【文档说明】重庆市实验中学校2020-2021学年高二下学期数学周练6试题 含答案.docx，共(22)页，1.111 MB，由管理员店铺上传

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重庆市实验中学高2022级2022--2021学年下期数学周练（六）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。1．已知(1)izi+=−，那么复数z对应的点位于复平面内的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．下列函数既是奇函数，又在区间

1,1−上单调递减的是（）A．()1fxx=B．()3fxx=−C．()1122xxfx=−−+D．()()1222xxfx−=+3．两个相关变量满足如下关系：x23456y25●505664根据表格已得回归方程：9.4.2ˆ9yx=+，表中有一数据模糊不清，请推算该数据

是A．37B．38.5C．39D．40.54．25()()xxyxy++的展开式中x3y3的系数为（）A．5B．10C．15D．205．用1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的五位数，要求偶数不能相邻，则这样的五位数

有（）个A．120B．216C．222D．2526．已知函数()fx是定义在R上的函数，若函数(2016)fx+为偶函数，且()fx对任意12,[2016,)xx+12()xx，都有2121()()0fxfxxx−−，则A．(20

19)(2014)(2017)fffB．(2017)(2014)(2019)fffC．(2014)(2017)(2019)fffD．(2019)(2017)(2014)fff7．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数

，则()A．f(－25)＜f(11)＜f(80)B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)＜f(11)8．算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国

古代一项伟大的、重要的发明.有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位……，上面一颗珠（简称上珠）代表5，下面一颗珠（简称下珠）代表1，即五颗下珠的大小

等于同组一颗上珠的大小．现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一颗上珠，从个位、十位和百位这三组中随机往上拨2颗下珠，算盘表示的数能被5整除的概率是（）A．23B．12C．13D．34二、多选题：本题共4小

题，每小题5分，共20分。9．下列命题正确的有（）A．复数22zi=−的虚部是2i−B．复数z的共轭复数为z，则zR的一个充要条件是zz=C．若()()22132xxxi−+++是纯虚数，则实数1x=D．关于x的方程210xx++

=在复数范围内的两个根互为共轭复数10．下列有关线性回归分析的问题中，正确的是（）A．线性回归方程ˆˆˆybxa=+至少经过点()()()()112233,,,,,,,,nnxyxyxyxy中的一个点B．若两个具有线性

相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于1C．在研究母亲身高x与女儿身高Y的相关关系时，若相关系数0.05rr，则表明有95%的把握认为x与Y之间具有显著线性相关关系D．设回归直线方程为ˆ58yx=−，变量x增加1个单位时，y平均增加5个单位1

1．定义在R上的函数()fx的导函数为()fx，且()()()fxxfxxfx+对xR恒成立，则下列选项不正确的是（）A．2(2)(1)ffeB．2(2)(1)ffeC．()10fD．()10f−1

2．某校高二年级进行选课走班，已知语文、数学、英语是必选学科，另外需从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中任选3门进行学习.现有甲、乙、丙三人，若同学甲必选物理，则下列结论正确的是（）A．甲的不同的选法种数为10B．甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件C

．乙同学在选物理的条件下选化学的概率是15D．乙、丙两名同学都选物理的概率是14三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线23()exyxx=+在点(0,0)处的切线方程为___________．14．从4男2女六名志愿者中任选三名参加某次公益活动，则选出的三名志

愿者中既有男志愿者又有女志愿者的概率是________（结果用数值表示）15．若函数224()43xfxmxmx−=++的定义域为R，则实数m的取值范围是__________．16．若函数()()23lnfxxaxx=+++在区间1,22上存在唯一的极值点，则实数

a的取值范围为________.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在二项式()32nx−的展开式中.（1）若前3项的二项式系数和等于67，求二项式系数最大

的项；（2）若第3项的二项式系数等于第18项的二项式系数，求奇次项系数和.18．有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾；(2)全体站成一排，女生必须站在一起；(3)全体

站成一排，男生互不相邻．19．某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，y

i)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160iix==，2011200iiy==，2021)80iixx=−=（

，2021)9000iiyy=−=（，201))800iiixyxy=−−=（（.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(xi，yi)

