【文档说明】《精准解析》浙江省金丽衢十二校2022-2023学年高三上学期第一次联考数学试题（解析版）.docx，共(25)页，1.412 MB，由小赞的店铺上传

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金丽衢十二校2022学年高三第一次联考数学试题命题人：永康一中高雄略吴桂平一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合1,2,3,4,5A=，

25Bxx=，则()RAB=ð（）A.1,5B.1,2C.1,2,5D.1【答案】A【解析】【分析】先求出RBð，再根据交集的定义求解()RABð.【详解】25Bxx=R2Bxx=ð或5x所以

R1,2,3,4,52ABxx=ð或51,5x=故选：A2.若复数z满()1izz+=（i为虚数单位），则z=（）A.11i22−−B.11i22−+C.11i22−D.11i22+

【答案】B【解析】【分析】将已知等式()1izz+=整理成i1iz=−，在根据复数的除法运算化简即可.【详解】解：因为()1izz+=，所以()1iiz−=，则()()()i1ii1i11i1i1i1i222z+−+====−+−−+.故选：B.3.5sin202++=，(),0

−，则tan=（）A.12B.2C.12−D.2−【答案】A【解析】【分析】将5sin202++=化简可得2cos5=−，再根据22sincos1+=，(),0−，算出1sin5=−，即可得tan的值.【详解】由5sin202++=

得，2sincos25+==−，则21sin1cos5=−=，又(),0−，sin0，则21sin1cos5=−−=−，sin1tancos2==，故选：A.4.早在一万多年前的新石器时代，生

活在金丽衢地区古人就开始制作各种石器，今天在浦江上山遗址、水康湖西遗址、义乌桥头遗址等还可以见到各种当时的石器，现在农村还在使用的石磨就是从古代的石器演变而来的.如果一个石磨近似看作两个圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面直径是80cm，每个圆柱体的高为30cm，那么这两个圆柱体

的表面积之和为（）A.24800πcmB.25600πcmC.26400πcmD.211200πcm【答案】D【解析】【分析】先求出一个石磨的表面积，即求得两个石磨的表面积.【详解】解：由题意可得一个石磨底面积为：S底=22802π()3200πcm2=，S侧=π8030=2

400π所以一个石磨的表面积为：23200π+2400π=5600πcm，所以两个石磨的表面积为：25600π2=11200πcm.故选：D5.已知向量()1,0a=−，(),1bxx=−，则0x是向量a，b夹角为钝角的（）A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.必要不充分条件

D.充分不必要条件【答案】C【解析】【分析】若向量a，b夹角为钝角，则满足()00ababb，求出x的范围，然后验证充分性与必要性.【详解】因为(),10bxxb=−又因为向量a，b夹角为钝角所以满足()

()000110abxxxabb−−−所以0x且1x因为0x推不出0x且1x，所以充分性不成立又因为0x且1x能推出0x，所以必要性成立所以0x是向量a，b夹角为钝角必要不充分条件故选：C6.从2至7的6个整数中随机取3个不同的数，则这三

个数作为边长可以构成三角形的概率为（）A.70%B.65%C.60%D.50%【答案】B【解析】【分析】利用组合知识求出一共有的情况数，再用列举法求出这三个数作为边长可以构成三角形的情况数，从而求出概率.【详解】

6个整数中取3个不同的数，共有36C20=种情况，三个数作为边长可构成三角形的有()()()()()()()()()()2,3,4,2,4,5,2,5,6,2,6,7,3,4,5,3,4,6,3,5,6,3,5,7,3,6,7,

4,5,6,()()()4,5,7,4,6,7,5,6,7，共有13种情况，的所以概率为0000131006520=故选：B7.已知3ln102a=，3ln210b=，4ln33c=，则（）A.acbB.b<c<aC.cab=D.abc=【答案】D【解析】【分

析】根据lneNN=(0)N对,,abc变形，可得ab=，利用基本不等式、指数函数和对数函数的单调性可得ac，从而可得答案.【详解】因为3ln102a=3ln10ln23ln10ln2ee==，3ln23ln2ln103ln2ln1010eeb===，

所以ab=，因为()24ln34ln34ln3ln33eec===()()222ln3ln9ee==，3ln2ln10ln8ln10eea==2ln8ln102e+2ln802e=()

