【文档说明】北京第一七一中学2020-2021学年九年级上学期八月月考数学试题（解析版）【精准解析】.doc，共(23)页，866.812 KB，由管理员店铺上传

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2020-2021学年北京171中九年级（上）月考数学试卷（8月份）一、选择题1.一元二次方程2x2﹣x﹣3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A.2，1，3B.2，1，﹣3C.2，﹣1，3D.2，﹣1，﹣3【答案】D【解析】根据一元二次方程的一

般式：20axbxc++=，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.故选D.2.平行四边形所具有的性质是（）A.对角线相等B.邻边互相垂直C.每条对角线平分一组对角D.两组对边分别相等【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且

相等，继而即可得出答案．【详解】平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且相等.故选D.【点睛】此题考查平行四边形的性质，解题关键在于掌握其性质.3.下图中，不是函数图像的是（）A.B.2C.D.【答案】B【解析】【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有

唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．根据函数的定义和函数图象可以判断哪个选项中的图象不是函数图象．【详解】解：由函数的定义可知，对于每一个自变量的x的取值，都有唯一的y值与其对应，选项B中当x取一个正数时，有

两个y值与其对应，故选项B中的图象不是函数图象，而其它选项中，对于每一个自变量的x的取值，都有唯一的y值与其对应，故是函数图象，故选：B．【点睛】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确函数的定义，利用“一一对应”进行判断．4.下列函数中，y是x的正比例函数的是（）A.y＝6x﹣1B.1yx=C.y

＝x2D.12yx=【答案】D【解析】【分析】利用正比例函数的定义进行分析即可．【详解】解：A、y＝6x﹣1是一次函数，不是正比例函数，故此选项不合题意；B、y＝1x是反比例函数，不是正比例函数，故此

选项不合题意；C、y＝x2是二次函数，不是正比例函数，故此选项不合题意；D、y＝﹣12x是正比例函数，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了正比例函数定义，关键是掌握形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数

叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．35.用配方法解方程243xx+=，下列配方正确的是（）A.2(2)1x−=B.2(2)7x−=C.2(2)7x+=D.2(2)1x+=【答案】C【解析】【分析】把方程两边都加上4

，方程左边可写成完全平方式.【详解】2447xx++=，()227x+=.故选：C.【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成()2xmn+=的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.6.一次函数0ykxbkb=+，＜，且y随x的增大而增

大，则其图象可能是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先根据一次函数ykxb=+中，y随x的增大而增大，且0kb＜，判断出k与b的符号，再根据一次函数的图象与系数的关系进行解答．【详解】∵一次函数ykxb=+中，y随x的增大而增大，∴0k，∵0kb＜，∴0b＜，∴一次函数y

kxb=+的图象过一、三、四象限．故答案为：A．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与性质、一次函数的性质及不等式的基本性质，解决本题的关键是4熟练掌握一次函数图像和系数的关系．7.将抛物线2yx=沿y轴向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为

（）A.22yx=+B.22yx=−C.()22yx=+D.()22yx=−【答案】B【解析】根据二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”，抛物线y=x2沿y轴向下平移2个单位，得y=x2-2.故本题应选B.

点睛：本题考查了二次函数图象平移的相关知识.二次函数图象向上或向下平移时，应将平移量以“上加下减”的方式作为常数项添加到原解析式中；向左或向右平移时，应先以“左加右减”的方式将自变量x和平移量组成代数式，再用该代数式替换原解析式中的自

变量x.8.点(),Pxy在第一象限，且6xy+=，点A的坐标为()4,0，设OPA的面积为S，则下列图像中，能反映S与x之间的函数关系式的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先用x表示出y，再利用三角形的面积公式即可得出结论．【详解】解：∵点P(x，

y)在第一象限内，且x+y=6，∴y=6-x（0＜x＜6，0＜y＜6）．∵点A的坐标为(4，0)，∴S=12×4×(6-x)=-2x+12（0＜x＜6），∴B符合．故选：B．【点睛】本题考查的是一次函数的图象，在解答此题时要注意x，y的取

