【文档说明】安徽省十校联盟第三届（2023年）高二解题能力竞赛数学试卷 含答案.docx，共(10)页，448.072 KB，由小赞的店铺上传

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第三届高二年级数理化生解题能力竞赛数学试题满分120分，考试时间120分钟.请在答题卡上作答.一､填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.如果函数()()42231fxcxcx=+−+在区间(),1−−上单调递减，在区间()1,0−上单调递增，则c的值为___

_______.2.已知命题p：对任意的正数x，有212axx−+，命题q：不存在实数x，使223xax−.若命题,pq都为假命题，则实数a的取值范围是__________.3.在立方体中放人9个球，一个与立方体6个面都相切，其余8个相等的球都与这个球及立方

体的三个面相切，已知8个相等的球的半径都为23−，则立方体的体积为__________.4.圆222(0)xyRR+=上有一定点(),0,,ARBC是该圆上的两动点.如果2ABACr=为常数(0)rR，可证BC必与某个圆Ω相切，则Ω的方程为__________.5.对2

6的长方形方格带的某些11小方格染色（染成红色），要求任何一个22的正方形方格中至少有一个11的小方格未被染色，这样的染色方式有__________种.6.一离散型随机变量X的分布列为：X0123P0.1abc其中,ab为变数，c为正常数

，且当0ab=时方差()DX有最大值，则c的值为__________.7.已知双曲线22221(,0)xyabab−=的右焦点为F，过F的直线与双曲线右支交于,AB两点，若以AB为直径的圆过原点，则双曲线离心率e的

取值范围是__________.8.2482cos12cos12cos1999−−−=__________.二､解答题：本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明､证明或演算步骤.9.（本小题满分16分）已知函数()()2,,f

xaxbxcabc=++R，且对一切xR，都有()2428124xfxxx+++剟.（1）将,bc分别表示成关于a的函数，并求出a的取值范围；（2）对于给定的,ak，求()fx在区间,kk−上的最小值.10.（本小题满分20分）某游戏公司

开发了一款游戏，共有两关，公司组织了水平相当的()*3,nnnN…位玩家测试这款游戏.玩家按预先指定的顺序依次上场，每位玩家的测试都是相互独立的.他们通过第一关测试的概率都为(01)pp，通过第二关测试的概率都

为(01)qq.若玩家通不过第一关测试，则他下场，由下一位玩家继续上场测试，若玩家通过第一关测试，则继续第二关的测试，若第二关测试通过，则游戏测试终止，若第二关测试通不过，则下一位玩家直接从第二关开始测试.当pq时，求第()*11

,kknk−N剟位玩家终止测试的概率（用含,,pqk的式子表示）.11.（本小题满分20分）已知函数3yxax=−（a为常数）的图象上存在四个点(),iiiAxy，过iA的切线为(1,2,3,4ili=，其中)13ll∥，且1234,,,llll围成的图形是正方形.（

1）求证：132423xxxx−…；（2）试求a的取值范围.第三届高二年级数理化生解题能力竞赛数学参考答案一､填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.1由题意得，()()32423fxcxcx=+−，由()10f−=，得()24230cc−−−=，解得3c=−或1

c=.当3c=−时，()()()1211fxxxx=−−+，当1x−时，()0fx，则()fx在区间(),1−−上单调递增，不满足条件，舍去；当1c=时，()()()411fxxxx=−+，则()fx在区间(),1−−上单调递减，在区间

()1,0−上单调递增，满足题意，故1c=.2.(0,1当命题p为真命题时，对任意的正数22211,11,1,xxaaxx−=−−+命题p为假命题时，1a„；当命题q为假命题时，存在实数x，使223xax−，03a，故命题,pq都为

假命题时，实数a的取值范围是(0,1.3.8设立方体的边长为a，则()()321323aa=++−，解得2a=，则立方体的体积为8.4.2222()2rxRyR−+=设A到BC的距离为,hBAC=，则11sinsin

22ABACBChRh==，又22,,2rABACrhBCR==与圆2222()2rxRyR−+=相切.5.3105考虑()21n+个方格的染色情况.最后2个方格如果没有染色或只有一个染色（它有

3种可能的情况），前面的2n个方格有na种染色方式，共有3na种染色方式；如果最后两个方格都染色，则与它相邻的2个方格或者没有染色或者只有一格染色，前面的()21n−方格有1na−种染色方式，共有13na−种染色方式，故()113nnnaaa+−=+，其中()4232115,31

5457aa=−==+=，由此可知()431557216a=+=，()()56357216819,32168193105aa=+==+=.6.0.1由题意得，()()()20.9,230.92,490.938,abcEXabcbcEXabcbcDX++==++

=++=++=++()()222[]0.938(0.92)EXEXbcbc=−=++−++()221.240.094.44,bcbcc=−+−++−当0.62bc=−时有最大值，此时1.240.9cc−+=，解得0

.1c=.7.51,32+当ABx⊥轴时，2bca=，解得512e+=.当AB不与x轴垂直时，设():ABykxc=−，与22221xyab−=联立得()()222222222220akbxack

xackb−−++=，设()11,Axy，()22,Bxy，则()22222212122222222,ackbackxxxxakbakb++==−−，则()()2421212222kbyykxcxcakb=−−=−−.由题意得，()2222

24222222121222242242210131ackbkbabebxxyykeakbbaceea+−−+=====−−−−+4215031132eee+−+.综上，双曲线离心率e的取值范围是51,

