【文档说明】湖南省湖湘教育三新探索协作体2022-2023学年高二下学期4月期中联考数学试题 含答案.docx，共(17)页，1.194 MB，由小赞的店铺上传

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2023年4月湖湘教育三新探索协作体高二期中联考数学班级：__________姓名：__________准考证号：__________（本试卷共4页，22题，全卷满分：150分，考试用时：120分钟）注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号写在试题

卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷､草稿纸和

答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，将答题卡上交.一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合0,{12}AxxBxx==−N∣∣，则AB=（）A.{1}xx−∣B.{02}

xx∣C.1D.0,12.已知复数z对应的点在复平面第一象限内，z是z的共轭复数，那么同时满足2zz+=和4zz=的复数是（）A.3i+B.13i+C.1i−D.1i+3.“0x”是“()ln10x+”的（）A.充分不必要条

件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知1,sin243−==，则cos2=（）A.13−B.13C.223−D.2235.设542345012345()(1)xmxaaxax

axaxax++−=+++++.若01234532aaaaaa+++++=，则3a=（）A.4B.6C.14D.166.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为32，且连接椭圆C的四个顶点构成的

四边形的面积有最小值8，则下列四个点一定在椭圆C上的是（）A.()1,1B.()2,2C.()2,1D.()1,27.已知函数()()sincos,sincosfxxxgxxx==+，则下列说法正确的是（）A.()fx的图象可由()gx的图象平移变换得到B.(

)fx和()gx的图象有相同的对称中心C.若()fx和()gx+具有相同的奇偶性，则4=−D.()fx和()gx都在区间,44−上单调递增8.已知函数()nnfxxxa=++，其中n为正整数，0a且为常数.若对于任意n，函数()nyfx=在1,1

2内均存在唯一零点，则实数a的取值范围为（）A.()2,1−−B.32,2−−C.()(),21,0−−−D.()3,2,02−−−二､多项选择题：本大题共4小题，每小

题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列表述中，正确的是（）A.一组数按照从小到大排列后为：123,,,,nxxxx，计算得25%17n=，则这组数的25%分位数是

17xB.一组数按照从小到大排列后为：123100,,,,xxxx，计算得这组数的75%分位数是9.5，则这100个数据中一定有75个数小于或等于9.5C.已知随机变量X服从正态分布()2,1N，且(1)(3)PXcPXc−=+，则2c

=D.抛掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，则在30次试验中成功次数X的均值为1010.已知双曲线22:24Exmym−=的左､右焦点分别为12,FFP､是双曲线上一点，则（）A.0mB.当双曲线E为等轴双曲线时，焦点坐标为

()()122,0,2,0FF−C.焦点1F到双曲线E的一条渐近线的距离是定值2D.若双曲线E的一条渐近线方程是2yx=且13PF=，则21PF=或25PF=11.已知函数()exfxkx=−，则（）A.()fx在(),1−上单调递减B.

33eeC.若函数()fx有零点，则ekD.()fx可以用一个奇函数()gx和一个偶函数()hx的和表示，且()ee2xxhxkx−−=−12.在ABC中，90,2,3ACBBCAC===，点D在斜边AB上（不含端点A和B），以CD为棱把它折成直二

面角ACDB−−，连接AB，在三棱锥BACD−中，下列说法正确的是（）A.存在点D，使得CDAB⊥B.不存在点D，使得CBAB⊥C.在ABC中CDAB⊥时，折成的三棱锥BACD−的外接球的表面积为13313D.折叠后AB的最

小值为7三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13.已知向量()()2,1,3,1ab==−，则()aab−=__________.14.若不同的四

点()()()()1,0,2,1,5,0,,8ABCDa−−共圆，则实数a=__________.15.已知函数()tanfxxax=+在,22−上是单调函数，则实数a的取值范围是______

____.16.天干地支简称干支，它们组成60甲子形成了中国古代的传统历法纪年，现今一直沿用.其中十天干指：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸；十二地支指：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥.如2023年干支纪年法是癸卯年.（1）中华人民共和国建国一百周年的2049

年，用干支纪年法表示是__________年；（2）从2004年到2023年这20年中任取两年，取到的这两年有相同的天干或地支的概率是__________.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）已知公差不为零的等差数列na的首项

为1，且125,,aaa是一个等比数列的前三项，记数列na的前n项和为nS.（1）求数列na的通项公式；（2）求数列(1)nnS−的前20项的和.18.（12分）已知ABC为非钝角三角形，内角,,AB

C的对边分别为,,,abcABC的外接圆半径为1,sinsin2BCcaC+=.（1）求角A的大小；（2）求22bc+的最小值.19.（12分）如图，四棱锥PABCD−中，PA⊥平面,ABCDABDC∥，,2,ABADABDCE⊥=为PD上的点且2PEED=.（1

