【文档说明】山东省实验中学2024-2025学年高二上学期10月月考试题 数学 Word版含解析.docx，共(24)页，1.823 MB，由小赞的店铺上传

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山东省实验中学2023级十月测试数学试题说明：试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第2页至第4页.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.1.已知点(1,1,2)A−关于z轴的对称点为B，则AB等于（）A.22B.26C.2D.322.如图，在斜三棱柱111ABCABC−中，M为BC的中点，N为11AC靠近1A的三等分点，设ABa=，ACb=，1AAc=，则用a，b，c表示NM为（）A

.1126abc+−B.1126abc−++C.1126abc−−D.1126abc−−+3.直线的一个方向向量为()1,3v=−，且经过点()0,2，则直线的方程为（）A.320xy−+=B.320xy+−=C.320xy++=D.320xy−−=4.已知直线l的

方向向量为(2,1,2)e=−，平面的法向量为(2,,),(,R)nbaabab=−−+.若l⊥，则3ab+的值为（）A.1B.3C.4D.4−5.“3m=”是“直线1:0lmxym++=与2,3(2)30lxmym+−−=平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C充要条件D.既不充分也不必要条件.6.正四面体PABC−的棱长为2，点D是AB的中点，则PDBC的值为（）A.1B.23C.23−D.1−7.已知正方形的一条对角线所在直线的斜率为3，则其一条边所在直线的斜率是（）A.3−B.2−C.13D.28.设动点P在棱长为1的正方体1111A

BCDABCD−的对角线1BD上，11DPDB=，当APC为锐角时，的取值范围是（）A.10,3B.10,2C.1,13D.1,12二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个

选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量()2,0,2a=r，13,1,22b=−−，()1,2,3c=−，则下列结论正确的是（）A.a与b垂直B.b与c共线C.a与c所成角为锐角D.a，b，c，可

作为空间向量的一组基底10.已知两直线1:2210lmxym+−+=，2:20()lxmymm−−−=R，则下列说法正确的是（）A.对任意实数m，直线1l，2l的方向向量都不可能平行B.存实数m，使直线1l垂直于x轴C.存在实数m，使直线1

l，2l互相垂直D.当0m=时，直线2l的方向向量不存在11.正三棱柱111ABCABC−中，11ABAA==，点P满足𝐵𝑃⃑⃑⃑⃑⃑=𝜆𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑+𝜇𝐵𝐵1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，其中0,1，

0,1，则（）在在A.当1=时，1ABP△的周长为定值B.当1=时，三棱锥1PABC−的体积为定值C.当12=时，有且仅有一个点P，使得1APBP⊥D.当12=时，有且仅有一个点P，使得1AB⊥平

面1ABP第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量(2,1,1)a=−，(1,1,)bx=−，若a与b垂直，则2ab+＝_____.13.已知点()3,1A，

()4,1B−−，直线l是过点(2,3)P−且与线段AB相交且斜率存在，则l的斜率k的取值范围是____________14.在ABCV中，已知()1,1A，AC边上的高线所在的直线方程为20xy−=，AB边上的高线所在的直线方程为323

0xy+−=.则BC边所在的直线方程为_______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知空间中三点()()()3,1,1,2,0,1,4,1,3ABC−−−，设,aABbAC==.（1）若3c=，且BCc∥，求向

量c；（2）求以,ab为一组邻边的平行四边形的面积S.16.如图，四棱锥PABCD−中，PB⊥平面ABCD，四边形ABCD是梯形，//BCAD，90BAD=，2PBABAD===，1BC=，点E是AP的中点，F是PB上的点

，13BFBP=.（1）求证：点F在平面ECD内；（2）求点P到平面ECD的距离.17.已知直线l过点(3,4)，O为坐标原点．（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l方程；（2）若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点且AOBV面积为24．ⅰ）求直线l方程；ⅱ）若点P为线段A

