,),

(0,1),(,),DmmBEmn−直线BE的方程为10,(1)010yxmxmymmm−−=−−+=−−,再令0y=得1mxm=−,可得点C坐标为(,0),(,1),(1,),011mmBCPDmmP

DBCmm=−=−=−−,故选B.6．在正四棱锥PABCD−中，O为正方形ABCD的中心，()24PEEO=，且平面ABE与直线PD交于(),FPFfPD=，则（）A．()2f=+B．()26f=+C．()37f

=+D．()49f=+【答案】A【解析】因为O为正方形ABCD的中心,所以O为BD的中点,又()42=EOPE,所以E在线段PO上,平面ABE与PD交于F,即BE的延长线与PD交于F,在平面PBD中,取BF的中点G,连接OG,则DFO

G//,所以OGE相似于PFE,相似比为,因此1==PFOGEOPE,又DFOG//,DFOG21=,所以2=PFDF,2+=PDPF,故选A.7．由点P向圆O：222xy+=引两条切线，切点为A，B，则PAPB

的最小值是（）A．42-6B．223−C．322−D．642−【答案】A【解析】设xOP=，则2xPA22−=，x2APOsin=，22241x22-1APOsin21APBcosx−==−=，PAPB62468)41)(2x(2222−−+=−−=xxx，所以PAPB的

最小值是42-6.8．在△ABC中，4AB=，30ABC=，D是边BC上的一点，且ADABADAC=，则ADAB的值为（）A．0B．4C．8D．4−【答案】B【解析】0()0ADABADACADABACADCB=•−==，sin30A

DCBADAB⊥=060BAD=042cos604ADAB==,故选B.９．在平面内，定点DCBA,,,满足||||||DCDBDA==，2−===DADCDCDBDBDA，动点MP,满足1||=AP，MCPM

=，则2||BM的最大值是（）A．443B．449C.43637+D．433237+【答案】B【解析】甴已知易得1220,DAADCADBDDBDCBC======．以D为原点，直线DA为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()2,0,1,3,1,3ABC

−−−．设(),,Pxy由已知1AP=，得()2221xy−+=，又13,,22xyPMMCM−+=，所以133,22xyBM++=，所以()()222+1334xyBM++=，它表示圆()2221xy−+=上的点()xy，与

点()1,33−−的距离的平方的14，所以()()2222max149333144BM=++=，故选B．二、填空题10．（2017年天津卷理）ABC△60A=∠3AB=，2AC=2BDDC=()AEACAB=−R4ADA

E=−则=【答案】311【解析】01232cos603,33ABACADABAC===+,则122123()()3493433333311ADAEABACACAB=+−=+−−=−=

10．（2017年浙江卷）已知向量a，b满足1,2,==ab则++−abab的最小值是________，最大值是_______.【答案】4，25【解析】设向量,ab的夹角为，由余弦定理有：2212212c

os54cosab−=+−=−，()2212212cos54cosab+=+−−=+，则：54cos54cosabab++−=++−，令54cos54cosyxx=++−，则221022516cos16,20

y=+−，据此可得：()()maxmin2025,164abababab++−==++−==，即abab++−的最小值是4，最大值是25.10．已知点()1,0Am−，()1,0Bm+，若圆C:2288310xyxy+−−+=上存在一点P，使得0PAPB=，则正实数．．．m

的最小值为．【答案】4．【解析】由题意可知，问题等价于以AB为直径的圆与圆C有交点，故以AB为直径的圆：222(1)xym−+=，而圆C化为标准方程：22(4)(4)1xy−+−=，圆心距为5，∴|1|5146mmm−+

，即实数m的最小值是4，故填：4．11．12,FF分别为椭圆2213627xy+=的左、右焦点，A为椭圆上一点，且()()1211,22OBOAOFOCOAOF=+=+，则OBOC+=__________．【答案】6【解析】依题意有2111//,//22OBAFOCAF，故6OBOCa+==.B

组一、选择题1．（2017年全国3卷理）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP=AB+AD，则+的最大值为（）A．3B．22C．5D．2【答案】A【解析】如图，建立平面直角坐标系设()()()()0,1,0,0,

2,1,,ABDPxy根据等面积公式可得圆的半径是25，即圆的方程是()22425xy−+=()()(),1,0,1,2,0APxyABAD=−=−=，若满足APABAD=+即21xy=−=−，,12xy==−，所以12xy+=−+，设12xzy=−+，即102xyz−+−=