值范围．二、填空题59.方程x2﹣4＝0的解是_____．【答案】±2【解析】【分析】首先移项可得x2＝4，再两边直接开平方即可．【详解】解：x2﹣4＝0，移项得：x2＝4，两边直接开平方得：x＝±2，故答案为：±2．【点

睛】此题主要考查了解一元二次方程，掌握方法是解答此题的关键．10.写出一个图象开口向上，且经过点()01，的二次函数的解析式：_______．【答案】21yx=+等【解析】【分析】设二次函数的表达式为y=ax2

+bx+c(a≠0)，根据开口向上，a＞0，可取a=1，将(0，1)代入得出c=1，即可得出二次函数表达式．【详解】设二次函数的表达式为2yaxbxc=++(a≠0)，∵图象为开口向上，且经过(0，1)，∴a＞0，c=1，∴二次函数表达式可以为：21yx=+(答案不唯一)．故

答案为：21yx=+(答案不唯一)．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，得出a的符号和c=1是解题关键．11.若二次函数y＝2x2﹣5的图象上有两个点A（2，a）、B（3，b），则a_____b（填“＜

”或“＝”或“＞”）．【答案】＜．【解析】【分析】先根据已知条件求出二次函数的对称轴，再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出a与b的大小关系.【详解】225yx＝﹣的对称轴为0x=，开口方向向上，顶点坐标为（0，-5）．6∵对于开口向

上的函数，点距离对称轴越近，函数值越小，2比3距离对称轴更近，∴ab故填：<.【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数的图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键.12.二次函数y＝﹣（x+1）2﹣2的最大值是_____．【答案】-2【解析】【分析】根

据二次函数的性质和已知得出最大值即可．【详解】解：∵y＝﹣（x+1）2﹣2中﹣1＜0，∴函数的图象开口向下，函数有最大值，当x＝﹣1时，函数的最大值是﹣2，故答案为：﹣2．【点睛】本题考查了二次函数的基本性质—最值问题，题目给出的是顶点式，若是一般式则需进行配方化为顶点式或者直接运

用顶点公式．13.如图，直线y＝x＋b与直线y＝kx＋6交于点P（3，5），则关于x的不等式kx＋6＞x＋b的解集是_____．【答案】x＜3【解析】【分析】观察函数图象得到当x＜3时，函数y=kx+6的图象都在y=x+b的图象上方，所以关于

x的不等式kx+6＞x+b的解集为x＜3．【详解】由图象可知，当x＜3时，有kx＋6＞x＋b，当x＞3时，有kx＋6＜x＋b，所以，填x＜37【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（

或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．14.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为_

_________°．【答案】60°【解析】试题分析：根据正方形和等边三角形的性质可得：∠BAD=90°，∠DAE=60°，根据△BAE为等腰三角形可得：∠ABE=∠AEB=15°，根据正方形的性质可得：∠BCF=45°，∠CBF=90°-15°=75°，根据△BCF的内角和定理可得：∠

BFC=180°-45°-75°=60°.考点：（1）、等腰三角形的性质；（2）、三角形内角和定理；（3）、等边三角形的性质15.在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+4与x，y轴分别交于点A，B，若将该直线向右平移5单位，线段AB扫过区域的边界恰好为菱形，则k的值为___

__．【答案】±43【解析】【分析】根据菱形的性质知AB＝5，由一次函数图象的性质和两点间的距离公式解答．【详解】解：令y＝0，则x＝﹣4k，即A（﹣4k，0）．令x＝0，则y＝4，即B（0，4）．∵将该直线向右平移5单位，线段AB扫过区域的边

界恰好为菱形，∴AB＝5，则AB2＝25．∴（﹣4k）2+42＝25．解得k＝±43．8故答案是：±43．【点睛】考查了菱形的性质和一次函数图象与几何变换，解题的关键是根据菱形的性质得到AB=5．16.在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，1），B（1，0），C（3