(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：≈1.414.20．已知函数()

emxfxx=.（1）若函数()fx的图象在点()()1,1f−−处的切线平行于x轴，求函数()fx在22−,上的最小值；（2）若关于x的方程()1fxx=在()0,+上有两个解，求实数m的取值范围.21．某中学准备组建“文

科”兴趣特长社团，由课外活动小组对高一学生文科、理科进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩（单位：分）进行统计，将数据按照)0,20，)20,40，)40,60，)6

0,80，80,100分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为“文科方向”学生，低于60分的称为“理科方向”学生.理科方向文科方向总计男110女50总计（1）根据已知条件完成

下面22列联表，并据此判断是否有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关？（2）将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“文科方向”的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求

的分布列、期望()E和方差()D..22．已知函数2()exfxaxx=+−.（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥12x3+1，求a的取值范围.重庆市实验中学高2022级2022--2021学年下期数学周练（六）答案1．已知

(1)izi+=−，那么复数z对应的点位于复平面内的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】由复数的除法运算求得z，进而得z，从而可得解.【详解】由(1)izi+=−，可得(1)11222iiiizi

−−−===−−+.所以122iz=−+对应的点11(,)22−位于复平面内的第二象限.故选B.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及共轭复数的概念，属于基础题.2．下列函数既是奇函数，又在区间1,1−上单调递

减的是（）A．()1fxx=B．()3fxx=−C．()1122xxfx=−−+D．()()1222xxfx−=+【答案】B【分析】一一判断选项中函数的奇偶性及单调性即可.【详解】对于A,()1fxx=是奇函

数,其定义域为(,0)(0,)−+,故A不满足;对于B,()3fxx=−是奇函数,且在R上递减,故B满足;3．两个相关变量满足如下关系：x23456y25●505664根据表格已得回归方程：9.4.2ˆ9yx=+，表中有一

数据模糊不清，请推算该数据是A．37B．38.5C．39D．40.5【答案】C【详解】因为2345645x++++==，代入9.4.2ˆ9yx=+可得49.49.246.8y=+=，所以46.85(255056

64)23419539−+++=−=，应选答案C．4．25()()xxyxy++的展开式中x3y3的系数为（）A．5B．10C．15D．20【答案】C【分析】求得5()xy+展开式的通项公式为515rrrrTCxy−+=（rN且5r），即可求得2

yxx+与5()xy+展开式的乘积为65rrrCxy−或425rrrCxy−+形式，对r分别赋值为3，1即可求得33xy的系数，问题得解.【详解】5()xy+展开式的通项公式为515rrrrTCxy−+=（rN且5r）所以2yxx+的各项与5()xy

+展开式的通项的乘积可表示为：56155rrrrrrrxTxCxyCxy−−+==和22542155rrrrrrrTCxyxCyyyxx−−++==在615rrrrxTCxy−+=中，令3r=，可得：33345xTCxy=，该项中33xy的系数为10，在42152rrrrTCxxyy−++=中，

令1r=，可得：521332TCyxxy=，该项中33xy的系数为5所以33xy的系数为10515+=故选：C23323122log4fff−−5．用1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的五位数，要求偶数不

能相邻，则这样的五位数有（）个A．120B．216C．222D．252【答案】D【分析】按含2个偶数字和含3个偶数字分成两类，每一类插空法而得解.【详解】完成组成无重复数字的五位数这件事有两类办法：取2个偶数字，3个奇数字有23C种，先排3个奇数

字，再把所取的2个偶数字插入有3234AA种，不同五位数有232334CAA个；取3个偶数字，2个奇数字有23C种，先排3个偶数字，再把所取的2个奇数字插入有3232AA种，不同五位数有232332CAA个；由分类计数原理知，没有重复数字的五位数共有2322

3233433221636252CAACAA+=+=个.故选：D【点睛】关键点睛：有特殊元素的排列组合问题，按含特殊元素的个数多少分类是解决问题的关键.6．已知函数()fx是定义在R上的函数，若函数(2016)fx+为偶函数，且()fx对任意12,[2