，点(),Pxy在圆()22425xy−+=上，所以圆心到直线的距离dr，即221514z−+，解得13z，所以z的最大值是3，即+的最大值是3，故选A.2．.设12,FF是双曲线2214yx−=的左、右两个焦点，若双曲线右

支上存在一点P，使22()0OPOFFP+•=（O为坐标原点）且12||||PFPF=，则的值为（）A．2B．12C．3D．13【答案】A【解析】由题意得：2,1==ba，所以5=c，),0,5(1−F),0,5(2F5=e.设点)

,41(2mmP+，所以由22()0OPOFFP+•=可得：0),541(),541(22=−+++mmmm，即554=m.由双曲线的第二定义可得：5141522−+==mPFe，所以22=PF，所以=1PF422=+aPF，所以

221==PFPF，故应选A.3．在平面直角坐标系xOy中，设直线2yx=−+与圆222(0)xyrr+=交于,AB两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足5344OCOAOB=+，则r=A．22B．5C．3D．10【答案】D【解

析】设1122(,),(,)AxyBxy，由2222yxxyr=−++=，解得2121112112rxry=−−=+−，2222112112rxry=+−=−−，由5344OCOAOB=+，得212122Crx=−−，212122Cry=+−，点C在圆

上，因此222221121212222rrr−−++−=，解得10r=．故选D．4．如右图所示，已知点G是ABC的重心，过点G作直线与,ABAC两边分别交于,NM两点，且,AMxABANyAC==，则2xy+的最小值为（）A．2B．13C．3223

+D．34【答案】C【解析】因为,,MNG三点共线，所以(),MGGNAGAMANAG=−=−，因为G是ABC重心，所以()13AGABAC=+，()()1133ABACxAByACABAC+−=−+

，所以11331133xy−=−=−，化简得()()31311xy−−=，解得题目所给图像可知111,122xy.由基本不等式得()()23162231622xyxy−+−=−−，即()32232322

,23xyxy++−+.当且仅当3162xy−=−，即2122,36xy++==时，等号成立，故最小值为3223+.5．在矩形ABCD中，点E为CD的中点，ABa=，ADb=，则BE=（）A．12ab−−B．12ab

−C．12ab−+D．12ab+【答案】C1122BEABADab=−+=−+.6．如图，在OMN中，,AB分别是,OMON的中点，若(),OPxOAyOBxyR=+，且点P落在四边形ABNM内（含

边界），则12yxy+++的取值范围是（）A．12,33B．13,34C．13,44D．12,43【答案】C【解析】分三种情况讨论：①当P在线段AB上时，设BPPA

=，则1OBOAOP+=+．由于(),OPxOAyOBxy=+R，所以1x=+，11y=+，故1xy+=；②当P在线段MN上时，设MPPN=，则1OMONOP+=+．由于()11,22OPxOAyOBxOMyONxy

R=+=+，所以121x=+，1121y=+，故2xy+=；③当在阴影部分内（含边界），则113,244yxy+++，故选C．7．在△ABC中，BC=7，762sin,51cos==CA.若动点P满足)()1(32RACABAP−+=

，则点P的轨迹于直线AB，AC所围成的封闭区域的面积为（）A．63B．64C．66D．612【答案】．B【解析】设ABAD32=,因为()()ACADACABAP−+=−+=1132所以PDC,,三点共线，所以点P的轨迹为直线CD,如图：在ABC

中，652sin=A,672sin=C,7=BC,由正弦定理CABABCsinsin=,解得5=AB,()63512sincoscossinsinsin=+=+=CACACAB,66635127521==ABCS,626351

273521==BCDS,所以646266=−=ACDS,故选B.二、填空题8．已知AD是ABC的中线，(,)ADABACR=+，0120,2AABAC=•=−，则||AD的最小值

是.【答案】1【解析】cos1202ABACbc==−，4bc=，()()()222211142242ADABACcbbc=+=+−−1=．9．如图，在菱形ABCD中，2AB=，60DAB=，

E为CD的中点，则ADAE的值是．【答案】5【解析】由已知，()211522ADAEADADDEADADABADADAB=+=+=+=.C组一、选择题1．如图，在梯形ABCD中，CDAB//，2=AB

，4=CD，5==ADBC，E，F分别是AD，BC的中点，对于常数，在梯形ABCD的四条边上恰有8个不同的点P，使得=PFPE成立，则实数的取值范围是（）A．)209,45(−−B．)411,45(−C．)411,41(−D．)41,209(−−【答案

】D【解析】以CD中点为坐标原点，CD所在直线为x轴建立直角坐标系，则33(1,2),(1,2),(2,0),(2,0),E(,1),F(,1)22ABCD−−−，当P在CD边上时，设(,0),||(0,2)Pxx，则2

