【文档说明】河北省衡水中学2020届高三下学期一调考试数学理科试题含解析【精准解析】.doc，共(29)页，2.554 MB，由小赞的店铺上传

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2019-2020学年度高三年级下学期一调考试数学（理科）试卷一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分,下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知全集U=R，集合2|2AyyxxR==+，，集合()|lg1Bxy

x==−，则阴影部分所示集合为（）A.12，B.()12，C.(12]，D.[12)，【答案】B【解析】试题分析：由函数,得到,由函数,得到,即,；全集,则.所以B选项是正确的．考点：集合的运算.【易错点晴】

集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求

得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.在求交集时注意区间端点的取舍.熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.2.复数3aizai+=+−(其中aR，i为虚数单位)，若复数z的共轭复数的虚

部为12−，则复数z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】先化简复数z，再求得其共轭复数，令其虚部为12−，解得2a=，代入求解即可.【详解】由题意得()()()()()33131

3331010aiiaiaiazaaiii++++−=+=+=+−−+，∴()31311010aiaz+−=−，又复数z的共轭复数的虚部为12−，∴31102a+=，解得2a=.∴5122zi=+，∴复数z在复平面内对应的点位于第一象限.故选A.【点睛】本题考查了复数的乘

法运算，考查了复数的基本概念及复数的几何意义，属于基础题.3.若2,,aaaabaca−===，则,,abc的大小关系为（）A.cbaB.bcaC.bacD.abc【答案】B【解析】分析：首先确定a的范围，然后结合指数函数的单调性整理计算即可求得最

终结果.详解：由题意可知：()2210,1a−==，即1a函数()xfxa=单调递减，则1aaa，即aaa，由于aaa，结合函数的单调性可得：aaaaa，即bc，由于01a，故1aa，结合函数的单调性可得：1aaaa，即ca，综上可得：,,abc

的大小关系为bca.本题选择B选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性

进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．4.函数2()1cos1xfxxe=−+图象的大致形状是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】判断函数()fx的奇偶性，可

排除A、C，再判断函数()fx在区间0,2上函数值与0的大小，即可得出答案.【详解】解：因为21()1coscos11xxxefxxxee−=−=++，所以()()11

1()coscoscos111xxxxxxeeefxxxxfxeee−−−−−−=−===−+++，所以函数()fx是奇函数，可排除A、C；又当0,2x，()0fx，可排除D；故选：B.【点睛】本题考查函数表达式判断函数图像，属于中档题.5.吸烟

有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性

相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（）A.15B.815C.35D.320【答案】D【解析】【分析】“口香糖吃完时还剩2支香烟”即第四次取到的是口香糖且前三次有两次口香糖一次香烟，根据古典概型计算出其概率即可.【详解】由题：“口香糖吃完时还剩2支香烟”说明：第四

次取到的是口香糖，前三次中恰有两次口香糖一次香烟，记香烟为123,,AAA，口香糖为123,,BBB，进行四次取物，基本事件总数为：6543360=种事件“口香糖吃完时还剩2支香烟”前四次取物顺序

分为以下三种情况：烟、糖、糖、糖：332118=种糖、烟、糖、糖：332118=种糖、糖、烟、糖：323118=种包含的基本事件个数为：54，所以，其概率为54336020=故选：D【点睛】此题考查古

典概型，解题关键在于弄清基本事件总数，和某一事件包含的基本事件个数，其本质在于计数原理的应用.6.已知△ABC外接圆的圆心为O，若AB=3，AC=5，则AOBC的值是（）A.2B.4C.8D.16【答案】C【解析】【分析】可画出图形

，并将O和AC中点D相连，O和AB的中点E相连，从而得到,ODACOEAB^^，根据数量积的计算公式及条件可得出259·,?22AOACAOAB==，而()AOBCAOACAB=−，即可得出AOBC的值．【详解】如图，取AC中