016,)xx+12()xx，都有2121()()0fxfxxx−−，则A．(2019)(2014)(2017)fffB．(2017)(2014)(2019)fffC．(2014)(2017)(

2019)fffD．(2019)(2017)(2014)fff【答案】A【详解】依题意，()2016fx+为偶函数，则函数()fx关于2016x=对称，由于函数()()21210fxfxxx−−，

即函数在2016x上为减函数，在2016x上为减函数.所以()()()()2019201420182017ffff=.点睛：本题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查函数图象变换.对于形如()fxa+的函数，都可以看作是()fx向左或

右平移得到，根据这个特点，可以判断本题中函数()fx的图像是关于2016x=对称的.再结合函数的单调性，并且将()2014f转化为()2018f，就能比较出大小.7．（2019·江苏启东中学模拟）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(D)

A．f(－25)＜f(11)＜f(80)B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)＜f(11)8．算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是

中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算

盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位……，上面一颗珠（简称上珠）代表5，下面一颗珠（简称下珠）代表1，即五颗下珠的大小等于同组一颗上珠的大小．现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一颗上珠，从个位、十位和百位

这三组中随机往上拨2颗下珠，算盘表示的数能被5整除的概率是（）A．23B．12C．13D．34【答案】B【分析】根据珠算的运算法则，把题干描述的操作所得到的数都列出来，找出其中能被5整除的即可.【详解】由题意可知，若上珠下拨的是个位，表示5，下珠上的两个都在个位、十位、百位，这时表示的数是5

27+=，52025+=，5200205+=；若上珠下拨的是十位，表示50，下珠上的两个都在个位、十位、百位，这时表示的数是算盘所表示的数是50252+=，502070+=，50200250+=；若上珠下拨

的是个位，表示5，下珠上的两个分别在个位、十位，或者个位、百位，或者十位、百位，这时表示的数是51116+=，5101106+=，5110115+=；若上珠下拨的是十位，表示50，下珠上的两个分别在个位、十位，或者个位、百位，或者十位、百位，这时

表示的数是501161+=，50101151+=，50110160+=，所以表示的数可能有7，16，25，52，61，70，106，115，151，160，205，250，其中能被5整除的有6个，故所求事件的概率为61122P==.故选：B．9．下列命题正确的有（）A．复数22zi=−的虚部是2i

−B．复数z的共轭复数为z，则zR的一个充要条件是zz=C．若()()22132xxxi−+++是纯虚数，则实数1x=D．关于x的方程210xx++=在复数范围内的两个根互为共轭复数【答案】BD【分析】根据复数的有关概念可判断A,B,C，设,,zabiabR=+是方程210xx++=的

根，则()210abiabi++++=，解出,ab可判断D.【详解】复数22zi=−的虚部是2−，故A错误设,,zabiabR=+，则zabi=−，若zR，则0b=，zz=若zz=，则bb=−，0b

=，zR，故B正确若()()22132xxxi−+++是纯虚数，则2210320xxx−=++，解得1x=，故C错误设,,zabiabR=+是方程210xx++=的根，则()210abiabi+++

+=所以()22120abaabbi−++++=，所以222010abbaba+=−++=，解得13,22ab=−=故D正确故选：BD10．下列有关线性回归分析的问题中，正确的是（）A．线性回归方程ˆˆˆybxa=+至少经过点()()()()

112233,,,,,,,,nnxyxyxyxy中的一个点B．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于1C．在研究母亲身高x与女儿身高Y的相关关系时，若相关系数0.05rr

，则表明有95%的把握认为x与Y之间具有显著线性相关关系D．设回归直线方程为ˆ58yx=−，变量x增加1个单位时，y平均增加5个单位【答案】BCD【分析】由回归方程和相关系数r的意义判断.【详解】直线ˆˆˆybxa=+由点拟合而成，可以不经过任何样本

点，A错.相关系数r的绝对值越接近于1，表示相关程度越大，越接近于0，相关程度越小，B正确.若相关系数0.05rr，则表明有95%的把握认为x与Y之间具有显著线性相关关系，因而求回归直线方程是有意义.故C正确回归直线方程为ˆ58yx=−，变量x增加1个单位时，y平均增加5个单位

