【文档说明】2023年新高一数学暑假精品课程（人教A版2019） 第十二讲 容斥定理 Word版含解析.docx，共(15)页，1.545 MB，由小赞的店铺上传

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第十二讲：容斥定理【教学目标】1．掌握Venn图，表示相关的集合；2．通过集合容斥定理公式，解决实际生活中的问题.【基础知识】容斥定理公式：（1）()()()()CradACradBCradABCradAB+−=（2）()()()()()()()()CradACradBCradCCradABCra

dACCradBCCradABCCradABC++−−−+=【题型目录】考点一：容斥定理的应用（一）考点二：容斥定理的应用（二）考点三：容斥定理的应用（三）【考点剖析】考点一：容斥定理的应用（一）两个集合，利用V

enn图，表示出两个集合公共部分和非公共部分，从而解答出来.例1．某高中学生运动会，某班60名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的同学中，参加田赛的有17人，参加径赛的有23人，则田赛和径赛都参加的学生人数为（）A．7B．8C．10D．12【答案】C【分析】结合Venn图即可求解.【详解】由

题可得参加比赛的学生共有30人，设参加田赛的学生为集合A，参加径赛的学生为集合B，则card()17A=，card()23B=，card()30AB=，如图，因为card()card()card()card()ABABA

B=+−，所以田赛和径赛都参加的学生人数为17233010+−=.故选：C.变式训练1．移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”.某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，其中使用

过移动支付或共享单车的学生共90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用共享单车的学生人数为（）A．50B．60C．70D．80【答案】C【分析】由题意可知：只

使用过共享单车但没使用过移动支付的学生有10人，使用过共享单车且使用过移动支付的学生共有60位，再计算即可得解.【详解】根据题意使用过移动支付、共享单车的人数用韦恩图表示如下图，使用过共享单车或移动支付的学生共有90位

，使用过移动支付的学生共有80位，则可得：只使用过共享单车但没使用过移动支付的学生有90-80=10人，又使用过共享单车且使用过移动支付的学生共有60位，即使用过共享单车的学生人数为10+60=70，故选:C.变式训练2．2023年春节影市火爆

依旧，《无名》《满江红》《交换人生》票房不断刷新，为了解我校高三2300名学生的观影情况，随机调查了100名在校学生，其中看过《无名》或《满江红》的学生共有80位，看过《满江红》的学生共有60位，看过《满江红》且看过《无名》的学生共有50位，则该校高三年级看过《无名》的学生人数的估计值为

（）A．1150B．1380C．1610D．1860【答案】C【分析】以集合A表示调查的100名在校学生看过《无名》的学生构成的集合，集合B表示调查的100名在校学生看过《满江红》的学生构成的集合，利用韦恩图计算出调查的100名在校学生看过《无名》的学生人数，再利用分层抽样可求得结

果.【详解】以集合A表示调查的100名在校学生看过《无名》的学生构成的集合，集合B表示调查的100名在校学生看过《满江红》的学生构成的集合，如下图所示：所以，调查的100名在校学生看过《无名》的学生人数为205

070+=，所以，该校高三年级看过《无名》的学生人数的估计值为7023001610100=，故选：C.变式训练3．集合论是德国数学家康托尔（G．Cantor）于l9世纪末创立的．在他的集合理论中，用card()A表示有限

集合A中元素的个数，例如：{,,}Aabc=，则card()3A=．对于任意两个有限集合A，B，有card()card()card()card()ABABAB=+−．某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有15人，参加

径赛的学生有13人，两项都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（）A．28B．23C．18D．16【答案】B【分析】根据所给公式card()card()card()card()ABABAB=+−即可代入求解.【详解】设参加田赛

的学生组成集合A，则card()15A=，参加径赛的学生组成集合B，则card()13B=，由题意得card()5AB=，所以，card()card()card()card()1513523ABABAB=+−=+−=，所以高

一（1）班参加本次运动会的人数共有23．故选：B考点二：容斥定理应用（二）三个集合，利用Venn图，表示出其中两个集合公共部分三个集合的公共部分，和非公共部分，从而解答出来.例2．某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学

生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（）名A

．7B．8C．9D．10【答案】D【详解】画三个圆分别代表数学、物理、化学的人，因为有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、化两科的有5名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，所以单独参加数学

的有()266758−++=人，单独参加物理的有()256784−++=人，单独参加化学的有()235783−++=，故参赛人数共有843678541++++++=人，没有参加任何竞赛的学生共有514110−=人.故选：D.变式训练1．我们

把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用()cardA表示有限集合A中元素的个数.例如，,,Aabc=，则()card3A=.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有,,ABC三类，那么，()cardABC=()()()()cardcardcardcardcardcardcardABCABBCAC