B上一动点，且PQOB∥交OA于点Q．在y轴上是否存在点M，使MPQ为等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．18.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是平行四边形，45ABC=，PA⊥底面ABCD，2ABACPA===，E、F分别为BC、AD的中点，

点M在线段PD上．（1）求证：⊥EF平面PAC；（2）设PMPD=，若直线ME与平面PBC所成的角的正弦值为1515，求的值．19.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图一，球O的半径为R，,,ABC为球面上三点，劣弧BC的弧长记为

a，设0O表示以O为圆心，且过,BC的圆，同理，圆3O，2O的劣弧,ACAB的弧长分别记为,bc，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形，若设二面角COAB−−，−−AOBC，BOCA−−分别为，，

，则球面三角形的面积为()2πABCSR=++−球面.（1）若平面OAB，平面OAC，平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC面积；（2）若将图一中四面体OABC截出得到图二，若平面三角形ABC为直角三角形，ACBC⊥，设1AOC

=，2BOC=，3AOB=.①求证：123coscoscos1+−=；②延长AO与球O交于点D，连接,BDCD，若直线,DADC与平面ABC所成角分别为π4，π3，BEBD=，(0,1，S为AC中点，T为BC中点，设平

面OBC与平面EST的夹角为，求sin的最小值.的的山东省实验中学2023级十月测试数学试题说明：试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第2页至第4页.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共4

0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点(1,1,2)A−关于z轴的对称点为B，则AB等于（）A.22B.26C.2D.32【答案】A【解析】【分析】由点关于某坐标轴对称的点的特征以及两点距离公式即可求解.【详解】点(1,1,2)A−关于z轴的对称点为

B()1,1,2−，所以44022AB=++=.故选：A.2.如图，在斜三棱柱111ABCABC−中，M为BC中点，N为11AC靠近1A的三等分点，设ABa=，ACb=，1AAc=，则用a，b，c表示NM为（）A.1126abc

+−B.1126abc−++C.1126abc−−D.1126abc−−+【答案】A【解析】【分析】结合图形，根据空间向量的线性运算即可得到答案.【详解】112111()3226NMNCCCCMbcababc→→→→→→→→→→→=++=−+−=+−的故选：A3.直线

的一个方向向量为()1,3v=−，且经过点()0,2，则直线的方程为（）A.320xy−+=B.320xy+−=C.320xy++=D.320xy−−=【答案】B【解析】【分析】方法一：由直线的方向量求出

直线斜率，然后利用点斜式可求出直线方程；方法二：由已知可得直线的一个法向量为()3,1n=，则设直线为30xyC++=，再将()0,2代入求出C，从而可得直线方程.【详解】方法一∵直线的一个方向向量为()1,3v=−，∴3k=−，∴直线的方程为32yx=−+，即320xy+−=．方法二由

题意知直线的一个法向量为()3,1n=，∴直线的方程可设为30xyC++=，将点()0,2代入得2C=−，故所求直线的方程为320xy+−=．故选：B4.已知直线l的方向向量为(2,1,2)e=−，平面的法向量为(2,,),(,R)nbaabab=−−+

.若l⊥，则3ab+的值为（）A.1B.3C.4D.4−【答案】B【解析】【分析】依题意可得//en，则nte=，即可得到方程组，解得a、b的值，即可得解.【详解】因为直线l的方向向量为(2,1,2)e=−，平面的法向量为(2,,),(,R)nbaabab=−−+且l⊥，所以//

en，则nte=，即()()2,,2,1,2baabt−−+=−，所以222tbatabt−=−=+=−，解得11232tba=−==，所以3133322ab+=+=.故选：B5.“3m=”是“直线1:0lmxym++=与2,3(2)30l

xmym+−−=平行”（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据直线平行的条件，判断“3m=”和“直线1:0lmxym++=与2,3(2)30lxmym+−−=平行”之间的逻辑关系，即可得答案.【详解】当3m=时