，1），若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是_____________．【答案】（-2，0）或（4，0）或（2，2）【解析】【分析】分三种情况：①BC为对角线时，②AB为对角线时，③AC为对角线时；由平行四边形的性质容易得出点D的坐标．【详解】解：分三种情况：①AB

为对角线时，点D的坐标为（-2，0）；②BC为对角线时，点D的坐标为（4，0）；③AC为对角线时，点D的坐标为（2，2）.综上所述，点D的坐标可能是（-2，0）或（4，0）或（2，2）．故答案为（-2，0）或（4，0）或（2，2）．【点睛】本题考查平行四边形的性质、坐标与

图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．三、解答题17.解方程：（1）x2﹣2x﹣3＝0；（2）2x2+3x﹣1＝0．【答案】（1）x1＝3，x2＝﹣1；（2）x1＝3174−+，x2＝3174−−【解析】【分析】（1）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；

（2）求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【详解】解：（1）x2﹣2x﹣3＝0，（x﹣3）（x+1）＝0，∴x﹣3＝0或x+1＝0，∴x1＝3，x2＝﹣1；（2）2x2+3x﹣1＝0，9∵a＝2，b＝3，c＝﹣1，b2﹣4ac＝32﹣4×

2×（﹣1）＝17，∴x＝31722−，∴x1＝3+174−，x2＝3174−−．【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，难度适中．18.下面是小丁设计的“利用直角三角形和它的斜边中点作矩形”

的尺规作图过程.已知:如图，在RtΔABC中，∠ABC=90°，0为AC的中点.求作:四边形ABCD，使得四边形ABCD为矩形.作法:①作射线BO，在线段BO的延长线上取点D，使得DO=BO；②连接AD，CD，则四边形ABCD为矩

形.根据小丁设计的尺规作图过程.(1)使用直尺和圆规，在图中补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明.证明:∴点O为AC的中点，∴AO=CO.又∵DO=BO，∵四边形ABCD为平行四边形(__________)(填推理的依据).∵∠ABC=90°，∴YABCD为矩形(______

___)(填推理的依据).【答案】(1)作图如图所示，见解析(2)对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形.【解析】【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明．10【详解】（1）如图，矩形ABCD即为所求．

（2）理由：∵点O为AC的中点，∴AO=CO又∵DO=BO，∴四边形ABCD为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）∵∠ABC=90°，∴▱ABCD为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．故答案为对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形

.【点睛】本题考查作图-复杂作图，矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．19.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝3x平行，且经过点A(1，6)．（1）求一次函数y＝kx+b的解析式；（2）求一次函数y＝kx+

b的图象与坐标轴围成的三角形的面积．【答案】（1）y＝3x+3；（2）32【解析】【分析】（1）根据函数y＝kx+b的图象与直线y＝3x平行，且经过点A（1，6），即可得出k和b的值，即得出了函数解析式；（2）先求出与x轴及y轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式求解即可．【

详解】解：（1）∵函数y＝kx+b的图象与直线y＝3x平行，∴k＝3，又∵函数y＝3x+b的图象经过点A（1，6），∴6＝3+b，解得b＝3，∴一次函数的解析式为y＝3x+3；（2）在y＝3x+3中，令x＝0，则y＝3；

令y＝0，则x＝﹣1；∴一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴交于（0，3）和（﹣1，0），11∴一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴围成的三角形的面积为12×1×3＝32．【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式及三角形的面积的知识，关键是正确得出函数解析式及坐标与线段长度的转化．20.关

于x的一元二次方程x2+2x+k﹣3＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k是该方程的一个根，求2k2+6k﹣5的值．【答案】（1）k≤4；（2）1【解析】【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝22﹣4（k﹣3）≥0，然后解不等式即可；（2）利用方程

