【文档说明】湖南师范大学附属中学2020届高三上学期第三次月考数学（理）试题【精准解析】.doc，共(25)页，1.734 MB，由小赞的店铺上传

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长沙市一中2020届高三月考试卷(三)数学(理科)一､选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2340Axxx=−−,3Bxx=,则AB=()A.)1,3−B.(,4−C.

1,4−D.(),3−【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式求出集合A，再利用集合的并运算即可求解.【详解】由234014Axxxxx=−−=−，3Bxx=，所以(4,4ABxx==−，故选：B【点睛】本题考查了集合的并运算，同时考查了

一元二次不等式的解法，属于基础题.2.已知欧拉公式cossinixexix=+(i为虚数单位),则根据欧拉公式3ie表示的复数在复平面位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】3ie表示的复数为：

cos3sin3i+，根据3,2即可得出结论.【详解】由题意可得3iecos3sin3i=+，3,2，cos30,sin30，因此在复平面中位于第二象限.故选：B【点睛】本题考查了复数的几

何意义以及三角函数的象限符号，属于基础题.3.已知函数()31221,13log,1xxfxxx−−=+,则()()4ff=()A.3B.4C.5D.14【答案】A【解析】【分析】首先将4代入对应解析式求出()41f=，再求()1f即可.【详解】由()31221

,13log,1xxfxxx−−=+，所以()1243log4321f=+=−=，则()()()3141213fff−==−=.故选：A【点睛】本题考查了分段函数的函数值，同时考查了指数、对数的运算，属于基础题.4.已知1sin62−=,且0,2

,则cos=()A.0B.12C.32D.1【答案】B【解析】【分析】首先利用同角三角函数的基本关系求出cos362−=，再由coscos66=−+，利用两角和的余弦公式即可求解.【详解】由1sin62−=,且0,2,所

以2cos1sn23i66−=−−=，所以311coscoscoscossinsin666666442=−+=−−−=−=.故选：B【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式，属于

基础题.5.()()4212xx++的展开式中3x的系数为()A.31B.32C.36D.40【答案】D【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式1rnrrrnTCab−+=以及多项式相乘即可求解.【详解】()()4212xx++的展开式中3x的系数为：31344121283240CC+

=+=.故选：D【点睛】本题考查了二项式系数，特别注意对x系数的化简，需熟记二项式展开式的通项公式，属于基础题.6.函数()ln11xfxx−=−的大致图象是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析

】首先利用特殊值令12x=，判断函数值的正负可排除B、C，再验证()2fx−与()fx的关系即可求解.【详解】令12x=，则1ln1122ln201212f−==−，排除B、C；()()ln21ln1ln122111x

xxfxfxxxx−−−−−===−=−−−−−，即()()20fxfx−+=，故函数图像关于()1,0成中心对称图形，故选：A【点睛】本题考查了函数图像的识别，解决此类问题要充分挖掘函数的性质，可利用排除法，属于中档题.7.等腰直角三角形ABC中,2ABA

C==,点D为斜边BC上的三等分点,且2AMAD=,则MCMB=()A.0B.49C.2D.89【答案】D【解析】【分析】以A为坐标原点，,ACAB为x轴、y轴，根据题意写出各点的坐标，利用向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】

以A为坐标原点，,ACAB为x轴、y轴建立平面直角坐标系，由2ABAC==,且点D为斜边BC上的三等分点,所以()2,0C、()0,2B、42,33D，又2AMAD=，84.33M，24,

33MC=−−，82,33MB=−，2842833339MCMB=−−+−=.故选：D【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示，解题的关键是建立恰当的坐标系，属于基础题.8.已

知数列na为等差数列,其前n项和为nS,且23a=,525S=,若2sin3nnnba=,并设数列nb的前n项和为nT,则9T=()A.32−B.0C.33−D.332−【答案】C【解析】【分析

】利用等差数列的通项公式和前n项和公式求出na的通项公式，然后求出nb，可得nb每3项之和相等，进而求和即可.【详解】由数列na为等差数列,则2111513354255252aadaddadSa=+=+=+==+=，解得1a1,d2==，所以()1121naandn=

+−=−.则123sin32b==，24333sin32b==−，365sin03b==，48737sin32b==，510939sin32b==−，6612sin03ba==，所以1233bbb++=−，4563bbb++=−，所以9127893

3Tbbbbb=+++++=−.故选：C【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，同时考查了三角函数的诱导公式以及数列的周期性，属于中档题.9.已知函数()()()cos0,0fxx=+是奇函数,且在,34−上单调递减.则的