点D,AB中点E,并连接OD,OE,则,ODACOEAB^^；2212519·,?2222AOACACAOABAB====()259822AOBCAOACABAOACAOAB=−=−=−=故选C

.【点睛】解题的关键是要熟练的运用数量积的公式cosabab=以及三角形法则．7.给出下列五个命题：①若pq为真命题，则pq为真命题；②命题“0x＞，有1xe”的否定为“00x，有01xe＜”；③“平面向量a与b的夹角为钝角”的充分不必要条件是“•0ab”

；④在锐角三角形ABC中，必有sinsincoscosABAB++；⑤na为等差数列，若()*,,,mnpqaaaamnpqN+=+，则mnpq+=+其中正确命题的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】【分析】根

据或命题与且命题的性质判断①；根据全称命题否定的定义判断②；根据“•0ab，夹角有可能为判断③；由2AB+，利用正弦函数的单调性判断④；根据特例法判断⑤.【详解】对于①，若pq为真命题，则p与q中至少有一个为真命题，pq不一定为真命题，故错误.对于②，

命题“:0px＞，有1xe”,则p为00x，有01xe＜,故错误.对于③，若•0ab平面向量a，b的夹角为可能为，故错误.对于④，在锐角三角形ABC中，必有02AB+,即,22ABBA−−，所以si

ncossincosABBA，，所以sinsincoscosABAB++，故正确；对于⑤，在等差数列na中，若,natt=为常数，则1234aaaa+=+满足，()*,,,mnpqaaaamnpqN+=+，但是1234+=+不成立，即mnpq+=+不成立，故错误，故选A.【点

睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查逻辑联接词的应用、全称命题的否定、向量的数量积、正弦函数的单调性以及等差数列的性质，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，

因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.8.已知定义在()0,+上的函数()fx，恒为正数的()fx符合

()()()'2fxfxfx，则()()1:2ff的取值范围为（）A.(),2eeB.11,2eeC.()3,eeD.211,ee【答案】D【解析】令()()()()2,xxfxfxgx

hxee==，则()()()2'2'0xfxfxhxe−=，()()()''0xfxfxgxe−=，()()()()12,12gghh，()()()()()()22421212111,,2fff

ffeeeeefe，选D．【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限

制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.9

.已知点(0,2)A，抛物线C：24yx=的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则:FMMN=（）A.2:5B.1:2C.1:5D.1:3【答案】C【解析】【分析】求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k＝-2．过M作MP⊥

l于P，根据抛物线物定义得|FM|＝|PM|．Rt△MPN中，根据tan∠NMP＝﹣k＝2，从而得到|PN|＝2|PM|，进而算出|MN|5=|PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值．【详解】∵抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），点A坐标为（0，2），∴抛物线的准线方程为l：x＝

﹣1，直线AF的斜率为k＝﹣2，过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|＝|PM|，∵Rt△MPN中，tan∠NMP＝﹣k＝2，∴PNPM=2，可得|PN|＝2|PM|，得|MN|22||5PNP

M=+=|PM|，因此可得|FM|：|MN|＝|PM|：|MN|＝1：5．故选C．【点睛】本题给出抛物线方程和射线FA，求线段的比值，着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．10.定义12nnppp+++为n个正数1p、2p、…、np的“均倒数”，若已知正整

数列na的前n项的“均倒数”为121n+，又14nnab+=，则12231011111bbbbbb+++=（）A.111B.112C.1011D.1112【答案】C【解析】【分析】由已知得()1221nnaaannS+++=+=，求出nS后，利用当2n时，1nnnaSS−

=−即可求得通项na，最后利用裂项法即可求和.【详解】由已知得12121nnaana=++++，()1221nnaaannS+++=+=，当2n时，141nnnaSSn−=−=−，验证知当1n=时也成立，14nnabn+==，11111nnbbnn+

=−+，12231011111111111110122334101111bbbbbb+++=−+−+−+−=故选：C【点睛】本题是数列中的新定义，考查了nS与na的关系、裂项求和，属于中档题.11.对于任意的实数[1,e]x，

