【文档说明】福建省泉州市2023届高三适应性练习数学试题 含解析.docx，共(25)页，2.462 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-f2072f5b751426a2ca311a8041bc6a3b.html

以下为本文档部分文字说明：

泉州市2023届高三适应性练习卷数学本试卷共22题，满分150分，共8页.考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合21xAx=，则A=Rð（）A.(),0−B.(,0−C.()0,+D.

)0,+【答案】D【解析】【分析】根据补集的定义结合指数函数分析运算.【详解】由题意可得：210xAxxx==Rð.故选：D.2.已知复数i1ia++为纯虚数，则实数a等于（）A.－1B.0C.1D.2【答案】A

【解析】【分析】根据复数的运算，结合纯虚数的定义即可得到结果.【详解】因为()()()()()()i1i11ii1i1i1i2aaaa+−++−+==++−为纯虚数，所以1010aa+=−，解得1a

=−.故选：A.3.等差数列na中，53710aaa−=−，则na的前9项和为（）A.180−B.90−C.90D.180【答案】C【解析】【分析】根据下标和性质求出5a，再根据等差数列前n项和公式及下标和性质计算即可.【详解】因为5

3710aaa−=−，所以57310aaa+=+，又7352aaa+=，所以510a=，所以()1959599299022aaaSa+====故选：C.4.已知，π0,2，且满足πtantan14+=，则（）A

.4−=B.π4+=C.π2+=D.π22+=【答案】B【解析】【分析】根据题意结合诱导公式分析判断.【详解】因为π1tan2tan−=，可得πtantan12−=，结合πtantan14+=

，可得ππtantan42+=−，又因为，π0,2，则ππππ3π0,,,22444−+，所以ππ24−=+，整理得π4+=.故选：B.5.已知双曲线C的焦点分别为12FF，

虚轴为12BB．若四边形1122FBFB的一个内角为120°，则C的离心率等于（）A.62B.32C.3D.3【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的性质分析可得3=cb，结合,,abc之间的关系分析运算即可去.【详解】因为12122,2,FFcbbB

Bc==，由对称性可得：四边形1122FBFB为菱形，且112120FBF=，所以113FOOB=，即3=cb，.可得()222233cbca==−，整理得2232ca=，即C离心率62cea==.故选：A.6.已知圆锥SO

的母线长为2，AB是圆O的直径，点M是SA的中点．若侧面展开图中，ABM为直角三角形，则该圆锥的侧面积为（）A.π3B.2π3C.4π3D.8π3【答案】C【解析】【分析】根据题意分析可得π3ASB=，进而可求侧面积.【详解】因为SBSA=，且A

BM为直角三角形，则SABM⊥，又因为M为SA的中点，则SBAB=，可得SAB△为等边三角形，即π3ASB=，则侧面展开图的圆心角为2π3所以该圆锥的侧面积212π4π2233S==侧.故选：C.7.已知圆

:C2220xymxy++−=关于直线:l()()1101axaya+−−=−对称，l与C交于A，B两点，设坐标原点为O，则OAOB+的最大值等于（）A.2B.4C.8D.16【答案】B【解析】【分析】首先将圆的方程化为标准

式，得到圆心坐标，在求出直线过定点()1,1D，又根据对称性，可知()1,1D恰好为圆心坐标，即可求出圆的方程，在由圆过原点()0,0O，则222OAOBAB+=，利用基本不等式计的算可得.【详解】圆:C2220xymxy++−=，即()2221124mmxy++−=+，圆

心为,12mC−，直线:l()110axay+−−=，因为1a−，所以直线的斜率不为0，又()()10axyx−+−=，令010xyx−=−=，解得11xy==，即直线l恒过定点()1,1D，

又圆C关于直线l对称，所以圆心C在直线l上，所以12m−=，解得2m=−，所以圆:C()()22112xy−+−=，半径2r=，显然()()2201012−+−=，即圆C过坐标原点()0,0O，因为l与C交于A，B两点，即A