最大值是()A.12B.23C.32D.2【答案】C【解析】【分析】利用函数为奇函数()00f=，从而可得()sinfxx=−，即sinyx=在,34−上单调递增，只需满足03242−−，解不等式组即可.【详解】

因为函数()()()cos0,0fxx=+是奇函数,所以()00f=，所以2=，所以()()cossinfxxx=+=−，因为()fx在,34−上单调递减，所以sinyx=在,3

4−上单调递增，所以03242−−，解得302，所以的最大值是32.故选：C【点睛】本题考查了三角函数的奇偶性求参数值以及利用函数得到单调性求参数的取值范围，熟记三角函数的性质是关

键，属于中档题.10.已知F是双曲线()222210,0xyabab−=的右焦点,P是双曲线的左顶点,过点F且与x轴垂直的直线交双曲线于A,B两点,若2APB,则该双曲线的离心率e的取值范围为()A.()1,2B.()1,2C.()1,3D

.()1,3【答案】A【解析】【分析】由题可知APB△为等腰三角形,只需4APF，即AFPF，从而可得2baca+，进而求出离心率的范围.【详解】由题可知APB△为等腰三角形,只需4APF，即AFPF,即2baca+,即222caaac−+可得22

0ee−−,解得12e.故选：A【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，需熟记双曲线的性质，属于基础题.11.已知函数()fx是定义在|xxR或0x上的偶函数,且0x时,()2logfxx=.若函数()()11122xxgxfx−−=−++,则满足不等式()21214ga−的实数a的

取值范围是()A.()0,2B.()()0,11,2UC.()(),12,−+D.()(),02,−+【答案】D【解析】【分析】根据题意可得()gx关于1x=对称,且当1x时,()gx为增函数,由()21214ga−可得(

)()213gag−,利用函数的对称性只需21121131aa−−−−即可求解.【详解】当0x时,()2logfxx=，即函数在()0,+为增函数，所以()1fx−在()1,+为增函数，令()111422222xxxxhx−−=+=+，

令2xt=，所以()142httt=+，由对勾函数的单调性可知()ht在()2,+为增函数，所以()14222xxhx=+在()1,+为增函数，由题可知函数()()11122xxgxfx−−=−++关于1x=对

称,且当1x时,()gx为增函数,而由不等式()21214ga−可得,()()213gag−,从而21121131aa−−−−﹐得实数a的取值范围是()(),02,−+.故选：D【点睛】本题考查了函数的对称性的应用以及利用函数的单调性解不等式，属于中档题.12.已知函数(

)2,04,0xexxfxxxx−=+,函数()fx的图象在1xx=,2xx=处的切线平行,则12xx−的取值范围为()A.32,ln22+B.)ln5,2C.ln5,2D.3ln5,l

n22+【答案】D【解析】【分析】由题可知,()1,024,0xexfxxx−=+,则()()12fxfx=.设12xx,其中()10,ln5x,进而1121e53ln5,ln222xxxx−−=−+.【详解】由题可知,(

)1,024,0xexfxxx−=+,则()()12fxfx=.不妨设12xx,由2244x+，则114xe−，即()10,ln5x,所以1121e52xxxx−−=−，设()11111e55222

xxexgxx−−=−=−，则()1122xegx−=，当()10gx，则1ln2ln5x，函数()1gx在()ln2,ln5为增函数，当()10gx=，则1ln2x=，当()10gx，则10ln2x，函数()1gx在()0,ln2为减函数，()ln5ln5g=−，

()3ln2ln22g=−−，所以()13ln5,ln22gx+,故选：D【点睛】本题考查了导数的几何意义、导数在研究函数单调性中的应用，属于中档题.二､填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把各题答案的最简形式写在题中的横线上.13.已知x,y

满足21yxxy+,则目标函数zxy=−的取值范围为________.【答案】1,3−+【解析】【分析】作出约束条件的可行域，将目标函数zxy=−化为yxz=−，数形结合求出直线yxz=−截距的取值范围即可求解.【详解】由x,y满足

21yxxy+,作出目标函数的可行域如下（阴影部分）：将zxy=−化为yxz=−，作出yx=，则yxz=−表示与yx=平行的直线，由图可知yxz=−经过A时，截距最大，由21yxxy=+=，解得12,33xy==，所以12,33A