ABC++−−−+.某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？（教材阅读与思考改编）（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【分析

】根据题意设参加各类活动的学生的集合，找出各类运动的人数，然后代入定义中解出即可.【详解】设集合A={参加足球队的学生}，集合B={参加排球队的学生}，集合C={参加游泳队的学生}，则()()()card25,card22,card24ABC===，

()()()card12,card8,card9ABBCAC===设三项都参加的有x人，即()cardABCx=，()card46ABC=，所以由()cardABC=()()()()cardcardcardcardcardcardc

ardABCABBCACABC++−−−+即462522241289x=++−−−+，解得4x=，三项都参加的有4人，故选：C.变式训练2．某学校举办运动会，比赛项目包括田径､游泳､球类，经统计高一年级有57人参加田径比赛，有11人参加游泳比赛，有62人参加球类比赛.参加球类比

赛的同学中有14人参加田径比赛，有4人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有8人；同时参加三项比赛的有2人.则高一年级参加比赛的同学有（）A．98人B．106人C．104人D．110【答案】B【分析】根据韦恩图可求高一年级参加比赛的同学的人数.【详解】由上述韦

恩图可得高一年级参加比赛的同学的人数为：11625748142106++−−−+=，故选：B.变式训练3．在一次竞赛中有A，B，C三道题．①在所有参赛学生中共有30人至少解出一道题；②仅解出一题的学生中，解出C题的人数占一半；

③解出A题的学生人数等于仅解出B题的学生人数；④仅解出A，B题的人数等于仅解出B，C题的人数；⑤仅解出A题的人数等于4；⑥仅解出A，C题的人数是仅解出A，B题的人数的一半．则同时解出A，B，C三题的学生人数为（）

A．0B．1C．2D．3【答案】B【详解】设只解出A，B，C的人数分别为a，b，c，仅解出,,ABBCCA的人数分别为z，x，y，同时解出A，B，C三题的人数为w，则4,26,30,3,38,,3,1,24,,

2,2811,6axbabcxyzwcabxcazywbzxyxazxyzxw=−=++++++==+−=+++======−=于是2x=，且1w=，因此同时解出A，B，C三题的学生人数为1．故选：B考点三：容斥定理的应用（三）根据题目，画出Ve

nn图，并建立对应的不等式，从而求解出最大值或最小值.例3．某校先后举办定点投篮比赛和定点射门比赛，高三（1）班的45名同学中，只参加了其中一项比赛的同学有20人，两项比赛都没参加的有19人，则两项比赛中参加人数最多

的一项比赛人数不可能是（）A．15B．17C．21D．26【答案】A【详解】设只参加一项比赛的20名同学中，参加定点投篮比赛的有X人，参加定点射门比赛的有Y人，则,XYN，且20XY+=①由题设条件知，两项比赛均参加的有4

520196−−=人故参加定点投篮比赛的一共有()6X+人，参加定点射门比赛的有()6Y+人不妨设参加定点投篮比赛的人数更多(包含参加两种比赛的人数相等的情况)，则66XY++②由①②可得10X，故616X+，又20X，所以626X+故16626X+剟故参加定点投篮比赛的人数不

可能为15人，即两项比赛中参加人数最多的一项比赛人数不可能是15.故选：A变式训练1．某班有50名学生，其中参加关爱老人活动的学生有40名，参加洁净家园活动的学生有32名，则同时参加两项活动的学生最多有______名；最少有______名.【答案】32；2

2【详解】设参加两项活动的学生人数为x，由040032xx，可得032x.则()()403250xxx−++−，解得22x.因此，同时参加两项活动的学生最多有32名，最少有22名.故答案为：32；22.变式训练2．高二一班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历

史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人，物理、化学只选一科的学生都至少6人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（

）A．16B．17C．18D．19【答案】C【详解】把学生50人看出一个集合U，选择物理科的人数组成为集合A，选择化学科的人数组成集合B，选择生物颗的人数组成集合C，要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多，除这三门课程都不选的有10人，这

三门课程都选的有10人，则其它个选择人数均为最少，即得到单选物理的最少6人，单选化学的最少6人，单选化学、生物的最少3人，单选物理、生物的最少3人，单选生物的最少4人，以上人数最少42人，可作出如下图所示的韦恩图，所以单选物理、化学的人数至多8人，所以至多选择选

择物理和化学这两门课程的学生人数至多10818+=人.故选：C.变式训练3．为了方便居民购买新鲜、安全、价廉的蔬菜，某社区搭建从“菜园子”到“菜篮子”的直通车，建起多家“社区直销店”，不仅便利了居民生活，也提高了农民收入.某“社区直销店