95111(,)444PEPFx==−+−；当P在AB边上时，设(,2),||(0,1)Pxx，则295111(,)444PEPFx==−+−；当P在BC边上时，设(,42),(1,2)Pxxx−，则222927

91(32)512(,)44204PEPFxxxx==−+−=−+−−；当P在AD边上时，设(,24),(2,1)Pxxx+−−，则22292791(32)512(,)44204PEPFxxxx

==−+−=−+−−；因此实数的取值范围是9151191(,)(,)(,)20444204−−−=−−，选D.2．已知P是ABC内一点，且满足032=++PCPBPA,记BCPABP,,ACP

的面积依次为321SSS，，，则321SSS：：等于（）A.1:2:3B.1:4:9C.6:1:2D.3:1:2【答案】D【解析】取AC、BC中点D、E，连接PA、PB、PC、PD、PE，由230PAPBPC++=，得()2PAP

CPBPC+=−+，∴24PDPE=−，即2PDPE=−；同理得()3PAPBPBPC−=−+，∴326BAPEPE=−=−，3BAPD=；∴16PEBA=−，13PDBA=；∴P到BC的距离等于A到BC距离的16，设ABC的面积为S，则216SS=；

∴P到AC的距离等于B到AC距离的13，∴313SS=，12312SSSSS=−−=，∴123111::::3:1:2263SSSSSS==.故选D.3．已知点(1,0)M，,AB是椭圆2214xy+=上的动点，且0MAMB=，则MABA的取值范围是（

）A．2[,1]3B．[1,9]C．2[,9]3D．6[,3]3【答案】B【解析】设00(,)Axy,因22200()(1)MABAMABMMAMAxy=+==−+,且2200114yx=−,故2000322(1

1)4MABAxxx=−+−，所以min342()221493MABA=−+=，max3()42(2)294MABA=−−+=,故应选B.4．设2m，点)(yxP，为1yxymxxy+所表示的平面区域内任意一点，)5

0(−，M，O为坐标原点，)(mf为OMOP的最小值，则)(mf的最大值为A．310−B．103C．0D．2【答案】．A【解析】由题意，f（x）=（0，-5）•（x，y）=-5y，当y取最大值时，f（x）取最小值f（m），1yxymxxy+

所表示的平面区域如图所示由1xyymx+==，可得y=1mm+，所以f(m)=-5×1mm+=-5(1-11m+)=-5+51m+，由于m≥2，所以当m=2时，f(m)max=310−，故选A．5．设F为抛物线xy22=的焦点，CBA、、为抛物线上三点，若F为ABC的重心，则|||

|||FAFBFC++的值为()A.1B.2C.3D.4【答案】．C【解析】试题分析：由条件1(,0)2F，∵F是ABC的重心，则有132ABCxxx++=，即32ABCxxx++=，而1113||||||()()()()32222ABCA

BCFAFBFCxxxxxx++=+++++=+++=.6．如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A,D分别在x轴、y轴正半轴上移动，则OBOC的最大值是（）A.2B.12+C.D.4【答案】A【解析】如图令=

OAD，由于1=AD故cos0=A,sin=OD,如图−=2BAx，AB=1，故)2cos(cos−+=Bxsincos+=，cos)2sin(=−=By,故)cos,sin(cos+=OB，同理可求得)sincos,(sin+=OC，所以

2sin1+=OCOB，所以OBOC的最大值为2.二、填空题7．在直角梯形,,,1,2,,ABCDABADDCABADDCABEF⊥===∥分别为,ABBC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DE上变动（如图所示）．若APEDAF=+，其中,R，则2−

的取值范围是__________．【答案】．1,1−【解析】以A为坐标原点，,ABAD分别为,xy轴建立平面直角坐标系，依题意得()()()310,1,1,0,(1,1),2,0,,22DECBF，()311,1

,,22EDAF=−=，设()cos,sin,0,2P，依题意APEDAF=+，即()31cos,sin,22=−++，3cos21sin2=−+=+，两式相减得2sinc

os2sin4−=−=−，,444−−，2sin1,14−−.8．在ABC中，34AEAB=，23AFAC=，设,BFCE交于点P，且EPEC=，FPFB=(,)R，则+的值为．【

答案】．56【解析】由题设可得−+=−+=)()(AFABAFAPAEACAEAP,即−+=−+=)32(32)43(43ACABACAPABACABAP,也即+−=+−=ABACAPA

CABAP)1(32)1(43,所以=−=−)1(32)1(43,解之得==3121,故65=+,应填65．