，所以211333z−−=，即13z−，所以目标函数zxy=−的取值范围为1,3−+故答案为：1,3−+【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出可行域，属于基础题.14.过抛物线24y

x=的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,若2AFFB=,则AF=________.【答案】3【解析】【分析】由题意可知直线AB的斜率存在，设出直线方程：()1ykx=−，将直线与抛物线联立，设出交点坐标()()1122,,,Ax

yBxy，利用韦达定理可得121=xx，再根据2AFFB=，结合焦点弦公式可得()12121xx+=+，从而可求出1x，进而求出AF【详解】过抛物线24yx=的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,且2AFFB=,则直线的斜率存在，设直线AB为()1ykx=−，所以()214ykxyx=−

=，整理可得()2222240kxkxk−++=，设()()1122,,,AxyBxy，则121=xx（1）,由2AFFB=，则()12121xx+=+（2）,将（1）（2）联立可求出12x=或11x=−（舍去）所以1113

2pAFxx=+=+=.故答案为：3【点睛】本题考查了抛物线的几何性质，考查了学生的计算能力，属于中档题.15.已知球O是棱长为1的正方体1111ABCDABCD−的外接球,则平面1ACD截球O的截面

面积是________.【答案】23【解析】【分析】画出图形，求出球心到平面1ACD的距离，然后求出截面圆的半径，即可求出截面面积.【详解】如图，由正方体与球的性质可知，正方体的对角线即为球的直径，且1OO⊥平面1ACD，正方体的边长为1，则112362323OD==,即截面的半

径为63，所以截面圆的面积为：26233=，故答案为：23【点睛】本题考查了多面体的外接球问题，考查了空间想象能力，属于中档题.16.在锐角ABC中，2BC=，sinsin2sinBCA+=，则中线A

D长的取值范围是_______;【答案】1332，【解析】【分析】本道题运用向量方法，计算AD的长度，同时结合锐角三角形这一条件，计算bc的范围，即可．【详解】设,ABcACb==，2BCa==，对sinsin2sinBCA+=运用正弦定理，得到24bca+==，解

得4cb=−，结合该三角形为锐角三角形，得到不等式组()()()22222222224444444bcbbcbbbcb+=+−+=−++=−，解得3522b，故()244bcbbbb=−=−+，结合二次函数性质，得到1544bc，运用向量得到()12ADABAC=

+，所以2222221142cos2222bcADABACABACbcbcbc+−=++=++221122428422bcbc=+−=−，结合bc的范围，代入，得到ADuuuv的范围为133,2【点睛】本道题考查了向量的加法运算，考查了锐角三角形判定定理，考查了

二次函数的性质，关键将模长联系向量方法计算，难度偏难．三､解答题:本大题共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题.每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题.考生根据要求作答.(一)必考

题:共60分.17.设函数()()25sincos3sin22fxxxx=+++.(1)求函数()fx的最小正周期T和单调递减区间;(2)在锐角ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且3sincosabAB=,求()fA的取值范围.【答案】(1),()7,121

2kkk++Z;(2)()13,13−+.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式将函数化为()2sin213fxx=++，再利用周期公式2T=可求周期，利用正弦函数的单调递减区间整体代入即3222232kxk−++

+，解不等式即可.（2）利用正弦定理边化角求出3B=，再利用三角形的内角和性质求出62A，代入解析式，根据三角函数的性质即可求解.【详解】(1)()2sincos3cos21fxxxx=++sin23cos21xx=++2

sin213x=++函数()fx的最小正周期22T==,令3222232kxk−+++,kZ,得71212kxk++,kZ,从而函数()fx的单调递减区

间为()7,1212kkk++Z;(2)在锐角ABC中,由3sincosabAB=知,3B=,则022032AA−得62A,从而242,333A+,故()fA的取值范围为()13,13−+.【点睛】本题考查了二倍角

公式、辅助角公式以及三角函数的性质、正弦定理，熟记性质是关键，属于基础题.18.如图,在三棱锥PABC−中,ABC为等腰直角三角形,PBC为等边三角形,其中O为BC中点,且1ABAC==.(1)求证:平面OPA⊥平面

PBC;(2)若3AP=且AP⊥平面EBC,其中E为AP上的点,求CE与平面ABC所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析;(2)66.【解析】【分析】（1）由题意可得BCAO⊥,BCPO⊥,利用线面垂直的判

定定理证出BC⊥平面PAO,从而得证.（2）作PH垂直于平面ABC,垂足为H,由(1)知,点H在直线AO上,以A为原点,AC为x轴,AB为y轴,以过A点与平面ABC垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系,求出CE以及平