B为直径的两个端点，所以90AOB=，所以()22222282OAOBABOAOB+===，即4OAOB，当且仅当2OAOB==时取等号，所以()22228216OAOBOAOBOAOBOAOB+=++=+，即4OAOB+，当且仅当

2OAOB==时取等号，即OAOB+的最大值等于4.故选：B8.人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设()11,Axy，()22,Bxy，则曼哈顿

距离()1211,dABxxyy=−+−，余弦距离()(),1cos,eABAB=−，其中()cos,cos,ABOAOB=（O为坐标原点）．已知()2,1M，(),1dMN=，则(),eMN的最大值近似等于（）（参考数据：21.41，52.2

4．）A.0.052B.0.104C.0.896D.0.948【答案】B【解析】【分析】根据题意分析可得N在正方形ABCD的边上运动，结合图象分析,OMON的最大值，即可得结果.【详解】设(),Nx

y，由题意可得：(),211dMNxy=−+−=，即211xy−+−=，可知211xy−+−=表示正方形ABCD，其中()()()()2,0,3,1,2,2,1,1ABCD，即点N在正方形ABCD的边上运动，因为(

)()2,1,,OMONxy==uuuruuur，由图可知：当()coscosMNOMON=，，取到最小值，即OMON，最大，点N有如下两种可能：①点N为点A，则()2,0ON=uuur，可得()425

cos,cos,552MNOMON===uuuruuur；②点N在线段CD上运动时，此时ON与DC同向，不妨取()1,1ON=uuur，则()3310cos,cos,1052MNOMON===uuuruuur；因为31025105，所以

(),eMN的最大值为2510.1045−.故选：B.【点睛】方法定睛：在处理代数问题时，常把代数转化为几何图形，数形结合处理问题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知向量()3,1a=，()cos,sinb=，则下列说法正确的是（）A.若2π3=，则ab⊥B.若//abrr，则π6=C.ab的最大

值为2D.ab−的取值范围是1,3【答案】ACD【解析】【分析】根据数量积的坐标表示判断A，根据向量平行的坐标表示得到3tan3=，求出，即可判断B，根据数量积的坐标表示及三角函数的性质判断C、D.【详解】对于A：当2π3=时，22π2π13cos,sin33,2b==−

，此时1013223ab−+==，故ab⊥，即A正确；对于B：若//abrr，则cos3sinqq=，所以3tan3=，所以ππ6k=+，Zk，故B错误；对于C：31π3

cossin2cossin2sin2,2223ab=+=+=+−，故C正确；对于D：因为()3,1a=，()cos,sinb=，所以()22312a=+=，22cossin1b=+=，所以()2222ababaabb−=−=−+222

aabb=−+π4sin53+−=，因为πsin1,13+−，所以π54sin1,93−+，所以1,3ab−，故D正确；故选：ACD10.在党中央、国务院决策部署下，近一年来我

国经济运行呈现企稳回升态势．如图为2022年2月至2023年1月社会消费品零售总额增速月度同比折线图，月度同比指的是与去年同期相比，图中纵坐标为增速百分比．就图中12个月的社会消费品零售总额增速而言，以下说法正

确的是（）A.12个月的月度同比增速百分比的中位数为1%B.12个月的月度同比增速百分比的平均值大于0C.图中前6个月的月度同比增速百分比波动比后6个月的大D.共有8个月的月度同比增速百分比大于12个月的月度同比

增速百分比的平均值【答案】AC【解析】【分析】根据题意结合相关概念逐项分析判断.【详解】由折线图可得增速百分比（%）由小到大依次为：11.1,6.7,5.9,3.5,1.8,0.5,2.5,2.7,3.1,3.5,5.4,6.7−−−−−−，对于A：12个月的月度同比增速百分比的中位数为(

)0.52.51%2−+=，故A正确；对于B：因为()()()()()()1711.16.75.93.51.80.52.52.73.13.55.46.701215−+−+−+−+−+−++++++=−，所以1