）证明：PB∥平面AEC；（2）设二面角DAEC−−为60,3,33APAD==，求三棱锥EACD−的体积.20.（12分）从甲､乙､丙等10人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何

一人，每次必须将球传出.（1）记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量X，求X的分布列；（2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，求n次传球后球在甲手中的概率.21.（12分）已知抛物线2:2(04)Cypxp=的焦点为F，直线l与抛物线C交于不同的两

点,AB.当5AF=时，以线段AF为直径的圆过点()0,2.（1）求抛物线C的方程；（2）若线段AB的中点在曲线224yx=−上运动，求AOB（其中O为平面直角坐标系的原点）的面积的最小值.22.（12分）已知函数()()22,lnfxxbxgxx=++=，其中b为实数.（1）讨论

函数()()()Fxfxgx=+的单调性；（2）当1b=−时，证明函数()(),fxgx的图象有且只有两条公切线.2023年4月湖湘教育三新探索协作体高二期中联考数学参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.D【解析】{N

12}0,1Bxx=−=∣，所以00,10,1ABxx==∣.2.B【解析】设()i,Rzabab=+，则izab=−，由2zz+=得22a=，所以1a=，由4zz=得224ab+=所以3b=，复数z对应的点在复平面第

一象限内，所以3b=，故13zi=+.3.B【解析】()ln10x+的解集是(){10},ln100xxxx−+∣，反之不成立，所以“0x”是“()ln10x+”的必要不充分条件.4.A【解析】1cos2cos2cossin4223

=+=+=−=−.5.B【解析】令1x=则54012345(1)(11)32maaaaaa++−=+++++=，解得：51(1)mx=+展开式的第1k+项是()5150,1,2,3,4

,5kkkTCxk−+==，所以5(1)x+展开式中的3x的系数为24510,(1)Cx=−展开式的第1k+项是()414(1)0,1,2,3,4kkkkTCxk−+=−=，所以4(1)x−展开式中的3x的系数为1434,1046Ca−=−=−=.

6.C【解析】设椭圆2222:1(0)xyCabab+=上的一点为(),mn则22221mnab+=，因为椭圆C的离心率为32，所以22312ba−=，得2ab=，由于222212mnmnabab=+即2abmn当且仅当mnab=时取到等号，连接椭圆C的四个顶点构成的四

边形的面积为122242Sababmn==，又面积有最小值8，所以48mn=，及,2mnabab==，所以2,1mn==，所以椭圆一定过点()()()()2,1,2,1,2,1,2,1−−−−.7.D【解析】()()1sincossin2,2fxxxxfx==

的最小正周期为()(),sincos2sin,4gxxxxgx=+=+的最小正周期为()2,fx与()gx两函数的周期性不同，故()fx的图象不可由()gx的图象平移变换得到，A错误；易知()fx的图象的对称中心是()(),0,2kkZgx的图象的对称中

心是()(),0,4kkZfx−和()gx的图象没有相同的对称中心，B错误；()fx是奇函数，若()2sin4gxx+=++也是奇函数，则,4kkZ+=即,4kkZ=−，故C错误；()1sincoss

in22fxxxx==由22222kxk−+得44kxk−+，所以()fx的单调递增区间为(),44kkkZ−+，故()fx在区间,44−上单调递增，()sincos2sin4gxxxx=+=+，由2

2242kxk−++得32244kxk−+，所以()gx的单调递增区间为()()32,2,44kkkZgx−+在区间3,44−上单调递增，()fx和()gx都在区间,44−上单调递增，D正确8.A【解析】当0x时，

()'110nnfxnx−=+恒成立，所以函数()nnfxxxa=++在()0,+上单调递增，所以函数()nyfx=在1,12内均存在唯一零点只需()1102nnff即可，即()()1111110222nnnffaa=++++

，因为n为正整数，11222n−−−，所以112,22na−−−对一切1n成立，因为当1n时，11122n−−−，当且仅当1n=时等号成立，所以()2,1a−−.二､多选题：本题共4小题，每小题5

分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.BD【解析】这组数的25%分位数是1718,A2xx+错误，B正确；因为()2,1XN且(1)(3)PXc

PXc−=+，所以1322cc−++=所以1c=所以C错误；依题意试验一次成功的概率为13，且每次试验是相互独立，所以30次试验中成功次数X服从二项分布()1130,,301033XBEX==，所以D正确.10.AC【解析】将方程2224xmym−

=化为标准形式为22124xym−=，方程表示双曲线，则0,Am正确；双曲线E为等轴双曲线时，24m=，即224ab==，所以22c=，焦点坐标为()()22,0,22,0−，故B错误；双曲线E的一个焦点到一条渐近线的距离是定值2b=，故C正确；双曲线22124xym−=的一条渐近线方程

