【文档说明】河南省中原名校2021-2022学年高二上学期12月联考理科数学试题含答案.doc，共(10)页，1.396 MB，由小赞的店铺上传

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河南省中原名校2021-2022学年高二上学期12月联考理科数学试卷全卷满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，

再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.与向量（-

3，-4，5）共线的单位向量是（）()A.32222(,,)1052−和32222(,,)1052−−()B.32222(,,)1052−()C.32222(,,)1052和32222(,,)1052−

−−()D.32222(,,)1052−−2．已知点(3,2)在椭圆22221xyab+=上，则（）()A.点(3,2)−−不在椭圆上()B.点(3,2)−不在椭圆上()C.点(3,2)−在椭圆上()D.无法判断点(3,2)−−、(3,2)−、

(3,2)−是否在椭圆上3.平行六面体1111ABCDABCD−中，1123ACxAByBCzCC=++，则xyz++=（）()A.1()B.76()C.56()D.234．已知向量(0,0,1),(0,1,1),ab==则a与b的夹角为（）()A．

0°()B．45°()C．90°()D．180°5.已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的个数是（）①PA⊥AD②平面ABC⊥平面PBC③直线BC∥平面PAE④直线PD与平面A

BC所成角为30()A．1个()B.2个()C.3个()D.4个6.如图是抛物线形拱桥，当水面在图中位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水下降1米后，水面宽为()()A.3米()B.23米()C.6米()D.26米7．给出下列命题：①直线l的方向向

量为a=(1,-1,2)，直线m的方向向量为12b=(2,1,-)则lm⊥②直线l的方向向量为a=(0,1,-1)，平面的法向量为n=(1,-1,-1)，l则l⊥.③平面,的法向量分别为12n=(0,1,3),n=(1,0,2)，则//.④平面经过三点A(1,0，－1)，B

(0,1,0)，C(－1,2,0)，向量n=(1,u,t)是平面的法向量，则u＋t＝1.其中真命题的序号是()()A.②③()B.①④()C.③④()D.①②8．若双曲线2221613xyp−=的左焦点在抛物线22ypx=的准线上，则p的值为（）A

.2B.3C.4D.429．如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，O是底面1111ABCD的中心，则点O到平面11ABCD的距离为()()A.12()B.24()C.22()D.3210．若双曲线22221xyab−=(0,0ab)的右支上到原

点和右焦点距离相等的点有两个,则双曲线离心率的取值范围是()()A.2e()B.12e()C.2e()D.12e11.对于抛物线C：xy42=，我们称满足0204xy的点),(00yxM在抛物线的内部.若点),(00yxM在抛物线内部，则直线)(2:00xxyyl+=与曲

线C（）()A.恰有一个公共点()B.恰有2个公共点()C.可能有一个公共点，也可能有两个公共点()D.没有公共点12.已知1F、2F是椭圆22221xyab+=(0ab)的两个焦点,P是椭圆上任意一点,从任一焦点引12FPF的外角平分线的垂线,垂足为Q,则点Q的轨迹()()A.圆()B.椭

圆()C.双曲线()D.抛物线二、填空题.（本题共5小题，每小题6分，共30分）13．在等差数列na中，已知公差12d=，且1359960aaaa++++=，则123100aaaa++++=__________.14．在ABC中，若()()(

)acacbbc+−=−，则角A等于________；15．设等比数列na共有3n项，它的前2n项的和为100，后2n项之和为200，则该等比数列中间n项的和等于__________.16．在ABC中，若32sinabA

=，则角B等于__________.三、解答题（本大题共6小题，共计70分，解答应写出文字说明证明过程或推演步骤.）17.(本题满分10分)一个几何体的三视图如图所示（单位长度为：cm）（1）求该几何体的体积；（2

）求该几何体的表面积.18．(本题满分12分)已知△ABC的三个顶点分别为A(2，4)，B(1，1)，C(7，3).（1）求BC边上的中线所在直线的方程；（2）求BC边上的高所在直线的方程.19．(本题满分12分)如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1

中，E、F、P、Q分别是BC、C1D1、AD1、BD的中点．(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；(2)求证：AC⊥EF.20．(本题满分12分)已知直线方程为(2)(21)340mxmym−++++=，其中mR.（1）求直线恒过定点的坐标。当m变化时，求点

()3,4Q到直线的距离的最大值及此时的直线方程；（2）若直线分别与x轴､y轴的负半轴交于,AB两点，求AOB面积的最小值及此时的直线方程.21.(本题满分12分)已知四棱锥SABCD−如图所示,2120ADCBCD==，

90SABBAD==，112SAADBC===，平面SAB⊥平面ABCD，点E为线段SC的中点．（1）求证：//DE平面SAB；（2）求点S到平面AEB的距离.22.(本题满分12分)如图1，在MBC△中，24BMBC==，BMBC⊥，,AD别为棱BM，MC的中点，将△

MAD沿AD折起到PAD△的位置，使90PAB=o，如图2，连结PB，PC（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若E为PC中点，求直线DE与平面PBD所成角的正弦值；（3）线段PC上是否存在一点G，使二面角GADP−−的余弦值为31010？若存在，求出PGP

C的值；若不存在，请说明理由.理科数学答案一、选择题答题卡：（512=60分）题号13456789101112答案ABBADBCBCDA二、填空题.（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.14514.315.320016.3或32三．解答题：(本大题共6小题，满分70分

。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17（10分）解：（1）由图知该几何体是一个上面是正四棱锥，下面是一个正方体的组合体.且正四棱锥的底面边长为4，四棱锥的高为2，所以体积122444244433V=+=c

m3........................................................................5分（2）由三视图知，四棱锥的侧面三角形的高222222h=+=.该几何

体表面积为154424422801622S=+=+cm2....................10分18．（12分）解：（1）B(1，1)，C(7，3)，BC的中点为M(4，2).又A(2，4)在BC边上的中线上，所求直线方

程为-24-2x=-42-4y，即BC边上的中线所在直线的方程为x+y-6=0.........................................6分（2）B(1，1)，C(7，3)，直线BC的斜率为3-17-1=13.而

BC边上的高所在直线与直BC垂直，BC边上的高所在直线的斜率为-3.又A(2，4)在BC边上的高上，所求直线方程为y-4=-3(x-2)，即BC边上的高所在直线的方程为3x+y-10=0..............