，直线1:330lxy++=与2,390lxy+−=平行；当直线1:0lmxym++=与2,3(2)30lxmym+−−=平行时，有(2)30mm−−=且3(2)0mmm−−−，解得3m=，故“3m=”是“直线1:0lmxym++=与2,3

(2)30lxmym+−−=平行”的充要条件，故选：C6.正四面体PABC−的棱长为2，点D是AB的中点，则PDBC的值为（）A.1B.23C.23−D.1−【答案】D【解析】【分析】取{,,}PAPBPC为空间向量的一个基底，利用空间向量运算求解即得.【详解】棱长为2的正四面体PA

BC−中，向量,,PAPBPC两两的夹角都为60o，的由点D是AB的中点，得1()2PDPAPB=+，而BCPCPB=−，所以211()()()22APPAPBPCPBPPCPBDBACPCPPBPB=+−=+−

−21111(2222222)12222=+−−=−.故选：D7.已知正方形的一条对角线所在直线的斜率为3，则其一条边所在直线的斜率是（）A.3−B.2−C.13D.2【答案】B【解析】【分析】以正方体的一顶点为坐标原点建立坐标系，设正方

形的一对角线的倾斜角为，则tan3=，可得到正方形边的倾斜角，利用两角和差的正切公式，即可求解.【详解】以正方形ABCD的顶点A为坐标原点，建立如图坐标系，根据题意，对角线AC的斜率为3，设其倾斜角为,tan3=，则正方形,A

BAD的倾斜角分别为,44−+，又tan11tan1tan(),tan()241tan241tan−+−==+==−+−，所以两直角边斜率分别为12或2−.故选:B.8.设动点P在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−的对角线1BD上，11DP

DB=，当APC为锐角时，的取值范围是（）A10,3B.10,2C.1,13D.1,12【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，APC为锐角等

价于cos0PAPCAPCPAPC=，即0PAPC，根据向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】如图建立空间直角坐标系：则()1,0,0A，()1,1,0B，()0,1,0C，()10,0,1D，()11,1,1

DB=−，()()111,1,1,,DPDB==−=−，()11,01DA=−，()10,1,1DC=−，所以()()()111,01,,1,,1PADADP=−=−−−=−−−，()()()110,1,1,,

,1,1PCDCDP=−=−−−=−−−，的.由APC为锐角得cos0PAPCAPCPAPC=，即0PAPC，所以()()22110−−+−，即()()1310−−，解得：103，当0=时，点P位于点1D处，此时1APCADC=显然是锐角，符合题

意，所以103，故选：A【点睛】关键点点睛：本题的关键点是APC为锐角等价于cos0PAPCAPCPAPC=，即0PAPC，还需利用11PADADP=−，11PCDCDP=−求出𝑃𝐴⃑⃑⃑⃑⃑、PC的坐标，根据向量数量

积的坐标运算即可求解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量()2,0,2a=r，13,1,22b

=−−，()1,2,3c=−，则下列结论正确的是（）A.a与b垂直B.b与c共线C.a与c所成角为锐角D.a，b，c，可作为空间向量的一组基底【答案】BC【解析】【分析】对A：计算出ab即可得；对B：由向量共线定理计算即可得；对C：计算ac并判断a与c是否共线即可得；对D：借助

空间向量基本定理即可得.【详解】对A：13201213422ab=−++−=−−=−rr，故a与b不垂直，故A错误；对B：由13,1,22b=−−、()1,2,

3c=−，有12bc=，故b与c共线，故B正确；对C：()21022380ac=+−+=，且a与c不共线，故a与c所成角为锐角，故C正确；对D：由b与c共线，故a，b，c不可作为空间向量的一组基底

