【文档说明】百师联盟2021届高三上学期一轮复习联考（三）全国卷Ⅰ文科数学试卷 .doc，共(7)页，550.783 KB，由管理员店铺上传

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1百师联盟2021届高三一轮复习联考（三）全国卷Ⅰ文科数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合P＝{x|x2-1＞0}，Q＝{x|x-2≥0}，则P∪Q为A．{x|x≥2}B．{x|x＜

-1或x≥2}C．{x|x＜-1或x＞1}D．R2．已知复数2i1iz=+则zz的值A．0B．2iC．2D．13．cos50°cos10°-sin50°sin170°＝A．cos40°B．sin40°C．12D．324．已知命题P：∃x∈R，x3＞2x，则它的否定形

式¬P为A．∃x∈R，x3≤2xB．∀x∈R，x3＞2xC．∃x∉R，x3≤2xD．∀x∈R，x3≤2x5．某人用本金5万元买了某银行的理财产品，该产品按复利计息（把前一期的利息和本金加在一起作为下一期的本金）约定每期利率为5%，已知若存期为m，本息和为5.5万元，若存期为n，本息和为5.8万元，

则存期为m+n时，本息和为（单位：万元）A．11.3B．6.52C．6.38D．6.36．将函数f(x)＝sinx的图象上各点横坐标变为原来的12，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π3个单位，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为A．1π()sin23gxx=+B．12π()

sin23gxx=+C．π()sin23gxx=+D．2π()sin23gxx=+7．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且2cos2sinsinsinaBCBbB−=，则∠A＝A．π3B．2π3C．π4D．

π68．等差数列{an}的前n项和为Sn，其中352a=，S4＝14，则当Sn取得最大值时n的值为A．4或5B．3或4C．4D．39．已知π,π2，且π3cos45−=，则tanα

＝A．-7B．17−C．-7或17−D．-7或1710．设47loga=，2317logb=，232c=，则a，b，c的大小关系是A．a＞b＞cB．b＞c＞aC．c＞a＞bD．a＞c＞b11．已知在△ABC中，AB＝5，AC＝7，O是△ABC的外心，则AOBC的值为A．3B．4C．6D．1221

2．已知函数y＝f(x)的定义域为R，f(x)+f(-x)＝0且当x1＞x2≥0时，有1212()()0fxfxxx−−，当x+y＝2020时，有f(x)+f(2020)＞f(y)恒成立，则x的取值范围为A．(0，+∞)

B．(-∞，0)C．(1，+∞)D．(-∞，1)二、填空题13．已知平面上点P(x，y)满足12420xxyyx+−，则z＝3y-2x的最大值为________．14．某学校实行导师制，该制度规定每位学生必须选

一位导师，每位导师至少要选一位学生．若A，B，C三位学生要从甲，乙中选择一人做导师，则A选中甲同时B选中乙做导师的概率为________．15．已知函数f(x)＝ex(x2-2x+1)，则f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为___________，

若f(x)≥ax在(0，+∞)上恒成立，则实数a的取值范围为________．16．小明同学在进行剪纸游戏，将长方体ABCD-A1B1C1D1剪成如图所示的侧面展开图，其中AA1＝1，AB＝2，AD＝4，已知M，N分别为BC，A1D1的中点，则将该长方体还原后直线1CM与B1N

所成角的余弦值为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题17．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，数列{bn-an}是首项为2，公比为2的

等比数列．（1）求数列{an}和数列{bn-an}的通项公式；（2）求数列{bn}的前n项和Tn．18．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．已知2coscoscoscCaBbA=+（1）求∠C的大小；（2）已知a+b＝4，求△ABC的面积的最大值．19．四面体ABCD

中，平面ABC⊥平面BCD，△ABC是边长为1的等边三角形，DC⊥BC，且DC长为3，设DC中点为M，B关于M的对称点为E，且F，G分别为CE，AD的中点．3（1）证明：平面FGM⊥平面BCD；（2）求四面体BGMF的体积．20．某企业年初在一个项目上投资2千万元，据市场调查，每年获得

的利润为投资的50%，为了企业长远发展，每年底需要从利润中取出500万元进行科研、技术改造，其余继续投入该项目．设经过n(n∈N*)年后，该项目的资金为an万元．（1）求证：数列{an-1000}为等比数列；（2）若

该项目的资金达到翻一番，至少经过几年？(lg3≈0.5，lg2≈0.3)21．已知实数a≠0，f(x)＝alnx+x（1）讨论f(x)的单调性；（2）证明：21e(ln3)exxxx++．（二）选考题：请考生在第22、23题中选定一题作答，如果多答，则