总存在三个不同的实数[1,5]y−，使得21ln0yyxeaxx−−−=成立，则实数a的取值范围是()A.24251(,]eee−B.4253[,)eeC.425(0,]eD.24253[,)eee−【答案】B【解析】【分析】原方程化为

21lnyxyeax−=+，令()ln,1,xfxaxex=+，令()21,1,5ygyyey−=−，可得()1,fxaae+，利用导数研究函数()gy的单调性，利用数形结合可得41254,,aaeee+，得到

关于a不等式组，解出即可.【详解】0x，原式可化为21lnyxyeax−=+，令()ln,1,xfxaxex=+时()()1ln'0,xfxfxx−=递增，故()1,fxaae+，令()21,1,5ygyyey−

=−，故()()1211'22yyygyyeyeyye−−−=−=−，故()gy在()1,0−上递减，在()0,2上递增，在()2,5上递减，而()()()()244251,00,2,5geggge

e−====，要使总存在三个不同的实数1,5y−，使得21ln0yyxeaxx−−−=成立，即41254,,aaeee+，故42514aeaee+，故4253aee，实数a的取值范围是4253,ee，故选B.【点睛】本题考查了函数

的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想,是一道综合题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能

够熟练掌握并应用于解题当中.解答本题的关键是将问题转化为41254,,aaeee+.12.如图，在正方体1111ABCDABCD﹣中，1AH⊥平面11ABD，垂足为H，给出下面结论：①直线1AH与该正方体各棱所成角相等；②直线1A

H与该正方体各面所成角相等；③过直线1AH的平面截该正方体所得截面为平行四边形；④垂直于直线1AH的平面截该正方体，所得截面可能为五边形，其中正确结论的序号为（）A.①③B.②④C.①②④D.①②③【答案】D【解析】【分析】由A1C⊥平面AB1D1，直线A1H与直线A1C重合，结合线线角和线面

角的定义，可判断①②；由四边形A1ACC1为矩形，可判断③；由垂直于直线A1H的平面与平面AB1D1平行，可判断④．【详解】如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1H⊥平面AB1D1，垂足为H，连接A1C，

可得A1C⊥AB1，A1C⊥AD1，即有A1C⊥平面AB1D1，直线A1H与直线A1C重合，直线A1H与该正方体各棱所成角相等，均为arctan2，故①正确；直线A1H与该正方体各面所成角相等，均为arctan22，故②正确；过直线A1H的平面截该正方体所得截面为A1ACC1为平行四边形，故③正

确；垂直于直线A1H的平面与平面AB1D1平行，截该正方体，所得截面为三角形或六边形，不可能为五边形．故④错误．故选D．【点睛】本题考查线线角和线面角的求法，以及正方体的截面的形状，考查数形结合思想和空间想象能力，属

于中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.有一个底面圆的半径为1，高为2的圆柱，点12,OO分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点12,OO的距离都大于1

的概率为___．【答案】13【解析】【详解】到点12,OO距离为1的点是半径为1的球面，所以所求概率为431=1-23=1VPV=−球柱14.在数列{an}中，若函数f（x）＝sin2x+22cos2x的最大值是a1，且an＝（an+1﹣an﹣2）n﹣2n2，则an＝_____．【

答案】an＝2n2+n【解析】【分析】()sin222cos23sin(2)fxxxx=+=+，可得13a=．由已知条件推出121nnaann+−=+，然后求解数列的通项公式．【详解】解：()sin222cos23sin(2)fxxxx=+=+，当222xk+=+，

kZ，()fx取得最大值3，13a=．21(2)2nnnaaann+=−−−，21(1)22nnnanann+=+++，121nnaann+−=+，nan是以131a=为首项，2为公差的等差数列，()321nann=+−2[32(1)]2nannnn=+−=+，故答案为：

22nn+．【点睛】本题考查了数列递推关系、三角函数求值、法则求积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之为

实一为从隅，开平方得积”如果把以上这段文字写成公式就是2222221[()]42acbSac+−=−，共中a、b、c是△ABC的内角A，B，C的对边．若sin2sincosCAB=，且2b，2，2c成等差数列，则ABC面积S的最大值为____【答案】255【解析】【分析】