，故D错误.故选：BC.10.已知两直线1:2210lmxym+−+=，2:20()lxmymm−−−=R，则下列说法正确的是（）A.对任意实数m，直线1l，2l的方向向量都不可能平行B.存在实数m，使直线1l垂直于x轴C.存在实数

m，使直线1l，2l互相垂直D.当0m=时，直线2l的方向向量不存在【答案】AC【解析】【分析】根据直线平行以及垂直满足的系数关系，即可结合方向向量的定义逐一求解.【详解】若两直线的方向向量平行，则221m−=，则m无实数解，故两直线的方向向量不可能平行，故A正确，由于1:221

0lmxym+−+=的斜率为2m−，所以直线1l不可能垂直于x轴，B错误，当200mmm−==时，此时1:10ly+=，2:20lx−=，此时两直线垂直，C正确，当0m=时，直线2:20lx−=，则其方向向量可以为()0,1，

故D错误，故选：AC11.在正三棱柱111ABCABC−中，11ABAA==，点P满足𝐵𝑃⃑⃑⃑⃑⃑=𝜆𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑+𝜇𝐵𝐵1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，其中0,1，0,1，则（）A.当1=时，1ABP△的周长为定值B.当

1=时，三棱锥1PABC−的体积为定值C.当12=时，有且仅有一个点P，使得1APBP⊥D.当12=时，有且仅有一个点P，使得1AB⊥平面1ABP【答案】BD【解析】【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点

的坐标；对于B，将P点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；对于C，考虑借助向量的平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点的个数；对于D，考虑借助向量的平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点的个数．【详解】易知，点P

在矩形11BCCB内部（含边界）．对于A，当1=时，𝐵𝑃⃑⃑⃑⃑⃑=𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑+𝜇𝐵𝐵1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑+𝜇𝐶𝐶1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，即此时P线段1CC，1ABP△周长不是定值，故A错误；对于B，当1=时，𝐵𝑃⃑⃑⃑⃑⃑=𝜆𝐵𝐶⃑

⃑⃑⃑⃑+𝐵𝐵1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝐵𝐵1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝜆𝐵1𝐶1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，故此时P点轨迹为线段11BC，而11//BCBC，11//BC平面1ABC，则有P到平面1ABC的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．对于C，当1

2=时，𝐵𝑃⃑⃑⃑⃑⃑=12𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑+𝜇𝐵𝐵1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，取BC，11BC中点分别为Q，H，则𝐵𝑃⃑⃑⃑⃑⃑=𝐵𝑄⃑⃑⃑⃑⃑+𝜇𝑄𝐻⃑⃑⃑⃑⃑⃑，所以P点轨迹为线段QH，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，13,0,12

A，()0,0,P，10,,02B，则𝐴1𝑃⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(−√32,0,𝜇−1)，𝐵𝑃⃑⃑⃑⃑⃑=(0,−12,𝜇)，𝐴1𝑃⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝐵𝑃⃑⃑⃑⃑⃑=𝜇(𝜇−1)=0，所以0=或1=．故,HQ均满足，故C错

误；对于D，当12=时，𝐵𝑃⃑⃑⃑⃑⃑=𝜆𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑+12𝐵𝐵1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，取1BB，1CC中点为,MN．𝐵𝑃⃑⃑⃑⃑⃑=𝐵𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝜆𝑀𝑁⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，所以P点轨迹为线段MN．设010,,2Py，因为𝐴(√32，0,

0)，所以𝐴𝑃⃑⃑⃑⃑⃑=(−√32,𝑦0,12)，𝐴1𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(−√32,12,−1)，所以00311104222yy+−==−，此时P与N重合，故D正确．故选：BD．【点睛】

本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内．第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量(2,1,1)a=−，(1,1,)bx=−，若a与b垂直，则2ab+＝_____.【答案】52【解析】【分析】根据给定条件，利用向量垂