22ln81ln92eec==，所以abc=.故选：D8.定点A和动点P是抛物线()220ypxp=上的两点，点B与点A关于x轴对称，其中P与A、B不重合，且P的纵坐标为t，直线AP，BP的斜率之差为m

，斜率之积为n，当t从小到大变化时，mn的变化情况是（）A.先变小后变大B.先变大后变小C.一直不变D.以上情况都不对【答案】C【解析】【分析】先利用点B、点A、点P求得直线AP，BP的斜率，进而得到mn的解析式，化简整理后即可得到当t从小到大变化

时，mn的变化情况.【详解】设211(,)2yAyp，211(,)2yByp−，2(,)2tPtp，()11,0tyy则12211222APtypkyttypp−==+−，12211222BPtypkyttypp+==−−则11

112222ppmtytyppntyty−=+−=+−，则111112222pptytyymppnptyty−+−==−+−则当t从小到大变化时，mn的变化情况是一直不变.故选：C二、选择题（本题共4小题，每小题

5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.数列na的通项为3113nna−=，它的前n项和为nS，前n项积为nT，则下列说法正确的是（）A.数列na

是递减数列B.当30n=或者31n=时，nS有最大值C.当17n=或者18n=时，nT有最大值D.nS和nT都没有最小值【答案】ABC【解析】【分析】根据数列的通项得出数列na是以3013为首项，以113-为公差的等差数列,然

后根据等差数列的特征分别对每个选项进行分析即可求解.【详解】因为数列na的通项为3113nna−=，则1113nnaa+−=−，所以数列na是以3013为首项，以113-为公差的等差数列，因为公差0d，所以数列na是递减数列，故选项A正确；因为3113nna

−=，当31n时，0na；当30n时，0na，因为310a=，所以当30n=或者31n=时，nS有最大值，故选项B正确；由3113nna−=可知：1714113a=，181a=，1912113a=，所以当17n=或者18n=时，nT有最大值，

故选项C正确；根据数列前30项为正数，从第31项开始为负数可知：nS无最小值，因为310a=，当31n时，0na，但零乘任何数仍得零，所以nT有最小值0，故选项D错误，故选：ABC.10.设点A，B，C，D是曲线221100xy+=上的依次四点，对于四边形ABCD，下列可能成

立的是（）A.四边形ABCD有三个内角为锐角B.四边形ABCD有三个内角为钝角C.四边形ABCD有且仅有三边相等D.四边形ABCD为非等腰的梯形【答案】ABCD【解析】【分析】曲线为椭圆，作出符合条件的四边形ABCD，则说明这样的四边形ABCD存在.【详解

】曲线221100xy+=为椭圆，点A，B，C，D是椭圆上的依次四点.取()()3113110,1,1,,0,1,1,1010ABCD−−−−，如图所示，四边形ABCD中C为钝角，其余三个内角为锐角，A选项正确；取()333118

,,8,,0,1,1,5510ABCD−−−−，如图所示，四边形ABCD中D为锐角，其余三个内角为钝角，B选项正确；取()0,1A，以A为圆心，2为半径作弧，与椭圆在第一象限相

交于点D，在第四象限相交于点B，D为圆心，2为半径作弧，与椭圆在第一象限相交于点C，如图所示，则四边形ABCD中，ABCDDABC==，有且仅有三边相等，C选项正确；直线yx=与椭圆相交于,AB两点，直线8yx=−与椭圆相交于,

CD两点，如图所示，则//ABCD，ADBC，四边形ABCD为非等腰的梯形，D选项正确.故选：ABCD11.已知函数()yfx=的导函数()yfx=，且()()()12fxxxxx=−−−，12xx，则（）A.2x是函数()yf

x=的一个极大值点B.()()12fxfxC.函数()yfx=在1223xxx+=处切线的斜率小于零D.1202xxf+【答案】AB【解析】【分析】根据导数符号与单调性的关系，以及极值的定义逐项分析判断.【详解】令()0fx¢>，解得12xxx

，则()fx在()12,xx上单调递增，令()0fx，解得2xx或1xx，则()fx在()()12,,xx−+,上单调递减，故2x是函数()yfx=的一个极大值点，()()12fxfx，A、B正确；∵121223xxxx+，则12203xx

f+，故函数()yfx=在1223xxx+=处切线的斜率大于零，C错误；又∵12122xxxx+，则()()12122xxfxffx+，但无法确定函数值的正负，D错误；故选：AB.12