解的定义得到k2+3k＝3，再变形得到2k2+6k﹣5＝2（k2+3k）﹣5，然后利用整体代入的方法计算．【详解】（1）∵2230xxk++−=有实数根，∴Δ≥0即22﹣4（k﹣3）≥0.∴k≤4(2)∵k是方程2230xxk++−=的一个根，∴2230kkk++−

=∴233kk+=2265kk+−22(3)5kk=+−=1故答案为（1）k≤4；（2）1．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，

方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．21.若抛物线y＝x2+3x+2a与x轴只有一个交点，求实数a的值．【答案】9812【解析】【分析】由题意得240bac=−=，即可求解．【详解】解：根据抛物线与x轴只有一个交点，得到方

程2320xxa++=有两个相等的实数根，则2243420baca=−=−=，解得98a=．【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是理解求二次函数与x轴的交点就是求一元二次方程的解．22.已知点(2，0)在抛物线y＝﹣3x2+（k+3）x﹣k上

，求此抛物线的对称轴．【答案】x＝32【解析】【分析】根据点（2，0）在抛物线y＝﹣3x2+（k+3）x﹣k上，可以求得k的值，然后即可得到该抛物线的对称轴．【详解】解：∵点（2，0）在抛物线y＝﹣3x2+（k+3）x﹣k上，∴0＝﹣3×22+（k+3）×2﹣k，解

得，k＝6，∴抛物线y＝﹣3x2+（6+3）x﹣6＝﹣3x2+9x﹣6，∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣932(3)2=−，即此抛物线的对称轴是直线x＝32．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．23.如图，平行四边形ABC

D中，AB＝3cm，BC＝5cm，∠B＝60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）当AE＝cm时，四边形CEDF是矩形．（直接写出答案，不需要说明理

由）【答案】（1）见解析；（2）3.513【解析】【分析】（1）证△CFG≌△EDG，推出FG＝EG，根据平行四边形的判定推出即可；（2）求出△MBA≌△EDC，推出∠CED＝∠AMB＝90°，根据矩形的判定推出即可；【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CF∥ED，∴

∠FCG＝∠EDG，∵G是CD的中点，∴CG＝DG，在△FCG和△EDG中，FCGEDGCGDGCGFDGE===∴△FCG≌△EDG（ASA）∴FG＝EG，∵CG＝DG，∴四边形CEDF是平行四边形；（2）当AE＝3.5时，平行四边形CEDF是矩形，理由

是：过A作AM⊥BC于M，∵∠B＝60°，AB＝3，∴BM＝1.5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CDA＝∠B＝60°，DC＝AB＝3，BC＝AD＝5，∵AE＝3.5，∴DE＝1.5＝BM，在△MBA和△E

DC中，BMDEBCDAABCD===，∴△MBA≌△EDC（SAS），∴∠CED＝∠AMB＝90°，14∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是矩形，故答案为：3.5．【点睛】本题主要考查平行四边形、矩形的判定及性质、三角形的全等的判定和性质，其中利用三角形的全

等证明平行四边形及矩形是解题的关键．24.抛物线21yxbxc=++与直线y2＝﹣2x+m相交于A(﹣2，n)、B(2，﹣3)两点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若﹣4≤x≤1，则y2﹣y1的最小值为

．【答案】（1）y1＝x2﹣2x﹣3；（2）﹣12【解析】【分析】（1）把B的坐标代入直线y2＝﹣2x+m求得m的值，然后代入A（﹣2，n）求得n的值，最后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）求得y2﹣y1＝﹣x2+4，然后代入x＝﹣4和x＝1，

求得函数值，即可求得最小值．【详解】解：（1）∵直线y2＝﹣2x+m经过点B（2，﹣3），∴﹣3＝﹣2×2+m．∴m＝1．∵直线y2＝﹣2x+m经过点A（﹣2，n），∴n＝4+1＝5；∵抛物线y1＝x2+bx+c过点A和点B，则5=42342bcbc−+−=++，解得23bc=−=−