直关系求出x，再结合向量的坐标运算及模的运算计算作答.【详解】向量(2,1,1)a=−与(1,1,)bx=−垂直，则有2(1)(1)10x−+−+=，解得3x=，于是2(2,1,1)2(1,1,3)(0,1,7)ab+=−+−=，所以222201752a

b+=++=.故答案为：5213.已知点()3,1A，()4,1B−−，直线l是过点(2,3)P−且与线段AB相交且斜率存在，则l的斜率k的取值范围是____________【答案】)2,2,5

−−+【解析】【分析】利用斜率计算公式可得PAk，PBk，根据直线l过点()2,3P−且与线段AB相交，数形结合即可求出直线l的斜率k的取值范围．【详解】因()2,3P−，()3,1A，()4,1B−−，所以()13232

5PAk−==−−−，()13242PBk−−==−−−．直线l过点(2,3)P−且与线段AB相交，如下图所示：25lPAkk=−或2lPBkk=，直线l的斜率k的取值范围是：)2,2,5−−+．故答案为：)2,2,5−−+．为14.在A

BCV中，已知()1,1A，AC边上的高线所在的直线方程为20xy−=，AB边上的高线所在的直线方程为3230xy+−=.则BC边所在的直线方程为_______.【答案】2590xy++=【解析】【分析】由AC边上和AB边上的高线所在的直线方程，可得AC边和AB边所在直线的斜率，再由

A点坐标，可求AC边和AB边所在直线的方程，通过联立方程组，求出,BC两点的坐标，可求BC边所在的直线方程【详解】AC边上的高线所在的直线方程为20xy−=，得2ACk=−，AB边上的高线所在的直线方程为3230xy+−=，得23ABk=已知()1,1A，则

AC边所在的直线方程为12(1)yx−=−−，即230xy+−=，则AB边所在的直线方程为)2113(yx−=−，即2310xy−+=.由2303230xyxy+−=+−=，得()3,3C−．由231020xyxy−+=−=，得()2,1B−−．则BC边所在的直线

方程为()()331323yx−−−=−−−−−，即2590xy++=.故答案为：2590xy++=.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知空间中三点()()()3,1,1,2,0,1,4,1,3AB

C−−−，设,aABbAC==.（1）若3c=，且BCc∥，求向量c；（2）求以,ab为一组邻边的平行四边形的面积S.【答案】（1）()2,1,2c=−或()2,1,2c=−−（2）3【解析】【分析】（1）利用向量平行和向量模长的坐标表示列式求解即可；

（2）利用向量数量积和向量模长的坐标表示求出夹角进而求面积即可.【小问1详解】由()()2,0,1,4,1,3BC−−可得()2,1,2BC=−，若BCc∥，则()2,,2ctBCttt==−，又3c=，所以()()22

2223ttt++−=，解得1t=，所以()2,1,2c=−或()2,1,2c=−−.【小问2详解】由()()()3,1,1,2,0,1,4,1,3ABC−−−可得()1,1,0aAB==−−，()1,0,2bAC==−，所以()()2221102a=−+−+=，()2221025b=++−=

，1001ab=−++=−，所以110coscos,1025abAabab−====−，所以310sin10A=，所以310sin25310SabA===.16.如图，四棱锥PABCD−中，PB⊥平面ABCD，四边形ABCD是梯形，//BCAD，90BAD=，2PBABAD=

==，1BC=，点E是AP的中点，F是PB上的点，13BFBP=.（1）求证：点F在平面ECD内；（2）求点P到平面ECD的距离.【答案】（1）证明见解析（2）2147【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的共

面定理证明；（2）利用空间向量的坐标运算求点到平面的距离.【小问1详解】因为//BCAD，90BAD=，所以ABBC⊥，又因为PB⊥平面ABCD，,ABBC平面ABCD，所以,PBABPBBC⊥⊥，所以如图所示，以B为坐标原点，建立空间直

角坐标系Bxyz−，则2(0,2,0),(0,0,0),(1,0,0),(2,2,0),(0,0,2),(0,1,1),(0,0,),3ABCDPEF所以2(1,1,1),(1,2,0),(1,0,)3CECDCF=−==−，设,CFxCEyCD=+则10223xyxyx−=−+=+=