.正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，中心为O，以O为球心的球与四面体11ABCD的四个面相交所围成的曲线的总长度为23π3，则球O的半径为（）A.1524B.1512C.156D.153【答案】BC【解析】【分析】根据正四面体性质可求得球心O到正四面体每个

面的距离36d=；当正四面体每个面截得的曲线为一个圆时，可求得小圆的半径r，由222Rrd=+可求得R；当正四面体每个面截得的曲线为三段等差的圆弧时，可得π3π6cos3186rr−=，构造函数()π3π6cos3366frrr=−−，利用导数可求得

()fr在()0,+上单调递增，可确定其唯一零点33r=，由222Rrd=+可求得结果.【详解】由题意可知：四面体11ABCD为正四面体，设球O的半径为R；正方体棱长为1，正四面体的棱长为2，设球心O到正四面体各个面

的距离为d，正四面体体积11114111323V=−=，表面积134222322S==，336VdS==；①若正四面体的一个面截球如图所示，设小圆半径为r，则12332πππ436r==，解得：312r=，222548Rrd=+=，解得：1512R=；②若

正四面体的一个面截图如图所示，每个面截球所得的曲线长为123π3π436=，MQ的长为3π18，设小圆半径为r，1O为正四面体侧面的中心，E为MN中点，13π18QOMr=，()2211262326OE=−=，又12π3QON=，1π3π

336MOEr=−，6π3π66cos3366rrr−==，令()π3π6cos3366frrr=−−，()22π3π3π6sin336366frrrr=−−+，22263π663π063636rrr−−=

恒成立，()fr在()0,+上单调递增，又3ππ622cos0331222363f=−−=−=，33r=，222512Rrd=+=，解得：156R=；综上所述：球O的半径为1512或156.故选：B

C.【点睛】关键点点睛：本题考查球的截面截球所得曲线相关问题的求解，解题关键是能够通过分类讨论的方式，确定正四面体各个侧面截球所得曲线的不同情况，从而根据不同情况下曲线长度来求解截面圆的半径.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.

若()62601262xaaxaxax−=++++，则01236aaaaa+++++=______.【答案】729【解析】【分析】由展开式的通项可得：x的奇数次项系数为负数，x的偶数次项的系数为正数，令=1x−即可求解.【详

解】因为()62x−的展开式的通项6162C()rrrrTx−+=−，所以含x的奇数次项的系数为负数，含x的偶数次项的系数为正数，在()62601262xaaxaxax−=++++中，令=1x−可得：6012693

72aaaa−−=+=+，即01236729aaaaa+++++=，故答案为：729.14.已知1F，2F是双曲线221412xy−=两个焦点，P是双曲线上的一点，且1260FPF=，则点P到y轴的距离为______.【答案】13【解析】【分析】在双曲线焦点三角形中，利用

余弦定理求出1248PFPF=，然后利用面积相等即可求解.【详解】由双曲线方程可得：2,4ac==，在12PFF△中，由余弦定理可得：2222212121212121212122cos()24FFPFPFPFPFFPFPFPFPF

PFPFPFaPFPF=+−=−+−=+即221244caPFPF=+，解得：1248PFPF=，设点00(,)Pxy，则12121200111sin602222PFFSPFPFFFycy===，即032442y=，解得：033y=，将点00(,)Pxy代入双曲线方

程可得：013x=也即点P到y轴的距离为13，故答案为：13.15.已知直线24yxm=−++和圆222143xymm+=++和曲线nyx=都经过同一点P，则n的取值范围是______.【答案】9,49【解析】【分析】联立方程

，由题意相交得判别式0，此时分类讨论Δ0=，0时对应的方程的解及方程解满足的条件，由nxy=即可求出n的取值范围.详解】联立22224143yxmxymm=−+++=++，消去y得()222423

2130xmxmm−++++=，则()()()()22162832138150mmmmm=+−++=−−−，解得15m.解方程得()()()()8152152242mmmmxmm−−−−−=+=+，①当Δ0=时，1m=或5m=，当1m=时，23xm=+=，243,9y

xmnxy=−++===；当5m=时，27xm=+=，247,49yxmnxy=−++===；②当0时，15m，当()()21522mmxm−−=+−时，()()2152422mmyxmm−−=−++=++，()()