2个月的月度同比增速百分比的平均值小于0，故B错误；对于C：由折线图可得前6个月的月度同比增速百分比先大幅度波动后渐渐趋于稳定，后6个月的大波动整体较小，所以前6个月的月度同比增速百分比波动比后6个月的大，故C正确；对于D：因为70.4715−−，可

知大于0.47−的有2.5,2.7,3.1,3.5,5.4,6.7，共有6个，所以共有6个月的月度同比增速百分比大于12个月的月度同比增速百分比的平均值，故D错误；故选：AC.11.函数()2exfxxa=+的图象可以是（

）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，再分a<0、0a=、0a三种情况讨论，利用导数说明函数的单调性，即可判断.【详解】因为exy=与2yxa=+均为偶函数，所以()2exfxxa=+为偶函数，函数图象关于y轴对称，故排除B；当a<

0时()2exfxxa=+的定义域为|xxa−，且当−−−axa时20xa+，此时()0fx，当xa−或−−xa时()0fx，由于()fx为定义域上的偶函数，只需考虑()()0,,x

aa−−+的情况即可，当()()0,,xaa−−+时()()()222e2xxxafxxa−+=+，方程220xxa−+=的两根为111xa=−−，211xa=+−，所以当0xa−或11axa−+−时()0fx，当11xa+−时()0fx¢>，所

以()fx在()0,a−，(),11aa−+−上单调递减，在()11,a+−+单调递增，故A正确；当0a=时()fx的定义域为|0xx，由于()fx为定义域上的偶函数，只需考虑()0,x+的情况即可，即()2exfxx=，()0,x+，所以()()

()243e2e2xxxxxfxxx−−==，则02x时()0fx，2x时()0fx¢>，则()fx在()0,2上单调递减，在()2,+上单调递增，故D正确；当0a时()fx的定义域为R，由于()fx为定义域上的偶函数，只需考虑()0,x+

的情况即可，此时()()()222e2xxxafxxa−+=+，对于函数22yxxa=−+，与y轴交于正半轴()0,a，对称轴为1x=，开口向上，无论是否与x轴有交点，函数在靠近0处函数值均大于0，

即()0fx¢>，此时函数()fx单调递增，故C错误；故选：AD12.直四棱柱1111ABCDABCD−中，底面ABCD是菱形，60DAB=，且12AAAB==，M为AD的中点，动点P满足1BPxBByBD=+，且x，0,1y，则下列说法正确的是（）A.

当1xy+=时，1APBD⊥B.若1APBD⊥，则P的轨迹长度为2C.若//MP平面11ABBA，则12y=D.当()20yxx=时，若点O满足OPOMOBOD===，则OP的取值范围是)1,5【答案】BCD【解析】【分析】对于A，当P与D重合时，假设1APBD⊥成立，结合线

面垂直关系推出矛盾，进而判断；对于B，分别取BD，1BB的中点2O，N，结合线面垂直关系推出P的轨迹是线段2NO，进而求解判断；对于C，取11DB的中点1O，连接12OO，2OM，结合线面平行关系推出P的轨迹是线段12OO，进而求解判断；对于D，取1DD的中点Q，连接BQ交12OO

于点S，过B作BEBQ⊥交21OO于点E，结合()20yxx=，可知P的轨迹是线段BQ，结合垂直关系得到点O为直线21OO与线段BP的垂直平分线的交点，进而求解判断.【详解】对于A，由题意1xy+=，x，0,1y，当P与D重合时，假设1APBD⊥，则1ADB

D⊥，又1ADDD⊥，111BDDDD=，11,BDDD平面1BDD，则AD⊥平面1BDD，又BD平面1BDD，则ADBD⊥，因为底面ABCD是菱形，60DAB=，所以ABD△为等边三角形，与ADBD⊥矛盾，则假设不成立，故A错误；对于

B，分别取BD，1BB的中点2O，N，因为底面ABCD是菱形，所以2AOBD⊥，又1DD⊥平面ABCD，且2AO平面ABCD，所以21AODD⊥，又1BDDDD=，1,BDDD平面1BDD，则2AO⊥平面1BDD，又1BD平面