运用正弦定理和余弦定理可得ab=，再由等差数列中项性质可得2224abc==−，代入三角形的面积公式，配方，结合二次函数的最值求法，可得所求最大值．【详解】sin2sincosCAB=，∴2coscaB=，因此2222,2acbcaabac+−==∵2b，2，2c成

等差数列，∴224bc+=，因此22222222211()(4)()2222acbcSaccc+−=−=−−22158162455c=−−+，当285c=，即2105c=时，S取得最大值145

25255=，即ABC面积S的最大值为255，故答案为255.【点睛】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式，以及等差数列中项性质，转化为求二次函数的最值是解题的关键，属于中档题．16.过曲线22122:1(0,0)xyCabab−=的左焦点1F作曲线2222:Cxya+=的切线，

设切点为M，延长1FM交曲线23:2(0)Cypxp=于点N，其中1,C3C有一个共同的焦点，若10MFMN+=，则曲线1C的离心率为________．【答案】512+【解析】【分析】设双曲线的右焦点为

2F，根据曲线1C与3C有一个共同的焦点，得到抛物线方程，再根据O为12FF的中点，M为1FN的中点，利用中位线定理，可得，2//OMNF，22NFa=，21NFNF⊥，12NFb=.设(),Nxy，根据抛

物线的定义可得2,2xcaxac+==−，过1F点作x轴的垂线，点(),Nxy到该垂线的距离为2a，然后在1ANF中，利用勾股定理求解.【详解】如图所示：设双曲线的右焦点为2F，则2F的坐标为(),0c，因为曲线1C与3C有一个共同的焦点，所以24ycx=，因为O为12FF的中点，

M为1FN的中点，所以OM为12NFF的中位线，所以2//OMNF，因为OMa=，所以22NFa=又21NFNF⊥，22,FFc=所以12NFb=.设(),Nxy，则由抛物线的定义可得2,2xcaxac+==−，过1F点作x

轴的垂线，点(),Nxy到该垂线的距离为2NAa=，在1ANF中，由勾股定理即得22244yab+=，即()()2224244cacaca−+=−，即210ee−−=，解得512e+=.故答案为：512+【点睛】本题主要考查双曲线和抛物线的几何性质，还考查了数形结合的思想和运算

求解的能力，属于中档题.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.如图，在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4c=，2b=，2coscCb=，D，E分别为线段BC上的点，且B

DCD=，BAECAE=．（1）求线段AD的长；（2）求ADE的面积．【答案】（1）6AD=（2）156【解析】试题分析：（I）在△ABC中，利用余弦定理计算BC，再在△ACD中利用余弦定理计算AD；（

II）根据角平分线的性质得到2ABEACESABSAC==，又ABEACESBESEC=，所以2BEEC=，所以1433CEBC==，42233DE=−=，再利用正弦形式的面积公式即可得到结果.试题解析：（1）因为4c=，2b=，所以1cos24bCc==．由余弦定

理得22224161cos244abcaCaba+−+−===，所以4a=，即4BC=，在ACD中，2CD=，2AC=，所以2222cos6ADACCDACCDACD=+−=，所以6AD=．（2

）因为AE是BAC的平分线，所以1sin221sin2ABEACEABAEBAESABSACACAECAE===，又ABEACESBESEC=，所以2BEEC=，所以1433CEBC==，42233DE=−=，又因为1cos4C=，所以215sin1cos4CC=−=，所

以115sin26ADESDEACC==．18.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是边长为2的菱形，60,90DABADP==，平面ADP⊥平面ABCD，点F为棱PD的中点．（Ⅰ）在棱AB上是否存在一点E，使得AF平面PCE，并说明理由；（Ⅱ）当二面角D

FCB−−的余弦值为24时，求直线PB与平面ABCD所成的角．【答案】（1）见解析（2）60【解析】【分析】（Ⅰ）取PC的中点Q，连结EQ、FQ，得到故//AEFQ且AEFQ=，进而得到//AFEQ，利用线面平行的判定定理，即可证得//AF