.故D正确故选:BCD【点睛】本题考查回归直线方程的应用以及相关系数，此类问题一般先由相关系数r的绝对值判断变量的相关程度，再决定是否需要求回归方程.11．定义在R上的函数()fx的导函数为()fx，且()()()fxxfxxfx+对xR恒成立，则下列选项不正确的是（

）A．2(2)(1)ffeB．2(2)(1)ffeC．()10fD．()10f−【答案】BCD【分析】构造出函数()()xxfxFxe=，再运用求导法则求出其导数，借助导数与函数单调性之间的关系及题设中()()()fxxfxxfx+，从而确定函数()()xxfxFxe=是单调递减函

数，然后可判断出每个答案的正误.【详解】构造函数()()xxfxFxe=，因为2[()()]()()()()()0()xxxxefxxfxxefxfxxfxxfxFxee+−+−==，故函数()()xxfxFxe=在R上单调递减函数，因

为21，所以212(2)(1)(2)(1)ffFFee，即2(2)(1)ffe故A正确，B错误因为()(1)0FF，即()10fe，所以()10f，故C错误因为()(1)0FF−，即()110fe−−−，所以()10f−，故D错误故选：BCD【点睛】解答

本题的难点所在是如何依据题设条件构造出符合条件的函数()()xxfxFxe=，这里要求解题12．某校高二年级进行选课走班，已知语文、数学、英语是必选学科，另外需从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中任选3门进行学习.现有甲、乙、丙三人，若同学甲必选物理，则下列结论正确的是（）A．甲的

不同的选法种数为10B．甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件C．乙同学在选物理的条件下选化学的概率是15D．乙、丙两名同学都选物理的概率是14【答案】AD【分析】本题首先可以根据从剩下5门课中选两门判断出A正确，然后根据甲、乙、丙三人至少一人选化学与

全不选化学是对立事件判断出B错误，再然后根据条件概率的计算判断出C错误，最后根据乙、丙两名同学各自选物理的概率判断出D正确.【详解】A项：由于甲必选物理，故只需从剩下5门课中选两门即可，即2510C=种选法，故A正确；B项：甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件，

故B错误；C项：由于乙同学选了物理，乙同学选化学的概率是142525CC=，故C错误；D项：因为乙、丙两名同学各自选物理的概率253612CC=，所以乙、丙两名同学都选物理的概率是111224=，D正确，故选

：AD.【点睛】本题考查古典概型的概率的相关计算，考查组合的应用以及组合数的运算，考查对立事件的判定以及条件概率的计算，考查运算求解能力，考查推理能力，是中档题.者具有较深的观察力和扎实的基本功，属于较难题.13．曲线23()exyxx=+在点(0,0)处的切线方程为___

________．【答案】30xy−=.【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程【详解】详解：/223(21)3()3(31),xxxyxexxexxe=

+++=++所以，/0|3xky===所以，曲线23()exyxx=+在点(0,0)处的切线方程为3yx=，即30xy−=．【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本

要求．14．从4男2女六名志愿者中任选三名参加某次公益活动，则选出的三名志愿者中既有男志愿者又有女志愿者的概率是________（结果用数值表示）【答案】4515．若函数224()43xfxmxmx−=++的定义域为R，则实

数m的取值范围是__________．【答案】3[0,)4【解析】定义域要求2430mxmx++当0m=时，函数的定义域为R，当0m时，216120mm=−，解得304m，综上可知实数m的取值范围

是3[0,)4.16．若函数()()23lnfxxaxx=+++在区间1,22上存在唯一的极值点，则实数a的取值范围为________.【答案】15(,6]2−−求导得到()()1'230fxxax=+++=，【分析】123axx=−+−，

设()123gxxx=−+−，根据单调性得到答案.【详解】()()23lnfxxaxx=+++，则()()1'230fxxax=+++=，即123axx=−+−，设()123gxxx

=−+−，则函数在12,22上单调递增，在2,22上单调递减.162g=−，()1522g=−，函数在1,22上存在唯一的极值点，故15,62a−−.故答案为：15,62−−