1BDD，则21AOBD⊥，因为四边形11BDDB为正方形，则21NOBD⊥，又222AONOO=，22,AONO平面2AON，所以1BD⊥平面2AON，所以P的轨迹是线段2NO，而21122NOBD==，故B正确；对于C，

取11DB的中点1O，连接12OO，2OM，因为M为AD的中点，所以2//OMAB，又AB平面11BBAA，2OM平面11BBAA，所以2//OM平面11BBAA，同理121//OOBB，1BB平面11BBAA，12OO平面11BBAA，所以12//OO平面11BBA

A，又1222OOOMO=，212,OMOO平面21OOM，所以平面21//OOM平面11BBAA，若//MP平面11ABBA，则P的轨迹是线段12OO，因为1BPxBByBD=+，所以12y=，故

C正确；对于D，取1DD的中点Q，连接BQ交12OO于点S，过B作BEBQ⊥交21OO于点E，当()20yxx=时，P的轨迹是线段BQ，因为ABD△为等边三角形，M为AD的中点，所以BMAD⊥，又OMOBOD==，所以点O在直线21OO上，在PBD△

中，OPOB=，则点O在线段BP的垂直平分线上，所以点O为直线21OO与线段BP的垂直平分线的交点，当P与Q重合时，点O为S；当P与B重合时，点O为E；当P在线段BQ上时，点O在线段SE上.因为OPOB=，所以min21OBOB==，max5OBEB==，

因为x，0,1y，且0x，所以OP的取值范围是)1,5，故D正确.故选：BCD【点睛】关键点睛：本题关键在于根据线面垂直关系、平行关系，结合空间向量推导出P的轨迹，进而求解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线y=sin2x在点（0，0）处

的切线方程为______．【答案】20xy−=【解析】【分析】欲求曲线y=sin2x在点（0，0）处的切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切

线的斜率．从而解决问题．【详解】解：∵y=sin2x，∴f'（x）=2cos2x，当x=0时，f'（0）=2，得切线的斜率为2，所以k=2；所以曲线在点（0，0）处的切线方程为：y-0=2×（x-0），即y=2x．故答案为

20xy−=．【点睛】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．14.已知定义在R上的函数()fx满足：()2fx+为偶函数；当(,2x−时，

()2fxx=．写出()fx的一个单调递增区间为______．【答案】0,2（答案不唯一，符合题意即可）【解析】.【分析】根据题意可得函数()fx关于直线2x=对称，结合图象分析判断.【详解】因为()2fx+为偶函数，则()()22fxfx+=−+，所以函数()f

x关于直线2x=对称，结合题意可得函数()fx的图象，如图所示：可得函数()fx的单调递增区间为：)0,2,4,+.故答案为：0,2.15.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：26yx=的焦点为F，过3,02D−

的直线l与C交于A，B两点．若ABF△的面积等于OAD△的面积的2倍，则AFBF=______．【答案】12##0.5【解析】【分析】根据题意，过A做1AA垂直准线于点1A，过B做1BB垂直准线于点1B，由

面积关系可得A为BD中点，从而得到结果.【详解】由题意可得如图所示图形，过A做1AA垂直准线于点1A，过B做1BB垂直准线于点1B，由抛物线的定义可知，1AFAA=，1BFBB=，因为抛物线C：26yx=，则302F，，设OAD△的面积为S，则AO

F的面积也为S，ABF△的面积为2S，所以ADFABFSS=，即ADAB=，即A为BD中点，所以1112AFAAADBFBBBD===.故答案为：12.16.将0，1，2，3，10任意排成一行，可以组成_

_____个不同的6位数．（用数字作答）【答案】84【解析】【分析】首先求出数字0不在首位，再求出数字1和0相邻且1在0之前的排法，即可得解.【详解】将0，1，2，3，10任意排成一行，且数字0不在首位，则有444A96=种

，数字1和0相邻且1在0之前的排法有44A24=种，故所求满足题意的6位数有2496842−=个.故答案为：84四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.数列n

a中，11a=，且121nnaan+=+−．（1）证明：数列nan+为等比数列，并求出na；（2）记数列nb的前n项和为nS．若2nnnabS+=，求11S．【答案】（1）证明见详解，2nnan=−（2）1360【解析】【分析】（1）根据题意结合等比数列的定义与通项公式分