()22215311924233mmnxymm−−==−−=++，此时949n.由于直线24yxm=−++和圆222143xymm+=++和曲线nyx=均关于yx=对称，所以根据对称性，只需计算点()()()()2152152,222m

mmmmm−−−−+−++即可.综上：n的取值范围是9,49.故答案为：949，16.函数()()332213yxxxx=+++−+的最大值为______.【答案】8【解析】【分析

】先求出定义域，再分0,1x，)2,0−与)3,2−−三种情况，结合柯西不等式，求出最大值.【详解】由题意得：()()130xx−+，解得：31x−，【当0,1x时，()()()()()222222312232141841

yxxxx=++++−+−++=，当()()223:21:41xx=+−+，即31x=−时取等号，当)2,0x−时，()212322434xy−+=++，当=1x−时取等号，当)3,2x−−时，()()()()()222222312232141

841yxxxx=−++−+−+−+++=，当()()223:21:41xx−=+−+，即13x=−−时取等号，因为8234+，所以最大值为8.故答案为：8【点睛】柯西不等式在求解不等式最值或者证明不等式方面是一个强有力工具，使用好柯西

不等式的关键是要对不等式进行变形，使得不等式一边为定值，且注意柯西不等式取等号的条件是否满足.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.将等差数列na排成如图所示的三角形数阵：已知第三行所有数的和为6，第6行第一个数为20−

（1）求数列na的通项公式；（2）设mb为数阵中第m行的第一个数，求23100111101010bbb+++−−−.【答案】（1）122nan=-（2）99100【解析】【分析】（1）设等差数列na首项为1a，公差为d，由第三行

所有数的和为6，第6行第一个数为20−可得关于1a和d的二元一次方程组；（2）由图可得，第m行有m个数字，则第m行的第一个数为na第k项，其中()11231112mmkm−=++++−+=+，据此可得mb，后利用裂项相减

法可得答案.【小问1详解】的设等差数列na首项为1a，公差为d.由第三行所有数的和为6可得：456536aaaa++==，得52a=.由第6行第一个数为20−知1620a=−，则111421015202adaadd

+==+=−=−，得数列na的通项公式为122nan=-，Nn.【小问2详解】由图可得，第m行有m个数字，则第m行的第一个数为na第k项，其中()11231112mmkm−=++++−+=+.则()211211102mkmmbaamm−==−

+−=−++.21111101mbmmmm==−−−−，则23100111101010bbb+++−−−1111199122399100100=−+−++−=.18.如图，在直三棱柱111ABCABC-中，底面AB

C是边长为2的正三角形，12AA=，D为AC上的点，过1A，1B，D的截面交BC于E（1）证明：//DEAB；（2）若二面角1BDEB−−的大小为60，求几何体111CDEABC−的体积.【答案】（1）证明见解析（2）26327【解析】【分析】（1）由线线平

行得到线面平行，再由线面平行的性质证明出线线平行；（2）作出辅助线，证明出几何体111CDEABC−是三棱台，求出上下底面的面积，利用台体体积公式求出答案.【小问1详解】由题：11//ABAB，因为11AB平面11ABDE，AB平面11ABDE，所以//AB平面11ABDE，

又AB平面ABC，且平面11ABDE平面ABCDE=，所以//ABDE.【小问2详解】过B作DE的垂线，垂足为F，连接1BF，因为1BB⊥平面ABC，DE平面ABC，所以1BBDE⊥，因为1BBBFB=，1,BBBF平面1BBF，所以DE⊥平面1BBF，因为

1BF平面1BBF，所以1DEBF⊥所以1BFB就是二面角1BDEB−−的平面角，即有160BFB=又12BB=，所以123tan603BBBF==，底面ABC是边长为2的正三角形，取AB的中点G，连接CG，交AE于点H，则CG⊥AB，且2sin60

3CG==，233GHBF==，故233333CH=−=所以13CECHCBCG==，12332ABCS==，1399CDEABCSS==△△，因为11//DEAB，所以11,,,ABED四点共线，又1AD，1BE不平行，故

1AD，1BE相交，且由公理可知交点必定在1CC上，所以几何体111CDEABC−是三棱台，因为12AA=，所以三棱台的高2h=，所以几何体111CDEABC−的体积为()11111113ABCADBCDEECCSSSSh++13326332339927

=++=.19.如图，在ABC中，点D在边BC上，sinsinBDCADABBAD=（1）证明：ACCD=；（2）若2CDBD=，1sin4BAD=，求cosC.【答案】（1）证明见解析（2）14【解析】