，∴y1＝x2﹣2x﹣3；（2）y2﹣y1＝﹣2x+1﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+4，∴y2﹣y1的最大值是4，代入x＝﹣4得y2﹣y1＝﹣12，代入x＝1得y2﹣y1＝3，∴若﹣4≤x≤1，y2﹣y1的最小值为﹣12．故答

案为﹣12．【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．25.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+8与直线y＝x﹣1交于点A(

3，m)．15（1）求k，m的值；（2）已知点P(n，n)，过点P作垂直于y轴的直线与直线y＝x﹣1交于点M，过点P作垂直于x轴的直线与直线y＝kx+8交于点N（P与N不重合）．若PN≤2PM，结合图象

，求n的取值范围．【答案】（1）k，m的值为﹣2、2；（2）2≤n≤103，且n≠83【解析】【分析】（1）把A点坐标代入y＝x﹣2中，求得m的值，再把求得的A点坐标代入y＝kx+7中，求得k的值；（2）根据题意，用n的代数式表示出M、N点的坐标，再求得PM、PN的值，

根据PN≤2PM，列出n的不等式，再求得结果．【详解】解：（1）把A（3，m）代入y＝x﹣1中，得m＝3﹣1＝2，∴A（3，2），把A（3，2）代入y＝kx+8中，得2＝3k+8，解得，k＝﹣2；答：k，m的值为﹣2、2；（2）

由（1）知，直线y＝kx+8为y＝﹣2x+8，根据题意，如图：16∵点P（n，n），∴M（n﹣1，n），N（n，﹣2n+8），∴PM＝1，PN＝|3n﹣8|，∵PN≤2PM，∴|3n﹣8|≤2×1，∴2≤n≤103∵P与N不重合，∴n

≠﹣2n+8，∴n≠83，综上，2≤n≤103，且n≠83；故答案为：2≤n≤103，且n≠83．【点睛】本题是一次函数图象的相交与平行的问题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，第（2）小题关键是用n的代数式表示P

M与PN的长度．26.有这样一个问题：探究函数y＝12x−+x的图象与性质．小亮根据学习函数的经验，对函数y＝12x−+x的图象与性质进行了探究．下面是小亮的探究过程，请补充完整：（1）函数y＝12x−+x中自变量x的取值范围是；（2）下表是y与x的几组对应值．x…﹣2﹣101327

494523456…17y…﹣94﹣43﹣120﹣12﹣9425492m92163254…则m的值是；（3）在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（4）根据画出的函数图象，发现下列特

征：该函数的图象与过点(2，0)且平行于的直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线越来越靠近而永不相交．【答案】（1）x≠2；（2）4；（3）见解析；（4）y轴，y＝x【解析】【分析】（1）根据分母不为0即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论；（2）将x＝3代入函数解析

式中求出m值即可；（3）连点成线即可画出函数图象；（4）观察函数图象即可求解．【详解】解：（1）由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2．故答案为：x≠2；（2）当x＝3时，m＝132−+3＝1+3＝4，即m的值

为4，故答案为4；（3）图象如图所示：18（4）观察函数图象发现：该函数的图象与过点（2，0）且平行于y轴的直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线y＝x越来越靠近而永不相交．故答案为：y轴，y＝x．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，函数自变量的取值范围以及函数

图象，连点成曲线画出函数图象是解题的关键．27.在VABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点，E为直线AC上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．（1）如图1，当点E是线段AC的中点时，AE

＝2，BF＝1，求EF的长；（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图形2，用等式表示AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．【答案】（1）5；（2）AE2+BF2＝EF2，证明见解析【解析】19【分析】（1）由三角形的中位线定理

得DE∥BC，DE＝12BC，进而证明四边形CEDF是矩形得DE＝CF，得出CF，再根据勾股定理得结果；（2）过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，证明△ADE≌△BDM得AE＝BM，DE＝DM，由垂直平分线的判定定理得EF＝MF，