按所答第一题评分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为cos2sinxy==（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为πsin16+=（1）

求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2相交于A，B两点，设(1,3)P−，求|PA|·|PB|．23．[选修4-5：不等式选讲]已知x，y≥0，满足x+y＝2．（1）求x2+xy+3y2的最小值；（2）证明：x2y2

(x2+y2)≤2．4百师联盟2021届高三一轮复习联考（三）全国卷Ⅰ文科数学参考答案1．C解析：由题意P＝{x|x＞1或x＜-1}，Q＝{x|x≥2}，故P∪Q＝P，故选C．2．C解析：2||zzz

−=，2i1i1iz==++，则22||22zzz===．故选C．3．C解析：由题意，cos50cos10sin50sin170cos50cos10sin50sin10cos60−=−=°°°°°°°°°12=．故选C．4．D

解析：命题的否定，需要修改量词并且否定结论，故选D．5．C解析：由已知得：5×1.05m＝5.5，5×1.05n＝5.8，故5.55.851.056.385mn+==．故选C．6．D解析：f(x)＝sinx图像上各点横坐标变为原来的12，得y＝sin

2x再向左平移π3个单位后得：2π()sin23gxx=+．故选D．7．A解析：由2cos2sinsinsinaBCBbB−=可得：2sincos2sinsinsinsinABCBBB−=则化简整理可知，2cosAsinB

＝sinB，因为sinB＞0，所以1cos2A=，由A∈(0，π)，故π3A=．故选A．8．C解析：设{an}公差为d，由题意知115224614adad+=+=，解得11322ad==

−，由等差数列前n项和公式，知2152nSnn=−−，由二次函数相关知识，当n＝4时，Sn最大．故选C．9．A解析：因为π,π2，所以ππ3π,444−，又πcos04−，故πππ,442−，所以π4s

in45−=，所以ππππππcoscoscoscossinsin444444=−+=−−−=210−，所以得72sin10=，故tanα＝-7．故选A．10．C解析：易知c＞1，470

log1a=，故c＞a，又因为213433117777loglogloglogba===，故选C．11．D解析：22211()cos(22AOBCABBOBCABBCBOBCacBaac=+=+=−+=−+222211)()22babc−+=−由c＝5，b

＝7可知，12AOBC=．故选D．12．B解析：根据f(x)+f(-x)＝0得f(-x)＝-f(x)，所以f(x)是定义在R上的奇函数，则有f(0)＝0．又由x1＞x2≥0时，有1212()()0fxfxxx−−得y＝f(x)在(0，+∞)上单调递减．又y＝f(x)是奇函数，

则有f(x)在(-∞，0)上也单调递减．则f(x)在R上为减函数，所以f(2020)＜0．当x＜05时，y＝2020-x＞2020．所以f(y)＜f(2020)＜f(x)，则恒有f(x)+f(2020)＞f(y)；当x＝0时，y＝2020，此时f(x)+f(2020)＝f(2020)＝f(

y)，故f(x)+f(2020)＞f(y)不成立；当x＞0时，y＝2020-x＜2020，所以f(y)＞f(2020)此时，f(x)＜0，故f(y)＞f(2020)+f(x)，与条件矛盾，故x的取值范围为(-∞，0)．故选B．13．52解析：由题意，可知可行域如图中阴

影部分所示，由题意2133yxz=+，当在31,2处z取得最大值5214．13解析：A，B，C三位学生选甲，乙做导师的可能结果用(x，y)表示，x，y分别表示甲，乙做导师，所有可能结果为：((AB)，C)(C，(AB))(

(AC)，B)((B，(AC))(A，(BC))((BC)，A)共有6个基本事件．记“A选中甲同时B选中乙做导师”为事件M，则M包含(A，(BC))，((AC)，B)2个基本事件．故1()3PM=．15．x+y-1＝0，a≤0解析：（1）因为f′(x)＝ex(x2-1)所

以f′(0)＝-1又因为f(0)＝1所以切线方程为：x+y-1＝0（2）由题可得：()fxax在(0，+∞)恒成立设()1()e2xfxgxxxx==+−则()gx=22(1)(1)exxxx−+因为x＞0所以当x＞1时g′(x)