”第一天直销蔬菜19种，第二天直销蔬菜13种，第三天直销蔬菜18种.其中，前两天直销的蔬菜中有3种相同，后两天直销的蔬菜中有4种相同.第一天直销但第二天没直销的蔬菜有__________种，这三天直销的蔬菜最少有_________

_种.【答案】1629【详解】设,,ABC分别表示第一天，第二天，第三天直销蔬菜品种所组成的集合，三天中直销相同的蔬菜有x种，第一天与第三天直销的蔬菜有xy+种相同，依题意可得如下的Venn图，第一天直销但第二天没直销的蔬菜

有()1616yy−+=种，因为图中所标注的各数均为自然数，所以0,1,2,3x，0,1,2,...,14y，这三天直销的蔬菜品种有：()()()()()163641443yyxxxxyy−++−++++−+−=−，又因为14y

，所以4329y−，所以这三天直销的蔬菜最少有29种.故答案为：16；29【课堂小结】1．知识清单：()()()()CradACradBCradABCradAB+−=()()()()()()()()CradACradBCradCCradABC

radACCradBCCradABCCradABC++−−−+=2．方法归纳：画Venn图．3．常见误区：公共部分是否重复计算．【课后作业】1、连州中学评为“2020年全国青少年篮球特色学校”，全校学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢球类运动或田径运动，60%的

学生喜欢球类运动，82%的学生喜欢田径运动，则我校既喜欢球类运动又喜欢田径运动的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%【答案】C【详解】解：设有%x的学生既喜欢球类又喜欢田径，则有(60)%

x−只喜欢球类，有(82)%x−只喜欢田径，由题意得：(60)%%(82)%96%xxx−++−=，解得46x=，故既喜欢球类运动又喜欢田径运动的学生数占该校学生总数的比例是46%，故选：C2、重庆一中计划面向高一学生开设“科技与创新”，“人文与阅读”两类

选修课，为了解学生对这两类选修课的兴趣，对高一某班共46名学生调查发现，喜欢“科技与创新”类的学生有34名，喜欢“人文与阅读”类的学生有18名，两类均不喜欢的有6名，则只喜欢“科技与创新”类选修课的学生有（）名．A．34B．22C．12D．6【答案

】B【分析】设两类均喜欢的有x名,布列方程即可得到结果.【详解】设两类均喜欢的有x名,则4663418x−=+−，解得=12x，故只喜欢“科技与创新”类选修课的学生有341222−=名，故选：B3、为了增强学

生体质，培养学生顽强拼搏的意志品质，某学校举行田径运动会，某班60名学生中有三分之一的学生参加了比赛，其中参加田赛的有14人，参加径赛的有18人，则该班田赛和径赛都参加的学生人数为（）A．7B．8C．10D．12【答案】D【详解】设参加田赛的人数为

事件A，参加径赛的人数为事件B，因为某班60名学生中有三分之一的学生参加了比赛，所以1()60203CardAB==，()14CardA=，()18CardB=，因为()()()()CardABCardACardB

CardAB=+−，所以201418()CardAB=+−，()12CardAB=，故选：D4、综艺节目是一种综合多种艺术形式并带有娱乐性的电视节目，给观众带来很多欢乐，深受广大观众的喜爱．浙江电视台的记者就浙江卫视播

出的《王牌对王牌》和《奔跑吧，兄弟》两档综艺节目，对浙江大学全体学生进行调查，有98%的学生喜欢看《王牌对王牌》或《奔跑吧，兄弟》，有70%的学生喜欢看《奔跑吧，兄弟》，有85%的学生喜欢看《王牌对王牌》，则浙江大学既喜欢看《王牌对王

牌》，又喜欢看《奔跑吧，兄弟》学生占全校学生总数的比例是（）A．43%B．53%C．57%D．67%【答案】C【分析】先算出只喜欢看《王牌对王牌》的学生占比，再用两者都喜欢+只喜欢看《王牌对王牌》（即题中喜欢看《王牌对王牌》的85%）减去只喜欢看《王牌对王牌

》学生占比即可.【详解】由题意得，只喜欢看《王牌对王牌》学生占全校学生总数的比例是98%70%28%−=，则既喜欢看《王牌对王牌》，又喜欢看《奔跑吧，兄弟》的学生占全校学生总数的比例是85%28%57%−=.故选:C5、《西游记》《三国演义》《

水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了了解在校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《三国演义》的学生共有80位，阅读过《西游记》的学生共有60位，阅读过《西游记》且阅读过《三国演义

》的学生共有40位，则在调查的100位同学中阅读过《三国演义》的学生人数为（）A．60B．50C．40D．20【答案】A【解析】首先可根据题意确定只阅读了《三国演义》一本的学生共有20位，然后再由阅读过《西游记》且阅读过《三国演义》的学生共有40位，即可求出结果.【

详解】因为阅读过《西游记》或《三国演义》的学生共有80位，阅读过《西游记》的学生共有60位，所以只阅读了《三国演义》的学生有806020−=位，又因为阅读过《西游记》且阅读过《三国演义》的学生共有40位，所以只阅读过《三国演义》的学生共有20+4060=位，故选：A.