【分析】（1）在ABD△中根据题意结合正弦定理分析运算；（2）不妨设1BD=，在ADC△、ABC、ABD△中利用余弦定理运算求解.【小问1详解】在ABD△中，由正弦定理知：sinsinABBDBDABAD=

，即sinsinBDBDAABBAD=又sinsinBDCADABBAD=，可得sinsinsinCADBDAADC==，在ACD中，所以CADADC=，所以ACCD=.【小问2详解】不妨设1BD=，则22ACCDBD===在ADC△中，由余弦定理知；2222

cos88cosADACCDACCDCC=+−=−在ABC中同理可知：21312cosABC=−在ABD△中，222215cos1sin42ADABBDBADBADADAB+−=−==即有()()()101cos15488cos1312cosCCC−=−−解得

1cos4C=.20.某校高一（1）班总共50人，现随机抽取7位学生作为一个样本，得到该7位学生在期中考试前一周参与政治学科这一科目的时间（单位：h）及他们的政治原始成绩（单位：分）如下表：复习时间t2

35681216考试分数y60697881859092甲同学通过画出散点图，发现考试分数与复习时间大致分布在一条直线附近，似乎可以用一元线性回归方程模型建立经验回归方程，但是当他以经验回归直线为参照，发现这个经验回归方程

不足之处，这些散点并不是随机分布在经验回归直线的周围，成对样本数据呈现出明显的非线性相关特征，根据散点图可以发现更趋向于落在中间上凸且递增的某条曲线附近，甲同学回顾已有函数知识，可以发现函数lnyx=具有类似特征中，因此，甲同学作lnxt=变换，得到新的数据()1,

2,,7ixi=，重新画出散点图，发现y与x之间有很强的线性相关，并根据以上数据建立y与x之间的线性经验回归方程ybxa=+$$$.考前一周复习投入时间（单位：h）政治成绩合计优秀不优秀≥6h<6h合计50

（1）预测当1t=时该班学生政治学科成绩（精确到小数点后1位）；（2）经统计，该班共有25人政治成绩不低于85分，评定为优秀，而且在考前一周投入政治学可复习时间不低于6h共有30人，除去抽走的7位学生，剩下学生中考前一周复习政治的时间不少于6h政治不优秀共有6人，请填写下面的

22列联表，依据小概率值0.001=的2独立性检验，能否认为政治成绩与考前一周复习时间有关.附：ln20.7，ln31.1，ln51.6，711049.6iiixy==，72126.0iix==，()()()1122211ˆnniiiiiinniiiixxyyxynxyb

xxxnx====−−−==−−，()()()()()22nadbcabcdacbd−=++++0.010.0050.001x6.6357.87910.828【答案】（1）51.9分；（2）表格见解析，认为政治成绩与考前一周复习时间有关，此推断犯错误的概率不超过

0.001.【解析】【分析】（1）将71722177iiiiixyxybxx==−=−，aybx=−$$算出，再令ln10x==，即可估计该班学生政治学科成绩；.（2）零假设为0H：认为政治成绩与考前一周复

习时间无关，计算出()()()()()22nadbcabcdacbd−=++++，与10.828比较大小即可得到结论.【小问1详解】()7111ln2ln3ln5ln6ln8ln12ln161.877iixx===++++++，()71116069788185909279.3

77iiyy===++++++，所以717221715.27iiiiixyxybxx==−=−，且51.9aybx=−,所以预测当1t=时,ln151.9yba=+,即该班学生政治学科成绩约为51.9分.【小问2详解】22列联表：考前一周复习投入时间（单位：h）政治成绩合计优

秀不优秀≥6h23730<6h21820合计252550零假设为0H：认为政治成绩与考前一周复习时间无关，()()()()()2221.3310.828nadbcabcdacbd−=++++，依据0.001=的独立性检验，推断0H不成立，即认为政治成绩与考前一周复

习时间有关，此推断犯错误的概率不超过0.001.21.已知椭圆C：()222210xyabab+=的长轴为4，离心率为22（1）求椭圆C的方程；（2）如图，过点()4,0P的直线l与C交于A，B，过A，B作直线1l：xt=的垂线，垂足分别为M，

N，记AMP，MNP△，BNP△的面积分别为1S，2S，3S，问：是否存在实数t，使得1322SSS为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）22142xy+=（2）1t=时，定值14，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意列出等式，即可