＞0，当0＜x＜1时g′(x)＜0所以g(x)在(0，1)单调递减，在(1，+∞)单调递增所以当x＝1时g(x)有最小值g(1)＝0所以a≤016．105解析：连结AN，易知AN∥C1M，故所求角的大小等于∠B1NA或其补角，由余弦定理及勾股定理，185510|cos|52225BN

A+−==，故所求角的余弦值为10517．（1）由题意知a1＝s1＝1，当n≥2时，an＝Sn-Sn-1＝n2-(n-1)2＝2n-1a1＝1符合an＝2n-1所以an＝2n-1，由题意知bn-an＝2n（2）由（1）可知，bn＝2n+2n-1，Tn＝b1+

b2+……+bn＝(21+22+…2n)+(1+3+…+2n-1)＝2n+1-2+n218．（1）由2coscoscoscCaBbA=+，化简可知，2sincossin()CCAB=+，得cosC=622，由C∈(0，π)，故π4C=（2）由a+b＝4，

得2()44abab+=，故1sin22ABCSabC=△当且仅当a＝b＝2时取等号所以△ABC面积的最大值为219．（1）证明：因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，CD⊥BC，所以CD⊥平面ABC因为AC⊂平面ABC，BC⊂

平面ABC，所以CD⊥AC，CD⊥BC，又G，M分别为AD，CD的中点，所以GM∥AC，所以GM⊥CD，同理可得MF⊥CD因为MF∩GM＝M，所以CD⊥平面GMF，因为CD⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面FGM（2）由（1）可知，MF∥BC，因为BC⊄平面GMF，M

F⊂平面GMF，所以BC∥平面GMF，故B到平面GMF的距离即为C到平面GMF的距离，由（1）可知12CMCD==32，即为C到平面GMF的距离，取BD中点N，则F，M，N三点共线，连结GN，1122MNBC==，1122GNAB==，1

122GMAC==，所以2313()4216GMNS==△，因为M为FN中点，所以316GMFGMNSS==△△，故11332BGMFGMFVSCM−==△．20．（1）证明：由题意知an＝(1+50%)an-1-500(n≥2)．即1350

02nnaa−=−，所以1000na−13(1000)(2)2nan−=−．由题意知a1＝2000(1+50%)-500＝2500所以数列{an-1000}的首项为a1-1000＝1500所以{an-1000}是首项为1500，公比为32的等比数列．（2）由（1）知数列{an-10

00}的首项为a1-1000＝1500，公比为32．所以1310001500()2nna−−=，所以131500()10002nna−=+．当an≥4000，得13()22n−．两边取常用对数得3(1)lg2n−

lg2，所以lg20.331lg3lg20.50.32n−=−−，所以n≥2.5因为n∈N*，所以n＝3即至少经过3年，该项目的资金达到翻一番．21．（1）由题意，()1aaxfxxx+=+=，由定义域{x|x＞0}知，若a＞0，则f′(x)＞0在(0，+∞)上恒成立，故f(x)在(0，+

∞)上单调递增若a＜0，当x∈(0，-a)时，f′(x)＜0，f(x)单调7递减；当x∈(-a，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增综上所述，当a＞0时，f(x)在(0，+∞)上单调递增；当a＜0，f(x)

在(0，-a)上单调递减，在(-a，+∞)上单调递增（2）证明：由题意，该不等式等价于e2·xex≥lnx+x+3，即xex+2≥lnx+x+3，又可化为elnx·ex+2≥lnx+x+3，即elnx+x+2≥lnx+x+3，令t＝lnx+x+2，易知，t随x增大

而增大，且知t∈R，则只需证et≥t+1设g(t)＝et-t-1，则g′(t)＝et-1，所以当t∈(-∞，0)时，g(t)单调递减，当t∈(0，+∞)时，g(t)单调递增，故g(t)≥g(0)＝0，故原不等式得证22．（1）由C1：cos2sinxy==得2214

yx+=由C2：πsin16+=得31sincos122+=，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入可得320xy+−=（2）经检验(1,3)P−在曲线C2上，则曲线C2的参数方程可为312132xtyt=−−=+（t为参数），

代入曲线C1，得213203120tt++=，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则由韦达定理得121213tt=，故12||||13PAPB=23．（1）由题意，x2+xy+3y2＝x(x+y)+3y2＝2(2

-y)+3y2＝3y2-2y+4，由二次函数知识，知上式在13y=时取到最小值113（2）证明：由题目条件以及均值不等式可以得到：22222222()()xyxyxyxyxy+++2222222112(2)()222()2x

yxyxyxyxyxy++=+=+=，当且仅当x＝y＝1等号成立