.【点睛】17．在二项式()32nx−的展开式中.（1）若前3项的二项式系数和等于67，求二项式系数最大的项；（2）若第3项的二项式系数等于第18项的二项式系数，求奇次项系数和.【答案】（1）5610777536Tx=−，677185024Tx=；（2）19152+.【分析】（1）由题意得01

267nnnCCC++=，化简为21320nn+−=，解得n的值，可以写出结果；（2）由题意得217nnCC=，解得n=19，在()1932x−的展开式中，分别令1x=和1x=−，得到2个式子，相减可得要求式子的值．【详解】（1）在二项式()32nx−的展开式中，前3项的二项式

系数和为01267nnnCCC++=，化简为21320nn+−=，解得11n=或12n=−（舍），二项式为()1132x−，展开式共有12项，则展开式中二项式系数最大的项为第6和第7项，()55656113210777536TCxx=−=−和(

)6656711327185024TCxx=−=.（2）当第3项的二项式系数等于第18项的二项式系数，得217nnCC=，计算得19n=，二项式为()1932x−.在()192319012319..32.aaxaxaxxax=+++++−中，令1x=，则01231

91...aaaaa=+++++，①令1x=−，则190123195...aaaaa=−+−+−，②①+②得()1902418152...aaaa+=++++，奇次项系数和为19152+.【点睛】本题主

要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，展开式的奇次项系数和，属于中档题18．有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾；(2)全体站成一排，女生必须站在一起；(3)全体站成一排，男生互不相邻．【答

案】（1）3600（2）576（3）1440【解析】分析：（1）根据特殊元素“优先法”，由分步计数原理计算可得答案；(2)根据“捆绑法”将女生看成一个整体，考虑女生之间的顺序，再将女生的整体与3名男生在一起进行全排列即可；

(3）利用“插空法”，先将4名女生全排列5个空位中任选3个空位排男生，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案.详解：(1)甲为特殊元素．先排甲，有5种方法，其余6人有A种方法，故共有5×A＝3600种方法．(2)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有

A种方法，再将4名女生进行全排列，有A种方法，故共有A×A＝576种方法．(3)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A

种方法，故共有A×A＝1440种方法．点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊顺序问题，先让所有元素全排列，

然后除以有限制元素的全排列数.19．某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，

20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160iix==，2011200iiy==，2021)80iixx=−=（，2021)9000iiyy=−=（，201))80

0iiixyxy=−−=（（.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数（精

确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数r=12211))))niiiiinn

iixyxxyyyx===−−−−（（（（，≈1.414.【答案】（1）12000；（2）0.94；（3）详见解析【分析】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；（2）利用公式2012

0202211()()()()iiiiiiixxyyrxxyy===−−=−−计算即可；（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.【详解】（1）样区野生动物平均数为2

01111200602020iiy===，地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000=（2）样本(,)iixy(i=1，2，…，20)的相关系数为20120202211()()800220.943809000()

()iiiiiiixxyyrxxyy===−−===−−（3）由（2）知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性，由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从俄各地块间这种野生动物的数量差异很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得

以执行，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，是一道容易题.20．已知函数()emxfxx=.（1）若函数()fx的图象在点()()1,1f−−处的切线平行于x轴，求函

数()fx在22−,上的最小值；（2）若关于x的方程()1fxx=在()0,+上有两个解，求实数m的取值范围.【答案】（1）1e−；（2）2,0e−.【分析】（1）由题意得出()10f−=可求得

m的值，利用导数求得函数()yfx=的极值，结合函数()yfx=的单调性可得出该函数在区间22−,上的最小值；（2）由参变量分离法可知：直线2my=−与函数()lnxFxx=的图象有两个交点，利用导数分析函数()yF

x=的单调性与极值，数形结合可得2m−的取值范围，进而可求得实数m的取值范围.【详解】（1）()mxfxxe=Q，()mxmxfxemxe=+，由题意可得()10mmfeme−−−=−=，解得1m=.()xfxxe=，则()

()1xfxxe=+，令()0fx=，解得1x=−.令()0fx，解得1x−，此时函数()yfx=单调递增；令()0fx，解得1x−，此时函数()yfx=单调递减.所以，函数()yfx=在区间)2