进而根据勾股定理得结论．【详解】解：（1）∵D是AB的中点，E是线段AC的中点，∴DE∥BC，DE＝12BC，∵∠ACB＝90°，∴∠DEC＝90°，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，∴四边形CEDF是矩形，∴DE＝CF＝12BC，∴CF＝BF＝1，∵CE＝AE＝2，∴EF

＝2222125CFCE+=+=；（2）AE2+BF2＝EF2．证明：过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，则∠AED＝∠BMD，∠CBM＝∠ACB＝90°，∵D点是AB的中点，∴AD＝BD，在△ADE和△BDM中，

AEDBMDADEBDMADBD===，∴△ADE≌△BDM（AAS），∴AE＝BM，DE＝DM，∵DF⊥DE，∴EF＝MF，∵BM2+BF2＝MF2，∴AE2+BF2＝EF2．20【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直平分线的判定，关键

在于构造全等三角形．28.在平面直角坐标系xOy中，点A(t，0)，B(t+2，0)，C(n，1)，若射线OC上存在点P，使得VABP是以AB为腰的等腰三角形，就称点P为线段AB关于射线OC的等腰点．（1）如图，t＝0，①若n＝0，则线段AB关于射线O

C的等腰点的坐标是；②若n＜0，且线段AB关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1，求n的取值范围；（2）若n＝3，且射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点，则t的取值范围是．【答案】（1）①(0，2)；②n＜﹣3；（2）﹣4

＜t≤﹣2或t＝0或2＜t≤4【解析】【分析】（1）①根据线段AB关于射线OC的等腰点的定义可知OP＝AB＝2，由此即可解决问题．②如图2中，当OP＝AB时，作PH⊥x轴于H．求出点P的横坐标，利用图象法即可解决问题．（2）如图3﹣1中，作CH⊥y轴于H．分别以A，B为圆心，AB为半径作

⊙A，⊙B．首先证明∠COH＝30°，∵由射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点，推出射线OC与⊙A，⊙B只有一个交点，求出几种特殊位置t的值，利用数形结合的思想解决问题即可．【详解】解：（1）①如图1中，由题意A（0，0）

，B（2，0），C（0，1），21∵点P是线段AB关于射线OC的等腰点，∴OP＝AB＝2，∴P（0，2）．故答案为：（0，2）．②如图2中，当OP＝AB时，作PH⊥x轴于H．在Rt△POH中，∵PH＝OC＝1，OP＝AB＝2∴OH＝2222213

OPPH−=−=，观察图象可知：若n＜0，且线段AB关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1时，n＜﹣3．（2）如图3﹣1中，作CH⊥y轴于H．分别以A，B为圆心，AB为半径作⊙A，⊙B．由题意C（3，1），∴CH＝3，OH＝1，22∴tan∠COH＝3CHEH=，∴∠COH＝6

0°，当⊙B经过原点时，B（﹣2，0），此时t＝﹣4，∵射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点，∴射线OC与⊙A，⊙B只有一个交点，观察图象可知当﹣4＜t≤﹣2时，满足条件，如图3﹣2中，当点A在原点时，∵

∠POB＝30°，此时两圆的交点P在射线OC上，满足条件，此时t＝0，如图3﹣3中，当⊙B与OC相切于P时，连接BP．∴OC是⊙B的切线，∴OP⊥BP，∴∠OPB＝90°，∵BP＝2，∠POB＝30°，∴OB＝241cos602PB==，此时t＝4﹣2＝2，如图3﹣4中，当⊙A与OC相切时，同

法可得OA＝4，此时t＝4，此时符合题意．23如图3﹣5中，当⊙A经过原点时，A（2，0），此时t＝2，观察图形可知，满足条件的t的值为：2＜t≤4，综上所述，满足条件t的值为﹣4＜t≤﹣2或t＝0或2＜t≤4．故答案为：﹣4＜t≤﹣2或t＝0或2＜

t≤4．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，线段AB关于射线OC的等腰点的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．