析运算；（2）由（1）可得22nnnSbn=+−，根据前n项和与通项之间的关系结合并项求和分析运算.【小问1详解】因为121nnaan+=+−，则()()()()1212211nnnnnnaannanaannnna++++++==−

+++=+，且112a+=，所以数列nan+是以首项为2，公比为2的等比数列，故1222nnnan−+==，可得2nnan=−.【小问2详解】因为22nnnnnSabbn=+=+−，即22nnnSbn=+−，当1n=时

，则1121bb=+，解得11b=；当2n时，则111221nnnSbn−−−=+−+，两式相减得：11221nnnnbbb−−=−+−，整理得1121nnnbb−−+=−；所以()()()111234511123451011Sbbbbbbbb

bbbbb=++++++=+++++++()()()()241024681012121212222241360=+−+−++−=++++−=，即111360S=.18.在平面四边形ABCD中，60ABC=，120ADC=，点B，D

在直线AC的两侧，1AB=，2BC=．（1）求∠BAC；（2）求ABD△与ACD的面积之和的最大值．【答案】（1）90（2）1【解析】【分析】（1）在ABC中，利用余弦定理求AC，结合勾股定理分析运算；（2）设CAD=，利用正弦定理和面积公式用表示

面积，结合三角恒等变换分析运算.【小问1详解】ABC中，由余弦定理22212cos1421232ACABBCABBCABC=+−=+−=，即3AC=，因为222ABACBC+=，所以90BAC=.【小问2详解】在设π0,3CAD=

，则π3ADC=−，在ACD中，由正弦定理sinsinADACACDADC=，可得π3sinsinπ32sinsin332ACACDADADC−===−，因为ACD的面积11ππsin2si

n3sin3sinsin2233ACDSADACCAD△qqqq骣骣琪琪=仔=?创=-?琪琪桫桫，ABD△的面积11πππsin2sin1sinsincos22323ABDSADABBAD△qqqq骣骣骣琪琪琪=仔=?创+=-?琪琪琪桫桫桫

，可得ABD△与ACD的面积之和ππ3sinsinsincos33ACDABDSSS△△qqqq骣骣琪琪=+=-?-?琪琪桫桫()πππsin3sincos2sincos333qqqqq骣骣骣琪琪琪=-+=--琪琪琪桫桫桫π2πsin2sin233qq骣骣琪琪=-=-琪琪桫桫，因

为π0,3，则2π2π20,33−，可知当2ππ232−=，即π12=时，S取到最大值1，即ABD△与ACD的面积之和的最大值为1.19.在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为矩形，点P在平面ABCD内的投影落在棱AD上，3AD

=．（1）求证：平面PDA⊥平面PDC；（2）若3PB=，6PC=，当四棱锥PABCD−的体积最大时，求平面PDC与平面PBC的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）105【解析】【分析】（1）作POAD⊥于点O，即可得到PO⊥平面ABCD

，从而得到POCD⊥，再由ADCD⊥，得到CD⊥平面PDA，即可得证；（2）过点O作OEBC⊥于E，连接PE，即可得到BC⊥平面POE，则BCPE⊥，即可求出PE、BE、CE，根据锥体体积公式及基本不等式求出体积最大值时1PO=，建立空间直角坐标系，

利用空间向量法计算可得.【小问1详解】作POAD⊥于点O，因为点P在平面ABCD内的投影落在棱AD上，所以PO⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以POCD⊥，又ABCD为矩形，所以ADCD⊥，POADO=，,POAD平面PDA，所以CD⊥平面PDA，因

为CD平面PDC，所以平面PDA⊥平面PDC.【小问2详解】过点O作OEBC⊥于E，连接PE，因为3BCAD==，3PB=，6PC=，所以222BCPBPC=+，所以PBPC⊥，又因为PO⊥平面ABCD