平面PEC.（Ⅱ）以D为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设FDa=，求得平面FBC的法向量为m，和平面DFC的法向量n，利用向量的夹角公式，求得3a=，进而得到PBD为直线PB与平面ABCD所成的角，即可求解.【详解】（Ⅰ）在棱AB上存在点E，

使得//AF平面PCE，点E为棱AB的中点．理由如下：取PC的中点Q，连结EQ、FQ，由题意，//FQDC且12FQCD=，//AECD且12AECD=，故//AEFQ且AEFQ=.所以，四边形AEQF为平行四边形.

所以，//AFEQ，又EQ⊥平面PEC，AF⊥平面PEC，所以，//AF平面PEC.（Ⅱ）由题意知ABD为正三角形，所以EDAB⊥，亦即EDCD⊥，又90ADP=，所以PDAD⊥，且平面ADP⊥平面ABCD，平面ADP平面ABCDAD=，所以PD⊥平面ABCD，故以D为坐标原点建立如图空间

直角坐标系，设FDa=，则由题意知()0,0,0D，()0,0,Fa，()0,2,0C，()3,1,0B，()0,2,FCa=−，()3,1,0CB=−，设平面FBC的法向量为(),,mxyz=，则由00mFCmCB==得2030yazxy−=−=，令1x=，

则3y=，23za=，所以取231,3,ma=，显然可取平面DFC的法向量()1,0,0n=，由题意：221cos,41213mna==++，所以3a=.由于PD⊥平面ABCD，所以PB在平面AB

CD内的射影为BD，所以PBD为直线PB与平面ABCD所成的角，易知在RtPBD中，tan3PDPBDaBD===，从而60PBD=，所以直线PB与平面ABCD所成的角为60.【点睛】本题考查了立体几何中的

面面垂直的判定和直线与平面所成角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成，着重考查了分析问题和解答问

题的能力.19.如图，A为椭圆22142xy+=的左顶点，过A的直线l交抛物线()220ypxp=于B、C两点，C是AB的中点.（1）求证：点C的横坐标是定值，并求出该定值；（2）若直线m过C点，且倾斜角和直线l的倾斜角互补，交椭圆于

M、N两点，求p的值，使得BMN的面积最大.【答案】(1)证明见解析，定值1.(2)928p=【解析】【分析】（1）由题意可求()2,0A−，设()11,Bxy、()22,Cxy，l：2xmy=−，联立直线与抛物线，

利用C是AB的中点得122yy=，计算可得点C的横坐标是定值；（2）由题意设直线m的方程为213pmxmy=−−+，联立方程，利用C是AB的中点，可得BMNAMNSS=，根据三角形的面积公式以及基本不等式可求BMN的面积最大值，由取等条件解得p的值.【详解】（

1）()2,0A−，过A的直线l和抛物线交于两点，所以l的斜率存在且不为0，设l：2xmy=−，其中m是斜率的倒数，设()11,Bxy、()22,Cxy，满足222xmyypx=−=，即2240ypmy

p−+=，且121224yypmyyp+==，因为C是AB中点，所以122yy=，所以223pmy=，292mp=，所以222222133pmpxmm=−=−=，即C点的横坐标为定值1.（2）直线m的倾斜角和直线l的倾斜角互补，

所以m的斜率和l的斜率互为相反数.设直线m为213pmxmy=−−+，即4xmy=−+，联列方程224240xmyxy=−++−=得()2228120mymy+−+=，()()222848216960mmm=−+=−，所以26m；且122

12282122myymyym+=+=+，∵点C是AB中点，∴BMNAMNSS=，设()2,0A−到MN的距离2241dm−−=+，2121MNmyy=+−，()21222163322AMNmSMNdyym−==−=+，令26tm=−，2133