是2yx=，所以2221,5,225amcc====由双曲线的定义知212PFPF−=，又13PF=，所以21PF=或25PF=，又21225PFPFc+=，所以25PF=，故D错误.11.BD【解析】函数()exfxkx=

−的定义域为()()()()2e1,00,,xxfxx−−+=，当0x或01x时，()0fx，当1x时()0fx，所以()fx在(),0−和()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增，A错误；由

()fx在()1,+上单调递增，所以()()3ff，即3ee3kk−−，得33ee，B正确，结合图象，若函数()fx有零点，则ek或0,Ck错误；令()()()gxhxfx+=，则有()()()gxhxfx−+−=−即()()

()gxhxfx−+=−，所以()()()()()(),22fxfxfxfxhxgx+−−−==，且()ee,D2xxhxkx−−=−正确.12.ACD【解析】对于A选项，在直三角形中若CDAB⊥折成直二面

角ACDB−−后有CDAB⊥，因为,CDDACDDB⊥⊥又DADBD=，所以CD⊥平面DAB，所以,ACDAB⊥正确；对于B选项，作AMCD⊥于M，因为二面角ACDB−−是直二面角，可得AM⊥平面CBM，所以AMCB⊥，若BMCB⊥，则可得CB⊥平面ABM，所以

,BCBAB⊥错误；对于C选项，当CDAB⊥时，可得496,,,,,,131313BDADCDABCD===四点所在同一个球面的半径为222168136133213131313RBDADCD=++=++=，外接球的表面积为2133413R=，C正确；对于D.设()090ACD=，则9

0BCD=−，作AMCD⊥于,MBNCD⊥于N，于是3sin,3cosAMCM==，2sin,2cos,2sin3cosCNBNMN===−，因为二面角ACDB−−是直二面角且AMCD⊥，,BNCDAM⊥与BN成90角，2222229sin4cos

(2sin3cos)136sin27ABAMBNMN=++=++−=−当45=，即CD是ACB的平分线时，AB有最小值，最小值是7,D正确.三､填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.10【解析】由()5,0ab−=，可得()10aba−=.14.-1或5【解

析】易知圆心在线段AC的垂直平分线上，该直线方程为2x=，设圆心坐标为()2,b，半径为r，所以291bbr+=+=，解得4,5br==，所以所求圆的方程为22(2)(4)25xy−+−=，点(),8Da在圆22(2)(4)25

xy−+−=上，所以22(2)(84)25a−+−=，解得1a=−或5a=.15.(),10,−−+【解析】由题意，得()22coscosxafxx+=，（1）若()fx在,22−上单调递减，则

()0fx恒成立，即2cosax−恒成立，所以1a−，（2）若()fx在,22−上单调递增，则()0fx恒成立，即2cosax−恒成立，所以0a.综上，实数a的取值范围为

(),10,−−+.16.（1）己巳（2）995【解析】（1）2049-2023=26，26除以10余6，故2049年天千数为己，26除以12余2，故2049年地支数为巳，所以2049年为已巳年；（2）2004年到2023年

这20年中，前10年的天干与后十年的天干重复一遍，前12年的地支有8年与后8年的地支重复一遍，所以取到的这两年有相同的天干或地支的概率是220108995pC+==.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步

骤.17.（10分）【答案】见解析.【解析】（1）设等差数列na的公差为d，又11a=，所以()11nand=+−.因为125,,aaa是一个等比数列的前三项，所以2152aaa=.即214(1)dd+=+又0d，所以2d=所以数列na的通项公式为21nan=−（2）由（1）知数列

na的前n项和21212nnSnn+−==所以2(1)(1)nnnSn−=−，数列(1)nnS−的前20项的和为()()()2222221201234192012341920202102+−++−+++−+=++++++==18.（

12分）【答案】见解析.【解析】（1）由sinsin2BCcaC+=及正弦定理得sinsinsinsin2BCCAC+=又sin0C所以sinsin2BCA+=又ABC++=所以cos2sincos222AAA=因为022A所以cos02A所以1sin22A=所以,26

3AA==（2）由ABC的外接圆半径为1及正弦定理有2sinsinbcBC==所以()22224sinsinbcBC+=+()42cos2cos2BC=−+442cos2cos23BB=−+−42sin26B=+−ABC为非钝角三角形，则

0202BC，所以022032BB−得62B所以52666B−，得1sin262B−所以42sin256B+−故22bc+的最小值

为519.（12分）【答案】见解析.【解析】（1）证明：连接BD交AC于点F，连接EF因为ABDC∥所以ABFCDF，所以ABBFCDDF=又2ABDC=所以2BFDF=因为E为PD上的点且2PEED=所以PBEF