32+.8.1方法一：令29=，()()()22cos12cos14cos12cos2112cos21−+=−=+−=+，2cos212cos12cos1+−=+，同理得

2cos412cos212cos21+−=+，2cos812cos412cos41+−=+，以上三式相乘有：162cos124892cos12cos12cos1129992cos19+

−−−==+.方法二：令2248116sincoscoscossin2481999989coscoscos229998sinsin99a====−.令248coscoscos999b=++，2468coscoscoscos999

9+++=24682cossin2cossin2cossin2cossin999999992sin9+++=3537597sinsinsinsinsinsinsinsin999999992

sin9−+−+−+−=sin12489,coscoscos029992sin9b−=−=++=.令244828248coscoscoscoscoscoscoscoscos999

999999c=++=++24826248248coscos2coscoscoscoscoscoscoscos9999999999=+=−+=412411coscoscos1399922224−−+−−

+==−，2482cos12cos12cos1842113011999acb−−−=−+−=−++−=.二､解答题：本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明､

证明或演算步骤.9.（本小题满分16分）（1）原不等式可化为()()()424222xfxxx+++剟.取12x=−，则有1100022ff−−=剟，令()()12fxxaxn=++，因此有()()111481222xxaxnxx

+++++剟.当12x−时，由上式知恒有()481axnaxnx+++…„，42an−+…，且1814,4222aann−+−+=−+=„.同理，当12x−„时，也有42an−+=，()14,44,22224aaanfxxaxbac

=+=+++=+=+.由题意得，()()()()22222114204218124802axbxcaxxaxaxbxcax+−+−=++=+−+−+−=−+①②……，①

②两式恒成立，0,8a.（2）当0a=时，()42fxx=+，此时()fx在,kk−上的最小值为()42fkk−=−+；当(0,8a时，()fx图象的对称轴方程为4022baxaa+=−=−，此时442afaa+−=−.记()

fx的最小值为m，当(4,2aka+−−−时，得()214ka−„⑤，故当12k„时，⑤成立，此时()()()121284kkamfk−−+=−=.当12k时，()421421kaak−−剟.注意到：4343138,821421424kkkkk−−剠

，当1324k时，⑥戊立，此时()()121284kkam−−+=.当34k…时：当4821ak−„时，(4,2akka+−−，此时4ma=−.当421ak−„时，(4,2aka+−−−，此时()()()121284kka

mfk−−+=−=.综上，()fx在区间,kk−上的最小值如下：当304k时，()()121284kkam−−+=；当34k…时，()()121284,042144,821kkaakmaak−−+−=−−剟„.10.（本小题满分20

分）设第()*11,kknk−N剟位玩家终止测试的概率为kp.当pq且第()*11,kknk−N剟位玩家终止测试时，第k位玩家必通过第二关测试.若前面()1k−位玩家都没有通过第一关测试，其概率为'

1(1)kkpppq−=−，若前面()1k−位玩家中人第()*11,,iikki−N剟位玩家才通过第一关测试，则前面()1i−位玩家无人通过第一关测试，其概率为1(1)ip−−，第i位玩家通过第一关测试，但没有通过第二关测试，其概率为()1pq−，第()1i+位玩家到第()1k−位玩家

中都没有通过第二关测试，其概率为1(1)kiq−−−.前面()1k−位玩家中恰有一人通过第一关测试的概率为：111111111(1)(1)(1)(1)1ikkikikkiippppqqqpqqq−−−

−−−−==−=−−−=−−()11111111(1)(1)(1)111kkkkppqqqpqqqpppqq−−−−−−−−=−=−−−−−−−111(1)(1)(1)(1)kkkkkkpqqppp

pqpqppq−−−−=+=−+−−−−()11(1)(1)(1)(1)kkkkpqqpqpqpqpqqppqpqpq−−=−−+−=−−−−−−因此，第()*11,kknk−N剟位玩家终止测试的概率为(1)(1)kkpqqppq

−−−−.11.（本小题满分20分）（1）设直线il的斜率为()1,2,3,4iki=，又23yxa=−，则()231,2,3,4iikxai=−=，121kk=−1324,llll∥∥，则2222132413241324,,,,kkkkx

xxxxxxx=====−=−，22132412121113332xxxxxxkkkk−=−=−=+…，即132423xxxx−….（2）若0a„，则()212301,2,3,4,1iikxaikk=−==−…不成立，0a.不失一般性，可设12120,0,0,0xxkk.

()()31:201,2,3,4iiiilyykxxykxxi−=−−−==.1l与3l的距离2l､与4l的距离分别设为d与d，则33123312221222121244,,11111xxxxdd

kkkkkk===++++=−33112xkx=，令31kt=，则12(0)xtxt=.222232122132313111113,3xxakaxattaatkttttt−==−=−−=−=−+=−

，431tatt+=−，又0,0at，可得1t.方法一：令()431(1)xfxxxx+=−，则()()()()()()222642223313232331xxxxxxfxxxxx++−−−−−+==−−，易知当223x=+

时，()fx取得最小值，从而a取得最小值，()2min(23)122,2331aa++==++的取值范围是)22,+.方法二：令()431(1)xfxxxx+=−，则()221122211xxfxxxxxxx+==

−+−−…，当且仅当223x=+时，取得等号，min22a=，a的取值范围是)22,+.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com