面ABC的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.【详解】(1)证明:由题可知,BCAO⊥,BCPO⊥,且AOPOO=,故BC⊥平面PAO,又BC平面PBC,因此平面OPA⊥平面PBC.(2)作PH垂直于平面ABC,垂足为H,由(1)知,点H在直线AO上.如图,以A为原点,AC为

x轴,AB为y轴,以过A点与平面ABC垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系,可得如下坐标:()0,0,0A,()0,1,0B,()1,0,0C,110,22,O,设P点坐标为(),,aah,利用3AP=,62PO=,可得1ah==.从()1,1,1AP=.因为E为AP上的点,故存在

实数,使得AEAP=,点E坐标可设为(),,,由AP⊥平面EBC知,0APCE=,得13=,从而21133,,3CE=−,取平面ABC的一个法向量()0,0,1n=.设CE与平面

ABC所成角的为,6sin6CEnCEn==.故CE与平面ABC所成角的正弦值为66.【点睛】本题考查了面面垂直的判定定理以及空间向量的数量积求线面角，要证面面垂直，需证线面垂直，此题属于中档题.19.

中国大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中开设大学先修课程已有两年，两年共招收学生2000人，其中有300人参与学习先修课程，两年全校共有优等生200人，学习先修课程的优等生有

60人.这两年学习先修课程的学生都参加了考试，并且都参加了某高校的自主招生考试，结果如下表所示：分数a95100a8595a7585a6075a60a人数20551057050参加自主招生获得通过的概率0.90.80

.60.50.4（1）填写列联表，并画出列联表的等高条形图，并通过图形判断学习先修课程与优等生是否有关系，根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？优等生非优等生总计学习大学先修课程没有学习大学

先修课程总计（2）已知今年有150名学生报名学习大学先修课程，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率.①在今年参与大学先修课程的学生中任取一人，求他获得某高校自主招生通过的概率；②设今年全校参加大学先修课程的学生获得某高校自主招生通过的人数为，求E.参考数

据：()20PKk…0.150.100.050.0250.0100.0050k2.0722.7063.8415.0246.6357.879参考公式：22()()()()()nadbcKabcdacbd−

=++++，其中nabcd=+++.【答案】（1）详见解析；（2）①0.6；②90.【解析】【分析】（1）直接利用已知填表并画出图形，利用独立性检验公式计算可得：239.216K，问题得解．（2）①直接利用已知数据计算得解

，②由题可得：自主招生通过的人数服从二项分布，利用二项分布的期望公式计算得解．【详解】（1）列联表如下：优等生非优等生总计学习大学先修课程60240300没有学习大学先修课程14015601700总计200

18002000等高条形图如图：通过图形可判断学习先修课与优等生有关系，又222000(601560140240)39.2166.63530017002001800K−=，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提

下认为学习先修课程与优等生有关系（2）①205510570500.90.80.60.50.40.6300300300300300p=++++=②设获得某高校自主招生通过的人数为，则3~150,5B，15015032(),0,1,2,,15055kkk

PxkCk−===所以3150905E==【点睛】本题主要考查了独立性检验公式及频率与概率的关系，还考查了二项分布的期望公式，考查计算能力，属于中档题．20.已知椭圆()2222:10xy

Cabab+=的左,右焦点分别是1F,2F,离心率为32,直线yx=被椭圆C截得的线段长为4105.(1)求椭圆C的方程;(2)过点()0,2−且斜率为k的直线l交椭圆C于A,B两点,交x轴于P点,点A关于x轴的对称点为M,直线BM交x轴于Q点.求证:OPOQ(O为坐标原点

)为常数.【答案】(1)2214xy+=;(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得点2525,55在椭圆上,代入椭圆方程可得2244155ab+=，再利用椭圆的离心率32ca=，222abc=+，求出,ab即可求解.（2）设直线l的方程为2ykx=−,点P的坐标为20,k

，设()11,Axy,()22,Bxy,则()11,Mxy−,根据题意求出点Q坐标，联立22142xyykx+==−，利用韦达定理将点Q坐标用k表示即可证出.【详解】设椭圆C的焦距为2c,则32ca=,由直线yx=被椭圆C截得的线段长为4105可知,点2525,55

在椭圆上,从而2244155ab+=.结合222abc=+,可解得2a=,1b=.故椭圆C的方程为2214xy+=.(2)依题意,直线l的方程为2ykx=−,则P的坐标为20,k.设()11,Axy,()2

2,Bxy,则()11,Mxy−,直线BM的方程为112121yyxxyyxx+−=+−,令0y=,得Q点的横坐标为()()121212211212224kxxxxxyxyxyykxx−++==++−.①又由22142xyykx+==−,得()22141