......................12分19.（12分）解：(1)如图所示，连接CD1.∵P、Q分别为AD1、AC的中点．∴PQ∥CD1.而CD1平面DCC1D1，PQ//平面DCC1D1，∴PQ∥平面

DCC1D1......................................6分(2)如图，取CD中点H，连接EH，FH.∵F、H分别是C1D1、CD的中点，在平行四边形CDD1C1中，FH//D1D.而D1

D⊥面ABCD，∴FH⊥面ABCD，而AC面ABCD，∴AC⊥FH.又E、H分别为BC、CD的中点，∴EH∥DB.而AC⊥BD，∴AC⊥EH.因为EH、FH是平面FEH内的两条相交直线，所以AC⊥平面EFH，而EF平面EFH，所以AC⊥

EF............................................12分20．（12分）解：（1）直线方程为(2)(21)340mxmym−++++=，可化为(24)(23)0

xymxy+++−++=对任意m都成立，所以230240xyxy−++=++=，解得12xy=−=−，所以直线恒过定点(1,2)−−..........................4分设定点为(1,2)

P−−当m变化时，PQ⊥直线l时，点(3,4)Q到直线的距离最大，可知点Q与定点(1,2)P−−的连线的距离就是所求最大值，即22(31)(42)213+++=，此时直线l过点(1,2)P−−且与PQ垂直，∴22412113mm−−−−=−+−−，解得47=m故直线l的

方程为2380xy++=................8分（2）由于直线l经过定点(1,2)P−−．直线l的斜率k存在且0k，可设直线方程为2(1)ykx+=+可得与x轴、y轴的负半轴交于21,0Ak−，(0,2)Bk−两点∴20kk−，20k

−，解得0k．∴121221|2|1(2)2224222AOBkSkkkkk−=−−=−−=+++=−当且仅当2k=−时取等号，面积的最小值为4,此时直线l的方程为：22(1)yx+=−+，即：240xy++=．...............

..............12分21.（12分）（1）证明：取BC中点F，连接DF2120ADCBCD==，180ADCBCD+=，//ADBC，即//ADBF又112ADSABC===，ADBF=，四

边形ADFB为平行四边形，//DFAB，E，F分别是SC，BC的中点，//EFSB，又EF平面SAB,SB平面SAB,//EF平面SAB，同理//DF平面SAB,又,EFDF平面EFD,FDFEF=,

平面//DEF平面SBA，ED平面EFD，//ED平面SAB．.......................................6分（2）解：//ED平面SAB，且90SADBAD==，

DA⊥平面SAB，过点E作平面SAB的高，交平面于点P，13ESABSABVSEP−=△，1SAAD==，3AB=，11331222SABSABSA===△，面//SAB面EDF且DA⊥面SAB，DP⊥面SAB，

EPDA=，112EPDABFBC====，13133236ESABSABVSEP−===△，ESABSABEVV−−=，记点S到平面ABE的距离为h，1336SABEABEVSh−==△，

作//PHSA，则有PHAB⊥且1122PHSA==，221111153122244ABESABEHABEPPH==+=+=△，1336ABESh=△，333342566515ABEhS===△，点S到平面SEB的距离为255

．...........................12分22.（12分）（1）证明：A，D分别为MB，MC中点，AD//BC．BMBC⊥，BMAD⊥．PAAD⊥．90PAB=，PAAB⊥．又ABAD=A，PA⊥平面A

BCD．又PA平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD．..............3分（2）解：PAAB⊥，PAAD⊥，90PAB=，AP，AB，AD两两互相垂直．以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz−，依题意有()0,0,0A，()2,0,0B，()2

,2,0C，()0,1,0D，()002P,,，()1,1,1E．则()2,2,2PC=−，()1,0,1DE=，()2,1,0BD=−，()2,0,2BP=−，()2,2,0AC=，()2,0,0AB=．设平面PBD的一个法向量()111,,nxyz=，则有00BDnBP

n==，即111120220xyxz−+=−+=，令12y=得11x=，11z=．所以()1,2,1n=．设直线DE与平面PBD所成角为，则113sincos,326DEn+===．故直线DE与平面PBD所成角的正弦

值为33．......................7分（3）解：假设线段PC上存在一点G，使二面角GADP−−的余弦值为31010．设()000,,Gxyz，()01PGPC=，则()01PGPC=，即()()000,,22

,2,2PGxyzPC=−==−．()2,2,22G−，()0,1,0AD=uuur，()2,2,22AG=−.易得平面PAD的一个法向量为()11,0,0n=ur．设平面ADG的一个法向量()2222,,nxyz=，则有2200ADnAGn==，即()2

222022220yxyz=++−=，令2z=，则()21,0,n=−．若二面角GADP−−的余弦值为31010，则有121212310cos,10nnnnnn==，即()221310101−=

−+，解得，112=−，214=．又因为01≤≤，所以14=．故线段PC上存在一点G，使二面角GADP−−的余弦值为31010，且14PGPC=...............12分