，解得2313xy==−，所以21,33CFCECD=−所以点F在平面ECD内.【小问2详解】设平面ECD的一个法向量为(,,)mabc=，由（1）知(1,1,1),(1,2,0),CECD=−=因为00

CDmCEm==，所以200ababc+=−++=，令2a=，则1,3bc=−=，所以(2,1,3)m=−，又因为(1,0,2)CP=−，所以点P到平面ECD的距离4214714CPmdm===.

17.已知直线l过点(3,4)，O为坐标原点．（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l方程；（2）若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点且AOBV面积为24．ⅰ）求直线l方程；ⅱ）若点P为线段AB上一动点，且PQOB∥交OA于点Q．在y轴上是否存在点M，使MPQ为等腰直角

三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）430xy−=或70xy+−=（2）ⅰ）43240xy+−=，ⅱ）120,5M，(0,0)M，240,7M【解析】【分析】（

1）分类讨论截距是否为零，计算即可；（2）利用截距式结合面积公式计算可得第一小问，利用等腰直角三角形的特征分类讨论计算即可.【小问1详解】若直线过原点，易知其方程为：430xy−=；若直线不过原点，不妨设

其方程为：1xyaa+=，代入点(3,4)得7a=，即70xy+−=；【小问2详解】i）由截距式设直线AB的方程为1(,0)xyabab+=，所以3461848aabbab=+===

，所以168xy+=，即43240xy+−=；ⅱ）若存在MPQ为等腰直角三角形，不妨设(,0)Qt，(0,6)t，则4,83Ptt−，因为MPQ为等腰三角形，当M为直角顶点时，设20,43Mt−，2,43MPtt=−，2,43MQtt=

−，所以22225164160393MPMQtttt=−−=+−=，即(12)(512)0tt+−=，所以125t=或12t=−（舍），所以221212443355t−=−=，即点120,5M

；当Q为直角顶点时，点(0,0)M，2424,77P，符合题意；当P为直角顶点时，设40,83Mt−，由||||MPQP=可得：483tt=−，所以247t=，240,7M；综上所以120,5M，(

0,0)M，240,7M，符合题意．18.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是平行四边形，45ABC=，PA⊥底面ABCD，2ABACPA===，E、F分别为BC、AD的中点，点M在线段PD上．（1）求证：⊥EF平面PAC；（2）设PMPD=，若直线

ME与平面PBC所成的角的正弦值为1515，求的值．【答案】（1）证明见解析（2）12【解析】【分析】（1）证明ABAC⊥，EFAC⊥，推出PAEF⊥，然后证明⊥EF平面PAC；（2）建立空间直角坐标系，利用直线与平面所成角的向量法求解即可.【小问1详解】在

平行四边形ABCD中，因为ABAC=，45ABC=，所以45ACB=，故ABAC⊥，由E、F分别为BCAD、的中点，得EFAB∥，所以EFAC⊥，因为PA⊥底面ABCD，EF底面ABCD，所以PAEF⊥，又因为PAACA=，PA平面PAC，AC平面PAC，所以⊥EF平面P

AC．【小问2详解】因为PA⊥底面ABCD，ABAC⊥，所以,,APABAC两两垂直，分别以,,ABACAP所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.Axyz−则𝐴(0,0,0)，()()()()()2,0,0,0,2,0,0,0,2,2,2

,0,1,1,0BCPDE−．所以()()()2,0,2,2,2,0,2,2,2PBBCPD=−=−=−−，由已知()0,1PMPD=，即()2,2,2PM=−−，所以()()2,2,22,12,12,22,MME−−=+−−设平面PBC的一个法向