64166416AMNtStttt==++++133281642=+当且仅当8t=，214m=时取到，所以9142p=，928p=.法二：因为B点在抛物线()220ypxp=上，不妨设2,2tBtp，又C是AB中点，则24,42tptCp

−，代入抛物线方程得：224224ttppp−=，得：28tp=，∴8414Cppxp−==为定值.（2）∵直线l的斜率()02126ttk−==−−，直线m斜率'6tk=−，∴直线m的方程：()126ttyx−=−−，即64xyt=−+，令6mt=代入椭圆方

程整理得：()2228120mymy+−+=，设()11,Bxy、()22,Cxy，下同法一.【点睛】本题考查直线的方程和抛物线方程联立，注意运用椭圆的顶点坐标，运用韦达定理以及点到直线的距离公式，考查三角形的面积的最值求

法，化简整理的运算能力，属于中档题．20.某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查.调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段.在随机问卷阶段，A，B两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，

两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对15至45岁的人群，按比例随机抽取了300份，进行了数据统计，具体情况如下表：组别年龄A组统计结果B组统计结果经常使用单车偶尔使用单车经常使用单车偶尔使用单车[15,25)27人13人40人20人[25,35)23人17人35人25人[35,45]20人20人

35人25人（1）先用分层抽样的方法从上述300人中按“年龄是否达到35岁”抽出一个容量为60人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到35岁”的被抽个体数分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去.①求这60人中“年

龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数；②为听取对发展共享单车的建议，调查组专门组织所抽取的“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人员召开座谈会.会后共有3份礼品赠送给其中3人，每人1份（其余人员仅赠送骑行优惠券）.已知参加座谈会的人员中有且只有4人来自A组，求A组这4人中得到礼品

的人数X的分布列和数学期望；（2）从统计数据可直观得出“是否经常使用共享单车与年龄（记作m岁）有关”的结论.在用独立性检验的方法说明该结论成立时，为使犯错误的概率尽可能小，年龄m应取25还是35？请通过比较2K的观测值的大小加以说明.参考公式：22()()()

()()nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.【答案】(1)①9人②见解析；(2)25m=【解析】【分析】（1）①根据分层抽样要求，先求从300人中抽取60人，其中“年龄达到35岁”的人数60

100300，再求“年龄达到35岁”中偶尔使用单车的人数4520100；②确定随机变量X的取值，计算X各个取值的概率，得分布列及数学期望.(2)对年龄m是否达到35,m是否达到25对数据重新整理（22联表），根据公式计算相应的2K，比较大小确定.【详解】（1）①从30

0人中抽取60人，其中“年龄达到35岁”的有6010020300=人，再将这20人用分层抽样法按“是否经常使用单车”进行名额划分，其中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数为45209100=.②A组这4人中得到礼品的人数X的可能取值为0，1，2

，3，相应概率为：()35395042CPXC===，()12453910121CCPXC===，()2145395214CCPXC===，()34391321CPXC===.故其分布列为X0123P5421021514121

∴()5105140123422114213EX=+++=.（2）按“年龄是否达到35岁”对数据进行整理，得到如下列联表：经常使用单车偶尔使用单车合计未达到35岁12575200达到35岁5545100合计18012030035m=时，由（1）中

的列联表，可求得2K的观测值()22130012545755530015002520010018012020010018012016k−===.25m=时，按“年龄是否达到25岁”对数据进行整理，得到如下列联表：经常使用单车偶尔使用单车合计未达到

25岁6733100达到25岁11387200合计180120300可求得2K的观测值()22230067871133330021004920010018012020010018012016k−===.∴21kk，欲使犯错误的概率尽可能小，需取25m=

.【点睛】本题考查分层抽样和独立性检验，随机变量的分布列及数学期望，考查统计知识理解掌握水平、对数据的处理能力及分析推理解决实际问题的能力.21.已知函数2()1xfxeaxbx=−−−，其中,abR，2.71828e=为自然对数的底数.（Ⅰ）设()gx是