求解；（2）设()11,Axy，()22,Bxy，AB：4xmy=+，由题意可得()()()()()221212121322221244(4)yymyytmyytSSSyyt+−++−=−−，联立4xmy=+与2224xy+=，得到12212282122myymy

ym−+=+=+，代入1322SSS即可求解【小问1详解】因为椭圆C：()222210xyabab+=的长轴为4，离心率为22，所以2422aca==，解得2a=，2c=，故222bac=−=，所以椭圆C的方程为22142x

y+=【小问2详解】设()11,Axy，()22,Bxy，AB：4xmy=+，则()11112Syxt=−，()2121(4)2Syyt=−−，()32212Syxt=−，则()()()()()()()()2212121211221322222121244(4

)(4)yymyytmyytyxtyxtSSSyytyyt+−++−−−==−−−−①，联立4xmy=+与2224xy+=，消去x得()2228120mymy+++=，则()21660m=−，得26m，12212282122myymyym−

+=+=+代入①得()()222221322222212128442228124(4)22mmtmtmmmSSSmtmm−+−+−+++=−−−++()()()()222223464464tmtmt

−+−=−−则当()()223414tt−=−−即1t=时，1322SSS为定值14【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,xyxy；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算

；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx+、12xx（或12yy+、12yy）的形式；（5）代入韦达定理求解.22.已知函数()exfxax=−，()2gxxa=−+（1）当1a=时，求函数()()yfxgx=−的最小值；（2）设01a，证明：曲线()yf

x=与曲线()ygx=有两条公切线.【答案】（1）0（2）证明见解析【解析】【分析】（1）令()()()Fxfxgx=−，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值；（2）设曲线()yfx=与曲线()ygx=分别在点()()1

1,Axfx，()()22,Bxfx处有公切线，即可得到方程组，消去1x得()()222221ln2axaxxa−−−=+，令22tax=−，则244ln240aattat+++−−=，则问题转化为方程244ln240aattat+++−−=有两个不同的解，构造函数利用导数

证明即可.小问1详解】解：令()()()Fxfxgx=−，则()2e1xFxxx=+−−，()e21xFxx=+−，易知()e21xFxx=+−在R上单调递增，且()00F=，所以(),0x−时，()0Fx，()

Fx单调递减，()x+0,时，()0Fx，()Fx单调递增，()200e0010F=+−−=，所以当0x=时，函数()()yfxgx=−有最小值为0；【小问2详解】证明：曲线()yfx=与曲线()

ygx=分别在点()()11,Axfx，()()22,Bxfx处有公切线，等价于直线()()()111yfxfxxx−=−与直线()()()222ygxgxxx−=−重合，又()exfxa=−，()2gxx=−，即()112122e1e2xxxxaa

x−=+−=−，消去1x得()()222221ln2axaxxa−−−=+，令22tax=−，则有()()22441ln44ln240aatttaattat+−=−+++−−=（*），曲线()yfx=与曲线()ygx=有两条公切线即证（*）有两个不同的解，令()244ln2

4aahtttat+=++−−，则()()()24tatahtt−++=，【因为01a，所以()0,xa，()0ht，()ht单调递减；(),xa+，()0ht，()ht单调递增，故()ht有最小值为()4ln0haa=，又()()

24244ln24024aahaaa++=+++，所以()ht在区间(),a+上有唯一零点；下面考虑()ht在区间()0,a上的零点情况：先证：对任意的正数m，存在正实数()Im，使得当()0xIm时，都有lnmxx−（**），令()lnmkxxx=+，则()221m

xmkxxxx−=−=，所以当0xm时()0kx，当x>m时()0kx，所以()kx在()0,m上单调递减，在(),m+上单调递增，所以()kx有最小值()ln1kmm=+，（i）当1em时，()ln

10kmm=+，()Im可以是任意的正数；（ii）当10em时，由（i）知()2122ln0kmmm=+，取()2Immm=，则当()0xIm时，都有lnmxx−，所以对任意的正数m，当20xm时，都有lnmxx

−，所以当()223016aat+，()2224344ln242424aaaaaaahtttatatatttt+−−+=++−−++−−=+−−，当6at=时，1124206ataat+−−=−，所以取()2203min,166

aaat+=时，()00ht，所以()ht在区间()0,a上也有唯一零点，综上，（*）有两个不同的零点即曲线()yfx=与曲线()ygx=有两条公切线.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是

利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue10

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