量为(),,nxyz=，由00nBCnPB==，得220220xyxz−+=−=，令1x=，得()1,1,1n=，所以()()()22212122215sincos,151212223MEnMEnMEn++−+−====++−+−，化简得24430+−=

，故12=或32=−（舍）.所以12=.19.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图一，球O的半径为R，,,ABC为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a，设0O表示以O为圆心，且过,BC的圆，同理，圆3O，2O的劣弧,ACAB的弧长分别记为,bc，曲面AB

C（阴影部分）叫做球面三角形，若设二面角COAB−−，−−AOBC，BOCA−−分别为，，，则球面三角形的面积为()2πABCSR=++−球面.（1）若平面OAB，平面OAC，平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面

积；（2）若将图一中四面体OABC截出得到图二，若平面三角形ABC为直角三角形，ACBC⊥，设1AOC=，2BOC=，3AOB=.①求证：123coscoscos1+−=；②延长AO

与球O交于点D，连接,BDCD，若直线,DADC与平面ABC所成的角分别为π4，π3，BEBD=，(0,1，S为AC中点，T为BC中点，设平面OBC与平面EST的夹角为，求sin的最小值.【答案】（1）2π2R（2）①证明见解析；②105.【解析】【分析】

（1）根据平面OAB，平面OAC，平面OBC两两垂直，得π2===，即可求解；（2）①根据余弦定理及勾股定理即可证明；②建立空间直角坐标系，分别求出平面EST和平面OBC的法向量，利用向量夹角公式即可求解.【小问1详解】解：因为平面OAB，平面OAC，平面OBC两两垂直，所以π2==

=，所以球面三角形ABC的面积()22ππ2ABCSRR=++−=球面；【小问2详解】解：①证明：由余弦定理可得：2222122222222232cos2cos2cosACRRRBCRRRABRRR=+−=+−=+−，且222ACBCAB+=,所以222

212342(coscos)22cosRRRR-+=-，即22212322(coscos)2cosRRR-+=-，消去22R，则有：1231(coscos)cos-+=-即123coscoscos1+−=；②由题意可知AD是球的直径，则有,AB

BDACCD⊥⊥,又,ACBCBCCDC^?，所以AC⊥平面BCD，又因为BD平面BCD，所以ACBD⊥,又因为ACABA=，所以BD⊥平面ABC，BC平面ABC，所以BDBC⊥，又因为直线,DADC与平面ABC所成的角分别为π4，π3，所以ππ,43DABDCB=

=，不妨令3R=，则23AD=，6,2,2ABBDBCAC====，又因为ACBC⊥,ACBD⊥,BCBD⊥,以C为坐标原点，以,CBCA所在直线为,xy轴，过点C作BD的平行线为z轴，建立空间直角坐标系：设,(0,6]BEtt=，则(0,2,0),(0,0,0),(2,0,0),(2,0,6

),ACBD可得226(0,1,0),(,0,0),(2,0,),(,1,)222STEtO，则26(2,0,0),(,1,)22CBCO==，22(,1,0),(,0,)22STTEt=−=，设平面OBC的一个法向量为(,,)mxyz=，则2026022mCBxmCO

xyz===++=，取2z=−，则6,0yx==，所以(0,6,2)m=−；设平面EST的一个法向量为(,,)nabc=，则202202nSTabnTEatc=−==+=，取2at=，则,1btc==−，所以(2,,1)ntt=−，

要使sin取最小值，则|cos|取最大值，因为262coscos,1031tmnmnmnt+===+21|32|531tt+=+221(32)315tt+=+212611315tt+=++令261,(1,13]mtm=+，则22

1(1),3826mmtt−−==，所以2222618882,9(1)312962218tmmmtmmmm+====−+−+−+−+当且仅当13,6mt==时等号成立，则|cos|的最大值为35，所以sin取最小值为23101cos155−=−=.【点

睛】方法点睛：在涉及求直线与平面、平面与平面所成角时，利用空间向量法求解更简单些.