函数()fx的导函数，求函数()gx在区间[0,1]上的最小值；（Ⅱ）若(1)0f=，函数()fx在区间(0,1)内有零点，求a的取值范围【答案】（Ⅰ）当12a时，()(0)1gxgb=−；当122ea时，()22ln(2)gxaaab−−；

当2ea时，()2gxeab−−.（Ⅱ）a的范围为(0,1).【解析】试题分析：（Ⅰ）易得()2,()2xxgxeaxbgxea−==−−，再对分a情况确定()gx的单调区间，根据()gx在[0,1]上的单调性即可得()gx在[0,1]上的最小值.（Ⅱ）设0x为

()fx在区间(0,1)内的一个零点，注意到(0)0,(1)0ff==.联系到函数的图象可知，导函数()gx在区间0(0,)x内存在零点1x，()gx在区间0(),1x内存在零点2x，即()gx在区间(0

,1)内至少有两个零点.由（Ⅰ）可知，当12a及2ea时，()gx在(0,1)内都不可能有两个零点.所以122ea.此时，()gx在[0,ln2]a上单调递减，在[ln2,1]a上单调递增，因此12(0,ln(2)],(ln(2),

1)xaxa，且必有(0)10,(1)20gbgeab=−=−−.由(1)10feab=−−−=得：1bea=−−，代入这两个不等式即可得a的取值范围.试题解答：（Ⅰ）()2,()2xxgxeaxbgxea−==−−

①当0a时，()20xgxea−=，所以()(0)1gxgb=−.②当0a时，由()20xgxea−=得2,ln(2)xeaxa.若12a，则ln(2)0a；若2ea，则ln(2)1a.所以当102a时，()gx在[0,1]上单调递增

，所以()(0)1gxgb=−.当122ea时，()gx在[0,ln2]a上单调递减，在[ln2,1]a上单调递增，所以()(ln2)22ln2gxgaaaab=−−.当2ea时，()gx在[0,1]上单调递减，所以()(1)2gxgeab=−−.（Ⅱ）设0

x为()fx在区间(0,1)内的一个零点，则由0(0)()0ffx==可知，()fx在区间0(0,)x上不可能单调递增，也不可能单调递减.则()gx不可能恒为正，也不可能恒为负.故()gx在区间0(0,)x内存在零

点1x.同理()gx在区间0(),1x内存在零点2x.所以()gx在区间(0,1)内至少有两个零点.由（Ⅰ）知，当12a时，()gx在[0,1]上单调递增，故()gx在(0,1)内至多有一个零点.当2ea时，()gx在[0,1]上单调递减，故()gx在(0,1)内至多有一个零点

.所以122ea.此时，()gx在[0,ln2]a上单调递减，在[ln2,1]a上单调递增，因此12(0,ln(2)],(ln(2),1)xaxa，必有(0)10,(1)20gbgeab=−=−−.由(1)10feab=−−−=得：12abe+=−，有(0)1

20,(1)210gbaegeaba=−=−+=−−=−.解得21ea−.当21ea−时，()gx在区间[0,1]内有最小值(ln(2))ga.若(ln(2))0ga，则()0([0,1])gxx，从而()fx在区间[0,1]上单调递增，这与(0)(1)0ff==

矛盾，所以(ln(2))0ga.又(0)20,(1)10gaega=−+=−，故此时()gx在(0,ln(2))a和(ln(2),1)a内各只有一个零点1x和2x.由此可知()fx在1[0,]x上单调递增，在1(,x2)x上单调递减，在2[,1]x上单调递增.所以1()(0)0f

xf=，2()(1)0fxf=，故()fx在1(,x2)x内有零点.综上可知，a的取值范围是(2,1)e−.【考点定位】导数的应用及函数的零点.（二）选考题，满分共10分，请考生在22，23题中任选一

题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线1l过原点且倾斜角为02„.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，

曲线2C的极坐标方程为2cos=.在平面直角坐标系xOy中，曲线2C与曲线1C关于直线yx=对称.（Ⅰ）求曲线2C的极坐标方程；（Ⅱ）若直线2l过原点且倾斜角为3+，设直线1l与曲线1C相交于O，A两点，直