∥.因为EF平面,AECPB平面AEC所以PB∥平面AEC（2）因为PA⊥平面,ABCDABAD⊥所以,,ABADAP两两互相垂直.如图，以A为坐标原点，,,ABADAP的方向为,,xyz轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz−，则()()()()0

,0,0,0,33,0,0,23,1,0,23,1ADEAE=设()2,0,0(0)Bmm，则()(),33,0,,33,0CmACm=设()1,,nxyz=为平面AEC的法向量，则1100nAEnA

C==即230330yzmxy+=+=可取()133,,23nmm=−.又()21,0,0n=为平面DAE的法向量，由题设121cos,2nn=即233122713m=+解得913m=因为2PEED=，所以三棱锥EACD−的高为1.

三棱锥EACD−的体积119939331322613V==20.（12分）【答案】见解析.【解析】（1）X可能取值为0,1,2,3，()0337310350120CCpXC===()1237310631

120CCpXC===()2137310212120CCpXC===()303731013120CCpXC===所以随机变量X的分布列为X0123P72421407401120（2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且记nA表示事件“经过n次传球

后，球在甲手中”，设n次传球后球在甲手中的概率为,1,2,3,npn=，则有11110,nnnnnpAAAAA+++==+，所以()()()11111nnnnnnnnnpPAAAAPAAPAA+++++=+=+()()()()()()111110122nnnnnnnnnPAPAAPA

PAAppp++=+=−+=−∣∣即111,1,2,322nnppn+=−+=，所以1111323nnpp+−=−−，且11133p−=−所以数列13np−表示以13−为首项，12−为公比的等比数列所以111133

2nnp−−=−−，所以1111111132332nnnp−−=−−+=−−即n次传球后球在甲手中的概率是11(1)132nn−−+.·21.（12分）【答案】见解析.【解析】（1）已知抛物线的焦点,02pF，设()

11,Axy，由则线段AF为直径的圆过点()0,2得()11,2,202pxy−−=所以()112202pxy−−=.又()11,Axy在抛物线2:2Cypx=上，所以2112ypx=所以2118160yy−+=得

184,,4yAp=又5AF=所以852pp+=，而04p解得2p=故抛物线的方程为24yx=.（2）设直线l的方程为,,xtymAB=+坐标为()()1122,,,,AxyBxyAB的中点坐标为()0

0,xy由24yxxtym==+消y并整理成2440ytym−−=在()2Δ160tm=+时，有124yyt+=，所以02yt=得2002xtymtm=+=+.又线段AB的中点在曲线224yx=−上所以20024yx=−得()224224ttm=+−，解得2m=所以直线l过定点()2

,0.AOB的面积为()2221212112442422yyyyyyt−=+−=+所以当直线l垂直x轴时，AOB的面积最小且最小值为4222.（12分）【答案】见解析.【解析】（1）()()()22ln(0)Fxfxgxxbxxx=+=+++()21212xbxFxxbxx++=

++=.当22b−时，()0Fx对0x恒成立，所以()Fx在()0,+上单调递增.当22b−时，2210xbx++=有两个不同实数根221288,44bbbbxx−−−−+−==知120xx，当10xx或2xx时()0Fx，当12xxx时()0Fx所以()F

x在()10,x和()2,x+上单调递增，在()12,xx上单调递减综上，当22b−时()Fx在()0,+上单调递增，无单调递减区间当22b−时，()Fx在280,4bb−−−和28,4bb−+

−+上单调递增，在2288,44bbbb−−−−+−上单调递减（2）当1b=−时，设直线l与()(),fxgx的图象分别切于点()()211122,2,,lnxxxxx−+()22fxxx=−+，求导得()21fxx=−故l的方程

为()()()21111221yxxxxx−−+=−−即()211212yxxx=−−+.()lngxx=求导得()1gxx=故l的方程为()2221lnyxxxx−=−即221ln1yxxx=+−.所以12212121

2ln1xxxx−=−+=−消去1x，并整理成()222221ln304xxx++−=记()22(1)ln3(0)4xGxxxx+=+−，则()()()332111122xxxGxxxx+−+=−

=当01x时，()()0,GxGx单调递减，当1x时，()()0,GxGx单调递增所以()Gx在1x=时有极小值也是最小值，且()120G=−又()()23361ee04eG+=所以()Gx在1x时有且只有一个零点又()()()2233361ee1

24e604e4G−−−++−=−=故()Gx在01x时有且只有一个零点，所以()Gx在()0,+有且只有两个不同的零点即方程()222221ln304xxx++−=在()0,+有且只有两个不同的实数根所以当1b=−时，函数()(),fx

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