,1−−上单调递减，在区间(1,2−上单调递增，所以，当1x=−时，函数()yfx=取得极小值即最小值，即()()1min11fxfee−=−=−=−；（2）()11mxfxxexx==在()0,+有两解，即lnlnxmxx+=−在()0,+有两解，ln2mxx−

=.设()lnxFxx=，()21lnxFxx−=，令()0Fx=，得xe=.当0xe时，()0Fx；当xe时，()0Fx.所以，函数()yFx=在()0,e上为增函数，在(),e+上为减函数.当0x→，()Fx→−；当

x→+时，()0Fx→，()()max1FxFee==，如下图所示：由图象可知，当102me−时，即当20em−时，直线2my=−与函数()yFx=的图象有两个交点.因此，实数m的取值范围是2,0e−.【点睛】本题考查利用导数求解函数

的最值，同时也考查了利用导数研究函数的零点个数问题，考查数形结合思想以及参变量分离法的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.21．某中学准备组建“文科”兴趣特长社团，由课外活动小组对高一学生文科、理科进行了问卷调

查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩（单位：分）进行统计，将数据按照)0,20，)20,40，)40,60，)60,80，80,100分

成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为“文科方向”学生，低于60分的称为“理科方向”学生.理科方向文科方向总计男110女50总计（1）根据已知条件完成下面22列联表，并据此判断是否有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关？（2）将

频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“文科方向”的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列、期望()E和方差()D.参考公式：()()()()()22

nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.参考临界值：()20PKk0.100.050.0250.0100.0050.0010k2.7063.8415.0246.6357.87910.828【答

案】（1）列联表见解析，有；（2）分布列见解析，65，1825.【分析】（1）由频率分布直方图可得分数在)60,80、80,100之间的学生人数，可得列联表.根据列联表计算2K的值，结合参考临界值表可得到结论；（2）从该校高一学生中随机抽取1人，求出该人为“文科方向”的概率p.由题意(

)~3,Bp，求出分布列，根据公式求出期望和方差.【详解】（1）由频率分布直方图可得分数在)60,80之间的学生人数为0.01252020050＝，在80,100之间的学生人数为0.00752020030＝，所以低于60分的学生人数为120.因此列联表为理科方向文科方向总计男803

0110女405090总计12080200又()222008050304016.4986.6351208011090K−=，所以有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关.（2）易知从该校高一学生

中随机抽取1人，则该人为“文科方向”的概率为8022005p==.依题意知2~3,5B，所以()3322C155iiiPi−==−（0,1,2,3i=），所以的分布列为0123P271

2554125361258125所以期望()26355Enp===，方差()()22181315525Dnpp=−=−=.22．已知函数2()exfxaxx=+−.（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；

（2）当x≥0时，f（x）≥12x3+1，求a的取值范围.【答案】（1）当(),0x−时，()()'0,fxfx单调递减，当()0,x+时，()()'0,fxfx单调递增.（2）27,4e−+【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然

后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.(2)首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围.【详解】(1)当1a=时，()2xxx

efx=+−，()21xfxex=+−，由于()20xfxe=+，故()'fx单调递增，注意到()00f=，故：当(),0x−时，()()0,fxfx单调递减，当()0,x+时，()()0,fx

fx单调递增.(2)由()3112fxx+得，23112xeaxxx+−+…，其中0x，①.当x=0时，不等式为：11，显然成立，符合题意；②.当0x时，分离参数a得，32112xexxax−−−−…，记()32112xexxgxx−−−=−，()()231212xxexxgxx

−−−−=−，令()()21102xexxhxx−−−=，则()1xhxex=−−，()10xhxe=−，故()'hx单调递增，()()00hxh=，故函数()hx单调递增，()()00hxh=，由()0hx可得：21102xexx−−−…恒成立，

故当()0,2x时，()0gx¢>，()gx单调递增；当()2,x+时，()0gx¢<，()gx单调递减；因此，()()2max724egxg−==,综上可得，实数a的取值范围是27,4e−+.