线2l与曲线2C相交于O，B两点，当变化时，求AOB面积的最大值.【答案】(Ⅰ)2sin=(Ⅱ)+3324【解析】【分析】(Ⅰ)法一：将1C化为直角坐标方程，根据对称关系用2C上的点表示出1C上点的坐标，代入1C方程得到2C的直角坐标方程，再化为极坐标方程；法二

：将yx=化为极坐标方程，根据对称关系将1C上的点用2C上的点坐标表示出来，代入1C极坐标方程即可得到结果；(Ⅱ)利用1l和2l的极坐标方程与12,CC的极坐标方程经,AB坐标用表示，将所求面积表示为与有关的三角函数解析式，通过三角函数值域求解方法求出所求最值.【详解】(Ⅰ)法一：由题可

知，1C的直角坐标方程为：2220xyx+−=，设曲线2C上任意一点(),xy关于直线yx=对称点为()00,xy，所以00xyyx==又因为2200020xyx+−=，即2220xyy+−=，所以曲线2C的极坐标方程为：2sin=法二：由题可知，yx=

的极坐标方程为：4=()R，设曲线2C上一点(),关于4=()R的对称点为()00,，所以0024=+=又因为002cos=，即2cos2sin2=−=

，所以曲线2C的极坐标方程为：2sin=(Ⅱ)直线1l的极坐标方程为：=，直线2l的极坐标方程为：3=+设()11,A，(),B22所以2cos==解得12cos=，32sin

=+=解得22sin3=+12113sin3cossin3cossincos23322AOBS==+=+313333sin2cos2sin22222232

=++=++因为：02，所以42333+当232+=即12=时，sin213+=，AOBS取得最大值为：+3324【点睛】本题考查轨迹方程的求解、三角形面积最值问题的求解，涉及到三角函数

的化简、求值问题.求解面积的关键是能够明确极坐标中的几何意义，从而将问题转化为三角函数最值的求解.23.已知函数()121fxaxx=++−（1）当1a=时，求不等式()3fx的解集；（2）若02a，且对任意xR，3()2fxa恒成立，求a的最小值．【答案】（1

）(,1)(1,)−−+；（2）1．【解析】【分析】(1)当1a=时，求出分段函数()3,112,1213,2xxfxxxxx−−=−+−，然后可以选择数形结合求解或选择解不等式组；(2)当02a时，化简分段函

数得()()()()12,,1112122,,212,2axxafxaxxaxxaaxx−+−=++−=−+−+可以得到函数()fx在1,a−−上单调递减，在11,2a−上单调递减，在1,2+上单调递增，然后利用最值分析法，即可求出

参数a的最小值.【详解】（1）当1a=时，()121fxxx=++−，即()3,112,1213,2xxfxxxxx−−=−+−，解法一：作函数()121fxxx=++−的图象，它与直线3y=的交点为()()1,3,1,3AB−，所以，()3fx的解集的解集为(

)(),11,−−+．解法2：原不等式()3fx等价于133xx−−或11223xx−−+或1233xx，解得：1x−或无解或1x，所以，()3fx的

解集为()(),11,−−+．（2）1102,,20,202aaaa−+−．则()()()()12,,1112122,,212,2axxafxaxxaxxaaxx−+−=++−=−+−+所以函数()fx在1,a

−−上单调递减，在11,2a−上单调递减，在1,2+上单调递增．所以当12x=时，()fx取得最小值，()min1122afxf==+．因为对xR，()32fxa恒成立，所以()min3122afxa

=+．又因为0a，所以2230aa+−，解得1a（3a−不合题意）．所以a的最小值为1．【点睛】本题第一问考查通过利用绝对值不等式的关系转化成分段函数进行求解的题目，求解的过程既可用数形结合，也可以用不等式组求解，属于简单题；第二问考查含参绝对值不等式求解参数的最值问题，因为本

题的参数不容易分离，所以，选择最值分析法进行讨论求解，难度属于中等.