6120kxkx+−+=,()()22223164121464480,4kkkk=−−+=−,得12212216141214kxxkxxk+=+=+,代入①得()2224216216414kkxkkk−==−+,得4OPOQ=,所以OPOQ为常数4.【点睛】本题考查了由

离心率求椭圆方程、直线与椭圆的位置关系中定值问题，考查了学生的计算能力，属于中档题.21.已知函数()lnfxxxa=−+有两个不同零点1x,()212xxx.(1)求a的取值范围;(2)证明:当1104x时,21214xx

.【答案】(1)()1,+;(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）求出导函数()1xfxx−=，求出函数的单调递增、递减区间，从而()fx在1x=处取得最大值()11fa=−,需满足()10f,然后验证()fx在(

)0,1，()1,+分别有零点即可.（2）由(1)可知1201xx,()()120fxfx==,证出()221104fxfx−，再利用函数的单调性即可得出22114xx，从而得证.【

详解】(1)由题,()111xfxxx−=−=,则当01x时,()0fx,()fx单调递增;当1x时,()0fx,()fx单调递减.故()fx在1x=处取得最大值()11fa=−,由题

可知,需满足()10f,即1a.当1a时,0e1a−,()ee0aaf−−=−,故函数()lnfxxxa=−+在()e,1a−上存在一个根,存在()2111ba++,使得()()()()222()11ln1111211fbfa

aaaa++=++−+++++()2110aa−+++=,从而函数()lnfxxxa=−+在()1,b上存在一个根,故a的取值范围为()1,+.(2)由(1)可知1201xx,()()120

fxfx==,因此()()222222111111lnln444fxfxxaaxxx−=−+−−+112113ln2ln24xxx=−++令211()3ln2ln2044Fxxxxx=−++,则()233331621110224xxF

xxxxx−−=−−=,而233662121016xxx−−−−,即()0Fx,从而()Fx在10,4上单调递减.所以()104FxF,因此()22114fxfx,又因为()fx在(

)1,+上单调递减,且21x,21114x,所以22114xx,从而21214xx.【点睛】本题考查了函数的零点以及导数在研究函数单调性性中的应用，属于难题.(二)选考题:共10分.请考生在22,23两题中任选

一题作答,若多做,则按所做的第一题记分.选修4-4:坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为22cos2sin10+−+=,直

线l的参数方程为cos2sinxtayta==+(t为参数,)0,a).(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,直线l的倾斜角0,3a,P点坐标为()0,2,求PAPBPAPB+的最小值.【答

案】(1))()sincos2cos00,xayaaa−+=,222210xyxy++−+=;(2)24.【解析】【分析】（1）讨论π2a=或2a，消参求出直线方程即可；由cossinxy==代入可求曲线C的直角坐标方程；（2）直线l

的参数方程和曲线C的直角坐标方程联立，求出()122sincosttaa+=−+,121tt=,利用参数的几何意义可知()121212sincosPAPBttPAPBttaa==+++，然后利用辅助角公式以

及三角函数的最值即可求解.【详解】(1)①当π2a=时,直线l的方程为0x=,②2a时,直线l的方程为()2tanyax−=,由①,②得,直线l的方程可写成)()sincos2cos00,xayaaa−+=.由cossinxy=

=,得曲线C的直角坐标方程为222210xyxy++−+=.(2)将直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程联立得:()22sincos10taat+++=则()122sincosttaa+=−+,121tt

=,则()12121242sincosPAPBttPAPBttaa==+++(当且仅当4a=时取等号).故PAPBPAPB+最小值为24.【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，参数的几何意义，辅助角公式以及三角函数的性质，考

查了分类讨论的思想，属于中档题.选修4-5:不等式选讲23.已知函数()24fxxa=+−.(1)当2a=时,解不等式()1fxx−;(2)若对任意的xR,不等式()223fxxaaa−+−恒成立,求a的取值范围.【答案】(1)

(),71,−−+;(2)(),14,−+.【解析】【分析】（1）利用零点分段法分类讨论解不等式即可.（2）不等式()223fxxaaa−+−恒成立,等价于22234xaxaaa+−−−+恒成立,利用

绝对值的几何意义只需2234aaa−+，解不等式即可.【详解】(1)当2a=时,不等式()1fxx−等价于2114xx+−−,得()()12114xxx−−++−或()()112114xxx−++−或()()12114xxx+

+−,解得(),71,x−−+.(2)对任意的xR,不等式()223fxxaaa−+−恒成立,等价于22234xaxaaa+−−−+恒成立,从而可得2234aaa−+,得a的取值范围为(),14,−+.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解

法以及绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，属于基础题.