6、“四书五经”是中国传统文化瑰宝，是儒家思想的核心载体，其中“四书”指《大学》《中庸》《论语》《孟子》．某大学为了解本校学生阅读“四书”的情况，随机调查了200位学生，其中阅读过《大学》的有60位，阅读过

《论语》的有160位，阅读过《大学》或《论语》的有180位，阅读过《大学》且阅读过《论语》及《中庸》的有20位．则该校阅读过《大学》及《论语》但未阅读过《中庸》的学生人数与该校学生总数比值的估计值是（）A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4【答案】A【分析

】根据描述，应用容斥原理画韦恩图，求出该校阅读过《大学》及《论语》但未阅读过《中庸》的学生人数，即可得结果.【详解】如下图，阅读过《大学》且阅读过《论语》的人数是160＋60－180＝40，阅读过《大学》及《论语》但未阅读过

《中庸》的学生人数是40－20＝20，由样本估计总体，得所求比值为200.1200=.故选：A7、某小学为落实双减，实现真正素质教育，在课后给同学们增设了各种兴趣班.为了了解同学们的兴趣情况，某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌､跳舞､书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经

统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（）A．27B．23C．25D．29【答案】A【分析】借助韦恩图处理集合运算的容斥问题.【详解】作出韦恩图，如图所示，可知

5人只喜欢唱歌，2人只喜欢跳舞，1人只喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞但不喜欢书法的有10人，同时喜欢唱歌和书法但不喜欢跳舞的有4人，同时喜欢跳舞和书法但不喜欢唱歌的有3人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为5211043227++++++=.故选

：A8、某小学对小学生的课外活动进行了调查.调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其

中任何一种课外活动的有15人.问接受调查的小学生共有多少人？（）A．120B．144C．177D．192【答案】A【分析】用韦恩图表示题设中的集合关系，结合三个集合的容斥原理，即得解【详解】如图所示，用韦恩

图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合,,ABC表示，则()63,()89,()47,()24cardAcardBcardCcardABC====不妨设总人数为n，韦恩图中三块区域的

人数分别为,,xyz即()24,()24,()24cardABxcardACycardBCz=+=+=+46xyz++=由容斥原理：15()()()()()()()ncardAcardBcardCcardABcardACcardBCcardABC−=++−−

−+638947(24)(24)(24)24xyz=++−+−+−++解得：120n=故选：A9、某单位周一､周二､周三开车上班的职工人数分别是15，12，9.若这三天中只有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上

班的职工人数的最大值是（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【分析】将问题转化为韦恩图，结合题意设出未知量，列出方程，求出答案.【详解】作出韦恩图,如图,由题意得1512920abcxbdexcefxadf+++=++

+=+++=++=,则有22233620abcdefxadf++++++=++=,所以222316bcex+++=,即()2316bcex+++=，因此要让x最大，则()2bce++需要最

小，若()20,bce++=则163x=不满足题意，若()22,bce++=则143x=不满足题意，若()24,bce++=则4x=满足题意，所以这三天都开车上班的职工人数的最大值是4，故选:B.10、某网店统计了连续三天售出商品的种类情况

：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店这三天售出的商品最少有（）．A．25种B．27种C．29种D．31种【答案】C【详解】解

：因为前两天都售出的商品有3种，因此第一天售出且第二天没有售出的商品有19316−=（种)；同理第三天售出的商品中有14种第二天未售出，有1种商品第一天未售出；所以三天商品种数最少时，是第三天中14种第二天未售出的商品都是第一天售出过的，此时商品总

数是1416129+−=（种)；分别用集合A、B、C表示第一、第二和第三天售出的商品，则商品数最少时，如图所示．故选：C．11、已知全集U，集合A、B、C的关系如图，请在图中用阴影线表示下列集合的运算结果：（1）()UUACBBCC（2）()()UUABCCCCB【答案】(1)

(2)【详解】(1)先分析UACB与UBCC,再求并集可得如图阴影部分.(2)先判断()UABCC与UCCB,再求并集可得如图阴影部分.