，BC平面ABCD，所以POBC⊥，且OEBC⊥，POOEO=，,POOE平面POE，所以BC⊥平面POE，PE平面POE，所以BCPE⊥，所以2PBPCPEBC==，且1BE=，2CE=，所以PABCD−的体积1133ABCPCDDA

BVSPOADABPOOEPO−===，在RtPOE中，2222PEPOOEPOOE=+，所以1POOE，当且仅当1POOE==时1POOE=，此时四棱锥PABCD−的体积最大，如图建立空间直角坐标系，则(

)0,0,1P，()2,0,0D−，()2,1,0C−，()1,1,0B，所以()2,1,1CP=−，()0,1,0DC=，()3,0,0CB=，设平面PDC的法向量为(),,nxyz=，则200nCPxyznDCy=−+=

==，所以()1,0,2n=−，设平面PBC的法向量为(),,mabc=，则2030mCPabcmCBa=−+===，所以()0,1,1m=，设平面PDC与平面PBC的夹角为，则10cos5nmnm==，故平面PD

C与平面PBC的夹角的余弦值为105.20.某同学尝试运用所学的概率知识研究如下游戏规则设置：游戏在两人中进行，参与者每次从装有3张空白券和2张奖券的盒子中轮流不放回地摸出一张，规定摸到最后一张奖券或能判断出哪一方获得最后一张奖券时游戏结束，能

够获得最后一张奖券的参与者获胜．（1）从胜负概率的角度，判断游戏规则设置是否公平；（2）设游戏结束时参与双方摸券的次数为X，求随机变量X的分布列．【答案】（1）游戏不公平（2）分布列见解析【解析】【分析】（1）求出先摸券的一方获胜的概率，即

可判断；（2）依题意可知X的可能取值为2、3、4，求出所对应的概率，即可得到分布列.【小问1详解】将3张空白券简记为“白”，将2张奖券简记为“奖”，率先摸券的一方获胜，包括以下几种情况：①双方共摸券3次，出现“奖白奖”，“白奖奖”，“白白白”这三种情形，对应的概率为123

1321321354354354310P=++=；②双方共摸券4次，出现的恰好是“三白一奖且前三次必定出现一次奖券”，对应的概率为2232132213221354325432543210P=++=；故

先摸券的一方获胜的概率1235PPP=+=，又3152，故这场游戏不公平.【小问2详解】由题意可知X的可能取值为2、3、4，所以()21125410PX===，()231321321335435435

4310PX==++=，()()()341235PXPXPX==−=−==，所以X的分布列为X234P1103103521.已知函数()()eln1xfxaxx=−+．（1）判断()fx的导函数()fx的零点个数；（2）若()2ln3ln23fxa−

−，求a的取值范围．【答案】（1）答案见详解（2）(0,4e【解析】【分析】（1）求导，分类讨论，利用单调性结合零点存在性定理分析判断；（2）根据（1）可得()fx的最小值，利用零点代换可得()()000

203ln123ln2301xxxx++++++，构建函数，利用单调性解不等式即可.【小问1详解】由题意可得：()fx的定义域为()1,−+，且()()11e1xfxaxx=+−+，因为()1,x−+，则有：当0a时，()()1

1e01xfxaxx=+−+恒成立，()fx在()1,−+内无零点；当0a时，构建()()xfx=，则()()()212e01xxaxx=+++恒成立，则()x在()1,−+上

单调递增，由于111a−−，取11min0,1,max1,1mnaa=−=−，则()()01101e01111maama+−−=+−+，()()()1111e2e2e101111naaana+−−=−

+−+，故()x在()1,−+内有且仅有一个零点，即()fx在()1,−+内有且仅有一个零点；综上所述：当0a时，()fx在()1,−+内无零点；当0a时，()fx在()1,−+内有且仅有一个零点.【小问2详解】由题意可知

：0a，由（1）可知：()fx在()1,−+内有且仅有一个零点，设为01x−，可得：当()01,xx−时，()0fx；当()0,xx+时，()0fx¢>；则()fx在()01,x−上单调递减，在()0,x+上单

调递增，则()()()00002ln3le1n23lnxfxfxaxxa−=−+−，因为()()000011e01xfxaxx=+−=+，则()02011exax=+，且()()000201lnln2ln11exaxxx==−+−+可得()()()000

000201eln122ln13ln231exxxxxxx−+−+−−−+，整理得()()000203ln123ln2301xxxx++++++，构建()()()()23ln123ln2311xgxxxxx=+++++−+，则()()

()2331335422111xxxgxxxx−++=++=++++，对于2354xx++，由25434230=−=−，可得23540xx++，所以()()23354201xxgxx++=++，则()gx在()1,−+上单调递增，且102g−=

，所以()00gx的解集为1,2−+，又因为()00ln2ln1axx=−+−在定义域内单调递减，可得111ln2ln1ln4222a−−++=+，所以1ln42e4ea+=，故a的取值范围(0,4e.【点睛】方法点睛：两招破解不等式

的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．22.在锐角M

AB△中，2AB=，MDAB⊥于点D，22DMDADB=．（1）建立适当的坐标系，求动点M的轨迹C的方程；（2）点F是以AB为直径的圆上AB的中点，过点F的直线与C交于P，Q两点，判断是否存在定点R，使得222PRQRPQ+−为定值．【答案】（1）2212yx+=()0y（2）50,4R

【解析】【分析】（1）以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，则()1,0A−，()10B,，设(),Mxy，()1,1x−，表示出DA，DB，MD，根据22DMDADB=得到方程整理即可得解；（2）依题意可得点F在y

轴上，不妨设点()0,1F，假设存在满足条件的点()00,Rxy，分PQ的斜率存在与不存在两种情况讨论，当PQ的斜率存在时，设PQ的方程为1ykx=+，()11,Pxy，()22,Qxy，联立直线与椭圆方程，表示出RP，RQ，利用余弦定理得到2222PRQRPQRPR

Q+−=，根据数量积的坐标表示，化简计算可得0x、0y，求出R点坐标，即可得解.【小问1详解】如图，以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，则()1,0A−，()10B,，设(),Mxy，因为MAB△是锐角三角形，所以()1,1x−，则1DAx=+，1DBx=

−，MDy=，因为22DMDADB=，所以()()2211yxx=−+，整理得2212yx+=，所以动点M的轨迹C的方程为2212yx+=()0y.【小问2详解】因为点F是以AB为直径的圆上AB的中点，所以点F在y轴上，不妨设点()

0,1F，假设存在满足条件点()00,Rxy，①当PQ的斜率存在时，设PQ的方程为1ykx=+，()11,Pxy，()22,Qxy，的由22112ykxyx=++=，消去y得()222210kxkx++−

=，所以12222kxxk−+=+，12212−=+xxk，又()1010,RPxxyy=−−，()2020,RQxxyy=−−，在PRQ△中由余弦定理,得2222cos2PRQRPQPRQRPRQRPRQ+−==()()()()1020102022xxxxy

yyy=−−+−−()()()()102010202211xxxxkxykxy=−−++−+−()()()()22212001200211kxxxkykxxxy=+−+−+++−()()()2

220000221221122kkxkykxykk−=+++−++−++()()220020022212121122kyxkxykk−+=−++++−++2200002245222xkyxyk−+=++−+，所以

0020450xy=−+=，解得00054xy==，即50,4R，此时222728PRQRPQRPRQ+−==−.②当PQ的斜率不存在时，PQ的方程为0x=，此时()0,2P，()0,2Q−，50,4R，所以50,

24RP=−，50,24RQ=−−，所以716RPRQ=−，所以222728PRQRPQRPRQ+−==−，综上，可知存在定点50,4R，即54OROF=使得222PRQRP

Q+−为定值.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,xy、()22,xy；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必

要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx+、12xx的形式；获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com